2020中考数学压轴题揭秘专题15动点综合问题试题（附答案）
2020中考数学压轴题揭秘专题15动点综合问题试题（附答案）,中考数学压轴题专题,莲山课件.
专题14 几何变换问题
【考点1】平移变换问题
【例1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A
【解析】
试题分析：已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．
考点：坐标与图形变化-平移．
【变式1-1】（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，将四边形 向下平移，再向右平移得到四边形 ，已知 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形 ，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．
【详解】
图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）平移后B1（2，1）.
故选B.
【点睛】
此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键
【变式1-2】（2019·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
（1）将 向上平移4个单位长度得到 ，请画出 ；
（2）请画出与 关于 轴对称的 ；
（3）请写出 的坐标．
【答案】（1）如图所示： ，即为所求；见解析；（2）如图所示： ，即为所求；见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标.
【详解】
（1）如图所示： ，即为所求；
（2）如图所示： ，即为所求；
（3） ．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.
【考点2】轴对称变换问题（含折叠变换）
【例2】（2019·四川中考真题）如图，在菱形 中， ，点 分别在边 上，将四边形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，当 时， 的值是_____．
【答案】 .
【解析】
【分析】
延长 交 于点 ，进而利用翻折变换的性质得出 ， ， ， ， ，再利用菱形的性质得出 ， ， ，设 ， ，利用勾股定理得出 ，再根据三角函数进行计算即可解答
【详解】
延长 交 于点 ，
∵将四边形 沿 翻折，
∴ ， ， ， ，
∵四边形 是菱形
∴ ， ，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： .
【点睛】
此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答
【变式2-1】（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)依据平行四边形的性质，即可得到 ，由折叠可得， ，即可得到 ；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出 ， ，由折叠可得， ， ，即可得到 ， ，进而得出 ．
【详解】
(1) 四边形 是平行四边形，
，
由折叠可得， ，
，
，
；
(2) 四边形 是平行四边形，
， ，
由折叠可得， ， ，
， ，
又 ，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.
【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；
（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.
【答案】（1）4；（2）5 ；（3）面积不变，S△ACB’= ；（4）24+4
【解析】
【分析】
(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；
(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；
(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；
(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，
2020中考数学压轴题揭秘专题16二次函数的存在性问题试题（附答案）
2020中考数学压轴题揭秘专题16二次函数的存在性问题试题（附答案）,中考数学压轴题专题,莲山课件.
求出B′E即可解决问题.
【详解】
(1) 如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，
∵PB=4，
∴PB′=PB=PA=4，
∵∠A=60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′=AP=4，
故答案为4；
(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB=5，B、B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴OB=PB·sin60°= ，
∴BB′=5 ，
故答案为5 ；
(3)如图3，结论：面积不变.
过点B作BE⊥AC于E，
则有BE=AB·sin60°= ，
∴S△ABC= =16 ，
∵B、B′关于直线l对称，
∴BB′⊥直线l，
∵直线l⊥AC，
∴AC//BB′，
∴S△ACB’=S△ABC=16 ；
(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，
∴PE=PA·sin60°= ，
∴B′E=B′P+PE=6+ ，
∴S△ACB最大值= ×(6+ )×8=24+4 .
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
【考点3】旋转变换问题
【例3】（2019·山东中考真题）(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3 ≤PC≤5+3 ．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；
（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3 ≤BE≤5+3 .
【详解】
（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图1中，
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD
延长BE交AD于点F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
故答案为AD=BE，AD⊥BE．
（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，
∴PC=BE，
图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3 ，
图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3 ，
∴5-3 ≤BE≤5+3 ，
即5-3 ≤PC≤5+3 ．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(-4，4)，B(-1，1)，C(-1，4)．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．
(3)求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留π)
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3) π.
【解析】
【分析】
(1)根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可；
(3)线段AB在旋转过程中扫过的图形为扇形，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：(1)如图，△AlB1C1为所作.
(2)如图，△A2BC2为所作；
(3)AB= =3 ，
所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积= = π．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积公式．
【变式3-2】（2019·江苏中考真题）如图①，在 中， ， ，D是BC的中点．
以上仅显示部分内容，要想获得完整版请下载！
2020中考数学压轴题揭秘专题17二次函数的面积问题试题（附答案）
2020中考数学压轴题揭秘专题17二次函数的面积问题试题（附答案）,中考数学压轴题专题,莲山课件.
