2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点03 绝对值
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点03 绝对值,初一数学高频考点,绝对值,莲山课件.
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点04 有理数的加减法
知识框架
基础知识点
知识点4. 1 有理数的加法
有理数分为2个部分：符号+数值
因此，有理数的计算，我们需要完成2个工作。（1）判断符号；（2）计算数值
规律：①同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号相加，取绝对值大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数同0相加，结果仍然为0.
例1．（2020·山东省初一期末）下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则分别进行计算，即可得出答案．
【解析】A．（﹣7）+（﹣7）=﹣14，故本选项错误；B．（）+（），故本选项错误；
C．0+（﹣101）=﹣101，故本选项错误； D．（）+（）=0，故本选项正确．故选D．
【点睛】本题考查了有理数的加法计算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
例2．（2020·山东省初一期中）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）
A．9
B．10
C．12
D．13
【答案】C
【解析】由图可知S=3+4+5=12．故选C．
点睛：本题考查了有理数加法运算的应用，三个项分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．
例3．（2020·靖江外国语学校初一月考）下面结论正确的有（ ）
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②一个正数与一个负数相加得正数．
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和． ④两个正数相加，和为正数．
⑤两个负数相加，绝对值相减． ⑥正数加负数，其和一定等于0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】试题解析：∵①3+（-1）=2，和2不大于加数3，∴①是错误的；
从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0，∴②是错误的．
由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，可以得到③、④都是正确的．
⑤两个负数相加取相同的符号，然后把绝对值相加，故错误．
⑥-1+2=1，故正数加负数，其和一定等于0错误．正确的有2个，故选C．
例4．（2019·广东省初一月考）如果是有理数，则下列各式子成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．若，则
D．若，且，则
【答案】D
【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果．
【解析】A、如果那么，故A错误；
B、如果，那么不能判断的符号，故B错误；
C、若不能判断的符号，故C错误；
D、若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a＋b＜0，正确；故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例5．（2019·全国初一课时练习）用“＞”或“＜”填空：
（1）如果a＞0，b＞0，那么a+ b 0；
（2）如果a＜0，b＜0，那么a+ b 0；
（3）如果a＞0，b＜0，|a|＞| b |，那么a+ b 0；
（4）如果a＞0，b＜0，|a|＜| b |，那么a+ b 0．
【答案】（1）＞，（2）＜，（3）＞，（4）＜．
【分析】这是一组根据有理数的加法法则判断“和”的符号的题，我们只要分别按照有理数加法中“同号两数相加”和“异号两数相加”的法则去判断就可以了；
【解析】（1）∵a＞0，b＞0，∴ a+b＞0，故答案为＞．
（2）∵ a＜0，b＜0，∴a+b＜0，故答案为＜．
（3）∵ a＞0，b＜0，|a|＞|b|，∴ a+b＞0，故答案为＞．
（4）∵ a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴ a+b＜0，故答案为＜．
知识点4. 2 有理数的加法运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：a+b+c=a+（b+c）
例1．（2019·全国初一单元测试）计算：(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－35)＝[____＋____]＋[____＋____]＝(＋40)＋(－60)＝______.
【答案】(＋16) (＋24) (－25) (－35) －20
【分析】利用有理数加法交换结合律计算即可．
【解析】 (＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－35)＝[(＋16)＋(＋24)]＋[(－25)＋(－35)]
＝(＋40)＋(－60)
＝－20.
故答案为：(＋16)； (＋24)；(－25) ；(－35) ； －20.
