八年级数学上册15.3分式方程第2课时分式方程的应用教案（新人教版）
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15．3 分式方程
第1课时 分式方程的解法
1．理解分式方程的意义．
2．理解解分式方程的基本思路和解法．
3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．
重点
解分式方程的基本思路和解法．
难点
理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？
[分析]设江水的流速为x千米/时，根据题意，得＝.①
方程①有何特点？
[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．
提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？
辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1)x＋y＝5；(2)＝；(3)；(4)＝0；(5)＋2x＝5.
根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
二、探究新知
1．思考：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
[可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结]
方程①可以解答如下：
方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)．
解这个整式方程，得v＝6.
所以江水的流度为6千米/时．
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[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
2．例1 解方程：＝.②
解：方程两边同乘(x2－25)，约去分母，得x＋5＝10.
解这个整式方程，得x＝5.事实上，当x＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x－5)与(x2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．
解分式方程的步骤：
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．
3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v＝6.当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5.当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
4．验根的方法：
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．
如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分式方程的增根．
三、举例分析
例2(教材例1) 解方程＝.
解：方程两边乘x(x－3)，得2x＝3x－9.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝9.
例3(教材例2) 解方程－1＝.
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
四、课堂小结
1．分式方程：分母中含有未知数的方程．
2．解分式方程的一般步骤如下：
五、布置作业
教材第154页习题15.3第1题．
本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法，使学生的思维得到发挥，但要提醒学生注意对增根的理解．
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