2021希望数学冬令营7年级
希望数学少年俱乐部精品课学生用书八年级八年级1 目录1.计算专题1-1整式乘除与因式分解……………………………………………………………………31-2分式性质与运算…………………………………………………………………………51-3二次根式综合…
2021思维挑战冬令营七年级真题1.计算：0202120210(3)−(1)−−−(3)(1)=________．2.一个周长为2021的三角形，三边长均为质数，它的最长边与最短边的差最大是________．3.在平面直角坐标系中，以点（
简介：四年级1 目录1.计算专题1-1简算巧算……………………………………………………………………………31-2等差数列……………………………………………………………………………61-3数谜…………………………………………………………………………………92.应用题专题2-1时间相关问题………………………………………………………………………112-2行程问题初步………………………………………………………………………142-3典型应用题综合……………………………………………………………………183.几何专题3-1简单图形……………………………………………………………………………213-2几何计算……………………………………………………………………………233-3立体图形初步………………………………………………………………………264.计数与数论专题4-1加乘原理……………………………………………………………………………284-2简单数论……………………………………………………………………………314-3整除与余数…………………………………………………………………………335.方法专题5-1找规律………………………………………………………………………………355-2数学方法……………………………………………………………………………375-3逻辑与操作…………………………………………………………………………402 1-1简算巧算四则运算的运算律（1）交换律：加法交换律用字母表示可以写成_________________________________.乘法交换律用字母表示可以写成_________________________________.（2）结合律：加法结合律用字母表示可以写成_________________________________.乘法结合律用字母表示可以写成_________________________________.（3）分配律：填空完成乘法分配律：(ab+=c)______________________(ab−=c)______________________填空完成除法分配律：(ab+)=c______________________(ab−=c)______________________（4）括号：按照去括号规律完成这些去括号练习：352537+−(=______________________)352537−−(=______________________)25(45)=______________________125(54)=______________________（5）带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。按照带符号搬家的原则改写下面的算式：543927=______________________586928______________________+−=（6）平方差公式22ab−=______________________(xyxy+)(−)=______________________3 例119+199+1999+19999+199999=_______.（2008希望杯四年级二试）例2计算:4×37×25=________.（2013希望杯四年级一试）例3计算：2468×629÷(1234×37)＝.(2015希望杯四年级一试)4 例4(7777+8888)÷5-(888-777)×3=______.（2011希望杯四年级一试）例5计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝____.（2012华杯赛决赛小中组）例6计算[(55×45–37×43)–(3×221+1)]÷22=_____.(2015希望杯四年级二试)5 1-2等差数列1.字母表示数（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：正方形的边长为a，周长可表示为___________，面积可表示为____________.（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：长方形的长为m，宽为n，长方形的周长可表示为___________，面积可表示为___________.含有字母的乘法中，乘号“×”写作“·”，或省略不写，一般要把数值写在字母的前面。用正确的写法改写下面的算式：a×b×c=________________=_________________p×q=________________=_________________m×12×n=________________=_________________a×3×5=________________=_________________2.定义新运算定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的运算含义。使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。例1定义a=++babab，则(23)4的值为________.（2015希望杯四年级一试）6 3.简单方程方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字母，等式永远成立的等式是恒等式。按照方程的概念填空：a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p=1，3×a+3其中，属于方程的有：_______________________________________________________.解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×5，右边也要×5.尝试解下列方程：x+5=8x-5=8x÷5=85x=80(x+5)÷8=85x+8=33x÷7–2=3(x–3)×6=36例2如果8×(2＋1÷x)＝18，则x＝_______.（2017希望杯四年级一试）4.等差数列（1）等差数列的概念：一列数，如果从第二项开始，后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一个数被称之为末项。7 判断下面这些数列是否为等差数列：1,2,3,4,5，……，99,100,101（）1,3,5,7，……，97,99,101（）1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（）（2）等差数列求和公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2①等差数列的和=项数×首项+项数×（项数－1）×公差÷2②用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：1+3+5+7+9+…+99+101+103=例3计算:1–3+5–7+–11+13–…–39+41=__________.(2009希望杯四年级二试)8 1-3数谜1.数字谜数字谜解题方法归纳：（1）末位分析法；（2）进位分析法；（3）借位分析法；（4）余数分析和位数分析；（5）综合分析法.例1如图所示，5个相同的两位数AB相加得两位数MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则AB=_______.（2012希望杯1试）例2“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的汉字代表0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.（2013华杯赛小中组B卷）9 2.数阵图（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。（3）解题关键：区分普通位和关键位→确定特定线（区域）计算线和及数和→判断关键位可填入的数→运用已有信息进行尝试例3将1到16这16个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的4个数的和相等，则a-b-c+d+e+f-g=______________.（2013希望杯1试）例4将六个数1，3，5，7，9，11分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为________.（2012华杯赛小中组B卷）10 2-1时间相关问题1.日历问题（1）能被4整除同时不能被100整除或者能被400整除的年份为闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。闰年有366天，非闰年有365天。（2）1、3、5、7、8、10、12月有31天，4、6、9、11有30天，闰年2月29天，非闰年2月28天。（3）一周7天，7天为一个周期。很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。例1如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期________.（2012希望杯1试）2.时间问题钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（时刻是从钟面看出来的）；从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=经过的时间。时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。计时法有两种：12时计时法和24时计时法。1天=24小时，1小时=60分钟=3600秒，1分钟=60秒。11 例2如图所示的电子钟可显示从00:00:00到23:59:59的时间，在一昼夜内(24小时)钟表上显示的时间恰好由数字1，2，3，4，5，6组成的共有_______秒.（2012希望杯1试）例312:00的时候时针和分针的夹角是0°，此后时针和分针第6次成90°夹角的时刻是_____:______.（12小时制）（2013希望杯1试）12 3.年龄问题年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活的加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我也长）（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而变小）例4今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大_______岁.（2011希望杯1试）例5今年丹丹4岁，丹丹的爸爸28岁，a年后，爸爸年龄是丹丹年龄的3倍，则a的值是______.（2016希望杯2试）13 2-2行程问题初步行程问题的常用公式（1）基本公式：速度×时间=路程（2）相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（3）追及问题：速度差×追及时间=相差路程（4）火车过桥：桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程（5）流水行船：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2例1小东和小荣同时从甲地出发到乙地.小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米.小荣到达乙地后立即返回.若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距______米.（2014希望杯1试）14 例2甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是米．（2016希望杯1试）例3一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有___________辆车.（2012华杯赛小中组A卷）15 例4一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇.如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶________千米.（2015华杯赛小中组）例5有一座高楼，小红每登上一层需1.5分钟，每走下一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层，则这座楼共有_________层.（2008希望杯2试）16 例6如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A，C沿围墙按顺时针方向同时出发，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，至少经过_________秒甲、乙在同一条边上．（2010希望杯2试）例7甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒.若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.（2016华杯赛小中组A卷）17 2-3典型应用题综合1.基本应用题一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。例1甲、乙、丙3人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了元．（2016希望杯四年级1试）2.和差倍应用题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数(和－差)÷2=较小数公式和÷(倍数＋1)=较小数差÷(倍数-1)=较小数(和＋差)÷2=较大数18 例2甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍.那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多_____千克．（2014希望杯四年级1试）3.盈亏问题一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得的关系。盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数（大盈—小盈）÷两次分配差=份数（大亏—小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分的数量×份数+盈=总数量每次分的数量×份数—亏=总数量例3某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场30名考生，则会余下26名考生独用一个考场；每个考场26名考生，则会余下20名考生独用一个考场，并且要比前一种方案多用9个考场。则该地区参加考试的考生有名。（2015希望杯四年级1试）19 4.鸡兔同笼问题解鸡兔同笼问题的基本关系式是：（1）如果假设全是兔，则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数（2）如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数例4鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只.（2013华杯赛小中组B卷）5.牛吃草问题基本公式:（1）设定一头牛一天吃草量为“1”；（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例5一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中的污水处理完。（2016希望杯四年级1试）20 3-1简单图形常见问题（1）图形分割（2）线段问题（3）图形计数（4）轴对称问题例1长方形MNPQ中，MN=3，MQ=4，过它的中心O(对角线MP和NQ的交点)画一条直线，长方形MNPQ被分成两个相同的图形，它们的形状分别是________.（2012希望杯四年级1试）例2A，B，C，D四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6条线段.已知这6条线段的长度分别是12，18，30，32，44，62(单位：厘米)，那么线段BC的长度是___________厘米.（2013希望杯四年级1试）21 例3下图由20个方格组成，其中含有A的正方形有______个.（2017希望杯四年级1试）例4如图，在5×5的方格纸的20个格点处各钉有1枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮筋围成正方形，一共可以围成__________个正方形.（2013希望杯四年级1试）例5如图是4×4的方格图，有3个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为轴对称图形，则不同的涂法有_______种.（2014希望杯四年级1试）22 3-2几何计算1.角度问题（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。（3）直角等于90°，平角等于180°，周角等于360°，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。例1如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC=20°，∠EOD=60°，则∠AOE=_________°，∠BOC=__________°.（2011希望杯四年级1试）2.巧求长方形周长（1）基本公式：①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．23 例2把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是_________cm.（2017希望杯四年级1试）3.面积、周长转化问题常用转化方法：（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。例3一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米。（2015希望杯四年级1试）24 4.格点面积问题利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。例4下图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是．（2016希望杯四年级1试）5.正方形面积问题正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2例5如图，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD的面积是________.（2014希望杯四年级1试）25 3-3立体图形初步1.正方体展开图正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是：相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，且相距最近。通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，剩下的两面是相对的面。2.立方体正方体的特征：正方体有6个面，8个顶点，12条棱。正方体6个面是大小相同的正方形，12条棱长度相等。正方体是特殊的长方体。例1如图，将数字4，5，6填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，则A处应该填______，B处应该填______，C处应该填_______.（2013希望杯四年级1试）26 例2将棱长为1米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海拔高度为8844米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度_________米.（2012华杯赛小中组）例3如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_________种不同的走法.（2012华杯赛小中组A卷）27 4-1加乘原理1.加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有m1+m2+…+mk种不同的方法。加法原理解题三部曲1.完成一件事分类情况2.类类独立（每类都能单独完成该件事）3.类类相加例1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？2.乘法原理一般地，如果完成一件事可以分成n个必要步骤，第一步有m1种不同的做法，第二步有m2种不同的做法，……，第n步有mn种不同的做法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。乘法原理解题三部曲1.完成一件事分n个必要步骤2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）3.步步相乘28 例2按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？爸爸飞机北京妈妈乘火车去拉萨我汽车台北例3希希去花店买花来装饰客厅，花店里有5盆黄色的花，7盆红色的花，以及6盆粉色的花，希希想从中选择2盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？29 例4用0–6这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？例5甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件的拿法各有多少种：（1）甲拿到自己的作业本；（2）恰有一人拿到自己的作业本；（3）至少有一人没拿到自己的作业本；（4）谁也没有拿到自己的作业本.30 4-2简单数论什么是数论数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。小学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理等等。例110个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是____。（2017四年级希望杯1试——第12题）例2有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是____。（2017四年级希望杯2试——第2题）31 例3三位数abc与cba是一个三位反序数对（如123与321，778与877）。如果三位反序数对中两个数的和是1069，这样的反序数对一共有______对。（2015四年级希望杯1试——第18题）例4某个两位数的个位数字和十位数字的和是12,个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小36,则原数是___________.（2011四年级希望杯1试——第15题）例5如果a表示一个三位数,b表示一个两位数,那么a+b最小是_______,a+b最大是______,a–b最小是_____,a–b最大是______.（2012四年级希望杯1试——第3题）32 4-3整除与余数知识精讲abc=……d在这个除法算式中，整数a除以非零整数b，商为整数c，余数为d。