【点睛】此题考查了有理数的加法运算，解题关键：正确使用加法的交换和结合律．
例2．（2020·全国初一课时练习）给下面的计算过程标明运算依据：
(＋16)＋(－22)＋(＋34)＋(－78)
＝(＋16)＋(＋34)＋(－22)＋(－78) ①
＝[(＋16)＋(＋34)]＋[(－22)＋(－78)] ②
＝(＋50)＋(－100) ③
＝－50. ④
①______________；②______________；③______________；④______________．
【答案】①加法互换律；②加法结合律；③有理数的加法法则；④有理数的加法法则
【分析】根据有理数加法法则，相关运算律：交换律：a+b=b+a；结合律（a+b）+c=a+（b+c）．依此即可求解．
【解析】第①步，交换了加数的位置；
第②步，将符号相同的两个数结合在一起；
第③步，利用了有理数加法法则；
第④步，同样应用了有理数的加法法则．
故答案为：加法交换律；加法结合律；有理数加法法则；有理数加法法则．
【点睛】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握计算法则，灵活运用运算律简便计算．
知识点4. 3 运用运算律简化计算
1）相反数结合——抵消
2）同号结合——符号易确定
3）同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）
4）凑整数
5）同行结合法——分数拆分为整数和分数
例1．（2019·全国初一课时练习）计算：＋(－2.16)＋8＋3＋(－3.84)＋(－0.25)＋．
【答案】．
【分析】根据加法的交换律和结合律可把互为相反数的项、相加得整数的项先相加，所得结果再根据加法法则计算即可．
【解析】原式＝
＝0+(－6)＋8＋＝．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算，属于基础题型，熟练掌握加法运算律和加法法则是解题的关键．
例2．（2019·郑州市第三中学）计算
（1）（﹣63）+17+（﹣23）+68； （2）3+（﹣）+（﹣3）+2；
（3）； （4）
【答案】-1；2；0；-4.
【分析】（1）多个有理数相加时，同号可优先相加，根据有理数加法法则计算；（2）多个有理数相加时，互为相反数的可优先相加，同分母的相加，根据有理数加法法则计算；（3）多个有理数相加先将减号变加号，减数变它的相反数,根据有理数加法法则计算；（4）多个有理数相加时，同分母的相加，根据有理数加法法则计算.
【解析】（1）（﹣63）+17+（﹣23）+68=[（-63）+（﹣23）]+（17+68）=（-86）+85=-1
（2）3+（﹣）+（﹣3）+2=[3+（﹣3）] +[（﹣）+2]=0+2=2
（3）=-8+2+(-12)+18=[-8+(-12)]+(2+18)=-20+20=0
（4）= =-7+3=-4.
【点睛】本题主要考查多个有理数相加相减的简便计算，解决本题的关键是要熟练利用有理数加法的运算律计算.
例3．（2020·全国初一课时练习）计算：
（1） （2）
（3） （4） .
【答案】（1）；（2）. （3）；（4）.
【分析】（1）、（2）根据有理数的加法法则，结合有理数的加法运算律进行计算即可.
（3）、（4）按有理数的加法法则，利用交换律，结合律，将分母相同的交换并结合在一起进行计算即可.
【解析】
（1）原式===.
（2）原式====.
（3）==-10=；
（4） =
==7+（-3）=.
【点睛】本题有以下两个解题要点：（1）熟记“有理数的加法法则”；（2）知道有理数的加法交换律和结合律，并能在解题中灵活应用.
例4．（2020·全国初一课时练习）计算：．
嘉嘉的做法如下：
[解]：原式①
②
③
…
嘉嘉发现自己的做法出错了，请指出从第几步开始错误，并写出正确的解题过程．
【答案】从第①步开始出错．正确的解题过程见解析
【分析】根据有理数的加法计算法则解答.
【解析】从第①步开始出错．正确的解题过程：
原式
.
【点睛】此题考查了有理数的加法计算法则，有理数加法的简便算法：将整数相加，将同分母的分数相加，将互为相反数的数相加，解此题时注意拆分方法：拆分带分数时易出现这样的错误，切记.
例5．（2019·全国初一课时练习）阅读下题的计算方法．
计算：
解：原式＝
＝＝0＋＝－．
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
【答案】，计算过程见解析
【分析】将各带分数依据已知题的拆分方法分别拆分，再将整数部分、分数部分分别相加，根据有理数的加法法则进行计算即可得到答案.
