备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十三）

备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十四）

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备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十三）

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

第I卷（选择题)

一、 单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B．  C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求得集合，由交集定义求得结果.

【详解】

故选：

【点睛】

本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.

2．已知复数满足 (其中为虚数单位)，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

将复数化简为，再求模长即可.

【详解】

，则，

.

故选

【点睛】

本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.

3．已知向量,向量,向量满足,则的最大值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设,,,则,即可求得,将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上,即可求得的最大值.

【详解】

 设,,

故,

即

将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上.

的最大值即:圆心到原点的距离+半径,即,

故选:D.

【点睛】

本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.

4．下列四个命题：

函数的最大值为1；

“，”的否定是“”；

若为锐角三角形，则有；

“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．

其中错误的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.

【详解】

解：由,得的最大值为,故错误;

“,”的否定是“”,故正确;

为锐角三角形,,则，

在上是增函数,,同理可得，,,故正确;

,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,

可得函数在区间内单调递增;

若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,

,

“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确．

其中错误的个数是1.

故选:A.

【点睛】

本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．

5．已知数列的通项公式为，前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知条件，推导出,设，推导出，得到的最小值是，由此能求出结果.

【详解】

数列的通项公式为，前n项和为，

,

,

设,

则

是递增数列，

的最小值是，

恒成立，

，

，

，

解得，

m所能取得的最大整数为5，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了数列前n项和公式的求法和应用，综合性强，对数学思维能力的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于难题．

6．已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到大分别为，，，则的值为  

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

函数的图象与直线恰有三个公共点，画出图象，且在区间内相切，其切点为，，利用导数的几何意义得出，从而得到结论．

【详解】

函数的图象关于对称，直线过，

则，所以。

所以函数的图象与直线恰有三个公共点如图所示，

且在区间内相切，其切点为，，由于，

，即，

．

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的对称性及导数的运用，考查数形结合思想、方程思想的综合运用，考查运算求解能力，求解的关键是准确画出函数的图形.

7．已知函数f（x）=，则=

A． B．2 C．1 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出f（）=3×-4=-，从而=f（–），由此能求出结果．

【详解】

解：∵函数f（x）=，

∴f（）=3×-4=，

=f（）=-1．

故选：A．

【点睛】

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

8．已知双曲线：的左右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于，两点，若，的面积为，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

连接得四边形为平行四边形；根据双曲线定义及的面积求得，再在中应用余弦定理即可求得关系，进而利用双曲线中的关系求得渐近线方程。

【详解】

根据题意，连接得四边形为平行四边形，几何关系如下图所示：

设，则

的面积为，，则由三角形面积公式可得

，化简得 

解得，（舍）

所以

在中， 由余弦定理可得

，

即

化简可得 ，由双曲线中

可得 

即 

所以渐近线方程为

所以选D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义和性质，渐近线方程求法，余弦定理的简单应用，属于中档题。

9．的展开式中项的系数为-8，则a的值为（    ）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二项展开式，得到项，即可得到a的值.

【详解】

解：的展开式中，项为，

，

2020年高考文综综合复习试题山西省太原（答案）

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故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.

10．新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）

A．丙没有选化学 B．丁没有选化学

C．乙丁可以两门课都相同 D．这四个人里恰有2个人选化学

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．

【详解】

根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；

又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；

若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．

综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确。

假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科。不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确。

【点睛】

本题主要考查学生的逻辑推理能力。

11．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

【答案】D

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.

【详解】

取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.

在正方体中，平面，平面，，

又，，平面，即，，

同理可证，，则，.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.

对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；

对于命题②，，则平面的一个法向量为，

，令，解得，

所以，存在点使得平面，命题②正确；

对于命题③，，令，

整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

12．已知函数，若（），，，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设x₂＞x₁4，将已知转为f（x₂）+2mx₂＞f（x₁）+2mx₁恒成立，构造函数g（x）＝f（x）+2mx，由函数单调性定义可知函数g（x）在[4，+∞）上的单调性，由单调性可求得a的取值范围．

【详解】

由已知不妨设x₂＞x₁4，要恒成立，只需f（x₂）+2mx₂＞f（x₁）+2mx₁，令g（x）＝f（x）+2mx，即g（x₂）＞g（x₁）,由函数单调性的定义可知g（x）在[4，+∞）上单调递增．又函数g（x）＝，g‘（x）＝2x++2m，

即g‘（x）≥0在[4，+∞）恒成立，即x++m≥0在[4，+∞）恒成立，

变量分离得-mx+,令h(x)= x+,只需-m，

又h(x)在[4，+∞）上单调递增，则=h(4)=4+，所以-m4+，

由已知使-m4+成立，即,

即，

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用构造函数法求参数的取值范围以及数学转化的思想.

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．设,是正方体的棱和的中点,在正方体的条面对角线中,与截面成角的对角线的数目是______.

【答案】

【解析】

【分析】

由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面的法向量,求解面对角线和的夹角,即可求得答案.

【详解】

以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴

设正方体棱长为2,如图:

则 

, 

 当面对角线与截面成角,

 需保证直线与法向量的夹角为,即其余弦值

设平面的法向量

  可得: ,取 

  ,则  

当两条面对角线平行时,求解其中一条与面的法向量夹角即可.

 平面中与平行,故不符合题意.

综上所述,符合题意的面对角线为:共条.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.

14．已知函数且满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是________

【答案】

【解析】

【分析】

首先判断，然后求其反函数，最后再利用函数的单调性解不等式.

【详解】

且是单调函数，且 

单调递减，，

且，

 ，

 ，解得： ，

所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了求指数函数的反函数，以及解对数不等式，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略函数的定义域.

15．的展开式中的项的系数等于____________ .

【答案】.

【解析】

【分析】

由，于是求项的系数转化为展开式中的系数，然后利用二项式定理求出即可.

【详解】

，

要求的展开式中的项的系数，转化为求展开式中的系数，

展开式的通项为，

令，得，

因此，的展开式中的项的系数为，故答案为.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项的系数，本题将二项式进行了化简，将问题进行了转化，简化了计算，考查化归与转化数学思想，考查计算能力，属于中等题.

16．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_____．

【答案】 

【解析】

【分析】

根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可

【详解】

∵x∈D，点（x，g（x）） 与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，

∴g（x）+h（x）=2f（x），

∵h（x）≥g（x）恒成立，

∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，

作出g（x）和f（x）的图象，

则g（x）在直线f（x）的下方或重合，

则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，

d=⇒b≥或（舍去）

即实数b的取值范围是[，+∞），

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17．某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点，米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角，其中BC为斜边．

若；，求四边形OACB的面积；

现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？

【答案】(1)平方米；(2)

【解析】

【分析】

计算时和的面积，求和得出四边形OABC的面积；

设，求出和的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应的值．

【详解】

当时，

平方米；

在中，由余弦定理得，

备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十五）

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