2020中考数学压轴题揭秘专题18创新型与新定义综合问题试题（附答案）
2020中考数学压轴题揭秘专题18创新型与新定义综合问题试题（附答案）,中考数学压轴题专题,莲山课件.
专题17二次函数的面积问题
【考点1】二次函数的线段最值问题
【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣ x2+ x+3；（2）最大值是 ．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得， ，
解得， ，
抛物线的函数表达式为y＝﹣ x2+ x+3；
（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
由勾股定理得，BC＝ ＝5，
设直线BC的解析是为y＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴直线BC的解析是为y＝﹣ x+3，
设点M的坐标为（a，﹣ a+3），
DM＝（﹣ a2+ a+3）﹣（﹣ a+3）＝﹣ a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴ ，即 ＝ ，
解得，DE＝ DM
∴DE＝﹣ a2+ a＝﹣ （a﹣2）2+ ，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是 ．
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式1-1】．已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.
【解析】
【分析】
（1）化为顶点式即可求顶点坐标;
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，
mx2+mx=0，mx（x+1）=0，
∵m≠0，
∴x1=0，x2=-1．
∴抛物线与直线有两个交点．
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图1，当-1≤t≤0时，PQ= = ．
∵m＞0，
当 时，PQ有最大值，且最大值为 ．
∵0＜m≤3，∴ ≤ ，即PQ的最大值为 ．
②如图2，当0＜t≤1时，PQ= = ．
∵m＞0，
∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．
综上所述，PQ的最大值为6．
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．
【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（ ， ）；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】
解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，
2020中考物理考点提升训练专题一透镜及其应用试题（附答案）
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∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，
∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.
∵直线OB的解析式为y=﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB= （﹣n2+3n）=﹣ （n﹣ ）+ ，
当n= 时，S△OPB的最大值为 ．
此时y=﹣n2+2n= ，
∴P（ ， ）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立 ，
∴﹣（x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD= ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.
【考点2】二次函数的面积定值问题
【例2】已知二次函数 ．
（1）图象经过点 时，则 _________；
（2）当 时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）以抛物线 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 （M，N两点在抛物线上），请问： 的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）m≥2；（3） 的面积是与m无关的定值，S△AMN＝ .
【解析】
【分析】
（1）将点 代入二次函数解析式即可求出m；
（2）求出二次函数的对称轴为x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求出m的取值范围；
（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN的面积是与m无关的定值．
【详解】
解：（1）将点 代入 可得： ，
解得：m=4；
（2）二次函数 的对称轴是：x＝m，
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
∴m≥2；
（3） 的面积是与m无关的定值；
如图：顶点A的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B，
∵tan∠AMB＝tan60°＝ ，
∴AB＝ BM＝ BN，
设BM＝BN＝a，则AB＝ a，
∴点M的坐标为（m＋a， a−m2＋4m−8），
∵点M在抛物线上，
∴ a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，
整理得： ，
解得：a＝ 或a＝0（舍去），
∴△AMN是边长为 的正三角形，
∴AB=3，S△AMN＝ ，与m无关.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．
【变式2-1】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【答案】（1）y=﹣ x2+ x+2；(2)见解析；（3）见解析.
【解析】
【详解】
分析：（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
详解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2；
（2）抛物线y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ，
∴D（1， ），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4， ）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣ ）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2， ）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得： ，
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2020中考物理考点提升训练专题二质量与密度试题（附答案）
2020中考物理考点提升训练专题二质量与密度试题（附答案）,中考物理考点提升训练,莲山课件.