余数d=0时，我们称a能被b整除，或b整除a，记为b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。在整除的情况下，称a为b的倍数，b为a的约数（或因数）。能被整除的数的特征：（1）被2整除的数：所有偶数都可以被2整除，即末位是0,2,4,6,8.（2）被3整除的数：一个整数的数字和能被3整除，这个整数可以被3整除。（3）被4整除的数：末两位可以被4整除的整数即可被4整除。（4）被5整除的数：末位是0或5的整数可以被5整除。（5）被8整除的数：末三位可以被8整除的整数可以被8整除。（6）被9整除的数：数字和能被9整除的整数可以被9整除。（7）被7,11,13整除的数：因为7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否可以被这三个数整除。在不能整除的除法中，就会产生余数。同余定理：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a－b能够被m整除，那么就称a和b对模m同余，标记方式为ab（modm）。例1有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是.（2015四年级希望杯1试——第2题）33 例2为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个0,□里的数最小是_________.8×10×15×25×□（2007四年级希望杯2试——第3题）例3有一筐桃子,4个4个地数,多2个;6个6个地数,多4个;8个8个地数,少2个.已知这筐桃子的个数不少于120,也不多于150,则这筐桃子共有_______个.（2012四年级希望杯1试——第14题）例4在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。（2016四年级希望杯1试——第15题）34 5-1找规律知识精讲找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。例1算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是________.（2010四年级希望杯2试——第10题）35 例2按照图1中前4个图中数的规律,在第5个图中填上适当的数.A=___,B=___,C=___,D=___,E=___,F=___.（2011四年级希望杯1试——第7题）例3用An表示乘积7777的结果的个位数字,如:A1=7,A2=9,A3=3,…,则n7个A1+A2+A3+…+A2013=___________.（2013四年级希望杯1试——第21题）例4如图,当n=1时,有2个小星星;当n=2时,有6个小星星;当n=3时,有12个小星星;当n=4时,有20个小星星······则当n=10时,有__________个小星星.（2013四年级希望杯2试——第3题）36 5-2数学方法1.最不利原则有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方面思考：（1）寻找极端情形；（2）分析推理——确定最值；（3）枚举比较——确定最值；（4）估计并构造模型。用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。例1布袋中有60个彩球,每种颜色的球都有6个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出________个球.（2013华杯赛小中组B卷）例2在1到200这200个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？（2016华杯赛小中组A卷）37 2.抽屉原理抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到成功应用。最简单的抽屉原则是这样：有3个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的物品至少是2个。因为3个物品的分配只能是这两种情形：0和3,1和2.也就是说当一个抽屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有1个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有一个抽屉里没有物品。拓展到一般的情形，将n+1个物品放进n个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物品。将n个物品放进n+1个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及规律，得到抽屉构造思路。利用抽屉原则解题的一般步骤是：（1）分析特征规律，构造抽屉；（2）把元素放入所构造的抽屉中；（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。例3将11个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放______个球,至少要放________个球.（2012四年级希望杯2试——第9题）38 3.容斥原理在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。例4在1~500中不能被2整除，也不能被3整除，又不能被5整除的数有多少个?（2018四年级希望杯培训题）39 5-3逻辑与操作1.逻辑问题逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数a是质数，那么在整个推理过程中，a都自始至终是质数，保持同一性。（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又非。如：在推理过程中若推出数a既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同时都真（或假）。如：自然数a，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，就违反了排中律。（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条件“自然数a不是合数”出发就做出了“a一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因为其间忽略了“a还可能是1”的这种情况。例1甲、乙、丙、丁、戊5人猜测全班个人学科总成绩的前5名:甲:“第1名是D,第5名是E.”乙:“第2名是A,第4名是C.”丙:“第3名是D,第4名是A.”丁:“第1名是C,第3名是B.”戊:“第2名是C,第4名是B.”若每个人都是只猜对1个人的名次,且每个名次只有1个人猜对,则第1,2,3,4,5名分别是________.（2011四年级一试）（2011四年级希望杯1试——第20题）40 2.操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：（1）与数字相关的操作问题；（2）染色相关的操作问题；（3）计数方面的操作问题。例2A,B,C,D,4个盒子中依次放有8,6,3,1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子,……当第50位小朋友放完后,A盒中球的个数是______.（2012四年级希望杯1试——第16题）例3黑板上写着一个九位数222222222,对它做如下操作:擦掉末位数后又乘4,再加上刚擦去的数字,然后在黑板上写下得到的数;……如此操作下去,直到在黑板上写下的是一个一位数,那么,它是__________.（2014四年级希望杯1试——第20题）41 例43堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了个桃子．（2016四年级希望杯1试——第14题）例5亚瑟王在王宫中召见6名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友.他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有________种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).（2017华杯赛小中组）42
简介：四年级1n目录1.计算专题1-1简算巧算……………………………………………………………………………31-2等差数列……………………………………………………………………………61-3数谜…………………………………………………………………………………92.应用题专题2-1时间相关问题………………………………………………………………………112-2行程问题初步………………………………………………………………………142-3典型应用题综合……………………………………………………………………183.几何专题3-1简单图形……………………………………………………………………………213-2几何计算……………………………………………………………………………233-3立体图形初步………………………………………………………………………264.计数与数论专题4-1加乘原理……………………………………………………………………………284-2简单数论……………………………………………………………………………314-3整除与余数…………………………………………………………………………335.方法专题5-1找规律………………………………………………………………………………355-2数学方法……………………………………………………………………………375-3逻辑与操作…………………………………………………………………………402n1-1简算巧算四则运算的运算律（1）交换律：加法交换律用字母表示可以写成_________________________________.乘法交换律用字母表示可以写成_________________________________.（2）结合律：加法结合律用字母表示可以写成_________________________________.乘法结合律用字母表示可以写成_________________________________.（3）分配律：填空完成乘法分配律：(ab+=c)______________________(ab−=c)______________________填空完成除法分配律：(ab+)=c______________________(ab−=c)______________________（4）括号：按照去括号规律完成这些去括号练习：352537+−(=______________________)352537−−(=______________________)25(45)=______________________125(54)=______________________（5）带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。按照带符号搬家的原则改写下面的算式：543927=______________________586928______________________+−=（6）平方差公式22ab−=______________________(xyxy+)(−)=______________________3n例119+199+1999+19999+199999=_______.（2008希望杯四年级二试）例2计算:4×37×25=________.（2013希望杯四年级一试）例3计算：2468×629÷(1234×37)＝.(2015希望杯四年级一试)4n例4(7777+8888)÷5-(888-777)×3=______.（2011希望杯四年级一试）例5计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝____.（2012华杯赛决赛小中组）例6计算[(55×45–37×43)–(3×221+1)]÷22=_____.(2015希望杯四年级二试)5n1-2等差数列1.字母表示数（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：正方形的边长为a，周长可表示为___________，面积可表示为____________.（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：长方形的长为m，宽为n，长方形的周长可表示为___________，面积可表示为___________.含有字母的乘法中，乘号“×”写作“·”，或省略不写，一般要把数值写在字母的前面。用正确的写法改写下面的算式：a×b×c=________________=_________________p×q=________________=_________________m×12×n=________________=_________________a×3×5=________________=_________________2.定义新运算定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的运算含义。使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。例1定义a=++babab，则(23)4的值为________.（2015希望杯四年级一试）6n3.简单方程方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字母，等式永远成立的等式是恒等式。按照方程的概念填空：a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p=1，3×a+3其中，属于方程的有：_______________________________________________________.解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×5，右边也要×5.尝试解下列方程：x+5=8x-5=8x÷5=85x=80(x+5)÷8=85x+8=33x÷7–2=3(x–3)×6=36例2如果8×(2＋1÷x)＝18，则x＝_______.（2017希望杯四年级一试）4.等差数列（1）等差数列的概念：一列数，如果从第二项开始，后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一个数被称之为末项。7n判断下面这些数列是否为等差数列：1,2,3,4,5，……，99,100,101（）1,3,5,7，……，97,99,101（）1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（）（2）等差数列求和公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2①等差数列的和=项数×首项+项数×（项数－1）×公差÷2②用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：1+3+5+7+9+…+99+101+103=例3计算:1–3+5–7+–11+13–…–39+41=__________.(2009希望杯四年级二试)8n1-3数谜1.数字谜数字谜解题方法归纳：（1）末位分析法；（2）进位分析法；（3）借位分析法；（4）余数分析和位数分析；（5）综合分析法.例1如图所示，5个相同的两位数AB相加得两位数MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则AB=_______.（2012希望杯1试）例2“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的汉字代表0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.（2013华杯赛小中组B卷）9n2.数阵图（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。（3）解题关键：区分普通位和关键位→确定特定线（区域）计算线和及数和→判断关键位可填入的数→运用已有信息进行尝试例3将1到16这16个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的4个数的和相等，则a-b-c+d+e+f-g=______________.（2013希望杯1试）例4将六个数1，3，5，7，9，11分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为________.（2012华杯赛小中组B卷）10n2-1时间相关问题1.日历问题（1）能被4整除同时不能被100整除或者能被400整除的年份为闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。闰年有366天，非闰年有365天。（2）1、3、5、7、8、10、12月有31天，4、6、9、11有30天，闰年2月29天，非闰年2月28天。（3）一周7天，7天为一个周期。很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。例1如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期________.（2012希望杯1试）2.时间问题钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（时刻是从钟面看出来的）；从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=经过的时间。时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。计时法有两种：12时计时法和24时计时法。1天=24小时，1小时=60分钟=3600秒，1分钟=60秒。11n例2如图所示的电子钟可显示从00:00:00到23:59:59的时间，在一昼夜内(24小时)钟表上显示的时间恰好由数字1，2，3，4，5，6组成的共有_______秒.（2012希望杯1试）例312:00的时候时针和分针的夹角是0°，此后时针和分针第6次成90°夹角的时刻是_____:______.（12小时制）（2013希望杯1试）12n3.年龄问题年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活的加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我也长）（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而变小）例4今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大_______岁.（2011希望杯1试）例5今年丹丹4岁，丹丹的爸爸28岁，a年后，爸爸年龄是丹丹年龄的3倍，则a的值是______.（2016希望杯2试）13n2-2行程问题初步行程问题的常用公式（1）基本公式：速度×时间=路程（2）相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（3）追及问题：速度差×追及时间=相差路程（4）火车过桥：桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程（5）流水行船：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2例1小东和小荣同时从甲地出发到乙地.小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米.小荣到达乙地后立即返回.若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距______米.（2014希望杯1试）14n例2甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是米．（2016希望杯1试）例3一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有___________辆车.（2012华杯赛小中组A卷）15n例4一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇.如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶________千米.（2015华杯赛小中组）例5有一座高楼，小红每登上一层需1.5分钟，每走下一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层，则这座楼共有_________层.（2008希望杯2试）16n例6如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A，C沿围墙按顺时针方向同时出发，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，至少经过_________秒甲、乙在同一条边上．（2010希望杯2试）例7甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒.若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.（2016华杯赛小中组A卷）17n2-3典型应用题综合1.基本应用题一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。例1甲、乙、丙3人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了元．（2016希望杯四年级1试）2.和差倍应用题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数(和－差)÷2=较小数公式和÷(倍数＋1)=较小数差÷(倍数-1)=较小数(和＋差)÷2=较大数18n例2甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍.那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多_____千克．（2014希望杯四年级1试）3.盈亏问题一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得的关系。盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数（大盈—小盈）÷两次分配差=份数（大亏—小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分的数量×份数+盈=总数量每次分的数量×份数—亏=总数量例3某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场30名考生，则会余下26名考生独用一个考场；每个考场26名考生，则会余下20名考生独用一个考场，并且要比前一种方案多用9个考场。则该地区参加考试的考生有名。（2015希望杯四年级1试）19n4.鸡兔同笼问题解鸡兔同笼问题的基本关系式是：（1）如果假设全是兔，则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数（2）如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数例4鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只.（2013华杯赛小中组B卷）5.牛吃草问题基本公式:（1）设定一头牛一天吃草量为“1”；（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例5一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中的污水处理完。