【解析】原式＝
＝[(－2 019)＋(－2 018)＋4 036＋(－1)]＋＝(－2)＋＝.
【点睛】此题考查了有理数的加法法则，利用拆分法进行计算，正确理解已知中的解题方法并正确解题是关键.
知识点4. 4 有理数减法的意义
有理数减法法则：减一个数，等于加上这个数的相反数
a-b=a+（﹣b）
例1．（2019·贵州省遵义十一中初一月考）下列结论错误的是（ ）
A．若a＞0，b＜0，则a-b＞0 B．a＜b，b＞0，则a-b＜0
C．若a＜0，b＜0，则a-（-b）＜0 D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a-b＞0
【答案】D
【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项进行分析判断即可求解．
【解析】A、若a＞0，b＜0，则a-b=a+（-b）＞0正确，故本选项不符合题意；
B、若a＜b，b＞0，则a-b＜0正确，故本选项不符合题意；
C、若a＜0，b＜0，则a-（-b）=a+b＜0正确，故本选项不符合题意；
D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a-b= a+（-b）＜0，原选项错误符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的减法，要注意字母表示数的抽象性，熟记运算法则是解题的关键．
例2．（2019·全国初一课时练习）计算：
(1)1.8－(－2.6)； (2)； (3) ； (4)3－(－2.5)．
【答案】(1)4.4； (2)－； (3)－7； (4)6．
【分析】把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可
【解析】（1）原式= 1.8+(+2.6)=4.4；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=3+(+2)=6
【点睛】本题考查有理数的减法运算，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题的关键．
例3．（2020·浙江初一课时练习）计算下列各题：
(1)． (2)．
(3)． (4)．
【答案】（1）；（2）7；（3）；（4）．
【分析】（1）先去括号，再计算有理数的减法即可得；（2）先化简绝对值，再计算有理数的减法即可得；
（3）先将带分数化为假分数、去括号，再计算有理数的加法即可得；
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
【点睛】本题考查了有理数的加法与减法运算，熟记运算法则是解题关键．
知识点4. 5 有理数的加减混合运算
1）可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）
例：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
2）多重符号化简
例：（－2）+（+3）－（+5）－（－4）=－2+3－5+4
例1．（2020·陕西省初一月考）计算：
（1） （2）．
（3）． （4）．
【答案】（1）-1；（2）；（3）；（4）1.
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）先利用符号法则对式子进行化简，把同分母的数进行加减，再对所得结果加减即可；
（3）先利用符号法则对式子进行化简，把同分母的数进行加减，再对所得结果加减即可；
（4）原式利用减法法则变形，再根据有理数的加减法法则进行计算即可；；
【解析】（1）原式====;
（2）原式=====；
（3）原式====；
（4）原式=11-35+41-16=52-51=1.
【点睛】此题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例2．（2020·湖北宜昌中考模拟）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)
【答案】（1）；（2）-9942；（3）;(4)
【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；
【解析】(1) －＋－；
(2) －8 721＋53－1 279＋4＝(－8 721－1 279)＋ ＝－10 000＋58＝－9 942；
(3) －＋
(4) 原式=
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
例3．（2020·浙江初一课时练习）计算：1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9.
