2020届高考文科数学复习练习题（二）：函数 专题训练

2020届高考文科数学复习练习题（三）：三角函数与解三角形 专题训练

2020届高考文科数学复习练习题（三）：三角函数与解三角形 专题训练,高考文科数学复习,三角函数与解三角形,莲山课件.

专题二  函  数

函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．

§2－1  函    数

【知识要点】

要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．

1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．

2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．

其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．

3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．

【复习要求】

1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．

2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．

3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．

4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．

【例题分析】

例1  设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2^x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．

【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2^x＋x．

所以，2的象是2²＋2＝6；

设象20的原象为x，则x的象为20，即2^x＋x＝20．

由于x∈N，2^x＋x随着x的增大而增大，又可以发现2⁴＋4＝20，所以20的原象是4．

例2  设函数则f(1)

＝
______
；若
f(0)
＋
f(
a)
＝－
2
，则
a
的所有可能值为______
．

【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．

所以f(1)＝3．

又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，

当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；

当a＞0时，由－a²＋2a＋2＝－1，即a²－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．

综上，a＝0或a＝3．

例3  下列四组函数中，表示同一函数的是(    )

(A) (B)

(C) (D)

【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．

【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．

一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．

例4  求下列函数的定义域

(1) (2)

(3) (4)

解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．

所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．

(2)由x²＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．

所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．

(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，

所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}

(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．

所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．

例5  已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x²)的定义域．

【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x²)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．

例6  如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．

解：根据题意，AB＝2x．

所以，

根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解

所以，所求函数定义域为

【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．

(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．

中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tanx，则，k∈Z．

(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．

(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．

另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．

例7  (1)已知，求f(x)的解析式；

(2)已知，求f(3)的值；

(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；

(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2^x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．

【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．

方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，

方法二．设，则．则，所以

这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．

(2)用“凑型”的方法，

(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，

所以，可设f(x)＝a(x－1)²－1，

又f(0)＝2，所以a(0－1)²－1＝2，所以a＝3．

f(x)＝3(x－1)²－1＝3x²－6x＋2．

(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．

设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，

所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝2^2－x，

所以，f(x)＝2^2－x．

【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．

值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．

例8  已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．

解：解法一

设f(x)＝ax²＋bx＋c，

由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；

由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；

由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax²＋bx＋c＝0的根．

所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．

f(x)＝x²－2x－3．

解法二

因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．

所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，

又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．

即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x²－2x－3．

【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．

二次函数的解析式有三种形式：

一般式y＝ax²＋bx＋c；

顶点式y＝a(x－h)²＋k，其中(h，k)为顶点坐标；

双根式y＝a(x－x₁)(x－x₂)，其中x₁，x₂为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．

例9  某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为akW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．

经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?

解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至

故电力部门的收益为．

(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，

且0.55≤x≤0.75，

解得0.60≤x≤0.75．

所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．

练习2－1

一、选择题

1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝(    )

(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)

2．图中的图象所表示的函数的解析式为(    )

(A)

(B)

(C)

(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)

3．已知f(x－1)＝x²＋2x，则(    )

(A) (B) (C) (D)

4．已知若f(x)＝3，则x的值是(    )

(A)0 (B)0或 (C) (D)

二、填空题

5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．

6．函数的定义域是______．

7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．

8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2^x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．

三、解答题

9．已知f(x)＝2^x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．

10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax²＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．

11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm²)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．

§2－2  函数的性质

【知识要点】

函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．

本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．

1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．

设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．

由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：

奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．

2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x₁，x₂，改变量x＝x₂－x₁＞0，则

当y＝f(x₂)－f(x₁)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；

当y＝f(x₂)－f(x₁)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．

3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

【复习要求】

1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；

2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．

3．了解函数周期性的含义．

4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．

【例题分析】

例1  判断下列函数的奇偶性．

(1) (2)

(3)f(x)＝x³－3x； (4)

(5)

解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．

(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．

(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)³－3(－x)＝－x³＋3x＝－f(x)，

所以此函数为奇函数．

(4)解，得－1＜x＜1，

又

所以此函数为奇函数．

(5)函数的定义域为R，又，

所以此函数为奇函数．

【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：

①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；

②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；

③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．

判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：

①判断函数的定义域是否关于原点对称；

②考察f(－x)与f(x)的关系．

由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．

例2  设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：

①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x²)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．