（2016希望杯四年级1试）20n3-1简单图形常见问题（1）图形分割（2）线段问题（3）图形计数（4）轴对称问题例1长方形MNPQ中，MN=3，MQ=4，过它的中心O(对角线MP和NQ的交点)画一条直线，长方形MNPQ被分成两个相同的图形，它们的形状分别是________.（2012希望杯四年级1试）例2A，B，C，D四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6条线段.已知这6条线段的长度分别是12，18，30，32，44，62(单位：厘米)，那么线段BC的长度是___________厘米.（2013希望杯四年级1试）21n例3下图由20个方格组成，其中含有A的正方形有______个.（2017希望杯四年级1试）例4如图，在5×5的方格纸的20个格点处各钉有1枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮筋围成正方形，一共可以围成__________个正方形.（2013希望杯四年级1试）例5如图是4×4的方格图，有3个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为轴对称图形，则不同的涂法有_______种.（2014希望杯四年级1试）22n3-2几何计算1.角度问题（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。（3）直角等于90°，平角等于180°，周角等于360°，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。例1如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC=20°，∠EOD=60°，则∠AOE=_________°，∠BOC=__________°.（2011希望杯四年级1试）2.巧求长方形周长（1）基本公式：①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．23n例2把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是_________cm.（2017希望杯四年级1试）3.面积、周长转化问题常用转化方法：（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。例3一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米。（2015希望杯四年级1试）24n4.格点面积问题利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。例4下图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是．（2016希望杯四年级1试）5.正方形面积问题正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2例5如图，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD的面积是________.（2014希望杯四年级1试）25n3-3立体图形初步1.正方体展开图正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是：相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，且相距最近。通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，剩下的两面是相对的面。2.立方体正方体的特征：正方体有6个面，8个顶点，12条棱。正方体6个面是大小相同的正方形，12条棱长度相等。正方体是特殊的长方体。例1如图，将数字4，5，6填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，则A处应该填______，B处应该填______，C处应该填_______.（2013希望杯四年级1试）26n例2将棱长为1米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海拔高度为8844米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度_________米.（2012华杯赛小中组）例3如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_________种不同的走法.（2012华杯赛小中组A卷）27n4-1加乘原理1.加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有m1+m2+…+mk种不同的方法。加法原理解题三部曲1.完成一件事分类情况2.类类独立（每类都能单独完成该件事）3.类类相加例1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？2.乘法原理一般地，如果完成一件事可以分成n个必要步骤，第一步有m1种不同的做法，第二步有m2种不同的做法，……，第n步有mn种不同的做法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。乘法原理解题三部曲1.完成一件事分n个必要步骤2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）3.步步相乘28n例2按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？爸爸飞机北京妈妈乘火车去拉萨我汽车台北例3希希去花店买花来装饰客厅，花店里有5盆黄色的花，7盆红色的花，以及6盆粉色的花，希希想从中选择2盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？29n例4用0–6这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？例5甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件的拿法各有多少种：（1）甲拿到自己的作业本；（2）恰有一人拿到自己的作业本；（3）至少有一人没拿到自己的作业本；（4）谁也没有拿到自己的作业本.30n4-2简单数论什么是数论数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。小学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理等等。例110个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是____。（2017四年级希望杯1试——第12题）例2有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是____。（2017四年级希望杯2试——第2题）31n例3三位数abc与cba是一个三位反序数对（如123与321，778与877）。如果三位反序数对中两个数的和是1069，这样的反序数对一共有______对。（2015四年级希望杯1试——第18题）例4某个两位数的个位数字和十位数字的和是12,个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小36,则原数是___________.（2011四年级希望杯1试——第15题）例5如果a表示一个三位数,b表示一个两位数,那么a+b最小是_______,a+b最大是______,a–b最小是_____,a–b最大是______.（2012四年级希望杯1试——第3题）32n4-3整除与余数知识精讲abc=……d在这个除法算式中，整数a除以非零整数b，商为整数c，余数为d。余数d=0时，我们称a能被b整除，或b整除a，记为b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。在整除的情况下，称a为b的倍数，b为a的约数（或因数）。能被整除的数的特征：（1）被2整除的数：所有偶数都可以被2整除，即末位是0,2,4,6,8.（2）被3整除的数：一个整数的数字和能被3整除，这个整数可以被3整除。（3）被4整除的数：末两位可以被4整除的整数即可被4整除。（4）被5整除的数：末位是0或5的整数可以被5整除。（5）被8整除的数：末三位可以被8整除的整数可以被8整除。（6）被9整除的数：数字和能被9整除的整数可以被9整除。（7）被7,11,13整除的数：因为7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否可以被这三个数整除。在不能整除的除法中，就会产生余数。同余定理：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a－b能够被m整除，那么就称a和b对模m同余，标记方式为ab（modm）。例1有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是.（2015四年级希望杯1试——第2题）33n例2为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个0,□里的数最小是_________.8×10×15×25×□（2007四年级希望杯2试——第3题）例3有一筐桃子,4个4个地数,多2个;6个6个地数,多4个;8个8个地数,少2个.已知这筐桃子的个数不少于120,也不多于150,则这筐桃子共有_______个.（2012四年级希望杯1试——第14题）例4在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。（2016四年级希望杯1试——第15题）34n5-1找规律知识精讲找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。例1算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是________.（2010四年级希望杯2试——第10题）35n例2按照图1中前4个图中数的规律,在第5个图中填上适当的数.A=___,B=___,C=___,D=___,E=___,F=___.（2011四年级希望杯1试——第7题）例3用An表示乘积7777的结果的个位数字,如:A1=7,A2=9,A3=3,…,则n7个A1+A2+A3+…+A2013=___________.（2013四年级希望杯1试——第21题）例4如图,当n=1时,有2个小星星;当n=2时,有6个小星星;当n=3时,有12个小星星;当n=4时,有20个小星星······则当n=10时,有__________个小星星.（2013四年级希望杯2试——第3题）36n5-2数学方法1.最不利原则有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方面思考：（1）寻找极端情形；（2）分析推理——确定最值；（3）枚举比较——确定最值；（4）估计并构造模型。用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。例1布袋中有60个彩球,每种颜色的球都有6个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出________个球.（2013华杯赛小中组B卷）例2在1到200这200个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？（2016华杯赛小中组A卷）37n2.抽屉原理抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到成功应用。最简单的抽屉原则是这样：有3个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的物品至少是2个。因为3个物品的分配只能是这两种情形：0和3,1和2.也就是说当一个抽屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有1个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有一个抽屉里没有物品。拓展到一般的情形，将n+1个物品放进n个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物品。将n个物品放进n+1个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及规律，得到抽屉构造思路。利用抽屉原则解题的一般步骤是：（1）分析特征规律，构造抽屉；（2）把元素放入所构造的抽屉中；（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。例3将11个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放______个球,至少要放________个球.（2012四年级希望杯2试——第9题）38n3.容斥原理在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。例4在1~500中不能被2整除，也不能被3整除，又不能被5整除的数有多少个?（2018四年级希望杯培训题）39n5-3逻辑与操作1.逻辑问题逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数a是质数，那么在整个推理过程中，a都自始至终是质数，保持同一性。（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又非。如：在推理过程中若推出数a既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同时都真（或假）。如：自然数a，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，就违反了排中律。（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条件“自然数a不是合数”出发就做出了“a一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因为其间忽略了“a还可能是1”的这种情况。例1甲、乙、丙、丁、戊5人猜测全班个人学科总成绩的前5名:甲:“第1名是D,第5名是E.”乙:“第2名是A,第4名是C.”丙:“第3名是D,第4名是A.”丁:“第1名是C,第3名是B.”戊:“第2名是C,第4名是B.”若每个人都是只猜对1个人的名次,且每个名次只有1个人猜对,则第1,2,3,4,5名分别是________.（2011四年级一试）（2011四年级希望杯1试——第20题）40n2.操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：（1）与数字相关的操作问题；（2）染色相关的操作问题；（3）计数方面的操作问题。例2A,B,C,D,4个盒子中依次放有8,6,3,1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子,……当第50位小朋友放完后,A盒中球的个数是______.（2012四年级希望杯1试——第16题）例3黑板上写着一个九位数222222222,对它做如下操作:擦掉末位数后又乘4,再加上刚擦去的数字,然后在黑板上写下得到的数;……如此操作下去,直到在黑板上写下的是一个一位数,那么,它是__________.（2014四年级希望杯1试——第20题）41n例43堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了个桃子．（2016四年级希望杯1试——第14题）例5亚瑟王在王宫中召见6名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友.他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有________种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).（2017华杯赛小中组）42
简介：四年级1 目录1.计算专题1-1简算巧算……………………………………………………………………………31-2等差数列……………………………………………………………………………61-3数谜…………………………………………………………………………………92.应用题专题2-1时间相关问题………………………………………………………………………112-2行程问题初步………………………………………………………………………142-3典型应用题综合……………………………………………………………………183.几何专题3-1简单图形……………………………………………………………………………213-2几何计算……………………………………………………………………………233-3立体图形初步………………………………………………………………………264.计数与数论专题4-1加乘原理……………………………………………………………………………284-2简单数论……………………………………………………………………………314-3整除与余数…………………………………………………………………………335.方法专题5-1找规律………………………………………………………………………………355-2数学方法……………………………………………………………………………375-3逻辑与操作…………………………………………………………………………402 1-1简算巧算四则运算的运算律（1）交换律：加法交换律用字母表示可以写成_________________________________.乘法交换律用字母表示可以写成_________________________________.（2）结合律：加法结合律用字母表示可以写成_________________________________.乘法结合律用字母表示可以写成_________________________________.（3）分配律：填空完成乘法分配律：(ab+=c)______________________(ab−=c)______________________填空完成除法分配律：(ab+)=c______________________(ab−=c)______________________（4）括号：按照去括号规律完成这些去括号练习：352537+−(=______________________)352537−−(=______________________)25(45)=______________________125(54)=______________________（5）带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。按照带符号搬家的原则改写下面的算式：543927=______________________586928______________________+−=（6）平方差公式22ab−=______________________(xyxy+)(−)=______________________3 例119+199+1999+19999+199999=_______.（2008希望杯四年级二试）例2计算:4×37×25=________.（2013希望杯四年级一试）例3计算：2468×629÷(1234×37)＝.(2015希望杯四年级一试)4 例4(7777+8888)÷5-(888-777)×3=______.（2011希望杯四年级一试）例5计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝____.（2012华杯赛决赛小中组）例6计算[(55×45–37×43)–(3×221+1)]÷22=_____.(2015希望杯四年级二试)5 1-2等差数列1.字母表示数（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：正方形的边长为a，周长可表示为___________，面积可表示为____________.（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：长方形的长为m，宽为n，长方形的周长可表示为___________，面积可表示为___________.含有字母的乘法中，乘号“×”写作“·”，或省略不写，一般要把数值写在字母的前面。用正确的写法改写下面的算式：a×b×c=________________=_________________p×q=________________=_________________m×12×n=________________=_________________a×3×5=________________=_________________2.定义新运算定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的运算含义。使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。例1定义a=++babab，则(23)4的值为________.（2015希望杯四年级一试）6 3.简单方程方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字母，等式永远成立的等式是恒等式。按照方程的概念填空：a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p=1，3×a+3其中，属于方程的有：_______________________________________________________.解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×5，右边也要×5.尝试解下列方程：x+5=8x-5=8x÷5=85x=80(x+5)÷8=85x+8=33x÷7–2=3(x–3)×6=36例2如果8×(2＋1÷x)＝18，则x＝_______.（2017希望杯四年级一试）4.等差数列（1）等差数列的概念：一列数，如果从第二项开始，后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一个数被称之为末项。7 判断下面这些数列是否为等差数列：1,2,3,4,5，……，99,100,101（）1,3,5,7，……，97,99,101（）1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（）（2）等差数列求和公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2①等差数列的和=项数×首项+项数×（项数－1）×公差÷2②用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：1+3+5+7+9+…+99+101+103=例3计算:1–3+5–7+–11+13–…–39+41=__________.(2009希望杯四年级二试)8 1-3数谜1.数字谜数字谜解题方法归纳：（1）末位分析法；（2）进位分析法；（3）借位分析法；（4）余数分析和位数分析；（5）综合分析法.例1如图所示，5个相同的两位数AB相加得两位数MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则AB=_______.（2012希望杯1试）例2“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的汉字代表0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.（2013华杯赛小中组B卷）9 2.数阵图（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。