2020年中考数学热点专题冲刺3图表信息问题（江苏版）
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热点专题2 规律探究问题
规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般多以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。
中考
要求 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律．
学会通过通过观察、猜想、归纳、总结有关实数、代数式、图形、坐标等相关的规律问题。
通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力．
考向1 图形设计规律探究
1．(2019 江苏省徐州市)阅读理解
用 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为 的图案．已知长度为 、 、 的所有图案如下：
尝试操作
如图，将小方格的边长看作 ，请在方格纸中画出长度为 的所有图案．
归纳发现
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度
所有不同图案的个数 1 2 3
【答案】如图，5，
【解析】如图：根据作图可知 时，所有图案个数5个；
时，所有图案个数8个；
时，所有图案个数13个；
故答案为5，8，13；
考向2 图形性质规律探究
1. (2019 江苏省扬州市)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝ ．
【答案】40380
【解析】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，
∴ ，即 ，
∵AB＝5，BC＝4，
∴4D1E1+5D1F1＝20，
同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，
∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；
故答案为40380．
2. (2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P’处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P’S的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B’C’恰好经过点A，C’N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝ ，请直接写出FH的长．
【解析】解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：
∴四边形MBFN为平行四边形，
∴NF＝MB，
∴BF⊥AE，
∴∠BGE＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
在△ABE和△BCF中， ，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∵DN+NF+CF＝BE+EC，
∴DN+MB＝EC；
问题探究：
解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABIH为矩形，
∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDA＝45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AQ＝QE，
在Rt△AHQ和Rt△QIE中， ，
∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），
∴∠AQH＝∠QEI，
∴∠AQH+∠EQI＝90°，
∴∠AQE＝90°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；
（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：
则△APN的直角顶点P在OB上运动，
设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，
∵AO＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，
当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，
∵点P在BD上，
∴AP＝PC，
在△APB和△CPB中， ，
∴△APB≌△CPB（SSS），
∴∠BAP＝∠BCP，
∵∠BCD＝∠MPA＝90°，
∴∠PCN＝∠AMP，
∵AB∥CD，
∴∠AMP＝∠PNC，
∴∠PCN＝∠PNC，
∴PC＝PN，
∴AP＝PN，
∴∠PNA＝45°，
∴∠PNP′＝90°，
∴∠P′NH+PNG＝90°，
∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，
∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，
由翻折性质得：PN＝P′N，
在△PGN和△NHP’中， ，
∴△PGN≌△NHP’（ASA），
∴PG＝NH，GN＝P’H，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠PDG＝45°，
易得PG＝GD，
∴GN＝DH，
∴DH＝P’H，
∴∠P’DH＝45°，故∠P’DA＝45°，
∴点P’在线段DO’上运动；
过点S作SK⊥DO’，垂足为K，
∵点S为AD的中点，
∴DS＝2，则P’S的最小值为 ；
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG＝ ，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴ ＝ ＝3，
∴QE＝ AE＝ ，
∴AQ＝AE+QE＝ ，
∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，
∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：AM＝ ，
由折叠的性质得：AB’＝EB＝3，∠B’＝∠B＝90°，∠C’＝∠BCD＝90°，
∴B’M＝ ＝ ，AC’＝1，
∵∠BAD＝90°，∴∠B’AM＝∠C’FA，
∴△AFC’∽△MAB’，∴ ＝ ＝ ，解得：AF＝ ，
∴DF＝4﹣ ＝ ，
∵AG⊥MN，FH⊥MN，
∴AG∥FH，∴AQ∥FP，
∴△DFP∽△DAQ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：FP＝ ，
∴FH＝ FP＝ ．
考向3 与坐标有关规律探究
1．(2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 ．
