山东省潍坊市潍城区七年级（上）期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年．在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作＋100元，则-80元表示A.
期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.-的相反数是（ ）A.-B.C.D.-2.下列说法不正确的是（ ）A.负数的绝对值是它本身B.绝对值最小的数是0C.0既不是正数，也不是负数D.一个有理数，
简介：期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）A.两点之间，线段最短B.垂线段最短C.两直线平行，内错角相等D.三角形具有稳定性3.现有两根木棒，它们的长度分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A.10cm的木棒B.40cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）A.30°B.10°C.40°D.20°5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，若∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为（ ）A.32B.16C.64D.1286.如图，OC平分∠DOE，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）第1页，共15页nA.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等8.对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ）A.①②③④B.①③C.①②③D.①②④9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°10.如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（ ）A.3B.4C.8D.1212.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，AD=6，BC=2，则AC=______．第2页，共15页n14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC=108°，则∠A的度数为______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为______cm．16.如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，∠ADC=90°，则这块菜地的面积为______cm2．17.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为______．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，EH=EB=5，AH=13，则CH的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）第3页，共15页n19.一个缺角的三角形残片如图所示，请用尺规在残片图右侧的空白处，画出残片图复原后的完整三角形．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）20.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断BC与AE的位置关系，并证明你的结论．21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．22.如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积为______；（2）以AC为边画出一个与△ABC全等的三角形，并进一步探究：满足条件的三角形可以作出______；第4页，共15页n（3）在直线l上确定点P，使PB+PC的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）23.有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．第5页，共15页n25.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC．（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．第6页，共15页n答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；B、不属于轴对称图形，故此选项错误；C、属于轴对称图形，故此选项正确；D、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选D．3.【答案】B【解析】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即30-20=10；而小于两边之和，即30+20=50．下列答案中，只有40符合条件．故选：B．根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．本题利用了三角形中三边的关系求解．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD=40°∵AE⊥BC，∠C=60°∴∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠EAD=10°，故选：B．根据三角形内角和可求得∠BAC的度数，又因为AD平分∠BAC，所以可求得∠CAD的度数，由AE⊥BC，∠C=60°，可求得∠CAE的度数从而求得∠EAD的度数．本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5.【答案】B第7页，共15页n【解析】【分析】此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线得出EA=EC．根据线段垂直平分线得出EA=EC，进而得出∠AEB=30°，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠C=∠EAD=15°，∴∠AEB=30°，∵∠B=90°，∴2AB=AE=EC=8，∴AB=4，∴△AEC的面积=，故选：B．6.【答案】C【解析】解：∵OC平分∠DOE，∴∠BOC=∠AOC，∵AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴OC=OC，∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④Rt△OAE≌Rt△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）．故选：C．根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．7.【答案】A第8页，共15页n【解析】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选：A．连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．8.【答案】B【解析】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．根据角平分线的定义和性质和等腰三角形的性质判断即可．本题考查了角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，是基础知识，需熟练掌握．9.【答案】C【解析】解：连接BB′，∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选：C．利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形，正确得出∠BAC度数是解题关键．10.【答案】C第9页，共15页n【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选：C．此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题考查的是平面展开-最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．11.【答案】C【解析】解：∵D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，△DEF的面积为1，∴S△ADE=2S△DEF=2，∴S△ABD=2S△ADE=4，∴S△ABC=2S△ABD=8，故选：C．利用三角形的等积变换可解答．本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．12.【答案】D【解析】解：设勾为x，股为y（x＜y），∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，∴4×+5=9，∴xy=2，∵x2+y2=5，∴y-x====1，（x-y）2=1，故选：D．设勾为x，股为y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可．本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，∴AB=CD，∵AD=6，BC=2，∴2CD+2=6，解得：CD=2，∴AC=AD-DC=4．故答案为：4．直接利用全等三角形的性质得出AB=CD，进而利用已知得出答案．第10页，共15页n此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB=CD是解题关键．14.【答案】36°【解析】解：在△PBC中，∵∠BPC=108°，∴∠PBC+∠PCB=180°-108°=72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×72°=144°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-144°=36°．故答案为：36°．据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．本题主要考查了利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求解，熟练掌握定理和角平分线的定义是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：设点D到AB的距离为h，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴h=CD，∴△ABD的面积=AB•h=×10×h=20cm2．∴h=4cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm根据角平分线上的点到角的两边距离相等求出点D到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，求出点D到AB的距离是解题的关键．16.