其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)

【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．

②令F(x)＝xf(x²)，则F(－x)＝－xf[(－x)²]＝－xf(x²)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．

③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．

④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．

所以，②④为奇函数．

例3  设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．

解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，

再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，

故f(x)是奇函数而非偶函数．

【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．

令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．

总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．

例4  已知二次函数f(x)＝x²＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．

解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，

所以，b＝－2．

根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，

所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．

例5  已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x²－2x，

(1)求f(－1)的值；

(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．

解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1²－2×1)＝1．

(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)²－2(－x)]＝－x²－2x．

方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)²－2(－x)，所以y＝－x²－2x．

例6  用函数单调性定义证明，函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．

证明：设，且x₁＜x₂

f(x₂)－f(x₁)＝(ax₂²＋bx₂＋c)－(ax₁²＋bx₁＋c)＝a(x₂²－x₁²)＋b(x₂－x₁)

＝a(x₂＋x₁)(x₂－x₁)＋b(x₂－x₁)＝(x₂－x₁)[a(x₁＋x₂)＋b]

因为x₁＜x₂，所以x₂－x₁＞0，又因为，

所以，所以f(x₂)－f(x₁)＞0，

函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．

例7  已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．

(1)比较f(a²＋2)与f(2a)的大小；

(2)若f(a²)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．

解：(1)因为a²＋2－2a＝(a－1)²＋1＞0，所以a²＋2＞2a，

由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a²＋2)＞f(2a)．

(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a²)＞f(a＋6)，所以a²＞a＋6，

解得a＞3或a＜－2．

【评析】回顾单调增函数的定义，在x₁，x₂为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x₂－x₁的符号；y＝f(x₂)－f(x₁)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．

由定义可知：对于任取的x₁，x₂，若x₂＞x₁，且f(x₂)＞f(x₁)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；

不仅如此，若x₂＞x₁，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x₂)＞f(x₁)；

若f(x₂)＞f(x₁)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x₂＞x₁；

于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．

函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．

例8  设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．

(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；

(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．

解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，

又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．

(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，

因为m＋n＜0，所以n＜－m，

因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，

所以f(n)＞f(－m)，

因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，

所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．

例9  函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x²，x∈[－1，1]．

(1)求f(7.5)的值；

(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．

解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．

所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．

(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．

所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)²，x∈[2n－1，2n＋1]．

练习2－2

一、选择题

1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是(    )

(A)y＝x²－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x²＋2x

2．下列判断正确的是(    )

(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数

(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数

(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数

(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数

3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝(    )

(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－1

4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(    )

(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数

(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数

二、填空题

5．若函数f(x)＝4x²－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)的取值范围是______．

6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x⁴，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．

7．设函数为奇函数，则实数a＝______．

8．已知函数f(x)＝x²－cosx，对于上的任意x₁，x₂，有如下条件：

①x₁＞x₂；  ②  ③｜x₁｜＞x₂．

其中能使f(x₁)＞f(x₂)恒成立的条件序号是______

三、解答题

9．已知函数f(x)是单调减函数．

(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；

(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．

10．已知函数

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．

11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．

(1)求f(1)，f(4)的值；

(2)试判断函数f(x)的单调性；

(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．

§2－3  基本初等函数(Ⅰ)

本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．

函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．

掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．

函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．

【知识要点】

1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)

(1)定义域为R，值域为R；

(2)图象如图所示，为一条直线；

(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；

(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．

(5)函数y＝kx＋b的零点为

2．二次函数：y＝ax²＋bx＋c(a≠0)

通过配方，函数的解析式可以变形为

(1)定义域为R：

当a＞0时，值域为；

当a＜0时，值域为；

(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．

当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．

(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；

当a＜0时，是增区间，是减区间．

(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．

(5)当判别式＝b²－4ac＞0时，函数有两个变号零点；

当判别式＝b²－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；

当判别式＝b²－4ac＜0时，函数没有零点．

3．指数函数y＝a^x(a＞0且a≠1)

(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．

(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；

(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．

4．对数函数y＝log_ax(a＞0且a≠1)，

对数函数y＝log_ax与指数函数y＝a^x互为反函数．

(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．

(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；

(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，

(4)函数的零点为1．

5．幂函数y＝x^α(^α∈R)

幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；

(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；

(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．

要注意：

因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，x^α＞0，所以所有的幂函数y＝x^α(^α∈R)在第一象限都有图象．

根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．

6．指数与对数

(1)如果存在实数x，使得xⁿ＝a (a∈R，n＞1，n∈N^＋)，则x叫做a的n次方根．

负数没有偶次方根．

；

(2)分数指数幂，

；

n，m∈N^*，且为既约分数)．

，且为既约分数)．

(3)幂的运算性质

a^maⁿ＝a^m＋n，(a^m)ⁿ＝a^mn，(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ，a⁰＝1(a≠0)．

(4)一般地，对于指数式a^b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log_aN，

即b＝log_aN(a＞0，且a≠1)．

(5)对数恒等式：＝N．

(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；

底的对数是1，1的对数是0．

(7)对数的运算法则及换底公式：

；

；

.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).

【复习要求】

1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x²，y＝x³，这五个具体的幂函数的图象与性质．

2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；

3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．

【例题分析】

例1  化简下列各式：

(1)； (2)；

(3)； (4)log₂[log₃(log₄64)]；

(5)．

解：(1)

(2)

(3)

(4)log₂[log₃(log₄64)]＝log₂[log₃(log₄4³)]＝log₂[log₃3]＝log₂1＝0．

(5)

【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．

例2  已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．

解：解法一

设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，依题意

解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x²＋4x＋7．

解法二

f(x)＝a(x－h)²＋k(a≠0)，

为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，

又f(x)的最大值为8，所以.

因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．

所以所求二次函数为.

例3  (1)如果二次函数f(x)＝x²＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．

(2)二次函数y＝ax²－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．

(3)函数f(x)＝x²＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．

解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，

画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，

于是有，解之得.

(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．

(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．

例4  已知函数f(x)＝mx²＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．

解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；

当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；

当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．

综上，m∈(－∞，1]．

【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．

例2、3、4  三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．

例5  (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b^ax的图象只可能是(    )

(2)函数y＝log_ax，y＝log_bx，y＝log_cx，y＝log_dx的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．

【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，

所以b^a＜b⁰＝1(根据以为底的指数函数的性质)，

所以y＝b^ax＝(b^a)^x应为减函数．

在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，

所以b^a＞b⁰＝1，所以y＝b^ax＝(b^a)^x应为增函数．

在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，

所以b^a＜b⁰＝1，所以y＝b^ax＝(b^a)^x应为减函数．与图形提供的信息相符．

在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，

所以b^a＞b⁰＝1，所以y＝b^ax＝(b^a)^x应为增函数．综上，选C．

(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log_ax，y＝log_bx，y＝log_cx，y＝log_dx的图象

依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，

显然，c＜d＜a＜b．

【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．

这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．

例6  已知幂函数．

(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，

因为k∈Z，所以k＝0，1，2，

又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x²．

(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，

解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．

例7  比较下列各小题中各数的大小

(1)；(2)lg2与lg(x²－x＋3)；(3)0.5^0.2与0.2^0.5；

(4)；(5)；(6)a^m＋a^－m与aⁿ＋a^－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)

【分析】(1)函数y＝log₂x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log₂0.6＜log₂1＝0，

函数y＝log_0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以

所以.

(2)由于，所以lg2＜lg(x²－x＋3)．

(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.5^0.2＞0.2^0.2＞0.2^0.5．

(4)因为.根据不等式的性质有

(5)因为

比较与log₃2，只需比较与log₃2，

因为y＝log₃x是增函数，所以只需比较与2的大小，

因为，所以，所以，

综上，

(6)，

当a＞1时，因为m＞n＞0，a^m＞aⁿ，a^m＋n＞1，所以a^m＋a^－m＞aⁿ＋a^－n；

当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a^m＜aⁿ，a^m＋n＜1，所以a^m＋a^－m＞aⁿ＋a^－n．

综上，a^m＋a^－m＞aⁿ＋a^－n．

例8  已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．

【分析】方法一(作商比较法)

，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．

方法二(作差比较法)

，

因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．

方法三(构造函数)

令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，

因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，

y_最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．

【评析】两个数比较大小的基本思路：

如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．

如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．

例9  若log₂(x－1)＜2，则x的取值范围是______．

解：log₂(x－1)＜2，即log₂(x－1)＜log₂4，

根据函数y＝log₂x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，

结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．

例10  已知A，B为函数y＝log₈x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log₂x的图象交于C，D两点．