（3）解题关键：区分普通位和关键位→确定特定线（区域）计算线和及数和→判断关键位可填入的数→运用已有信息进行尝试例3将1到16这16个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的4个数的和相等，则a-b-c+d+e+f-g=______________.（2013希望杯1试）例4将六个数1，3，5，7，9，11分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为________.（2012华杯赛小中组B卷）10 2-1时间相关问题1.日历问题（1）能被4整除同时不能被100整除或者能被400整除的年份为闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。闰年有366天，非闰年有365天。（2）1、3、5、7、8、10、12月有31天，4、6、9、11有30天，闰年2月29天，非闰年2月28天。（3）一周7天，7天为一个周期。很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。例1如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期________.（2012希望杯1试）2.时间问题钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（时刻是从钟面看出来的）；从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=经过的时间。时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。计时法有两种：12时计时法和24时计时法。1天=24小时，1小时=60分钟=3600秒，1分钟=60秒。11 例2如图所示的电子钟可显示从00:00:00到23:59:59的时间，在一昼夜内(24小时)钟表上显示的时间恰好由数字1，2，3，4，5，6组成的共有_______秒.（2012希望杯1试）例312:00的时候时针和分针的夹角是0°，此后时针和分针第6次成90°夹角的时刻是_____:______.（12小时制）（2013希望杯1试）12 3.年龄问题年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活的加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我也长）（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而变小）例4今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大_______岁.（2011希望杯1试）例5今年丹丹4岁，丹丹的爸爸28岁，a年后，爸爸年龄是丹丹年龄的3倍，则a的值是______.（2016希望杯2试）13 2-2行程问题初步行程问题的常用公式（1）基本公式：速度×时间=路程（2）相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（3）追及问题：速度差×追及时间=相差路程（4）火车过桥：桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程（5）流水行船：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2例1小东和小荣同时从甲地出发到乙地.小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米.小荣到达乙地后立即返回.若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距______米.（2014希望杯1试）14 例2甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是米．（2016希望杯1试）例3一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有___________辆车.（2012华杯赛小中组A卷）15 例4一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇.如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶________千米.（2015华杯赛小中组）例5有一座高楼，小红每登上一层需1.5分钟，每走下一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层，则这座楼共有_________层.（2008希望杯2试）16 例6如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A，C沿围墙按顺时针方向同时出发，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，至少经过_________秒甲、乙在同一条边上．（2010希望杯2试）例7甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒.若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.（2016华杯赛小中组A卷）17 2-3典型应用题综合1.基本应用题一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。例1甲、乙、丙3人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了元．（2016希望杯四年级1试）2.和差倍应用题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数(和－差)÷2=较小数公式和÷(倍数＋1)=较小数差÷(倍数-1)=较小数(和＋差)÷2=较大数18 例2甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍.那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多_____千克．（2014希望杯四年级1试）3.盈亏问题一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得的关系。盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数（大盈—小盈）÷两次分配差=份数（大亏—小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分的数量×份数+盈=总数量每次分的数量×份数—亏=总数量例3某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场30名考生，则会余下26名考生独用一个考场；每个考场26名考生，则会余下20名考生独用一个考场，并且要比前一种方案多用9个考场。则该地区参加考试的考生有名。（2015希望杯四年级1试）19 4.鸡兔同笼问题解鸡兔同笼问题的基本关系式是：（1）如果假设全是兔，则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数（2）如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数例4鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只.（2013华杯赛小中组B卷）5.牛吃草问题基本公式:（1）设定一头牛一天吃草量为“1”；（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例5一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中的污水处理完。（2016希望杯四年级1试）20 3-1简单图形常见问题（1）图形分割（2）线段问题（3）图形计数（4）轴对称问题例1长方形MNPQ中，MN=3，MQ=4，过它的中心O(对角线MP和NQ的交点)画一条直线，长方形MNPQ被分成两个相同的图形，它们的形状分别是________.（2012希望杯四年级1试）例2A，B，C，D四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6条线段.已知这6条线段的长度分别是12，18，30，32，44，62(单位：厘米)，那么线段BC的长度是___________厘米.（2013希望杯四年级1试）21 例3下图由20个方格组成，其中含有A的正方形有______个.（2017希望杯四年级1试）例4如图，在5×5的方格纸的20个格点处各钉有1枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮筋围成正方形，一共可以围成__________个正方形.（2013希望杯四年级1试）例5如图是4×4的方格图，有3个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为轴对称图形，则不同的涂法有_______种.（2014希望杯四年级1试）22 3-2几何计算1.角度问题（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。（3）直角等于90°，平角等于180°，周角等于360°，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。例1如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC=20°，∠EOD=60°，则∠AOE=_________°，∠BOC=__________°.（2011希望杯四年级1试）2.巧求长方形周长（1）基本公式：①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．23 例2把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是_________cm.（2017希望杯四年级1试）3.面积、周长转化问题常用转化方法：（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。例3一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米。（2015希望杯四年级1试）24 4.格点面积问题利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。例4下图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是．（2016希望杯四年级1试）5.正方形面积问题正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2例5如图，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD的面积是________.（2014希望杯四年级1试）25 3-3立体图形初步1.正方体展开图正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是：相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，且相距最近。通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，剩下的两面是相对的面。2.立方体正方体的特征：正方体有6个面，8个顶点，12条棱。正方体6个面是大小相同的正方形，12条棱长度相等。正方体是特殊的长方体。例1如图，将数字4，5，6填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，则A处应该填______，B处应该填______，C处应该填_______.（2013希望杯四年级1试）26 例2将棱长为1米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海拔高度为8844米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度_________米.（2012华杯赛小中组）例3如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_________种不同的走法.（2012华杯赛小中组A卷）27 4-1加乘原理1.加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有m1+m2+…+mk种不同的方法。加法原理解题三部曲1.完成一件事分类情况2.类类独立（每类都能单独完成该件事）3.类类相加例1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？2.乘法原理一般地，如果完成一件事可以分成n个必要步骤，第一步有m1种不同的做法，第二步有m2种不同的做法，……，第n步有mn种不同的做法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。乘法原理解题三部曲1.完成一件事分n个必要步骤2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）3.步步相乘28 例2按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？爸爸飞机北京妈妈乘火车去拉萨我汽车台北例3希希去花店买花来装饰客厅，花店里有5盆黄色的花，7盆红色的花，以及6盆粉色的花，希希想从中选择2盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？29 例4用0–6这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？例5甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件的拿法各有多少种：（1）甲拿到自己的作业本；（2）恰有一人拿到自己的作业本；（3）至少有一人没拿到自己的作业本；（4）谁也没有拿到自己的作业本.30 4-2简单数论什么是数论数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。小学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理等等。例110个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是____。（2017四年级希望杯1试——第12题）例2有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是____。（2017四年级希望杯2试——第2题）31 例3三位数abc与cba是一个三位反序数对（如123与321，778与877）。如果三位反序数对中两个数的和是1069，这样的反序数对一共有______对。（2015四年级希望杯1试——第18题）例4某个两位数的个位数字和十位数字的和是12,个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小36,则原数是___________.（2011四年级希望杯1试——第15题）例5如果a表示一个三位数,b表示一个两位数,那么a+b最小是_______,a+b最大是______,a–b最小是_____,a–b最大是______.（2012四年级希望杯1试——第3题）32 4-3整除与余数知识精讲abc=……d在这个除法算式中，整数a除以非零整数b，商为整数c，余数为d。余数d=0时，我们称a能被b整除，或b整除a，记为b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。在整除的情况下，称a为b的倍数，b为a的约数（或因数）。能被整除的数的特征：（1）被2整除的数：所有偶数都可以被2整除，即末位是0,2,4,6,8.（2）被3整除的数：一个整数的数字和能被3整除，这个整数可以被3整除。（3）被4整除的数：末两位可以被4整除的整数即可被4整除。（4）被5整除的数：末位是0或5的整数可以被5整除。（5）被8整除的数：末三位可以被8整除的整数可以被8整除。（6）被9整除的数：数字和能被9整除的整数可以被9整除。（7）被7,11,13整除的数：因为7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否可以被这三个数整除。在不能整除的除法中，就会产生余数。同余定理：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a－b能够被m整除，那么就称a和b对模m同余，标记方式为ab（modm）。例1有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是.（2015四年级希望杯1试——第2题）33 例2为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个0,□里的数最小是_________.8×10×15×25×□（2007四年级希望杯2试——第3题）例3有一筐桃子,4个4个地数,多2个;6个6个地数,多4个;8个8个地数,少2个.已知这筐桃子的个数不少于120,也不多于150,则这筐桃子共有_______个.（2012四年级希望杯1试——第14题）例4在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。（2016四年级希望杯1试——第15题）34 5-1找规律知识精讲找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。例1算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是________.（2010四年级希望杯2试——第10题）35 例2按照图1中前4个图中数的规律,在第5个图中填上适当的数.A=___,B=___,C=___,D=___,E=___,F=___.（2011四年级希望杯1试——第7题）例3用An表示乘积7777的结果的个位数字,如:A1=7,A2=9,A3=3,…,则n7个A1+A2+A3+…+A2013=___________.（2013四年级希望杯1试——第21题）例4如图,当n=1时,有2个小星星;当n=2时,有6个小星星;当n=3时,有12个小星星;当n=4时,有20个小星星······则当n=10时,有__________个小星星.（2013四年级希望杯2试——第3题）36 5-2数学方法1.最不利原则有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方面思考：（1）寻找极端情形；（2）分析推理——确定最值；（3）枚举比较——确定最值；（4）估计并构造模型。用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。例1布袋中有60个彩球,每种颜色的球都有6个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出________个球.（2013华杯赛小中组B卷）例2在1到200这200个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？（2016华杯赛小中组A卷）37 2.抽屉原理抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到成功应用。最简单的抽屉原则是这样：有3个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的物品至少是2个。因为3个物品的分配只能是这两种情形：0和3,1和2.也就是说当一个抽屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有1个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有一个抽屉里没有物品。拓展到一般的情形，将n+1个物品放进n个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物品。将n个物品放进n+1个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及规律，得到抽屉构造思路。利用抽屉原则解题的一般步骤是：（1）分析特征规律，构造抽屉；（2）把元素放入所构造的抽屉中；（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。例3将11个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放______个球,至少要放________个球.（2012四年级希望杯2试——第9题）38 3.容斥原理在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。例4在1~500中不能被2整除，也不能被3整除，又不能被5整除的数有多少个?（2018四年级希望杯培训题）39 5-3逻辑与操作1.逻辑问题逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数a是质数，那么在整个推理过程中，a都自始至终是质数，保持同一性。（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又非。如：在推理过程中若推出数a既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同时都真（或假）。如：自然数a，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，就违反了排中律。（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条件“自然数a不是合数”出发就做出了“a一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因为其间忽略了“a还可能是1”的这种情况。例1甲、乙、丙、丁、戊5人猜测全班个人学科总成绩的前5名:甲:“第1名是D,第5名是E.”乙:“第2名是A,第4名是C.”丙:“第3名是D,第4名是A.”丁:“第1名是C,第3名是B.”戊:“第2名是C,第4名是B.”若每个人都是只猜对1个人的名次,且每个名次只有1个人猜对,则第1,2,3,4,5名分别是________.（2011四年级一试）（2011四年级希望杯1试——第20题）40 2.操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：（1）与数字相关的操作问题；（2）染色相关的操作问题；（3）计数方面的操作问题。例2A,B,C,D,4个盒子中依次放有8,6,3,1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子,……当第50位小朋友放完后,A盒中球的个数是______.（2012四年级希望杯1试——第16题）例3黑板上写着一个九位数222222222,对它做如下操作:擦掉末位数后又乘4,再加上刚擦去的数字,然后在黑板上写下得到的数;……如此操作下去,直到在黑板上写下的是一个一位数,那么,它是__________.（2014四年级希望杯1试——第20题）41 例43堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了个桃子．（2016四年级希望杯1试——第14题）例5亚瑟王在王宫中召见6名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友.他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有________种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).（2017华杯赛小中组）42