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
2．(2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（ ）
A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
【答案】C
【解析】分析根据图象可得移动4次图象完成一个循环，
2019_2020年小升初数学模拟考试试卷（一）
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从而可得出点A2019的坐标．
A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4＝504…3，
所以A2019的坐标为（504×2＋1，0），
则A2019的坐标是（1009，0）．
故选：C．
2．(2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为 的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点 的纵坐标为
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】点运动一个弧AB用时为 秒．
如图，作 于 ，与弧AB交于点 ．
在 中， ， ，
，
，
，
第1秒时点 运动到点 ，纵坐标为1；
第2秒时点 运动到点 ，纵坐标为0；
第3秒时点 运动到点 ，纵坐标为 ；
第4秒时点 运动到点 ，纵坐标为0；
第5秒时点 运动到点 ，纵坐标为1；
，
点 的纵坐标以1，0， ，0四个数为一个周期依次循环，
，
第2019秒时点 的纵坐标为是 ．故选： ．
3. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（ ）
A．（ ，﹣ ） B．（1，0） C．（﹣ ，﹣ ） D．（0，﹣1）
【答案】A
【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（ ， ），A2（1，0），A3（ ，﹣ ），…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A2019的坐标为（ ，﹣ ）故选：A．
4．(2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n＋1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．（n为正整数）
【答案】A
【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝ ＝ ＝ ，
同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……，
∴P1的坐标为（ 1， ），P2的坐标为（ 2， ），P3的坐标为（3， ），……，
…按照此规律可得点Pn的坐标是（n， ），即（n， ）
故答案为：（n， ）．
考向4 与函数有关的规律
1．(2019 山东省淄博市)如图，△ ，△ ，△ ， 是分别以 ， ， ， 为直角顶点，一条直角边在 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 ， ， ， ， ， ， 均在反比例函数 的图象上．则 的值为
A． B．6 C． D．
【答案】A
【解析】过 、 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 、
其斜边的中点 在反比例函数 ， 即 ，
，
设 ，则 此时 ，代入 得： ，
解得： ，即： ，
同理： ，
，
，
故选： ．
2．(2019 山东省德州市)如图，点 、 、 在反比例函数 的图象上，点 、 、 在反比例函数 的图象上， ，且 ，则 为正整数）的纵坐标为 ．（用含 的式子表示）
【答案】A
【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
∴A1（1， ），
∴k＝ ，
∴y＝ 和y＝－ ，
过A2作A2D2⊥x轴于D2，
∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，
∴△A2EF是等边三角形，
设A2（x，－ ），则A2D2＝ ，
Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，
∴ED2＝ ，
∵OD2＝2＋ ＝x，
解得：x1＝1－ （舍），x2＝1＋ ，
∴EF＝ ＝ ＝ ＝2（ －1）＝2 －2，
A2D2＝ ＝ ＝ ，
即A2的纵坐标为－ ；
过A3作A3D3⊥x轴于D3，
同理得：△A3FG是等边三角形，
设A3（x， ），则A3D3＝ ，
Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，
∴FD3＝ ，
∵OD3＝2＋2 －2＋ ＝x，
解得：x1＝ （舍），x2＝ ＋ ；
∴GF＝ ＝ ＝2（ － ）＝2 －2 ，
A3D3＝ ＝ ＝ （ － ），
即A3的纵坐标为 （ － ）；
…
∴An（n为正整数）的纵坐标为：（－1）n＋1 （ ）；
故答案为：（－1）n＋1 （ ）；
3. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ x和y＝﹣ x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1， ）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为 ．
【答案】﹣31009
【解析】由题意可得，
A1（1， ），A2（1，﹣ ），A3（﹣3，﹣ ），A4（﹣3，3 ），A5（9，3 ），A6（9，﹣9 ），…，
可得A2n＋1的横坐标为（﹣3）n
∵2019＝2×1009＋1，
∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，
故答案为：﹣31009．
4．(2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
【答案】2（2n﹣1）
【解析】由题意可得，
点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是： （OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋Cn﹣1An）＝ （1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1），
设S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1，则2S＝2＋4＋8＋…＋2n﹣1＋2n，
则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是： ×（2n﹣1），
故答案为：2（2n﹣1），
2019_2020年小升初数学模拟考试试卷（二）
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