2020年中考数学必考点提分专练10统计概率问题（含解析）
2020年中考数学必考点提分专练10统计概率问题（含解析）,中考数学必考点,莲山课件.
|类型1| 圆的基本性质
1. [2019·福建]如图，四边形ABCD内接于O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF，CF.
(1)求证：∠BAC=2∠DAC；
(2)若AF=10，BC=4√5，求tan∠BAD的值.
解：(1)证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，
在Rt△AED中，∠ADE=90°-∠CAD，
∵AB=AC，∴⏜AB=⏜AC，∴∠ACB=∠ABC.
∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2∠ADB=180°-2(90°-∠CAD)，即∠BAC=2∠CAD.
(2)∵DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC=∠FCD+∠CFD=2∠CFD.∵∠BDC=∠BAC，∠BAC=2∠CAD，
∴∠CFD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF=CB.
∵AC⊥BD，∴BE=EF，故CA垂直平分BF，
∴AC=AB=AF=10，
设AE=x，则CE=10-x，
在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2-AE2=BE2=BC2-CE2，
又∵BC=4√5，
∴102-x2=(4√5)2-(10-x)2，
解得x=6，∴AE=6，CE=4，
∴BE=√(AB^2 “-” AE^2 )=8.
∵∠DAE=∠CBE，∠ADE=∠BCE，
∴△ADE∽△BCE，∴AE/BE=DE/CE=AD/BC，
∴DE=3，AD=3√5，
过点D作DH⊥AB于H.
∵S△ABD=1/2AB·DH=1/2BD·AE，BD=BE+DE=11，∴10DH=11×6，∴DH=33/5，
在Rt△ADH中，AH=√(AD^2 “-” DH^2 )=6/5，∴tan∠BAD=DH/AH=(33/5)/(6/5)=11/2.
2.[2019·绵阳] 如图，AB是O的直径，点C为⏜BD的中点，CF为O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD=BE=2，求BF的长.
解：(1)证明：∵C是⏜BD的中点，∴⏜CD=⏜BC.
∵AB是O的直径，且CF⊥AB，∴⏜BC=⏜BF，
∴⏜CD=⏜BF，∴CD=BF.
在△BFG和△CDG中，∵{■(∠F=∠CDG”，” @∠FGB=∠DGC”，” @BF=CD”，” )┤
∴△BFG≌△CDG(AAS).
(2)如图，过C作CH⊥AD，交AD延长线于H，连接AC，BC，
∵⏜CD=⏜BC，
∴∠HAC=∠BAC.
∵CE⊥AB，
∴CH=CE.
∵AC=AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，
∴AE=AH.
∵⏜CD=⏜BC，
∴CD=BC.
又∵CH=CE，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，
∴DH=BE=2，
∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，
∴AB=4+2=6.
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEC，
∵∠EBC=∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴BC/AB=BE/BC，
∴BC2=AB·BE=6×2=12，
∴BF=BC=2√3.
3.[2019·合肥瑶海区三模]如图，四边形ABCD是O内接四边形，点D是弧BC中点，DE⊥AC，垂足为E，F是CA延长线上一点，且AF=AB.
求证：点E是FC的中点.
证明：连接BD.
∵点D是弧BC的中点，
∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠DAF+∠DAC=180°，∠DAC=∠DBC，
∴∠DAF+∠DCB=180°.
∵四边形ABCD是O内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∴∠DAF=∠DAB.
又∵AB=AF，AD=AD，
∴△DAF≌△DAB(SAS)，
∴DF=DB，
又∵DB=DC，
∴DF=DC.
又∵DE⊥AC，∴EF=EC，
∴点E是FC的中点.
4.[2019·马鞍山三模]如图，已知AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是⏜AD上的一点，AF，CD的延长线相交于点G.
(1)若O的半径为3√2，且∠DFC=45°，求弦CD的长；
(2)求证：∠AFC=∠DFG.
解：(1)如图①，连接OD，
2020年中考数学必考点提分专练08解直角三角形的实际应用（含解析）
2020年中考数学必考点提分专练08解直角三角形的实际应用（含解析）,中考数学必考点,莲山课件.
OC.