【答案】
【分析】将1变成1＋，－2变成－3＋，3变成3＋，－4变成－5＋，5变成5＋，－6变成－7＋，7变成7＋，－8变成－9＋，9变成9＋，然后进行计算，再根据分数的性质进行变形计算即可．
【解析】原式＝1＋－3＋＋3＋－5＋＋5＋ －7＋＋7＋－9＋＋9＋，
＝1＋＋＋＋＋＋＋＋＋，
＝1＋＋，
＝1＋1－＝2－＝．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和分数的乘法计算，难度较大，找出规律是解答本题的关键．
重点题型
题型1 有理数加法的应用
性质：有理数加法的运算法则
解题技巧：该类题型的实质是有理数加法的计算，通过理解题干意思，列写有理数运算算式，利用有理数加法运算规律进行计算求值。
例1．（2020·靖江外国语学校初一月考）下面结论正确的有（ ）
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②一个正数与一个负数相加得正数．
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和． ④两个正数相加，和为正数．
⑤两个负数相加，绝对值相减． ⑥正数加负数，其和一定等于0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】试题解析：∵①3+（-1）=2，和2不大于加数3，∴①是错误的；
从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0，∴②是错误的．
由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，可以得到③、④都是正确的．
⑤两个负数相加取相同的符号，然后把绝对值相加，故错误．
⑥-1+2=1，故正数加负数，其和一定等于0错误．正确的有2个，故选C．
例2. 判断题：
（1）两个负数的和一定是负数；
（2）绝对值相等的两个数的和等于零；
（3）若两个有理数相加时的和为负数，这两个有理数一定都是负数；
（4）若两个有理数相加时的和为正数，这两个有理数一定都是正数。
【答案】（1）正确，两个负数相加，结果为负
（2）错误，绝对值相等，必须符号相反，和才为0
（3）错误，当一正一负，且负数绝对值大时，和也为负
（4）错误，当一正一负，且正数绝对值大时，和也为正
例3．（2019·吉林省初一期末）已知，，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】由绝对值的定义和有理数加法的符号法则确定a，b的值，然后代入求解即可．
【解析】∵ ∴a=±3，b=±4
又∵，∴a=3，b=-4或a=-3，b=-4
∴a+b=3+（-4）=-1或ab=-3+（-4）=-7，故选：C．
【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的加减运算，掌握概念和计算法则正确计算是解题关键，注意分情况讨论，不要漏解．
例4．（2020·广东省初一期中）已知 , ,且 ,则 的值是（ ）
A．7
B．3
C．―3或－7
D．3或7
【答案】D
【分析】首先根据绝对值的性质可得m＝±2，n＝±5，再根据|m−n|＝n−m，可得n＞m，进而确定出m、n的值，再计算出答案．
【解析】∵ ，∴m=±2， ∵ ，∴n=±5， ∵ ， ∴m∴当m=2，n=5，则 =2+5=7，
当m=-2，n=5，则 =-2+5=3，故选：D.
【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等．
题型2 加法运算定律的应用
解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。
例1．（2020·贵州省初一期末）某校小卖铺一周的盈亏情况如下表所示（每天固定成本元，其中“”表示盈利，“”表示亏损）则这个周共盈利（ ）
星期
一
二
三
四
无
盈亏
+220
-30
+215
-25
+225
A．元
B．元
C．元
D．元
【答案】A
【分析】根据有理数的加减计算解答即可．
【解析】+220-30+215-5+225=605，故选：A．
【点睛】此题考查正数和负数，关键是根据有理数的加减计算解答．
例2．（2019·河北省初一期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
（1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油升，邮箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】(1) B地在A地的东边20千米；(2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．
【解析】 (1)∵14−9+8−7+13−6+12−5=20，答：B地在A地的东边20千米；
(2)这一天走的总路程为：14+|−9|+8+|−7|+13+|−6|+12|+|−5|=74千米，应耗油74×0.5=37(升)，
故还需补充的油量为：37−28=9(升)，答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
【点睛】考查了正数与负数，掌握有理数的加法运算是解题的关键.
例3．（2019·河南省初一期中）如图是6级台阶侧面示意图，如果要在台阶上铺红地毯，那么地毯长度至少需要（ ）
A．8米
B．5米
C．4米
D．3米
【答案】A
【分析】根据六级台阶的高等于3米，六级台阶的长等于5米求解即可．
【解析】∵六级台阶的高等于3米，六级台阶的长等于5米，
∴要买地毯的长：3+5＝8（米）．故选：A．
【点睛】本题考查的是有理数的加法的应用，根据图形得出六级台阶的高等于3米，六级台阶的长等于5米是解答此题的关键．
题型3 有理数减法的应用
解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。
例1．（2020·辽宁省初一期末）我市某天上午的气温为﹣2℃，中午上升了7℃，下午下降了2℃，到了夜间又下降了8°C，则夜间的气温为_____．
【答案】﹣5℃
【分析】首先用我市某天上午的气温加上中午上升的温度,求出中午的温度是多少,然后用它减去下午、夜间又下降的温度,求出夜间的气温为多少即可．
【解析】解:﹣2+7﹣2﹣8＝﹣5（℃）,答:夜间的气温为﹣5℃．故答案为：﹣5℃．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算,解决本题的关键是要熟练掌握有理数加减法则.
