2020高三数学培优专练5:导数的应用(含解析)
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2020高三数学培优专练4:恒成立问题
例1:设,当时,恒成立,求的取值范围 .
【答案】
【解析】恒成立不等式为,只需,
令,则对称轴为.
①当时,在单调递增,∴,
∴,即;
②当时,在单调递减,在单调递增,
∴,∴,即.
综上,.
例2:已知函数,如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围 .
【答案】
【解析】∵,∴,
即只需要即可,
设,
∴,
令(分子的符号无法直接判断,所以考虑再构造函数进行分析)
∴,
∵,∴,∴在单调递增,∴,
∴,∴在单调递增,
∴当时,,∴.
∴实数的取值范围是.
例3:已知不等式在上恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】先作出的图象,观察图象可得:若要使不等式成立,
则的图象应在的上方,∴应为单增的对数函数,即,
另一方面,观察图象可得:若要保证在时不等式成立,
只需保证在时,即可,代入,可得,
综上可得:.
一、选择题
1.已知,,若对任意的,
恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,可得,∴,
设,∴,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴,∴,∴.
2.已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若恒成立,则,,
∴在单调递减,在单调递增,,,
∴,∴.
3.已知,不等式在上恒成立,则的
取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出的图象可知为减函数,∴等价于在恒成立,即,解得.
4.若不等式对任意恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】恒成立不等式变形为,
即的图象在图象的上方,
先作出的图象,对于,可看作经过平移得到,而平移的距离与的取值有关.
通过观察图象,可得只需,解得.
5.已知函数,若在上恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,可得,
∴,∴,其中.
∴只需要,令,,
令,,
当时,,∴在单调递减,
又,∴,即,
∴在单调递减,∴,∴.
6.设正数,,对任意,不等式恒成立,
则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,可得,∴,
,可得在单调递增,在单调递减,
故,
∴若原不等式恒成立,只需,
再进行一次参变分离,,则只需,
,∴,
∴,解得.
二、填空题
7.已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵,即恒成立,∴,
若不等式恒成立,只需,
令,
∵,∴.
8.若不等式对于任意的都成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】先作出的图象,观察图象可得:若要使不等式成立,
则的图象应在的上方,
2020高三数学培优专练6:三角函数(含解析)
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∴应为单减的对数函数,即,
观察图象进一步可得,要使不等式对于任意的都成立,
只需时,,即,∴.
9.已知函数,对任意的,都有,则最大的正整数为 .
【答案】
【解析】,即,作出函数和的图象,
可知,,,∴,
即的最大整数值为.
10.已知,,若不等式对任意恒成立,
则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】令,可得,
,
由可得,当时,,,,
即,∴在上单调递增,
∴,即,解得,
结合,可得.
三、解答题
11.已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1),,,
∴函数在点处的切线方程为.
(2)当时,由,可得,
即只需要,
设,
令,,
∵,∴,
在单调递增∴,
∴,在单调递增,,.
综上,实数的取值范围为.
12.已知函数,,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若对于任意的,,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递增,在上单调递减;(2).
【解析】(1)当时,,,
易得当时,,当时,,
∴函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)恒成立,只需,
由,得,令,解得,
∴在单调递减,在单调递增,
∴,
∴,都有恒成立,即只需.
,
当时,令,
则,与矛盾,
当时,,∴解得,
∴在单调递增,在单调递减,
∴,
∴,解得,
综上所述:.
13.已知函数,其中.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1),
当时,可得恒成立,∴在单调递增;
当时,令,可解得或,
∴在,单调递增;在,单调递减.
(2)若在上恒成立,则只需,
由(1)可知在的边界处取得最大值,
∴,即对任意的恒成立,
∴,可得.
综上,的取值范围为.
14.已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1),
①当时,恒成立,∴在上单调递增;
②当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
(2)由可得,
设,,
,∴
恒成立,,
∴,否则若,由于连续,
∴必存在区间使得,即在单调递减,
进而,使得,不符题意.
∴.
下面证任意的均满足条件.
构造函数(时的)
则,当时,,∴,
∴,.
若要恒成立,只需证明即可.
又,
,可得,
令,
,
当时,,
∴在单调递增,,即,
∴在单调递增,成立,
∴时,,恒成立,符合题意.
综上,的取值范围为.
2020高三数学培优专练3:含导函数的抽象函数的构造(含解析)
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