简介：四年级1 目录1.计算专题1-1简算巧算……………………………………………………………………………31-2等差数列……………………………………………………………………………61-3数谜…………………………………………………………………………………92.应用题专题2-1时间相关问题………………………………………………………………………112-2行程问题初步………………………………………………………………………142-3典型应用题综合……………………………………………………………………183.几何专题3-1简单图形……………………………………………………………………………213-2几何计算……………………………………………………………………………233-3立体图形初步………………………………………………………………………264.计数与数论专题4-1加乘原理……………………………………………………………………………284-2简单数论……………………………………………………………………………314-3整除与余数…………………………………………………………………………335.方法专题5-1找规律………………………………………………………………………………355-2数学方法……………………………………………………………………………375-3逻辑与操作…………………………………………………………………………402 1-1简算巧算四则运算的运算律（1）交换律：加法交换律用字母表示可以写成_________________________________.乘法交换律用字母表示可以写成_________________________________.（2）结合律：加法结合律用字母表示可以写成_________________________________.乘法结合律用字母表示可以写成_________________________________.（3）分配律：填空完成乘法分配律：(ab+=c)______________________(ab−=c)______________________填空完成除法分配律：(ab+)=c______________________(ab−=c)______________________（4）括号：按照去括号规律完成这些去括号练习：352537+−(=______________________)352537−−(=______________________)25(45)=______________________125(54)=______________________（5）带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。按照带符号搬家的原则改写下面的算式：543927=______________________586928______________________+−=（6）平方差公式22ab−=______________________(xyxy+)(−)=______________________3 例119+199+1999+19999+199999=_______.（2008希望杯四年级二试）例2计算:4×37×25=________.（2013希望杯四年级一试）例3计算：2468×629÷(1234×37)＝.(2015希望杯四年级一试)4 例4(7777+8888)÷5-(888-777)×3=______.（2011希望杯四年级一试）例5计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝____.（2012华杯赛决赛小中组）例6计算[(55×45–37×43)–(3×221+1)]÷22=_____.(2015希望杯四年级二试)5 1-2等差数列1.字母表示数（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：正方形的边长为a，周长可表示为___________，面积可表示为____________.（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：长方形的长为m，宽为n，长方形的周长可表示为___________，面积可表示为___________.含有字母的乘法中，乘号“×”写作“·”，或省略不写，一般要把数值写在字母的前面。用正确的写法改写下面的算式：a×b×c=________________=_________________p×q=________________=_________________m×12×n=________________=_________________a×3×5=________________=_________________2.定义新运算定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的运算含义。使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。例1定义a=++babab，则(23)4的值为________.（2015希望杯四年级一试）6 3.简单方程方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字母，等式永远成立的等式是恒等式。按照方程的概念填空：a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p=1，3×a+3其中，属于方程的有：_______________________________________________________.解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×5，右边也要×5.尝试解下列方程：x+5=8x-5=8x÷5=85x=80(x+5)÷8=85x+8=33x÷7–2=3(x–3)×6=36例2如果8×(2＋1÷x)＝18，则x＝_______.（2017希望杯四年级一试）4.等差数列（1）等差数列的概念：一列数，如果从第二项开始，后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一个数被称之为末项。7 判断下面这些数列是否为等差数列：1,2,3,4,5，……，99,100,101（）1,3,5,7，……，97,99,101（）1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（）（2）等差数列求和公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2①等差数列的和=项数×首项+项数×（项数－1）×公差÷2②用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：1+3+5+7+9+…+99+101+103=例3计算:1–3+5–7+–11+13–…–39+41=__________.(2009希望杯四年级二试)8 1-3数谜1.数字谜数字谜解题方法归纳：（1）末位分析法；（2）进位分析法；（3）借位分析法；（4）余数分析和位数分析；（5）综合分析法.例1如图所示，5个相同的两位数AB相加得两位数MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则AB=_______.（2012希望杯1试）例2“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的汉字代表0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.（2013华杯赛小中组B卷）9 2.数阵图（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。（3）解题关键：区分普通位和关键位→确定特定线（区域）计算线和及数和→判断关键位可填入的数→运用已有信息进行尝试例3将1到16这16个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的4个数的和相等，则a-b-c+d+e+f-g=______________.（2013希望杯1试）例4将六个数1，3，5，7，9，11分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为________.（2012华杯赛小中组B卷）10 2-1时间相关问题1.日历问题（1）能被4整除同时不能被100整除或者能被400整除的年份为闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。闰年有366天，非闰年有365天。（2）1、3、5、7、8、10、12月有31天，4、6、9、11有30天，闰年2月29天，非闰年2月28天。（3）一周7天，7天为一个周期。很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。例1如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期________.（2012希望杯1试）2.时间问题钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（时刻是从钟面看出来的）；从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=经过的时间。时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。计时法有两种：12时计时法和24时计时法。1天=24小时，1小时=60分钟=3600秒，1分钟=60秒。11 例2如图所示的电子钟可显示从00:00:00到23:59:59的时间，在一昼夜内(24小时)钟表上显示的时间恰好由数字1，2，3，4，5，6组成的共有_______秒.（2012希望杯1试）例312:00的时候时针和分针的夹角是0°，此后时针和分针第6次成90°夹角的时刻是_____:______.（12小时制）（2013希望杯1试）12 3.年龄问题年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活的加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我也长）（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而变小）例4今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大_______岁.（2011希望杯1试）例5今年丹丹4岁，丹丹的爸爸28岁，a年后，爸爸年龄是丹丹年龄的3倍，则a的值是______.（2016希望杯2试）13 2-2行程问题初步行程问题的常用公式（1）基本公式：速度×时间=路程（2）相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（3）追及问题：速度差×追及时间=相差路程（4）火车过桥：桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程（5）流水行船：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2例1小东和小荣同时从甲地出发到乙地.小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米.小荣到达乙地后立即返回.若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距______米.（2014希望杯1试）14 例2甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是米．（2016希望杯1试）例3一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有___________辆车.（2012华杯赛小中组A卷）15 例4一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇.如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶________千米.（2015华杯赛小中组）例5有一座高楼，小红每登上一层需1.5分钟，每走下一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层，则这座楼共有_________层.（2008希望杯2试）16 例6如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A，C沿围墙按顺时针方向同时出发，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，至少经过_________秒甲、乙在同一条边上．（2010希望杯2试）例7甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒.若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.（2016华杯赛小中组A卷）17 2-3典型应用题综合1.基本应用题一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。例1甲、乙、丙3人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了元．（2016希望杯四年级1试）2.和差倍应用题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数(和－差)÷2=较小数公式和÷(倍数＋1)=较小数差÷(倍数-1)=较小数(和＋差)÷2=较大数18 例2甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍.那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多_____千克．（2014希望杯四年级1试）3.盈亏问题一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得的关系。盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数（大盈—小盈）÷两次分配差=份数（大亏—小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分的数量×份数+盈=总数量每次分的数量×份数—亏=总数量例3某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场30名考生，则会余下26名考生独用一个考场；每个考场26名考生，则会余下20名考生独用一个考场，并且要比前一种方案多用9个考场。则该地区参加考试的考生有名。（2015希望杯四年级1试）19 4.鸡兔同笼问题解鸡兔同笼问题的基本关系式是：（1）如果假设全是兔，则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数（2）如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数例4鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只.（2013华杯赛小中组B卷）5.牛吃草问题基本公式:（1）设定一头牛一天吃草量为“1”；（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例5一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中的污水处理完。（2016希望杯四年级1试）20 3-1简单图形常见问题（1）图形分割（2）线段问题（3）图形计数（4）轴对称问题例1长方形MNPQ中，MN=3，MQ=4，过它的中心O(对角线MP和NQ的交点)画一条直线，长方形MNPQ被分成两个相同的图形，它们的形状分别是________.（2012希望杯四年级1试）例2A，B，C，D四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6条线段.已知这6条线段的长度分别是12，18，30，32，44，62(单位：厘米)，那么线段BC的长度是___________厘米.（2013希望杯四年级1试）21 例3下图由20个方格组成，其中含有A的正方形有______个.（2017希望杯四年级1试）例4如图，在5×5的方格纸的20个格点处各钉有1枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮筋围成正方形，一共可以围成__________个正方形.（2013希望杯四年级1试）例5如图是4×4的方格图，有3个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为轴对称图形，则不同的涂法有_______种.（2014希望杯四年级1试）22 3-2几何计算1.角度问题（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。（3）直角等于90°，平角等于180°，周角等于360°，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。例1如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC=20°，∠EOD=60°，则∠AOE=_________°，∠BOC=__________°.（2011希望杯四年级1试）2.巧求长方形周长（1）基本公式：①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．23 例2把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是_________cm.（2017希望杯四年级1试）3.面积、周长转化问题常用转化方法：（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。例3一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米。（2015希望杯四年级1试）24 4.格点面积问题利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。例4下图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是．（2016希望杯四年级1试）5.正方形面积问题正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2例5如图，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD的面积是________.（2014希望杯四年级1试）25 3-3立体图形初步1.正方体展开图正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是：相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，且相距最近。通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，剩下的两面是相对的面。2.立方体正方体的特征：正方体有6个面，8个顶点，12条棱。正方体6个面是大小相同的正方形，12条棱长度相等。正方体是特殊的长方体。例1如图，将数字4，5，6填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，则A处应该填______，B处应该填______，C处应该填_______.（2013希望杯四年级1试）26 例2将棱长为1米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海拔高度为8844米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度_________米.（2012华杯赛小中组）例3如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_________种不同的走法.（2012华杯赛小中组A卷）27 4-1加乘原理1.加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有m1+m2+…+mk种不同的方法。加法原理解题三部曲1.完成一件事分类情况2.类类独立（每类都能单独完成该件事）3.类类相加例1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？2.乘法原理一般地，如果完成一件事可以分成n个必要步骤，第一步有m1种不同的做法，第二步有m2种不同的做法，……，第n步有mn种不同的做法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。乘法原理解题三部曲1.完成一件事分n个必要步骤2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）3.步步相乘28 例2按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？爸爸飞机北京妈妈乘火车去拉萨我汽车台北例3希希去花店买花来装饰客厅，花店里有5盆黄色的花，7盆红色的花，以及6盆粉色的花，希希想从中选择2盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？29 例4用0–6这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？例5甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件的拿法各有多少种：（1）甲拿到自己的作业本；（2）恰有一人拿到自己的作业本；（3）至少有一人没拿到自己的作业本；（4）谁也没有拿到自己的作业本.30 4-2简单数论什么是数论数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。小学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理等等。例110个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是____。（2017四年级希望杯1试——第12题）例2有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是____。（2017四年级希望杯2试——第2题）31 例3三位数abc与cba是一个三位反序数对（如123与321，778与877）。如果三位反序数对中两个数的和是1069，这样的反序数对一共有______对。（2015四年级希望杯1试——第18题）例4某个两位数的个位数字和十位数字的和是12,个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小36,则原数是___________.（2011四年级希望杯1试——第15题）例5如果a表示一个三位数,b表示一个两位数,那么a+b最小是_______,a+b最大是______,a–b最小是_____,a–b最大是______.（2012四年级希望杯1试——第3题）32 4-3整除与余数知识精讲abc=……d在这个除法算式中，整数a除以非零整数b，商为整数c，余数为d。余数d=0时，我们称a能被b整除，或b整除a，记为b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。在整除的情况下，称a为b的倍数，b为a的约数（或因数）。能被整除的数的特征：（1）被2整除的数：所有偶数都可以被2整除，即末位是0,2,4,6,8.