2020高三数学培优专练3：含导函数的抽象函数的构造（含解析）
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2020高三数学培优专练2：函数零点
例1：函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知原函数是上的增函数，
，，
故根据零点存在定理得到零点存在于上，故选B．
例2：已知函数是偶函数，且，当时，，
则方程在区间上解的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数是上的偶函数，可得，
又，可得，故可得，
即，即函数的周期是，
又时，，要研究方程在区间上解的个数，
可将问题转化为与在区间有几个交点．
画出两函数图象如下，由图知两函数图象有个交点．故选B．
例3：已知定义在上的奇函数满足，当时，，
则函数在区间上所有零点之和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据奇函数满足，可知其周期为，
∵函数的一条对称轴为，可由向右平移个单位得到，
在同一坐标系作出与的图象如图：
根据图像可知函数与的图象均关于点对称，
且函数与的图象在区间上有四个交点，
所以函数在区间上所有零点之和为，故选D．
例4：函数，方程有个不相等实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意画出函数的图象：
设，有两个不同的根，，
故当时，将代入方程得到，
此时关于的方程的根是，，故不符合题意；
当时，当时，关于的方程有唯一实数解，
当时，关于的方程有三个实数解，
故方程有个不相等实根，符合题意要求，
所以，故答案为C．
例5：在用二分法求函数在区间上的唯一零点的过程中，取区间上的中点，
若，则函数在区间上的唯一零点（ ）
A．在区间内 B．在区间内
C．在区间或内 D．等于
【答案】D
【解析】根据用二分法求方程的近似解的方程和步骤，
函数在区间上的唯一零点．故选D．
一、选择题
1．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知函数在其定义域上是增函数，
因为，，
所以函数的零点一定位于区间内．故选B．
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，．
所以函数零点所在的区间是，故选B．
3．函数在上的所有零点之和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
分别作出函数与的图象，
由图象可知函数的对称性，可知两函数图象均关于对称．
由图可知，函数在上的所有零点之和等于．
故选D．
4．已知是定义在上且以为周期的奇函数，当时，，
则函数在区间上的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，所以在上必有．
当时，由，得，
即，解得．
因为函数是周期为的奇函数，所以，
此时在区间上有个零点，，．
，
此时在区间上有四个零点，，，．
当时，，
所以，即，
此时在区间上有两个零点，．所以共有个零点．故选D．
5．用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】二分法求函数的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，
而图中函数在零点的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出．故选C．
6．定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数至少有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，
，
∴，∴图象关于直线对称，
画出函数与函数的图象如下，
由图可知，要使至少要有个零点，
即函数与的图像至少要有个交点，
则有，且点在函数的下方，
即，故选B．
7．已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在上的所有零点之和，
即在上的所有实数根之和，
即在上的所有实数根之和．
令，，
因为可知函数的图象关于直线对称，
函数的图象也关于直线对称，
作出两个函数的大致图象，如图所示，由图象知，两个函数的图象有个交点，
且个交点的横坐标之和为，故选B．
8．已知函数，关于的方程有个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
2020高三数学培优专练4：恒成立问题（含解析）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，由，解得，
当时，，函数为增函数；
时，，函数为减函数，
当时，函数取得极大值也是最大值为．
方程化为，
解得或．
画出函数的图象如图：
根据图象可知的取值范围是时，方程有个解．故选C．
9．已知定义域为的偶函数满足对任意的，有，且当时，．若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于函数为偶函数，
当时，，即，故，
所以函数是周期为的周期函数，且为偶函数．
令，得到，
也即函数图象与函数的图象有三个交点，
画出两个函数图象如下图所示：
由图可知，要使两个函数图象有三个交点，则需直线的斜率在两条切线的斜率之间．
当时，．
将代入并化简得，
其判别式，解得或（舍）．
同理，当时，，
将代入化简后，同样令判别式为零，
求得或（舍）．所以实数的范围是，故选B．
10．已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当时，有个零点；当时，有个零点
B．当时，有个零点；当时，有个零点
C．无论为何值，均有个零点
D．无论为何值，均有个零点
【答案】B
【解析】分四种情况讨论：
①时，，∴，此时的零点为；
②时，，∴，则时，
有一个零点，时，，没有零点；
③若，时，，则时，
，，可得，有一个零点，
若时，则，没有零点；
④若，时，，
则时，即可得，有一个零点，
时，没有零点．
综上可知，当时，有个零点；当时，有个零点．
故选B．
11．已知函数，则方程的实根个数不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出函数图象，如图所示：
当时，；当时，，
观察图象，当时，则或，
此时对应的有四个解，即方程有个根，
当时，则或或，
对应的的有个解，即方程有个根，
同理可得当，，，，分析，
结合的取值情况，可知方程的根不可能为，
故选D．
12．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
当时，；当时，令，则，
所以函数在上单调递减，
由函数在区间内有唯一零点，得，或，
即或，
又，，所以①或②
所以，满足的可行域如图或图中的阴影部分所示，
则表示点与点所在直线的斜率，
当，满足不等式组①时，的最大值在点处取得，
为，的取值范围为；
当，满足不等式组②时，的最小值在点处取得，
根据，得，所以最小值为，
的取值范围为，
综上所述，可得的取值范围为故选A．
二、填空题
13．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数有 个零点．
【答案】
【解析】由题意知，所以．
当时，令，即，
令，，
因为，所以当时，与的图象有个交点，
即时，有个零点，
又函数是定义域为的奇函数，所以函数有个零点．
14．对于函数与，若存在，，使得，
则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】易知函数为增函数，且，
所以函数只有一个零点，
则取，由，知．
由与互为“零点密切函数”知函数在区间内有零点，
即方程在内有解，
所以，而函数在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，取最小值，
又当时，，当时，，所以，
所以实数的取值范围是．
15．已知函数和在的图象如图，给出下列四个命题：
①方程有且仅有个根；
②方程有且仅有个根；
③方程有且仅有个根；
④方程有且仅有个根，
其中正确命题是 ．
【答案】①③④
【解析】∵函数有三个零点，其中，，，
当时有两个解，当时有两个解，当时有两个解，
所以方程有且仅有个根，∴①正确．
函数有两个零点，其中，，
当时有一个解，当时有一个解，
所以方程有且仅有个根，∴②错误．
同理可知③④正确．
16．已知，若关于的方程有四个不同的实数解，
则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，则方程可化为方程，作出函数的大致图象如图所示，
结合图象分析可知，若关于的方程有四个不同的实数解，
则关于的方程在上有两个不同的实数解．
可化为，
记，则在上有两个不同的零点，
所以，即，
所以实数的取值范围为．
2020高三数学培优专练5：导数的应用（含解析）
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