(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．

(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．

略解：(1)设A(x₁，log₈x₁)，B(x₂，log₈x₂)，

由于A，B，O在同一条直线上，所以

又设C(x₁，log₂x₁)，D(x₂，log₂x₂)，于是有

同样可得

结合①式，有k_OC＝k_OD，即C，D，O三点共线．

(2)当BC∥x轴时，即

代入①式中可得，于是

练习2－3

一、选择题

1．已知集合M＝{－1，1}，，则M∩N＝(    )

(A){－1，1} (B){－1} (C){0} (D){－1，0}

2．设，则使函数y＝x^a 的定义域为R且为奇函数的所有a 的值为(    )

(A)1，3 (B)－1，1 (C)－1，3 (D)－1，1，3

3．已知0＜a＜1，log_am＜log_an＜0，则(    )

(A)1＜n＜m (B)1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D)n＜m＜1

4．已知函数f(x)＝ax²＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x₁＜x₂，x₁＋x₂＝1－a，则(    )

(A)f(x₁)＞f(x₂) (B)f(x₁)＜f(x₂)

(C)f(x₁)＝f(x₂) (D)f(x₁)与f(x₂)的大小不能确定

二、填空题

5．的值是______．

6．若函数y＝f(x)是函数y＝a^x(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则f(x)＝______．

7．设则＝______．

8．对于函数f(x)定义域中任意的x₁，x₂(x₁≠x₂)，有如下结论：

①f(x₁＋x₂)＝f(x₁)·f(x₂)；②f(x₁·x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)；

③；④

当f(x)＝lgx时，上述结论中正确结论的序号是______．

三、解答题

9．计算下列各式的值：

(1)； (2)；

(3)； (4).

10．二次函数f(x)的顶点是P(4，3)，图象交x轴于A，B两点，且三角形PAB的面积为6，求f(x)的解析式．

11．已知函数f(x)是函数g(x)＝a^x的反函数，且(－1，2)在y＝g(x)的图象上．

(1)求f(x)的表达式；

(2)若｜f(m)｜＝｜f(4)｜(m＞0)，求m的值．

§2－4  函数的图象

在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．

【知识要点】

作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．

常用的函数图象变换有：

1．平移变换

y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．

y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．

2．对称变换

y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．

y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．

3．翻折变换

y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．

y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．

【复习要求】

1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．

2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．

3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．

【例题分析】

例1  做出下列函数的图象：

(1)y＝log₂(x＋1)；(2)y＝2^x＋1－1．

答：(1)将y＝logx的图象左移1个单位，得到函数y＝log(x＋1)的图象；

(2)将y＝2^x的图象左移1个单位，得到函数y＝2^x＋1的图象，再将y＝2^x＋1的图象向下平移一个单位得到函数y＝2^x＋1－1的图象．

例2  作函数的图象．

【分析】方法一(描点法)

分析函数的性质，得

定义域：x≠±1；

当｜x｜＞1时，y＞0；

当0≤｜x｜＜1时，－1≤｜x｜－1＜0，所以y≤－1．

2020届高考文科数学复习练习题（一）：集合与常用逻辑用语 专题训练

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与坐标轴的交点：(0，－1)；

对称性：偶函数，关于y轴对称；

单调性：当x＞1时，是减函数；

用同样的方法可得[0，1)为函数的减区间；(－∞，－1)，(－1，0)为函数的增区间．结合上面的分析，经过简单的描点作图可得如右图所示的函数图象．

方法二(函数图象变换法)

先作函数的图象，再作的图象，再作的图象．如下图：

【评析】作函数图象之前，先对函数的性质作些研究是必要的，它可以简化作图过程．比如在明确本题函数为偶函数之后，就只需做出的图象了．

函数图象是函数规律的直接表现，函数性质对函数规律进行了理论上的刻画，两者之间是具体与抽象的两方面，它们相互支撑，是学习、研究函数的两个入手点．

对于方法二，有些学生用这种方法易出现的错误是：先作函数的图象，再作的图象，再作的图象．

在这个过程中，由变到时，误以为应遵循y＝f(x)变化到y＝f(x－1)的规律．事实上，若，则，直接变换得不到要得的函数图象．

例3  若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝a^x＋b的图象一定不过 (    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】将y＝a^x(a＞1)图象向下平移｜b｜个单位(0＜｜b｜＜1)，依图象可知函数y＝a^x＋b的图象一定不过第四象限．选D．

