天津市实验中学2021届高三数学上学期第一次阶段试题（Word版附解析）
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成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试
数学试卷（文科）
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 的模是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且点 到直线 的距离是线段 长度的2倍，则线段 的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6
6．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ， 为锐角，且满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．要做一个圆锥形漏斗，其母线为20，要使其体积最大，则其高为（ ）
A． B．100 C．20 D．
9．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列 满足 ， ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第 行有 个数， ），从左至右第 行第 个数记为 （ ， 且 ），则 （ ）．
A． B． C． D．
11．已知函数 ，其中 ， ， 恒成立，且 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．己知函数 的定义域为 ，若对任意的 ， ， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）
13．在空间直角坐标系 中，记点 在 平面内的正投影为点 ，则 ________．
14．已知 ， 满足 ，则 的最大值为________．
15．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ，若 ， ，则 的值为________．
16．已知椭圆 与双曲线 共焦点， 、 分别为左、右焦点，曲线 与 在第一象限交点为 ，且离心率之积为1．若 ，则该双曲线的离心率为________．
三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）
17．（本题12分）设数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，点 在直线 上， ．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．（本题12分）如图，四棱锥 中，平面 底面 ， 是等边三角形，底面 为梯形，且 ， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求 到平面 的距离．
19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 与尺寸 之间近似满足关系式 （ ， 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸
38 48 58 68 78 88
质量
16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比
0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3 24.6 18.3 101.4
根据所给统计量，求 关于 的回归方程．
附：对于样本 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ， ．
20．（本题12分）设函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
（2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围．
21．（本题12分）如图，设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上， ， ， 的面积为 ．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在 轴上的圆，使圆在 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．
（22题与23题为选做题，二选一）
22．（本题10分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ， ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求线段 的长度 ．
23．（本题10分）已知函数 ， 为不等式 的解集．
（1）求 ；
（2）证明：当 ， 时， ．
成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试
数学试卷（理科）答案
1-5：CBCBD 6-10：BBABA 11-12：AB
13． 14． 15．1或3 16．
17．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（1）由 可得 ，两式相减得 ．
又 ，所以 ．
故 是首项为1，公比为3的等比数列．所以 ．
由点 在直线 上，所以 ．
则数列 是首项为1，公差为2的等差数列．则 ．
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
则 ，
两式相减得：
∴
18．【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得 ，
∴ ，∴ ， ，∵ ，
云南师范大学附属中学2021届高三数学（理）高考适应性月考试卷（一）（Word版附答案）
云南师范大学附属中学2021届高三数学（理）高考适应性月考试卷（一）（Word版附答案）,高三数学高考适应性月考试卷,云南师范大学附属中学,莲山课件.
∴ ．
又平面 底面 ，平面 底面 ， 底面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
（Ⅱ）设 到平面 的距离为 ．
取 中点 ，连结 ，∵ 是等边三角形，∴ ．
又平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ，
∴ 底面 ，且 ，
由（Ⅰ）知 平面 ，又 平面 ，∴ ．
∴ ，即 ．
解得 ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】由已知，优等品的质量与尺寸的比
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为 ， ， ，
有3件为非优等品，记为 ， ， ，
现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
选中的两件均为优等品的事件为 ， ， ，
所求概率为 ．
（Ⅱ）对 两边取自然对数得
令 ， ，则 ，且
由所给统计量及最小二乘估计公式有：
，
由 得 ，
所以 关于 的回归方程为 ．
20．【答案】（1） 的值为1；（2） 的取值范围是 ．
【解析】（1）因为 ，
所以
．
．
由题设知 ，即 ，解得 ．此时 ．
所以 的值为1．
注：没验证 要酌情扣分
（2）由（1）得 ．
若 ，则当 时， ；当 时， ．
所以 在 处取得极小值．
若 ，则当 时， ， ，所以 ．
所以2不是 的极小值点．
综上可知， 的取值范围是 ．
21．【答案】（1） ；（2）存在满足条件的圆，其方程为 ．
【解析】（1）设 ， ，其中 ，
由 得
从而 ，故 ．
从而 ，由 得 ，因此 ．
所以 ，故 ，
因此，所求椭圆的标准方程为：
（2）如图，设圆心在 轴上的圆 与椭圆 相交， ， 是两个交点， ， ， ， 是圆 的切线，且 由圆和椭圆的对称性，易知 ，
．
由（1）知 ， ，所以 ， ，再由
得 ，由椭圆方程得 ，即 ，
解得 或
当 时， ， 重合，此时题设要求的圆不存在．
当 时，过 ， 分别与 ， 垂直的直线的交点即为圆心 ，设
由 ，得 ，而 ，故
圆 的半径
综上，存在满足条件的圆，其方程为： ．
22．【答案】（1） （ 或 ）；（2） ．
【解析】（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
将①式两边平方，得 ③，
③ ②，得 ，即 ，
因为 ，当且仅当 ，
即 时取“ ”，
所以 ，即 或 ，
所以曲线 的普通方程为 （ 或 ）．
（2）因为曲线 的直角坐标系方程为 （ 或 ），
所以把 代入得： ， ，
则曲线 的极坐标方程为 ，
设 ， 的极坐标分别为 ， ，由
得 ，即 ，且
因为 ，∴ 或 ，
满足 ，不妨设 ，
所以 ．
注：没考虑 要酌情扣分
23．【解析】（1）
所以不等式的解集为 ．
（2）要证 ，只需证 ，
即证 ，只需证 ，即 ，
即证 ，只需证
因为 ， ，所以 ，
所以所证不等式成立．
云南师范大学附属中学2021届高三数学（文）高考适应性月考试卷（一）（Word版附答案）
云南师范大学附属中学2021届高三数学（文）高考适应性月考试卷（一）（Word版附答案）,高三数学高考适应性月考试卷,云南师范大学附属中学,莲山课件.