（2）被3整除的数：一个整数的数字和能被3整除，这个整数可以被3整除。（3）被4整除的数：末两位可以被4整除的整数即可被4整除。（4）被5整除的数：末位是0或5的整数可以被5整除。（5）被8整除的数：末三位可以被8整除的整数可以被8整除。（6）被9整除的数：数字和能被9整除的整数可以被9整除。（7）被7,11,13整除的数：因为7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否可以被这三个数整除。在不能整除的除法中，就会产生余数。同余定理：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a－b能够被m整除，那么就称a和b对模m同余，标记方式为ab（modm）。例1有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是.（2015四年级希望杯1试——第2题）33 例2为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个0,□里的数最小是_________.8×10×15×25×□（2007四年级希望杯2试——第3题）例3有一筐桃子,4个4个地数,多2个;6个6个地数,多4个;8个8个地数,少2个.已知这筐桃子的个数不少于120,也不多于150,则这筐桃子共有_______个.（2012四年级希望杯1试——第14题）例4在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。（2016四年级希望杯1试——第15题）34 5-1找规律知识精讲找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。例1算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是________.（2010四年级希望杯2试——第10题）35 例2按照图1中前4个图中数的规律,在第5个图中填上适当的数.A=___,B=___,C=___,D=___,E=___,F=___.（2011四年级希望杯1试——第7题）例3用An表示乘积7777的结果的个位数字,如:A1=7,A2=9,A3=3,…,则n7个A1+A2+A3+…+A2013=___________.（2013四年级希望杯1试——第21题）例4如图,当n=1时,有2个小星星;当n=2时,有6个小星星;当n=3时,有12个小星星;当n=4时,有20个小星星······则当n=10时,有__________个小星星.（2013四年级希望杯2试——第3题）36 5-2数学方法1.最不利原则有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方面思考：（1）寻找极端情形；（2）分析推理——确定最值；（3）枚举比较——确定最值；（4）估计并构造模型。用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。例1布袋中有60个彩球,每种颜色的球都有6个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出________个球.（2013华杯赛小中组B卷）例2在1到200这200个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？（2016华杯赛小中组A卷）37 2.抽屉原理抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到成功应用。最简单的抽屉原则是这样：有3个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的物品至少是2个。因为3个物品的分配只能是这两种情形：0和3,1和2.也就是说当一个抽屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有1个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有一个抽屉里没有物品。拓展到一般的情形，将n+1个物品放进n个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物品。将n个物品放进n+1个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及规律，得到抽屉构造思路。利用抽屉原则解题的一般步骤是：（1）分析特征规律，构造抽屉；（2）把元素放入所构造的抽屉中；（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。例3将11个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放______个球,至少要放________个球.（2012四年级希望杯2试——第9题）38 3.容斥原理在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。例4在1~500中不能被2整除，也不能被3整除，又不能被5整除的数有多少个?（2018四年级希望杯培训题）39 5-3逻辑与操作1.逻辑问题逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数a是质数，那么在整个推理过程中，a都自始至终是质数，保持同一性。（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又非。如：在推理过程中若推出数a既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同时都真（或假）。如：自然数a，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，就违反了排中律。（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条件“自然数a不是合数”出发就做出了“a一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因为其间忽略了“a还可能是1”的这种情况。例1甲、乙、丙、丁、戊5人猜测全班个人学科总成绩的前5名:甲:“第1名是D,第5名是E.”乙:“第2名是A,第4名是C.”丙:“第3名是D,第4名是A.”丁:“第1名是C,第3名是B.”戊:“第2名是C,第4名是B.”若每个人都是只猜对1个人的名次,且每个名次只有1个人猜对,则第1,2,3,4,5名分别是________.（2011四年级一试）（2011四年级希望杯1试——第20题）40 2.操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：（1）与数字相关的操作问题；（2）染色相关的操作问题；（3）计数方面的操作问题。例2A,B,C,D,4个盒子中依次放有8,6,3,1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子,……当第50位小朋友放完后,A盒中球的个数是______.（2012四年级希望杯1试——第16题）例3黑板上写着一个九位数222222222,对它做如下操作:擦掉末位数后又乘4,再加上刚擦去的数字,然后在黑板上写下得到的数;……如此操作下去,直到在黑板上写下的是一个一位数,那么,它是__________.（2014四年级希望杯1试——第20题）41 例43堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了个桃子．（2016四年级希望杯1试——第14题）例5亚瑟王在王宫中召见6名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友.他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有________种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).（2017华杯赛小中组）42
简介：四年级1 目录1.计算专题1-1简算巧算……………………………………………………………………………31-2等差数列……………………………………………………………………………61-3数谜…………………………………………………………………………………92.应用题专题2-1时间相关问题………………………………………………………………………112-2行程问题初步………………………………………………………………………142-3典型应用题综合……………………………………………………………………183.几何专题3-1简单图形……………………………………………………………………………213-2几何计算……………………………………………………………………………233-3立体图形初步………………………………………………………………………264.计数与数论专题4-1加乘原理……………………………………………………………………………284-2简单数论……………………………………………………………………………314-3整除与余数…………………………………………………………………………335.方法专题5-1找规律………………………………………………………………………………355-2数学方法……………………………………………………………………………375-3逻辑与操作…………………………………………………………………………402 1-1简算巧算四则运算的运算律（1）交换律：加法交换律用字母表示可以写成_________________________________.乘法交换律用字母表示可以写成_________________________________.（2）结合律：加法结合律用字母表示可以写成_________________________________.乘法结合律用字母表示可以写成_________________________________.（3）分配律：填空完成乘法分配律：(ab+=c)______________________(ab−=c)______________________填空完成除法分配律：(ab+)=c______________________(ab−=c)______________________（4）括号：按照去括号规律完成这些去括号练习：352537+−(=______________________)352537−−(=______________________)25(45)=______________________125(54)=______________________（5）带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。按照带符号搬家的原则改写下面的算式：543927=______________________586928______________________+−=（6）平方差公式22ab−=______________________(xyxy+)(−)=______________________3 例119+199+1999+19999+199999=_______.（2008希望杯四年级二试）例2计算:4×37×25=________.（2013希望杯四年级一试）例3计算：2468×629÷(1234×37)＝.(2015希望杯四年级一试)4 例4(7777+8888)÷5-(888-777)×3=______.（2011希望杯四年级一试）例5计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝____.（2012华杯赛决赛小中组）例6计算[(55×45–37×43)–(3×221+1)]÷22=_____.(2015希望杯四年级二试)5 1-2等差数列1.字母表示数（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：正方形的边长为a，周长可表示为___________，面积可表示为____________.（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：长方形的长为m，宽为n，长方形的周长可表示为___________，面积可表示为___________.含有字母的乘法中，乘号“×”写作“·”，或省略不写，一般要把数值写在字母的前面。用正确的写法改写下面的算式：a×b×c=________________=_________________p×q=________________=_________________m×12×n=________________=_________________a×3×5=________________=_________________2.定义新运算定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的运算含义。使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。例1定义a=++babab，则(23)4的值为________.（2015希望杯四年级一试）6 3.简单方程方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字母，等式永远成立的等式是恒等式。按照方程的概念填空：a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p=1，3×a+3其中，属于方程的有：_______________________________________________________.解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×5，右边也要×5.尝试解下列方程：x+5=8x-5=8x÷5=85x=80(x+5)÷8=85x+8=33x÷7–2=3(x–3)×6=36例2如果8×(2＋1÷x)＝18，则x＝_______.（2017希望杯四年级一试）4.等差数列（1）等差数列的概念：一列数，如果从第二项开始，后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一个数被称之为末项。7 判断下面这些数列是否为等差数列：1,2,3,4,5，……，99,100,101（）1,3,5,7，……，97,99,101（）1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（）（2）等差数列求和公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2①等差数列的和=项数×首项+项数×（项数－1）×公差÷2②用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：1+3+5+7+9+…+99+101+103=例3计算:1–3+5–7+–11+13–…–39+41=__________.(2009希望杯四年级二试)8 1-3数谜1.数字谜数字谜解题方法归纳：（1）末位分析法；（2）进位分析法；（3）借位分析法；（4）余数分析和位数分析；（5）综合分析法.例1如图所示，5个相同的两位数AB相加得两位数MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则AB=_______.（2012希望杯1试）例2“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的汉字代表0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.（2013华杯赛小中组B卷）9 2.数阵图（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。（3）解题关键：区分普通位和关键位→确定特定线（区域）计算线和及数和→判断关键位可填入的数→运用已有信息进行尝试例3将1到16这16个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的4个数的和相等，则a-b-c+d+e+f-g=______________.（2013希望杯1试）例4将六个数1，3，5，7，9，11分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为________.（2012华杯赛小中组B卷）10 2-1时间相关问题1.日历问题（1）能被4整除同时不能被100整除或者能被400整除的年份为闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。闰年有366天，非闰年有365天。（2）1、3、5、7、8、10、12月有31天，4、6、9、11有30天，闰年2月29天，非闰年2月28天。（3）一周7天，7天为一个周期。很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。例1如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期________.（2012希望杯1试）2.时间问题钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（时刻是从钟面看出来的）；从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=经过的时间。时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。计时法有两种：12时计时法和24时计时法。1天=24小时，1小时=60分钟=3600秒，1分钟=60秒。11 例2如图所示的电子钟可显示从00:00:00到23:59:59的时间，在一昼夜内(24小时)钟表上显示的时间恰好由数字1，2，3，4，5，6组成的共有_______秒.（2012希望杯1试）例312:00的时候时针和分针的夹角是0°，此后时针和分针第6次成90°夹角的时刻是_____:______.（12小时制）（2013希望杯1试）12 3.年龄问题年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活的加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我也长）（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而变小）例4今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大_______岁.（2011希望杯1试）例5今年丹丹4岁，丹丹的爸爸28岁，a年后，爸爸年龄是丹丹年龄的3倍，则a的值是______.（2016希望杯2试）13 2-2行程问题初步行程问题的常用公式（1）基本公式：速度×时间=路程（2）相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（3）追及问题：速度差×追及时间=相差路程（4）火车过桥：桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程（5）流水行船：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2例1小东和小荣同时从甲地出发到乙地.小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米.小荣到达乙地后立即返回.若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距______米.（2014希望杯1试）14 例2甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是米．（2016希望杯1试）例3一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有___________辆车.（2012华杯赛小中组A卷）15 例4一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇.如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶________千米.（2015华杯赛小中组）例5有一座高楼，小红每登上一层需1.5分钟，每走下一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层，则这座楼共有_________层.（2008希望杯2试）16 例6如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A，C沿围墙按顺时针方向同时出发，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，至少经过_________秒甲、乙在同一条边上．（2010希望杯2试）例7甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒.若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.（2016华杯赛小中组A卷）17 2-3典型应用题综合1.基本应用题一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。例1甲、乙、丙3人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了元．（2016希望杯四年级1试）2.和差倍应用题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数(和－差)÷2=较小数公式和÷(倍数＋1)=较小数差÷(倍数-1)=较小数(和＋差)÷2=较大数18 例2甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍.那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多_____千克．（2014希望杯四年级1试）3.盈亏问题一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得的关系。盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数（大盈—小盈）÷两次分配差=份数（大亏—小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分的数量×份数+盈=总数量每次分的数量×份数—亏=总数量例3某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场30名考生，则会余下26名考生独用一个考场；每个考场26名考生，则会余下20名考生独用一个考场，并且要比前一种方案多用9个考场。则该地区参加考试的考生有名。（2015希望杯四年级1试）19 4.鸡兔同笼问题解鸡兔同笼问题的基本关系式是：（1）如果假设全是兔，则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数（2）如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数例4鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只.（2013华杯赛小中组B卷）5.牛吃草问题基本公式:（1）设定一头牛一天吃草量为“1”；（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例5一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中的污水处理完。（2016希望杯四年级1试）20 3-1简单图形常见问题（1）图形分割（2）线段问题（3）图形计数（4）轴对称问题例1长方形MNPQ中，MN=3，MQ=4，过它的中心O(对角线MP和NQ的交点)画一条直线，长方形MNPQ被分成两个相同的图形，它们的形状分别是________.