例4  已知f(x)＝｜2^x－1｜，且a＜b＜c＜0，则f(a)、f(b)、f(c)的大小关系为______．

【分析】先画y＝2^x的图象；然后将图象下移一个单位得到y＝2^x－1的图象；最后将x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，原x轴上方的图象不变，就得到了f(x)＝｜2^x－1｜的图象．

函数f(x)的图象如图所示．

所以f(x)在(－∞，0]是减函数，

所以，a＜b＜c＜0

所以f(a)＞f(b)＞f(c)．

例5  函数y＝－xcosx的部分图象是(    )

【分析】对于函数f(x)＝－xcosx，x∈R，

f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数，否定(A)(C)选项．

又，当时，f(x)＜0，

所以f(x)在原点右侧附近时值为负，否定(B)选项．于是选(D)．

例6  已知函数f(x)是定义在(－3，3)上的偶函数，当0≤x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式解集是______．

【分析】根据偶函数图象关于y轴对称，补全函数f(x)在(－3，3)上的图象．

解不等式f(x)≤0，就是“找到”使得f(x)≤0的所有的x，就是在函数y＝f(x)的图象上找到使得纵坐标小于或等于零的所有自变量．

根据补全的f(x)图象，识图可得不等式f(x)≤0解集为{x｜－3＜x≤－1或1≤x＜3}．

思考：如果问“不等式xf(x)＜0解集是______．”该怎样利用已知函数的图象呢?

答：{x｜－1＜x＜0或1＜x＜3}．

例7  在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图象如图所示，给出下列说法：

①前5分钟温度增加的速度越来越快；

②前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③5分钟后温度保持匀速增加；

④5分钟后温度保持不变．

其中说法正确的是______．

【分析】5分钟后温度保持不变，这一点通过图象易于判断．

前5分钟的情况，通过图象可以看到每分钟的变化率越来越小，于是变化速度是越来越慢的．所以②④正确．

例8  已知函数，求证：函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称图形．

证明：设P(x₀，y₀)是函数的图象上任意一点，则

，设P(x₀，y₀)关于(1，2)的对称点为Q(x₁，y₁)，

根据中点坐标公式得

以下只需证明Q(x₁，y₁)也在函数y＝f(x)的图象上．

因为

而所以y₁＝f(x₁)，即Q(x₁，y₁)在函数y＝f(x)的图象上．所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称图形．

练习2－4

一、选择题

1．将指数函数f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图的g(x)的图象，则f(x)＝(    )

(A)2^x (B)3^x

(C) (D)

2．已知a＞0，a≠1，函数y＝a^x，y＝log_a(－x)的图象是下面的(    )

3．已知f(x)＝｜log₃x｜，则下列不等式成立的是(    )

(A) (B) (C) (D)f(2)＞f(3)

4．函数的图象大致为(    )

二、填空题

5．如下图据新华社2002年3月12 日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中，从______年到______年的五年间增长最快．

6．函数y＝lg(－x)＋1的图象是由y＝lgx的图象____________得到的．

7．在函数f(x)＝lg(1＋x²)，，中，图象关于y轴对称的是______．

8．已知函数在(－∞，＋∞)上单调递减，那么实数a的取值范围是______.

三、解答题

9．作出函数的图象．

10．设函数f(x)＝－4x＋b，且不等式｜f(x)｜＜k的解集为{x｜－1＜x＜2}．

(1)求b，k的值；

(2)证明：函数的图象关于点对称．

11．已知函数，求证：

(1)函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x成轴对称图形；

(2)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴．

§2－5  函数的最值

最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．

函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的．

【知识要点】

本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．

1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．

2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有：

(1)通过作出函数图象变成第1类问题；

(2)通过换元法转化成第1类问题；

(3)利用平均值定理求最值；

(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)；

(5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等．

【复习要求】

从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．

【例题分析】

例1  求下列函数在给定区间上的值域．

(1)y＝2x－1，x∈[－2，3)； (2)y＝x²－2x，x∈(－2，2)；

(3)