例2．（2019·郁南县连滩中学初一月考）两个数的差是负数，则这两个数一定是
A．被减数是正数，减数是负数
B．被减数是负数，减数是正数
C．被减数是负数，减数也是负数
D．被减数比减数小
【答案】D
【分析】根据有理数的减法运算法则进行判断即可．
【解析】∵两个数的差是负数，∴被减数比减数小．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
例3．（2019·内蒙古自治区初一月考）设|a|=4，|b|=2，且|a+b|=－(a+b)，则a－b所有值的和为( )
A．－8 B．－6 C．－4 D．－2
【答案】A
【解析】∵|a+b|=－（a+b），∴a+b≤0，∵|a|=4，|b|=2，∴a=±4，b=±2，∴a=－4，b=±2，
当a=－4，b=－2时，a-b=－2；
当a=－4，b=2时，a-b=－6；
故a－b所有值的和为：－2+（－6）=－8．故选A．
点睛：本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，熟记性质并判断出a、b的值是解题的关键．
例4．（2020·全国初一单元测试）一口水井，水面比井口低米，一只蜗牛从水面沿井壁往上爬，第一次往上爬了米后又下滑了米；第二次往上爬了米，又下滑了米；第三次爬了米，下滑了米；第四次往上爬了米，没有下滑，第五次至少往上爬________米才能爬出井口？
【答案】
【分析】根据题意能得出式子3-（0.5-0.1+0.42-0.15+0.8-0.2+0.8），求出即可.
【解析】解：根据题意得：3-（0.5-0.1+0.42-0.15+0.8-0.2+0.8）=3-2.07=0.93．故答案为：0.93.
【点睛】考查对有理数的混合运算的运用，关键是根据题意列出算式.
题型4 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合
解题技巧：该类题型是将有理数的多个知识点融合在一起进行考察。解此类题型，要明确题干考察的知识点，然后回顾对应知识点的性质和解题技巧，利用合适方法求解题目。
例1．（2019·江苏省南通市北城中学初一期末）如果 a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列式子中可能成立的是（ ）
A．c＞0，a＜0 B．c＜0，b＞0 C．b＞0，c＜0 D．b=0
【答案】A
【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为0，可得a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又|a|＞|b|＞|c|，那么|a|=|b|+|c|，进而得出可能存在的情况．
【解析】解：∵a+b+c=0，∴a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，
∵|a|＞|b|＞|c|，∴|a|=|b|+|c|，
∴可能c、b为正数，a为负数；也可能c、b为负数，a为正数．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
例2．（2020·四川省初一期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（ ）
①a+b＜0；②b﹣a＞0；③ ；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】C
【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．从图中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数的运算法则判断即可．
【解析】根据数轴上a，b两点的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
①根据有理数的加法法则，可知a+b＜0，
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 数轴与相反数
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 数轴与相反数,初一数学高频考点,数轴与相反数,莲山课件.
故正确；
②∵b＜a，∴b-a＜0，故错误；
③∵|a|＜|b|，∴∵根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小∴，故正确；
④3a﹣b=3a+（- b） ∵3a>0,-b>0 ∴3a﹣b>0，故正确；
⑤∵﹣a>b ∴- a﹣b>0. 故①③④⑤正确，选C.
【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.
