2020中考数学压轴题揭秘专题17二次函数的面积问题试题（附答案）
2020中考数学压轴题揭秘专题17二次函数的面积问题试题（附答案）,中考数学压轴题专题,莲山课件.
专题16二次函数的存在性问题
【典例分析】
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】已知抛物线 与x轴分别交于 ， 两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设 ，当k为何值时， .
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与 相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
【答案】（1） ，D的坐标为 ；（2）① ；②以A，F，O为顶点的三角形与 相似，F点的坐标为 或 ．
【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点 ；
(2)①由A、C、D三点的坐标求出 ， ， ，可得 为直角三角形，若 ，则点F为AD的中点，可求出k的值；
②由条件可判断 ，则 ，若以A，F，O为顶点的三角形与 相似，可分两种情况考虑：当 或 时，可分别求出点F的坐标．
【详解】(1) 抛物线 过点 ， ，
，解得： ，
抛物线解析式为 ；
，
顶点D的坐标为 ；
(2)① 在 中， ， ，
，
， ， ，
，
，
，
为直角三角形，且 ，
，
F为AD的中点，
，
；
②在 中， ，
在 中， ，
，
，
，
，
若以A，F，O为顶点的三角形与 相似，则可分两种情况考虑：
当 时， ，
，
设直线BC的解析式为 ，
，解得： ，
直线BC的解析式为 ，
直线OF的解析式为 ，
设直线AD的解析式为 ，
，解得： ，
直线AD的解析式为 ，
，解得： ，
．
当 时， ，
，
，
直线OF的解析式为 ，
，解得： ，
，
综合以上可得F点的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【变式1-1】如图，抛物线 经过 ， 两点，且与 轴交于点 ，抛物线与直线 交于 ， 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点 ，使得 是以 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
（3） 点在 轴上且位于点 的左侧，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）存在， 或 ，理由见解析；（3） 或 ．
【解析】（1）将A、C的坐标代入 求出a、c即可得到解析式；
（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，
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与x轴交于Q，与y轴交于Q’，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q’与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q’坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；
（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设 ，由相似得到 或 ，建立方程求解即可．
【详解】（1）将 ， 代入 得：
，解得
∴抛物线解析式为
（2）存在，理由如下：
联立 和 ，
，解得 或
∴E点坐标为(4,-5)，
如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q’，
此时Q点与Q’点的坐标即为所求，
设Q点坐标(0,x)，Q’坐标(0,y)，
由QA=QE，Q’A= Q’E得：
，
解得 ，
故Q点坐标为 或
（3）∵ ，
∴ ，
当 时，解得 或3
∴B点坐标为(3,0)，
∴
∴ ， ， ，
由直线 可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)
∴∠BAE=45°
设 则 ，
∵ 和 相似
∴ 或 ，即 或
解得 或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，已知抛物线 (m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.
（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）点H的坐标为（1， ）；（3）当m= 时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.
【解析】
分析：
（1）把点（2，2）代入 中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由（1）中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H，根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标；
（3）由解析式 可得点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB和∠ABM是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.
详解：
（1）把点（2，2）代入抛物线，
得2= .
解得m=4.
∴抛物线的解析式为 .
（2）令 ，解得 .
则A（-2，0），B（4，0）.
对称轴x=- .
∵ 中当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）.
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH的值最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y= .
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2020中考物理考点提升训练专题一透镜及其应用试题（附答案）
2020中考物理考点提升训练专题一透镜及其应用试题（附答案）,中考物理考点提升训练,莲山课件.
