2020高三数学培优专练6：三角函数（含解析）
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2020高三数学培优专练5：导数的应用
例1：曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】∵，
∴结合导数的几何意义曲线可知在点处的切线方程的斜率为，
∴切线方程为．
例2：已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
①当时，，此时在单调递增；
②当时，令，解得或；令，解得，
此时在，单调递增，在单调递减；
③当时，令，解得或；令，解得，
此时在，单调递增，在单调递减，
综上可得，当时，在单调递增．
当时，在，单调递增，在单调递减．
当时，在，单调递增，在单调递减．
（2）由（1）中结论可知，当时，在单调递减，在单调递增．
此时，
∵，，
∴当时，，，
令，则，∴在单调递减．
又∵，，∴，即．
当时，，∴，
综上，当时，的取值范围是．
例3：已知函数，为的导函数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有个零点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）对进行求导可得，，，
取，则，
在内，为单调递减函数，且，，
所以在内存在一个，使得，
所以在内，，为增函数；在内，，为减函数，
所以在在区间存在唯一极大值点．
（2）由（1）可知，当时，单调增，且，可得，
则在此区间单调减；
当时，单调增，且，，则在此区间单调增；
又，则在上有唯一零点．
当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，
在时，，单调增；在时，单调减，
且，所以在上无零点；
当时，单调减，单调减，则在上单调减，，所以在上存在一个零点．
当时，恒成立，
则在上无零点，
综上可得，有且仅有个零点．
一、选择题
1．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D．
2．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，∴为奇函数，舍去A，
，∴舍去D；
，∴，，
所以舍去C；因此选B．
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为．
4．若函数 (是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，
下列函数中具有性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，令，，
则在上单调递增，故具有性质，故选A．
5．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】令，则，，得．
，可得．故选D．
6．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；
当时，，令，得或，
时，；时，；时，，且，
此时在必有零点，故不满足题意，舍去；
当时，时，；时，；
时，，且，
要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，
故选C．
7．已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，，
2020高三数学培优专练4：恒成立问题（含解析）
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当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为．
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得．故选C．
8．若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
二、填空题
9．曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】
【解析】，则，所以．
10．在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点
（为自然对数的底数），则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】设点，则．
又，当时，，
点A在曲线上的切线为，即，
代入点，得，即，
考查函数，当时，；当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为．
11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值
与最小值的和为_______．
【答案】
【解析】由，得，
因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，
因此，，
从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，．
12．已知函数，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】，
所以当时，函数单调减，当时，函数单调增，
从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，
所以当时，函数取得最小值，此时，
所以，故答案是．
三、解答题
13．已知函数．
（1）讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，
又，所以函数在上单调递增，
又，所以在区间存在一个零点，
且，
所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点．
（2）因为是函数的一个零点，所以有．
曲线在处的切线方程为，
曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，
切线方程为，
化简为，
所以曲线在处的切线也是曲线的切线．
14．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，或满足题意．
【解析】（1），
①当时，，此时在单调递增；
②当时，令，解得或；令，解得，
此时在单调递增，在单调递减；
③当时，令，解得或；令，解得，
此时在单调递增，在单调递减，
综上可得，当时，在单调递增．
当时，在单调递增，在单调递减．
当时，在单调递增，在单调递减．
（2）由（1）中结论可知，
当时，在单调递增，
此时，∴，满足题意．
当时，若，即，则在单调递减，
此时，∴，满足题意．
若，即，则在单调递减，在单调递增．
此时①，
∵，∴当时，②，
由①②可得，与矛盾，故不成立．
当时，③，
由①③可得，与矛盾，故不成立．
综上可知，或满足题意．
15．已知函数，是的导数．
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若时，，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题意得，
令，∴，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴的最大值为，
又，，∴，即，
∴在区间存在唯一零点．
（2）由题设知，，可得．
由（1）知，在只有一个零点，
设为，且当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
又，，所以当时，．
又当，时，，故．
因此，的取值范围是．
2020高三数学培优专练3：含导函数的抽象函数的构造（含解析）
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