例3．（2018·天津初一期中）若，且，则下列结论①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】先判断出的符号，以及相对应的绝对值，然后根据有理数的运算法则判断即可．
【解析】∵，且∴是正数，且
∴ ∴①②③正确，④错误，即正确的个数有3个 故选：C．
【点睛】本题要熟悉有理数的加减法法则：同号得两个数相加，取原来的符号；异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号；减去一个数等于加上这个数的相反数．
例4．（2019·江苏省苏州工业园区初一期末）如果a，b，c是非零实数，且a＋b＋c＝0，那么的所有可能的值为( )
A．0
B．1或－1
C．2或－2
D．0或－2
【答案】A
【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．
【解析】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
①当a，b，c为两正一负时：＝1，＝−1，所以的＝0；
②当a，b，c为两负一正时：：＝-1，＝1，所以的＝0；
由①②知：所有可能的值都为0．故选A.
【点睛】本题考查了分式的化简求值、绝对值及非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．
题型5 定义新运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1．（2019·全国初一课时练习）定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【答案】C
【解析】3⊕（-4）=. 故选C．
例2．（2020·北京初一期中）在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文个字母，，，，（不论大小写）依次对应，，，，这个自然数(见表格)，当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号，按下述规定，将明码“”译成密码是：
字母
序号
字母
序号
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵密码， 中，，
，，．
∴．故选A．
例3．（2018·北京十二中初一期中）设表示不超过的最大整数，计算_______.
【答案】3
【分析】根据题目所给的信息，分别计算[5.8]、[-1.5]的值，然后求解．
【解析】由题意得，[5.8]=5，[-1.5]=-2，则[5.8]+[-1.5]=5-2=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是读懂题目所给的信息，分别计算[2.7]、[-4.5]的值．
例4．（2019·西安临潼区骊山初级中学初一月考）如图，在一个由六个圆圈组成的三角形里，把-1，-2，-3，-4，-5，-6这6个数分别填入图中圆圈里，要求三角形每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）
A．-9
B．-10
C．-12
D．-13
【答案】A
【分析】三角形每条边上的三个数的和S，那么3S是三角形的三个顶点的数字要重复一次的总和，故三个顶点的数字数字最大时，S取最大值.
【解析】解：六个数的和为：，
最大三个数的和为：，，S=．填数如图：
故选：A．
【点睛】考查了有理数的加法， 注重考察学生的思维能力， 中等难度 ．
例5．（2018·北京市第十一中学初一月考）如图所示球体上画出了三个圆，在图中的六个“□”里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等．
（1）这个相等的和等于_____；（2）在图中将所有的“□”填完整．
【答案】（1）14;(2)见解析.
【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求；（2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可．
【解析】解：（1）（1+2+3+4+5+6）×2÷3＝21×2÷3＝14；
（2）如图所示：
故答案为：14．
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据题意得到1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次是解决第（1）题的关键，让每个圆的相对的2个数字的和为7是解决第（2）题的关键．
题型6 数学游戏：幻方
例1、（2019·湖北省初一期末）把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a的值是 （ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【答案】C
【分析】根据三阶幻方的特点，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解析】设中心数为x，根据题意得，6+x+16=4+x+a，∴a=18，故选：C．
【点睛】此题考查有理数的加法，解题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得a、b，最后是有理数的加法．
例2．（2019·湖北省初一期末）把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a的值是 （ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【答案】C
【分析】根据三阶幻方的特点，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解析】设中心数为x，根据题意得，6+x+16=4+x+a，∴a=18，故选：C．
【点睛】此题考查有理数的加法，解题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得a、b，最后是有理数的加法．
例3.（2019·江苏省初一期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（ ）
A．﹣6或﹣3
B．﹣8或1
C．﹣1或﹣4
D．1或﹣1
【答案】A
【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．
【解析】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，
则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，
∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，
当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．
例4．（2019·湖南省雨花新华都学校初一月考）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头.在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个九宫格，下列说法错误的是( )
A．每条对角线上三个数学之和等于
B．三个空白方格中的数字之和等于
C．是这九个数字中最小的数
D．这九个数学之和等于
【答案】B
【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则由第1列三个已知数可知每行、每列、每条对角线上三个数字之和为-3，于是可分别求出未知的各数，从而对四个选项进行判断．
【解析】解：∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等
而第1列：，于是有：，即：，
如图示：
则有：，，
∴，，同理可求得：，，
A. 每条对角线上三个数学之和等于，正确
B. 三个空白方格中的数字之和等于，错误；
C. 是这九个数字中最小的数，正确；
D. 这九个数学之和等于，正确；故选：B
【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟悉加法法则，是解题的关键.