【分析】分别画出三个函数的图象，看在给定区间内图象上点的纵坐标的范围．

根据上面的简图，观察得出：

(1)函数的值域为[－5，5)；

(2)函数的值域为[－1，8)；

(3)函数的值域为

例2  求下列函数的最值．

(1)求函数y＝2^|x|，x∈[－2，1]的最大、最小值；

(2)求函数y＝sin²x－2sinx－3的最大、最小值；

(3)求函数的最大、最小值；

(4)求函数的最小值；

(5)求函数的最小值．

略解：(1)利用图象变换的知识作出函数y＝2^｜x｜的图象(如下图)，观察在区间[－2，1]上函数值的取值情况，得函数的最大值为4，最小值为1．

(2)设t＝sinx，因为x∈R，所以t∈[－1，1]，于是，原函数最大最小值问题转化为求函数y＝t²－2t－3，t∈[－1，1]的最大最小值问题．用例1作图观察的方法，可得最大值为0，最小值为－4．

(3)解－x²＋x＋2≥0可得－1≤x≤2，即函数的定义域为{x｜－1≤x≤2}．

设t＝－x²＋x＋2，则y＝，

由t＝－x²＋x＋2，－1≤x≤2，可得，

由y＝，，可得.

所以，函数的最大值为，最小值为0．

(4)解－x²＋x＋2＞0可得－1＜x＜2，即函数的定义域为{x｜－1＜x＜2}．

设t＝－x²＋x＋2，则

由t＝－x²＋x＋2，－1＜x＜2，可得，

由，，可得.

所以，函数的最小值为．

(5)因为x＞0，所以，当且仅当即时等号成立．

所以，函数的最小值为.

例3  求函数的最大、最小值．

【分析】设x₂＞x₁＞0，则x＝x₂－x₁＞0，

因为x₂－x₁＞0，x₁x₂＞0，

所以，只需分析x₁x₂－3的符号．

观察上式可知，只有当x₁，x₂∈[，＋∞)时，才能保证当x₁，x₂在区间[，＋∞)内任意取值时x₁x₂－3＞0；同时，只有当x₁，x₂∈(0，]时，才能保证当x₁，x₂在区间(0，]内任意取值时x₁x₂－3＜0．

所以，函数在区间(0，]上是减函数，在区间[，＋∞)上是增函数．

所以，函数的最小值为f()＝2．

又，f’(4)＞f(1)，所以函数的最大值为.

综上，函数的最大、最小值分别为

另外，本题更适合用导数研究函数的单调性，进而求函数的最大、最小值．

由已知，解f‘(x)＞0得或，

注意到定义域为{x｜x≠0}，可得f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为．之后的解法同上．

【评析】请认真体会在知识要点中提到的求值域的方法在例1例2例3中的具体应用．

最简单也重要的是会利用基本函数的图象观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例1；利用图象变换得到图象进而观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例2(1)．

“换元法”求值域无非是通过换元，将复合函数的值域问题变成两个基本初等函数的值域问题，如例2(2)、(3)、(4)；

例3  通过讨论函数的单调性，进而求函数的最大最小值，这是解决函数最值问题的实质性方法．前面用到的其他方法无非是我们知道函数的图象，可以观察函数的单调性，不需要自己讨论而已．当然，有了导数的知识之后研究函数的单调性将更为便捷．

例2  (5)利用均值定理求函数的最值，这种方法可以解决一些解析式为特殊形式的函数最值问题．如y＝(其中a，b同号)；uv＝常数，求y＝u＋v的最值；u＋v＝常数，求y＝uv的最值，等等．

用均值定理求最值要注意条件：“正”“定”“等”．如利用求最值应满足：①a＞0，b＞0；②a＋b或ab为定值；③a＝b可以成立．三个条件缺一不可．

例4  下列函数中值域为(0，＋∞)的是(    )

(A) (B)

(C) (D)

解：根据幂函数的图象，的值域为[0，＋∞)；

根据均值定理，的值域为[2，＋∞)；

y＝lnx，x∈[e，＋∞)的值域为[1，＋∞)；

因为，所以值域为(0，＋∞)．选D．

例5  函数y＝a^x在[0，1]上的最大值与最小值之差为，则a的值为______．

解：当a＞1时，函数y＝a^x在[0，1]上是增函数，依题意．

当0＜a＜1时，函数y＝a^x在[0，1]上是减函数，依题意．

综上，a的值为或．

例6  建一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池，如果池底造价是120元／平方米，池壁的造价是80元／平方米，求当池底宽为多少米的时候水池的总造价最低，并求出最低造价是多少．

解：设BC＝x(米)，则(米)，其中x＞0，

所以底面积为4平方米，造价为120×4＝480(元)．

左、右两侧面造价为80×2×2x＝320x(元)，

前、后两侧面造价为(元)．

所以.

