2020高三数学培优专练2：函数零点（含解析）
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2020高三数学培优专练1：函数的图像与性质
例1：对于函数，若，，，都有，，为某一三角形的三条边，则称为“可构造三角形函数”，已知函数（为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，对，，恒成立，
，当时，，，满足条件，
当时，在上单调递减，∴，
同理：，，
∵，所以，∴．
当时，在上单调递增，∴，
同理：，，∴，．∴．
综上可得：实数的取值范围是．
例2：设函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若对，
不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，
∴，，
又∵由，结合，
∴，，
又由，可得，
∵，∴，
令，则，将不等式整理即得：．
∵，∴，∴．故选C．
例3：定义在上的奇函数满足，当时，．若在
区间上，存在个不同的整数（，，，），满足，
则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】定义在上的奇函数满足，可得关于直线对称，
且，则，∴的周期为．
函数的图象如下：
比如，当不同整数分别为，，，，，时，取最小值，
∵，，，，则的最小值为，故选D．
例4：已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，
则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数为定义在上的偶函数，且，
则，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，
当时，单调递增，所以当时函数单调递减，
又由，，
所以不等式等价于，
所以，平方得，解得．
即不等式的解集为．
一、选择题
1．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在上为减函数，，
则在上恒成立，即在上恒成立，
∴恒成立，∴，即，∴．故选D．
2．已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的，，且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】定义在上的函数满足三个条件：
由①对于任意的，都有，可知函数是周期的周期函数；
②对于任意的，，且，都有，
可得函数在上单调递增；
③函数的图象关于轴对称，可得函数的图象关于直线对称．
∴，，．
∵，∴．故选B．
3．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为关于直线对称，所以关于轴对称，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，，，，
因为，，
根据函数对称性及单调性可知，所以选D．
4．已知实数，分别满足：，，
则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
即函数是奇函数，且函数为增函数，
∵，，
∴，
即，即，
∵为增函数，∴，即，把代入，得到，
当且仅当，时取得最小值．故选C．
5．设函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易证得函数在上单调递增，
当时，得，则；
当时，得，则，
综上得不等式的解集为．
6．若对，，有，函数，的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵函数对任意，，都有，
所以，∴令，，
∴．令，，∴，
∴．故选C．
2020高三数学培优专练3：含导函数的抽象函数的构造（含解析）
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7．设函数是定义域为的奇函数，且，当时，，
则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，
∴，可得，
即函数是周期为的周期函数，且图象关于直线对称．
故在区间上的零点，即方程的根，
分别画出与的函数图象，
因为两个函数图象都关于直线对称，
因此方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为个，
分别设交点的横坐标从左往右依次为，，，，，，，，
则，所以所有零点和为，故选B．
8．已知函数是奇函数，，且与的图象的交点为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，由此的图象关于点中心对称，是奇函数，
，由此，所以关于点中心对称，，，
所以，故选D．
9．已知定义在上的函数满足：对任意，，，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，且，
又，∴，
由此可得，∴，∴是周期为的函数，，∴，故选B．
10．已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数的图象的对称中心为，∴，
∴，即，得，∴，，
又∵的图象在点处的切线过点，
∴，即，解得，故选A．
11．定义域为的函数满足，当时，，
若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，；
当时，，
∴当时，的最小值为，
又∵函数满足，当时，的最小值为，
当时，的最小值为，
若时，恒成立，∴，
即，即且，解得．故选D．
12．已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，
则函数在区间上（ ）
A．无最大值 B．最大值为 C．最大值为 D．最大值为
【答案】D
【解析】因为函数的图象关于点对称，所以．
又函数是奇函数，所以，所以．
令，得，所以函数是周期为的周期函数．
又函数的定义域为，且函数是奇函数，所以，，
由函数的周期为，得，
所以，解得．所以．
依此类推，可以求得．作出函数的大致图象如图所示，
根据周期性，可得函数在区间上的图象与在区间上的图象完全一样．
观察图象可知，函数在区间上单调递增，且，
又，所以函数在区间上的最大值是，
故函数在区间上最大值也是．
二、填空题
13．已知，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
因而，
所以．
14．函数在区间上是减函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若，则函数在区间上为增函数，不符合题意；
若，则在区间上为减函数，且．
∴，解得．
综上，的取值范围是．
15．某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：
①等式在时恒成立；
②函数的值域为；
③若，则一定有；
④方程在上有三个根．
其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】对于①，任取，都有，∴①正确；
对于②，当时，，根据函数的奇偶性知时，，且时，，∴，②正确；
对于③，当时，，∴在上是增函数，且；再由的奇偶性知，在上也是增函数，且，∴时，一定有，
③正确；
对于④，因为只有一个根，∴方程在上只有一个根，④错误．
正确结论的序号是①②③．
16．已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，，
若过点的直线与函数的图象在上恰有个交点，则直线斜率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵函数的图象关于轴对称，∴函数是偶函数，
由，得，
即，即函数是周期为的周期函数．
∵当时，，∴当，即时，，
则函数在一个周期上的表达式为，
∵，，
∴函数，故的周期为，
其图象可由的图象横坐标压缩为原来的得到，作出在上的图象如图：
易知过的斜率存在，设过点的直线的方程为，
设，则要使的图象在上恰有个交点，则，
∵，∴，故．
2020高三数学培优专练4：恒成立问题（含解析）
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