例5．（2019·福建省厦门外国语学校初一月考）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】(1)根据三个数的和为2+3+4=9，依次列式计算即可求解；
(2)先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值.
【解析】 (1)2+3+4=9，9-6-4=-1，9-6-2=1，9-2-7=0，9-4-0=5，
如图1所示：
(2)-3+1-4=-6，-6+1-(-3)=-2，-2+1+4=3，
如图2所示：x=3-4-(-6)=5，y=3-1-(-6)=8，
即当x+y=5+8=13时，它能构成一个三阶幻方.
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
例6．（2020·山东省初一期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中如图就是一个三阶幻方，在这个三阶幻方中，m的值为______．
【答案】8
【分析】根据幻方特点得出算式m=2+7+6﹣（2+5），再根据法则计算可得．
【解析】根据题意知，m=2+7+6﹣（2+5）=15﹣7=8．故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解加法的法则，先确定和的符号，再进行计算．
课后训练：
1.（2020·河北省初一期末）如图，数轴表示的是5个城市的国际标准时间（单位：时），如果北京的时间是2020年1月9日上午9时，下列说法正确的是（ ）
A．伦敦的时间是2020年1月9日凌晨1时
B．纽约的时间是2020年1月9日晚上20时
C．多伦多的时间是2020年1月8日晚上19时
D．汉城的时间是2020年1月9日上午8时
【答案】A
【分析】根据数轴所显示的差值进行计算即可．
【解析】若北京的时间是2020年1月9日上午9时，
伦敦是1月9日凌晨9-8=1时，故选项A说法正确；
纽约的时间是2020年1月8日晚上20时，故选项B说法错误；
多伦多的时间是2020年1月8日晚上21时，故选项C说法错误；
汉城的时间是2020年1月9日上午10时，故选项D说法错误．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加减法．注意会根据数轴知道-4、-5表达的时间的意思．
2．（2020·江苏省初一期中）如图，在数轴上，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，若以下三个式子：，，都成立，则原点在
A．点A的左侧
B．点A和点B之间
C．点B和点C之间
D．点C的左侧
【答案】C
【分析】根据数轴可以得到a、b、c的关系，然后根据题目中的条件，可以得到点原点在什么位置，本题得以解决．
【解析】解：由数轴可得，a＜b＜c，|b-a|＜|c-b|，
∵a+c＜0，∴c＞0，a＜0且|a|＞|c|，
∵|b|＜|c|，a+b＜0，∴b＜0，
∴原点位于点B和点C之间，故选C．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，判断出原点的位置．
3．（2019·深圳市高级中学初一期中）若，，且，那么的值是（ ）
A．2或12
B．2或
C．或12
D．或
【答案】A
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义以及有理数的加法法则进一步计算即可.
【解析】∵，，∴ ，，
∵，∴，或，，
∴的值为12或2，故选：A.
【点睛】本题主要考查了绝对值代数意义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
4．（2020·全国初一课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）-19.56；（2）-30；（3）-2
【分析】（1）根据有理数的加法运算法则，利用加法结合律进行计算即可；
（2）根据有理数的加法运算法则，结合式子特点利用加法结合律进行计算即可；
（3）先将分数化成小数，再根据有理数的加法运算法则，利用加法结合律进行计算即可.