（2012希望杯四年级1试）例2A，B，C，D四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6条线段.已知这6条线段的长度分别是12，18，30，32，44，62(单位：厘米)，那么线段BC的长度是___________厘米.（2013希望杯四年级1试）21 例3下图由20个方格组成，其中含有A的正方形有______个.（2017希望杯四年级1试）例4如图，在5×5的方格纸的20个格点处各钉有1枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮筋围成正方形，一共可以围成__________个正方形.（2013希望杯四年级1试）例5如图是4×4的方格图，有3个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为轴对称图形，则不同的涂法有_______种.（2014希望杯四年级1试）22 3-2几何计算1.角度问题（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。（3）直角等于90°，平角等于180°，周角等于360°，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。例1如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC=20°，∠EOD=60°，则∠AOE=_________°，∠BOC=__________°.（2011希望杯四年级1试）2.巧求长方形周长（1）基本公式：①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．23 例2把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是_________cm.（2017希望杯四年级1试）3.面积、周长转化问题常用转化方法：（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。例3一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米。（2015希望杯四年级1试）24 4.格点面积问题利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。例4下图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是．（2016希望杯四年级1试）5.正方形面积问题正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2例5如图，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD的面积是________.（2014希望杯四年级1试）25 3-3立体图形初步1.正方体展开图正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是：相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，且相距最近。通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，剩下的两面是相对的面。2.立方体正方体的特征：正方体有6个面，8个顶点，12条棱。正方体6个面是大小相同的正方形，12条棱长度相等。正方体是特殊的长方体。例1如图，将数字4，5，6填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，则A处应该填______，B处应该填______，C处应该填_______.（2013希望杯四年级1试）26 例2将棱长为1米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海拔高度为8844米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度_________米.（2012华杯赛小中组）例3如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_________种不同的走法.（2012华杯赛小中组A卷）27 4-1加乘原理1.加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有m1+m2+…+mk种不同的方法。加法原理解题三部曲1.完成一件事分类情况2.类类独立（每类都能单独完成该件事）3.类类相加例1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？2.乘法原理一般地，如果完成一件事可以分成n个必要步骤，第一步有m1种不同的做法，第二步有m2种不同的做法，……，第n步有mn种不同的做法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。乘法原理解题三部曲1.完成一件事分n个必要步骤2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）3.步步相乘28 例2按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？爸爸飞机北京妈妈乘火车去拉萨我汽车台北例3希希去花店买花来装饰客厅，花店里有5盆黄色的花，7盆红色的花，以及6盆粉色的花，希希想从中选择2盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？29 例4用0–6这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？例5甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件的拿法各有多少种：（1）甲拿到自己的作业本；（2）恰有一人拿到自己的作业本；（3）至少有一人没拿到自己的作业本；（4）谁也没有拿到自己的作业本.30 4-2简单数论什么是数论数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。小学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理等等。例110个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是____。（2017四年级希望杯1试——第12题）例2有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是____。（2017四年级希望杯2试——第2题）31 例3三位数abc与cba是一个三位反序数对（如123与321，778与877）。如果三位反序数对中两个数的和是1069，这样的反序数对一共有______对。（2015四年级希望杯1试——第18题）例4某个两位数的个位数字和十位数字的和是12,个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小36,则原数是___________.（2011四年级希望杯1试——第15题）例5如果a表示一个三位数,b表示一个两位数,那么a+b最小是_______,a+b最大是______,a–b最小是_____,a–b最大是______.（2012四年级希望杯1试——第3题）32 4-3整除与余数知识精讲abc=……d在这个除法算式中，整数a除以非零整数b，商为整数c，余数为d。余数d=0时，我们称a能被b整除，或b整除a，记为b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。在整除的情况下，称a为b的倍数，b为a的约数（或因数）。能被整除的数的特征：（1）被2整除的数：所有偶数都可以被2整除，即末位是0,2,4,6,8.（2）被3整除的数：一个整数的数字和能被3整除，这个整数可以被3整除。（3）被4整除的数：末两位可以被4整除的整数即可被4整除。（4）被5整除的数：末位是0或5的整数可以被5整除。（5）被8整除的数：末三位可以被8整除的整数可以被8整除。（6）被9整除的数：数字和能被9整除的整数可以被9整除。（7）被7,11,13整除的数：因为7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否可以被这三个数整除。在不能整除的除法中，就会产生余数。同余定理：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a－b能够被m整除，那么就称a和b对模m同余，标记方式为ab（modm）。例1有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是.（2015四年级希望杯1试——第2题）33 例2为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个0,□里的数最小是_________.8×10×15×25×□（2007四年级希望杯2试——第3题）例3有一筐桃子,4个4个地数,多2个;6个6个地数,多4个;8个8个地数,少2个.已知这筐桃子的个数不少于120,也不多于150,则这筐桃子共有_______个.（2012四年级希望杯1试——第14题）例4在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。（2016四年级希望杯1试——第15题）34 5-1找规律知识精讲找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。例1算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是________.（2010四年级希望杯2试——第10题）35 例2按照图1中前4个图中数的规律,在第5个图中填上适当的数.A=___,B=___,C=___,D=___,E=___,F=___.（2011四年级希望杯1试——第7题）例3用An表示乘积7777的结果的个位数字,如:A1=7,A2=9,A3=3,…,则n7个A1+A2+A3+…+A2013=___________.（2013四年级希望杯1试——第21题）例4如图,当n=1时,有2个小星星;当n=2时,有6个小星星;当n=3时,有12个小星星;当n=4时,有20个小星星······则当n=10时,有__________个小星星.（2013四年级希望杯2试——第3题）36 5-2数学方法1.最不利原则有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方面思考：（1）寻找极端情形；（2）分析推理——确定最值；（3）枚举比较——确定最值；（4）估计并构造模型。用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。例1布袋中有60个彩球,每种颜色的球都有6个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出________个球.（2013华杯赛小中组B卷）例2在1到200这200个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？（2016华杯赛小中组A卷）37 2.抽屉原理抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到成功应用。最简单的抽屉原则是这样：有3个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的物品至少是2个。因为3个物品的分配只能是这两种情形：0和3,1和2.也就是说当一个抽屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有1个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有一个抽屉里没有物品。拓展到一般的情形，将n+1个物品放进n个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物品。将n个物品放进n+1个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及规律，得到抽屉构造思路。利用抽屉原则解题的一般步骤是：（1）分析特征规律，构造抽屉；（2）把元素放入所构造的抽屉中；（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。例3将11个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放______个球,至少要放________个球.（2012四年级希望杯2试——第9题）38 3.容斥原理在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。例4在1~500中不能被2整除，也不能被3整除，又不能被5整除的数有多少个?（2018四年级希望杯培训题）39 5-3逻辑与操作1.逻辑问题逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数a是质数，那么在整个推理过程中，a都自始至终是质数，保持同一性。（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又非。如：在推理过程中若推出数a既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同时都真（或假）。如：自然数a，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，就违反了排中律。（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条件“自然数a不是合数”出发就做出了“a一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因为其间忽略了“a还可能是1”的这种情况。例1甲、乙、丙、丁、戊5人猜测全班个人学科总成绩的前5名:甲:“第1名是D,第5名是E.”乙:“第2名是A,第4名是C.”丙:“第3名是D,第4名是A.”丁:“第1名是C,第3名是B.”戊:“第2名是C,第4名是B.”若每个人都是只猜对1个人的名次,且每个名次只有1个人猜对,则第1,2,3,4,5名分别是________.（2011四年级一试）（2011四年级希望杯1试——第20题）40 2.操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：（1）与数字相关的操作问题；（2）染色相关的操作问题；（3）计数方面的操作问题。例2A,B,C,D,4个盒子中依次放有8,6,3,1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子,……当第50位小朋友放完后,A盒中球的个数是______.（2012四年级希望杯1试——第16题）例3黑板上写着一个九位数222222222,对它做如下操作:擦掉末位数后又乘4,再加上刚擦去的数字,然后在黑板上写下得到的数;……如此操作下去,直到在黑板上写下的是一个一位数,那么,它是__________.（2014四年级希望杯1试——第20题）41 例43堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了个桃子．（2016四年级希望杯1试——第14题）例5亚瑟王在王宫中召见6名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友.他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有________种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).（2017华杯赛小中组）42
简介：四年级1n目录1.计算专题1-1简算巧算……………………………………………………………………………31-2等差数列……………………………………………………………………………61-3数谜…………………………………………………………………………………92.应用题专题2-1时间相关问题………………………………………………………………………112-2行程问题初步………………………………………………………………………142-3典型应用题综合……………………………………………………………………183.几何专题3-1简单图形……………………………………………………………………………213-2几何计算……………………………………………………………………………233-3立体图形初步………………………………………………………………………264.计数与数论专题4-1加乘原理……………………………………………………………………………284-2简单数论……………………………………………………………………………314-3整除与余数…………………………………………………………………………335.方法专题5-1找规律………………………………………………………………………………355-2数学方法……………………………………………………………………………375-3逻辑与操作…………………………………………………………………………402n1-1简算巧算四则运算的运算律（1）交换律：加法交换律用字母表示可以写成_________________________________.乘法交换律用字母表示可以写成_________________________________.（2）结合律：加法结合律用字母表示可以写成_________________________________.乘法结合律用字母表示可以写成_________________________________.（3）分配律：填空完成乘法分配律：(ab+=c)______________________(ab−=c)______________________填空完成除法分配律：(ab+)=c______________________(ab−=c)______________________（4）括号：按照去括号规律完成这些去括号练习：352537+−(=______________________)352537−−(=______________________)25(45)=______________________125(54)=______________________（5）带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家。加、减法为第一级运算，乘、除法为第二级运算。按照带符号搬家的原则改写下面的算式：543927=______________________586928______________________+−=（6）平方差公式22ab−=______________________(xyxy+)(−)=______________________3n例119+199+1999+19999+199999=_______.（2008希望杯四年级二试）例2计算:4×37×25=________.（2013希望杯四年级一试）例3计算：2468×629÷(1234×37)＝.(2015希望杯四年级一试)4n例4(7777+8888)÷5-(888-777)×3=______.（2011希望杯四年级一试）例5计算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝____.（2012华杯赛决赛小中组）例6计算[(55×45–37×43)–(3×221+1)]÷22=_____.(2015希望杯四年级二试)5n1-2等差数列1.字母表示数（1）用字母表示数能够简明表示出事物的规律和特征，如：正方形的边长为a，周长可表示为___________，面积可表示为____________.（2）同一个问题中，不同的数要用不同的字母表示，如：长方形的长为m，宽为n，长方形的周长可表示为___________，面积可表示为___________.含有字母的乘法中，乘号“×”写作“·”，或省略不写，一般要把数值写在字母的前面。用正确的写法改写下面的算式：a×b×c=________________=_________________p×q=________________=_________________m×12×n=________________=_________________a×3×5=________________=_________________2.定义新运算定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的符号，并给这些符号一个新的运算含义。使用特殊符号是为了避免和熟悉的运算符号产生混淆。例1定义a=++babab，则(23)4的值为________.（2015希望杯四年级一试）6n3.简单方程方程是含有未知数的等式。等式又分为恒等式和非恒等式。可用任意数值代替式子中的字母，等式永远成立的等式是恒等式。按照方程的概念填空：a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p=1，3×a+3其中，属于方程的有：_______________________________________________________.解方程的关键是等号两边要同时做相同的计算，等号左边＋3，右边也要同时＋3，左边×5，右边也要×5.尝试解下列方程：x+5=8x-5=8x÷5=85x=80(x+5)÷8=85x+8=33x÷7–2=3(x–3)×6=36例2如果8×(2＋1÷x)＝18，则x＝_______.（2017希望杯四年级一试）4.等差数列（1）等差数列的概念：一列数，如果从第二项开始，后一项与前一项的差是同一个常数，我们就称这个数列为等差数列。这个常数被称之为公差。这个数列的第一个数也就是第一项被称之为首项，最后一个数被称之为末项。7n判断下面这些数列是否为等差数列：1,2,3,4,5，……，99,100,101（）1,3,5,7，……，97,99,101（）1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（）（2）等差数列求和公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2①等差数列的和=项数×首项+项数×（项数－1）×公差÷2②用这个等差数列尝试自己推导等差数列求和公式①：1+3+5+7+9+…+99+101+103=例3计算:1–3+5–7+–11+13–…–39+41=__________.(2009希望杯四年级二试)8n1-3数谜1.数字谜数字谜解题方法归纳：（1）末位分析法；（2）进位分析法；（3）借位分析法；（4）余数分析和位数分析；（5）综合分析法.例1如图所示，5个相同的两位数AB相加得两位数MB，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则AB=_______.（2012希望杯1试）例2“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的汉字代表0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.（2013华杯赛小中组B卷）9n2.数阵图（1）数阵图分类：辐射型，封闭型，复合型（2）数阵图问题本质：在数阵中填入可保证特定线上（特定区域内）的数的之间的关系。（3）解题关键：区分普通位和关键位→确定特定线（区域）计算线和及数和→判断关键位可填入的数→运用已有信息进行尝试例3将1到16这16个自然数排成如图的形状，使每条斜线上的4个数的和相等，则a-b-c+d+e+f-g=______________.（2013希望杯1试）例4将六个数1，3，5，7，9，11分别填入下图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于19，则三角形三个顶点处的圆圈内所填三数之和为________.（2012华杯赛小中组B卷）10n2-1时间相关问题1.