当且仅当，即x＝2(米)时等号成立，

所以，当池底宽为2米的时候水池的总造价最低．

【评析】例4、5、6是函数最值问题的直接应用，注意体会求最值方法的简单应用．

例7  已知f(x)＝log_a(1＋x)(其中a＞1)，且在区间[1，＋∞)上f(x)＞2恒成立，求实数a的取值范围．

解：因为log_a(1＋x)＞2在[1，＋∞)上恒成立．

所以log_a(1＋x)＞log_aa²在[1，＋∞)上恒成立，

因为a＞1，所以a²＜1＋x在[1，＋∞)上恒成立．

所以a²＜2(注：因为a²应小于1＋x在[1，＋∞)上的最小值．)

即，结合a＞1，得．

所以a的取值范围是．

例8  定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)≥M(M为常数)，那么称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界．现给出下列函数：

①f(x)＝cosx；②f(x)＝lnx；③f(x)＝3^x；④

其中有下确界的函数是____________．

略解：①因为函数f(x)＝cosx的值域为[－1，1]，即f(x)≥－1，所以下界M的集合为{M｜M≤－1}，所以M中的最大值为－1，有下确界．

②因为函数f(x)＝lnx的值域为R，不存在M，使得对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)≥M，所以这个函数没有下确界．

③因为函数f(x)＝3^x的值域为(0，＋∞)，即f(x)＞0，所以下界M的集合为{M｜M≤0}，所以M中的最大值为0，有下确界．

④因为函数的值域为{－1}∪(0，＋∞)，所以f(x)≥－1，同①，有下确界．

所以，填①③④．

【评析】例7、8是最值问题较灵活的应用．

例7中的“恒成立”问题往往和“最值”问题联系在一起，而且常常用到“分离变量”这一变形方法．

在此题中，“a²＜1＋x在[1，＋∞)上恒成立．”就是最终的“分离变量”的形式．“a²应小于1＋x在[1，＋∞)上的最小值．”就是在将恒成立的问题转化成了最值的问题．

例9  有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别记为p(万元)和q(万元)，它们与投入的资金M(万元)的关系近似满足下列公式：现有a(a＞0)万元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元?获得的最大利润是多少万元?

解：设对乙种商品投资x万元，总利润为y万元，则对甲种商品投资(a－x)万元．依题意，得：

设，则

所以，其中.

①当即时，此时即;

②当，即时，此时即x＝a．

所以当时，应对乙种商品投资万元，对甲种商品投资万元，可获得最大利润万元；当时，应对乙种商品投资a万元，不对甲种商品进行投资，可获得最大利润万元．

例10  已知函数f(x)＝－x²＋3x＋1，x∈[m，m＋1]．

(1)求f(x)的最大值g(m)；

(2)当m≥1，求g(m)的最大值．

解：(1)当，即时，g(m)＝f(m＋1)＝－m²＋m＋3；

当时，即时，；

时，g(m)＝f(m)＝－m²＋3m＋1．所以，

(2)当时，，当时，g(m)＝－m²＋3m＋1的最大值为，

综上，当m≥1，g(m)的最大值为.

练习2－5

一、选择题

1．下列函数中值域为(0，＋∞)的是(    )

(A) (B) (C) (D)

2．函数y＝－x²＋2ax＋1的最大值小于2，则a的取值范围是(    )

(A)a＜1 (B)a＞－1 (C)a＜2 (D)－1＜a＜1

3．函数(x＞0)取得最大值时的自变量x等于(    )

(A) (B) (C)1 (D)3

4．对于f(x)定义域内的任意一个自变量x₁，都存在唯一一个自变量x₂使成立的函数是(    )

(A)f(x)＝3lnx (B)

(C)f(x)＝e^x (D)y＝2x

二、填空题

5．已知f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x＞0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是______．

6．设A＝[1，b](b＞1)，函数f(x)＝(x－1)²＋1(x∈A)，若f(x)的值域也是A，则b的值是______．