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2017·全国初一课时练习）计算
（1）（－12.56）＋（－7.25）＋3.01＋（－10.01）＋7.25；
（2）0.47＋（－0.09）＋0.39＋（－0.3）＋1.53；
（3） ；
（4）23＋（－72）＋（－22）＋57＋（－16）；
（5） ；
（6）2.25+（-4）+（-2.5）+2+3.4+（-）
（7）
【答案】（1）－19.56 （2）2 （3）（4）－30 （5）0 （6）－2 （7）0
分析：把同符号的、同分母的、互为相反数的、能凑整的加数通过加法的交换律进行交换，然后运用加法的结合律进行计算，最后按顺序进行计算即可.
【解析】（1）（－12.56）＋（－7.25）＋3.01＋（－10.01）＋7.25=-12.56-7.25+7.25+3.01-10.01=-12.56-7=-19.56；
（2）0.47＋（－0.09）＋0.39＋（－0.3）＋1.53=0.47+1.53+0.39-0.09-0.3=2；
（3） =；
（4）23＋（－72）＋（－22）＋57＋（－16）=23+57-72-22-16=80-110=-30；
（5） ==1+1-2=0；
（6）2.25+（-4）+（-2.5）+2+3.4+（-）=2.25-4.25-2.5+2.5+3.4-3.4=-2；
（7）
==5-5=0.
【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，能正确地运用交换律及结合律进行简化运算是关键.
6．（2019·全国初一课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)－＋－；
(2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋.
【答案】（1）；（2）-9942；（3）
【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；
【解析】解：(1) －＋－；
(2) －8 721＋53－1 279＋4＝(－8 721－1 279)＋ ＝－10 000＋58＝－9 942；
(3) －＋
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
7．（2019·全国初一专题练习）计算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2） ；（3）；（4）
【分析】依据有理数的加减混合运算和绝对值的含义即可得出正确答案.
【解析】解：（1）原式==[]+(18+12)=-50；
（2）原式==
=[]+() =0;
（3）原式===-3；
（4）原式==++1-=3.5.
故本题的正确答案为：（1）；（2） ；（3）；（4）
【点睛】掌握有理数的加减混合运算，以及会灵活运用加法的交换律、结合律、分配律进行简便计算是解题的关键.
8.（2019•广陵区期中）某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；
（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；
（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价＝单价×数量即可求解．
【答案】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：15﹣8＝7千米，
第三次距A地：7+6＝13千米，第四次距A地：13+12＝25千米，
第五次距A地：25﹣4＝21千米，第六次距A地：21+5＝26千米，
第七次距A地：26﹣10＝16千米，
26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，
答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；
（2）15﹣8+6+12﹣4+5﹣10＝16（千米），
答：B地在A地东方，与A地相距16千米；
（3）|+15|+|﹣8|+|+6|+|+12|+|﹣4|+|+5|+|﹣10|＝60（千米），
60×0.2＝12（升），12×7＝84（元）．
答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．
9.（2019•雁塔区期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．
【答案】解：（1）∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣4＝28，∴B地在A地的东边28千米；
（2）这一天走的总路程为：15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣4|＝74千米，
应耗油74×0.6＝44.4（升），
故还需补充的油量为：44.4﹣30＝14.4（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
15千米；15﹣8＝7千米；7+9＝16千米；16﹣6＝10千米；10+14＝24千米；
24﹣5＝19千米；19+13＝32千米；32﹣4＝28千米．
∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．
【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．
10．（2020·山西省初一期末）“幻方”在中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”.其主要性质是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行，一纵行及对角线的几个数之和都相等.图（l）所示是一个幻方.有人建议向火星发射如图（2）所示的幻方图案，如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）.图（3）是一个未完成的幻方，请你类比图（l）推算图（3）中处所对应的数字是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据每一横行、每一竖列以及斜对角线上的点数的和相等，可得x+1+（-2）=x +（-3）+p，可得P处数字．
【解析】解：设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据题意得，
x+（-2）+1=x+(-3)+p，解得p=2，故选：B．
【点睛】本题通过九方格考查了有理数的加法．九方格题目趣味性较强，本题的关键是找准每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字的和相等，据此列方程求解．
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点01 整式
2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点01 整式,初一数学高频考点,整式,莲山课件.