日历问题（1）能被4整除同时不能被100整除或者能被400整除的年份为闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。闰年有366天，非闰年有365天。（2）1、3、5、7、8、10、12月有31天，4、6、9、11有30天，闰年2月29天，非闰年2月28天。（3）一周7天，7天为一个周期。很多时候日历问题都可以用周期问题或余数问题来思考。例1如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期________.（2012希望杯1试）2.时间问题钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬间是时刻（时刻是从钟面看出来的）；从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时间（时间是计算出来的），终止时刻-起始时刻=经过的时间。时间单位：时、分、秒（年、月、日等）。计时法有两种：12时计时法和24时计时法。1天=24小时，1小时=60分钟=3600秒，1分钟=60秒。11n例2如图所示的电子钟可显示从00:00:00到23:59:59的时间，在一昼夜内(24小时)钟表上显示的时间恰好由数字1，2，3，4，5，6组成的共有_______秒.（2012希望杯1试）例312:00的时候时针和分针的夹角是0°，此后时针和分针第6次成90°夹角的时刻是_____:______.（12小时制）（2013希望杯1试）12n3.年龄问题年龄问题通常以和倍、差倍或者和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活的加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量。（你长我也长）（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。（倍数随年龄的增加而变小）例4今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大_______岁.（2011希望杯1试）例5今年丹丹4岁，丹丹的爸爸28岁，a年后，爸爸年龄是丹丹年龄的3倍，则a的值是______.（2016希望杯2试）13n2-2行程问题初步行程问题的常用公式（1）基本公式：速度×时间=路程（2）相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（3）追及问题：速度差×追及时间=相差路程（4）火车过桥：桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程（5）流水行船：顺水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2例1小东和小荣同时从甲地出发到乙地.小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米.小荣到达乙地后立即返回.若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距______米.（2014希望杯1试）14n例2甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是米．（2016希望杯1试）例3一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有___________辆车.（2012华杯赛小中组A卷）15n例4一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇.如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶________千米.（2015华杯赛小中组）例5有一座高楼，小红每登上一层需1.5分钟，每走下一层需半分钟，她从上午8:45开始不停地从底层往上走，到了最高层后立即往下走，中途也不停留，上午9:17第一次返回底层，则这座楼共有_________层.（2008希望杯2试）16n例6如图，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A，C沿围墙按顺时针方向同时出发，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，至少经过_________秒甲、乙在同一条边上．（2010希望杯2试）例7甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒.若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.（2016华杯赛小中组A卷）17n2-3典型应用题综合1.基本应用题一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。例1甲、乙、丙3人一起购买学习用品．已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了元．（2016希望杯四年级1试）2.和差倍应用题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数(和－差)÷2=较小数公式和÷(倍数＋1)=较小数差÷(倍数-1)=较小数(和＋差)÷2=较大数18n例2甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍.那么，原来甲桶中的油比乙桶中的油多_____千克．（2014希望杯四年级1试）3.盈亏问题一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知的情况下确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得的关系。盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数（大盈—小盈）÷两次分配差=份数（大亏—小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分的数量×份数+盈=总数量每次分的数量×份数—亏=总数量例3某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，每个考场30名考生，则会余下26名考生独用一个考场；每个考场26名考生，则会余下20名考生独用一个考场，并且要比前一种方案多用9个考场。则该地区参加考试的考生有名。（2015希望杯四年级1试）19n4.鸡兔同笼问题解鸡兔同笼问题的基本关系式是：（1）如果假设全是兔，则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数（2）如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数例4鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有________只.（2013华杯赛小中组B卷）5.牛吃草问题基本公式:（1）设定一头牛一天吃草量为“1”；（2）草的生长速度＝草量差÷时间差；（3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例5一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中的污水处理完。（2016希望杯四年级1试）20n3-1简单图形常见问题（1）图形分割（2）线段问题（3）图形计数（4）轴对称问题例1长方形MNPQ中，MN=3，MQ=4，过它的中心O(对角线MP和NQ的交点)画一条直线，长方形MNPQ被分成两个相同的图形，它们的形状分别是________.（2012希望杯四年级1试）例2A，B，C，D四个点从左向右依次排在一条直线上，以这四个点为端点，可以组成6条线段.已知这6条线段的长度分别是12，18，30，32，44，62(单位：厘米)，那么线段BC的长度是___________厘米.（2013希望杯四年级1试）21n例3下图由20个方格组成，其中含有A的正方形有______个.（2017希望杯四年级1试）例4如图，在5×5的方格纸的20个格点处各钉有1枚钉子，以这些钉子中的某四个为顶点用橡皮筋围成正方形，一共可以围成__________个正方形.（2013希望杯四年级1试）例5如图是4×4的方格图，有3个小正方形有阴影，若再将一个小正方形涂阴影，使方格图成为轴对称图形，则不同的涂法有_______种.（2014希望杯四年级1试）22n3-2几何计算1.角度问题（1）角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。（2）特殊三角形的分类：等腰三角形、等边三角形那、直角三角形。（3）直角等于90°，平角等于180°，周角等于360°，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。例1如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC=20°，∠EOD=60°，则∠AOE=_________°，∠BOC=__________°.（2011希望杯四年级1试）2.巧求长方形周长（1）基本公式：①长方形的周长=2×(长+宽)，面积=长×宽．②正方形的周长=4×边长，正方形的面积=边长×边长．（2）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．23n例2把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向和长度移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是_________cm.（2017希望杯四年级1试）3.面积、周长转化问题常用转化方法：（1）平移；（2）割补；（3）对称；（4）代换。例3一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米。（2015希望杯四年级1试）24n4.格点面积问题利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。例4下图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是．（2016希望杯四年级1试）5.正方形面积问题正方形的面积=边长×边长=对角线×对角线÷2例5如图，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD的面积是________.（2014希望杯四年级1试）25n3-3立体图形初步1.正方体展开图正方体的平面展开图中相对的两个面的特点是：相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，且相距最近。通过正方体展开图形找相对面，首先在同层中隔一面寻找，再在不同层中隔两面寻找，剩下的两面是相对的面。2.立方体正方体的特征：正方体有6个面，8个顶点，12条棱。正方体6个面是大小相同的正方形，12条棱长度相等。正方体是特殊的长方体。例1如图，将数字4，5，6填入正方体的展开图中，使正方体相对的两个面上数字的和都相等，则A处应该填______，B处应该填______，C处应该填_______.（2013希望杯四年级1试）26n例2将棱长为1米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体积木，设想孙悟空施展神力将所有的小积木一个接一个地叠放起来，成为一根长方体“神棒”，直指蓝天.已知珠穆朗玛峰的海拔高度为8844米，则“神棒”的高度超过珠穆朗玛峰的海拔高度_________米.（2012华杯赛小中组）例3如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_________种不同的走法.（2012华杯赛小中组A卷）27n4-1加乘原理1.加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有m1+m2+…+mk种不同的方法。加法原理解题三部曲1.完成一件事分类情况2.类类独立（每类都能单独完成该件事）3.类类相加例1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？2.乘法原理一般地，如果完成一件事可以分成n个必要步骤，第一步有m1种不同的做法，第二步有m2种不同的做法，……，第n步有mn种不同的做法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。乘法原理解题三部曲1.完成一件事分n个必要步骤2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）3.步步相乘28n例2按照下表给出的词造句，每句必须包括一个人，一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？爸爸飞机北京妈妈乘火车去拉萨我汽车台北例3希希去花店买花来装饰客厅，花店里有5盆黄色的花，7盆红色的花，以及6盆粉色的花，希希想从中选择2盆不同颜色的话，那么她有多少种不同的选法？29n例4用0–6这七个数字可组成多少个无重复数字的四位偶数？例5甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本，求满足下列条件的拿法各有多少种：（1）甲拿到自己的作业本；（2）恰有一人拿到自己的作业本；（3）至少有一人没拿到自己的作业本；（4）谁也没有拿到自己的作业本.30n4-2简单数论什么是数论数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，简单说其实就是“有关数的理论”。小学阶段的课本里可能并没有把数论这个概念提出来，但是相关的知识却无处不在。尤其是四年级，同学们还没有系统学习小数和分数之前，主要学习的就是整数的性质。对于整数的一些基本性质，同学们要熟练掌握并灵活运用。如奇数、偶数、连续数、平均数，反序数，位值原理等等。例110个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是____。（2017四年级希望杯1试——第12题）例2有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是____。（2017四年级希望杯2试——第2题）31n例3三位数abc与cba是一个三位反序数对（如123与321，778与877）。如果三位反序数对中两个数的和是1069，这样的反序数对一共有______对。（2015四年级希望杯1试——第18题）例4某个两位数的个位数字和十位数字的和是12,个位数字和十位数字交换后所得两位数比原数小36,则原数是___________.（2011四年级希望杯1试——第15题）例5如果a表示一个三位数,b表示一个两位数,那么a+b最小是_______,a+b最大是______,a–b最小是_____,a–b最大是______.（2012四年级希望杯1试——第3题）32n4-3整除与余数知识精讲abc=……d在这个除法算式中，整数a除以非零整数b，商为整数c，余数为d。余数d=0时，我们称a能被b整除，或b整除a，记为b|a，“|”是整除符号，同学们不妨先记起来。在整除的情况下，称a为b的倍数，b为a的约数（或因数）。能被整除的数的特征：（1）被2整除的数：所有偶数都可以被2整除，即末位是0,2,4,6,8.（2）被3整除的数：一个整数的数字和能被3整除，这个整数可以被3整除。（3）被4整除的数：末两位可以被4整除的整数即可被4整除。（4）被5整除的数：末位是0或5的整数可以被5整除。（5）被8整除的数：末三位可以被8整除的整数可以被8整除。（6）被9整除的数：数字和能被9整除的整数可以被9整除。（7）被7,11,13整除的数：因为7×11×13=1001，所以用三位截断法可判断一个数是否可以被这三个数整除。在不能整除的除法中，就会产生余数。同余定理：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a－b能够被m整除，那么就称a和b对模m同余，标记方式为ab（modm）。例1有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是.（2015四年级希望杯1试——第2题）33n例2为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个0,□里的数最小是_________.8×10×15×25×□（2007四年级希望杯2试——第3题）例3有一筐桃子,4个4个地数,多2个;6个6个地数,多4个;8个8个地数,少2个.已知这筐桃子的个数不少于120,也不多于150,则这筐桃子共有_______个.（2012四年级希望杯1试——第14题）例4在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。（2016四年级希望杯1试——第15题）34n5-1找规律知识精讲找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，是为了让学生发现、经历、探究图形或数字简单的排列规律，通过比较从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。这类题型给出几个具体的、特殊的数式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。例1算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010个1）×111…111（2010个1）的结果的末三位数字是________.（2010四年级希望杯2试——第10题）35n例2按照图1中前4个图中数的规律,在第5个图中填上适当的数.A=___,B=___,C=___,D=___,E=___,F=___.（2011四年级希望杯1试——第7题）例3用An表示乘积7777的结果的个位数字,如:A1=7,A2=9,A3=3,…,则n7个A1+A2+A3+…+A2013=___________.（2013四年级希望杯1试——第21题）例4如图,当n=1时,有2个小星星;当n=2时,有6个小星星;当n=3时,有12个小星星;当n=4时,有20个小星星······则当n=10时,有__________个小星星.（2013四年级希望杯2试——第3题）36n5-2数学方法1.最不利原则有一类题目，会出现一些变化的量，需要我们求最值。这类题目属于非常规问题，没有统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法。就具体的题目而言，大致可以从以下几个方面思考：（1）寻找极端情形；（2）分析推理——确定最值；（3）枚举比较——确定最值；（4）估计并构造模型。用这些分析方法时往往需要从最差的情况出发来分析问题，这就是最不利原则。例1布袋中有60个彩球,每种颜色的球都有6个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出________个球.（2013华杯赛小中组B卷）例2在1到200这200个自然数中任意选数,至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？（2016华杯赛小中组A卷）37n2.抽屉原理抽屉原则，又称为鸽巢原理，最早由德国数学家狄利克雷提出，并在有关数论问题中得到成功应用。最简单的抽屉原则是这样：有3个物品放到两个抽屉里时，肯定有一个抽屉里的物品至少是2个。因为3个物品的分配只能是这两种情形：0和3,1和2.也就是说当一个抽屉里有一个物品的时候，另一个抽屉里有两个物品；当一个抽屉里没有物品的时候，另一个抽屉里有三个物品。抽屉原则的另一个应用是这样：有1个物品放到两个抽屉里的时候，肯定有一个抽屉里没有物品。拓展到一般的情形，将n+1个物品放进n个抽屉里时，必定有一个抽屉里有两个以上的物品。将n个物品放进n+1个抽屉里，必定至少有一个抽屉里没有物品。利用抽屉原则的关键在于构造抽屉，从而把讨论的范围缩小，是问题变得简单明确。而运用抽屉原则解题的难点也在于抽屉的构造。要从问题出发分析，弄清要进行分类的元素特征及规律，得到抽屉构造思路。利用抽屉原则解题的一般步骤是：（1）分析特征规律，构造抽屉；（2）把元素放入所构造的抽屉中；（3）运用抽屉原则，对问题进行分析讨论。例3将11个球分别放在三个盒子里,使盒子里球的个数彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放______个球,至少要放________个球.（2012四年级希望杯2试——第9题）38n3.容斥原理在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果即无遗漏又无重复。这种计数的方法称为容斥原理。在容斥问题中经常会用到韦恩图来快速解决问题。例4在1~500中不能被2整除，也不能被3整除，又不能被5整除的数有多少个?（2018四年级希望杯培训题）39n5-3逻辑与操作1.逻辑问题逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四种。（1）同一律即在同一思维过程中，每个思想必须保持其同一性。如：数a是质数，那么在整个推理过程中，a都自始至终是质数，保持同一性。（2）矛盾律是指在同一思维过程中，对同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又非。如：在推理过程中若推出数a既是奇数又不是奇数就自相矛盾了。（3）排中律指在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想，一个是真，另一个必假，不能同时都真（或假）。如：自然数a，它不可能既不是奇数，又不是偶数。假若做出了这样的判断，就违反了排中律。（4）充足理由律是指在论证过程中，判断某个事实为真时，必须有充足的理由。如：由条件“自然数a不是合数”出发就做出了“a一定是质数”这一结论，就违反了充足理由律。因为其间忽略了“a还可能是1”的这种情况。例1甲、乙、丙、丁、戊5人猜测全班个人学科总成绩的前5名:甲:“第1名是D,第5名是E.”乙:“第2名是A,第4名是C.”丙:“第3名是D,第4名是A.”丁:“第1名是C,第3名是B.”戊:“第2名是C,第4名是B.”若每个人都是只猜对1个人的名次,且每个名次只有1个人猜对,则第1,2,3,4,5名分别是________.（2011四年级一试）（2011四年级希望杯1试——第20题）40n2.操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。常见的操作问题有以下几类：（1）与数字相关的操作问题；（2）染色相关的操作问题；（3）计数方面的操作问题。例2A,B,C,D,4个盒子中依次放有8,6,3,1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子,……当第50位小朋友放完后,A盒中球的个数是______.（2012四年级希望杯1试——第16题）例3黑板上写着一个九位数222222222,对它做如下操作:擦掉末位数后又乘4,再加上刚擦去的数字,然后在黑板上写下得到的数;……如此操作下去,直到在黑板上写下的是一个一位数,那么,它是__________.（2014四年级希望杯1试——第20题）41n例43堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了个桃子．（2016四年级希望杯1试——第14题）例5亚瑟王在王宫中召见6名骑士,这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友.他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图）,结果发现这种坐法,任意相邻的两名骑士恰好都是朋友.亚瑟王想重新安排座位,那么亚瑟王有________种不同方法安排座位,使得每一个骑士都不与他的朋友相邻(旋转以后相同的,算同一种方法).（2017华杯赛小中组）42