∵直径AB⊥CD，
∴⏜BD=⏜BC，DE=CE，
∴∠DOE=1/2∠DOC=∠DFC=45°.
又∵在Rt△DEO中，OD=3√2，则DE=3，CD=6.
(2)证明：如图②，连接AC.
∵直径AB⊥CD，∴⏜AC=⏜AD，
∴∠ACD=∠AFC，
∵四边形ACDF内接于O，
∴∠DFG=∠ACD，∴∠DFG=∠AFC.
|类型2| 圆的切线判定与性质
5.[2019·菏泽] 如图，BC是O的直径，CE是O的弦，过点E作O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BA⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.
(1)求证：∠ABG=2∠C；
(2)若GF=3√3，GB=6，求O的半径.
解：(1)证明：连接OE，
∵EG是O的切线，∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，∴OE∥AB，
∴∠A=∠OEC，∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，∴∠A=∠C，
∵∠ABG=∠A+∠C，∴∠ABG=2∠C.
(2)∵BF⊥GE，∴∠BFG=90°，
∵GF=3√3，GB=6，∴BF=√(BG^2 “-” GF^2 )=3，
∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，
∴BF/OE=BG/OG，∴3/OE=6/(6+OE)，
∴OE=6，
∴O的半径为6.
6.[2019·天水]如图，AB，AC分别是O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是O的切线；
(2)若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长.
解：(1)证明：连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，
∴PA=PC.
在△OAP和△OCP中，{■(OA=OC”，” @PA=PC”，” @OP=OP”，” )┤
∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP.
∵PA是O的切线，∴∠OAP=90°.
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，
∴PC是O的切线.
(2)∵OB=OC，∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵AB=10，∴OC=5，
由(1)知∠OCF=90°，
∴CF=OCtan∠COB=5√3.
7.[2019·安庆一模]如图，已知O的半径为5，AB为O的弦，C为弧AB上一点，过点C作MN∥AB.
(1)若AB=8，MN与O相切于点C，求弦AC的长；
(2)连接OB，CB，若四边形OACB是平行四边形，求证：MN是O的切线.
.解：(1)连接OC交AB于点D.
∵MN与O相切于点C， ∴OC⊥MN.
∵AB∥MN， ∴OC⊥AB，
∴AD=1/2AB=1/2×8=4.
在Rt△OAD中，OD=√(OA^2 “-” AD^2 )=√(5^2 “-” 4^2 )=3.
∴CD=OC-OD=5-3=2.
在Rt△ACD中，AC=√(AD^2+CD^2 )=√(4^2+2^2 )=2√5.
(2)证明：连接OC.在平行四边形OACB中，OA=OB，
∴平行四边形OACB是菱形， ∴OC⊥AB.
∵AB∥MN， ∴OC⊥MN.
∵C为弧AB上一点， ∴MN为O的切线.
8.[2019·合肥五十中二模]如图，在O中，AB是直径，点F是O上一点，点E是⏜AF的中点，过点E作O的切线，与BA，BF的延长线分别交于点C，D，连接BE.
(1)求证：BD⊥CD；
(2)已知O的半径为2，当AC为何值时，BF=DF?并说明理由.
解：(1)证明：如图①，连接OE.
∵CD与O相切于点E，
∴OE⊥CD，
∴∠CEO=90°.
∵点E是⏜AF的中点，
∴⏜AE=⏜EF，
∴∠2=∠3.
∵OB=OE，
∴∠2=∠1，
∴∠1=∠3，
∴OE∥BD，
∴∠D=∠CEO=90°，
∴BD⊥CD.
(2)当AC=4时，BF=DF.理由如下：
如图②，连接AF.
∵AB是O的直径，
∴∠AFB=90°.
由(1)可知∠D=90°，
∴∠D=∠AFB，
∴AF∥CD，
∴BF/DF=AB/AC.
当AC=4时，∵O的半径为2，∴AB=4，
此时AC=AB，则AB/AC=BF/DF=1，
∴BF=DF.
2020年中考数学必考点提分专练07二次函数简单综合问题（含解析）
2020年中考数学必考点提分专练07二次函数简单综合问题（含解析）,中考数学必考点,莲山课件.