【答案】24【解析】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得：AC==5cm，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，则S=S△ABC-S△ACD=×12×5-×3×4=24（cm2）．连接AC，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ABC为直角三角形，三角形ABC面积减去三角形ACD面积即可确定出菜地面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17.【答案】15【解析】解：∵P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．故答案为：15.第11页，共15页nP点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，故有PM=P1M，PN=P2N．本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．18.【答案】7【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，∴∠BAD=∠BCE，且BE=EH，∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△CEB（AAS）∴AH=BC=13，∴EC===12，∴CH=EC-EH=12-5=7，故答案为：7．由“AAS”可证△AEH≌△CEB，可得AH=BC=13，由勾股定理可求EC的长，即可求CH的长．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AEH≌△CEB是本题的关键．19.【答案】解：如图所示，△CDE即为所求．【解析】作∠C=∠A，作CD=AB，再作∠CDE=∠B，交于点E，依据ASA即可得到△CDE与原三角形全等．此题考查作图-应用与设计作图，熟记全等三角形的判定方法和基本作图的思路与方法是解题的关键．20.【答案】解：BC与AE的位置关系是：BC∥AE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCA，∴BC∥AE．【解析】由△ABC是等边三角形，得出∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，由SAS证得△ABD≌△ACE，得出∠BAD=∠CAE=∠BCA，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．第12页，共15页n21.【答案】解：设OB=OA=x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=．∴OA的长度为（尺）．【解析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】33【解析】解：（1）S△ABC=2×4-×2×1-×1×4-×2×2=8-1-2-2=3．故答案为：3；（2）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．故答案为：3；（3）如图，P点即为所求．（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）根据勾股定理找出图形即可；（3）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.【答案】解：如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD=MN=1.6米，AB=2米，由作法得，CE=DE=0.8米，又∵OC=OA=1米，在Rt△OCE中，OE=≈0.6（米），∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．【解析】过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．24.【答案】解：（1）成立．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE．第13页，共15页n在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（ SAS ）∴BE=CE．（2）成立．理由：∵∠BAC=45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF=BF…由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF在△AEF和△BCF中，．∴△AEF≌△BCF（ AAS ），∴EF=CF．【解析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．不同考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25.【答案】解：（1）AD+BE=ED．理由如下：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，∴ED=EC+CD=AD+BE．（2）AD=DE+BE．∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，第14页，共15页n∴AD=CE=CD+DE=DE+BE．【解析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求DE=AD+BE；（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求AD=BE+DE．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△CEB是本题的关键．第15页，共15页
简介：期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）A.两点之间，线段最短B.垂线段最短C.两直线平行，内错角相等D.三角形具有稳定性3.现有两根木棒，它们的长度分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A.10cm的木棒B.40cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）A.30°B.10°C.40°D.20°5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，若∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为（ ）A.32B.16C.64D.1286.如图，OC平分∠DOE，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）第1页，共15页nA.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等8.对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ）A.①②③④B.①③C.①②③D.①②④9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°10.如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（ ）A.3B.4C.8D.1212.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，AD=6，BC=2，则AC=______．第2页，共15页n14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC=108°，则∠A的度数为______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为______cm．16.如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，∠ADC=90°，则这块菜地的面积为______cm2．17.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为______．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，EH=EB=5，AH=13，则CH的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）第3页，共15页n19.一个缺角的三角形残片如图所示，请用尺规在残片图右侧的空白处，画出残片图复原后的完整三角形．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）20.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断BC与AE的位置关系，并证明你的结论．21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．22.如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积为______；（2）以AC为边画出一个与△ABC全等的三角形，并进一步探究：满足条件的三角形可以作出______；第4页，共15页n（3）在直线l上确定点P，使PB+PC的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）23.有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．第5页，共15页n25.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC．（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．第6页，共15页n答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；B、不属于轴对称图形，故此选项错误；C、属于轴对称图形，故此选项正确；D、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选D．3.【答案】B【解析】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即30-20=10；而小于两边之和，即30+20=50．下列答案中，只有40符合条件．故选：B．根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．本题利用了三角形中三边的关系求解．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD=40°∵AE⊥BC，∠C=60°∴∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠EAD=10°，故选：B．根据三角形内角和可求得∠BAC的度数，又因为AD平分∠BAC，所以可求得∠CAD的度数，由AE⊥BC，∠C=60°，可求得∠CAE的度数从而求得∠EAD的度数．本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5.【答案】B第7页，共15页n【解析】【分析】此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线得出EA=EC．根据线段垂直平分线得出EA=EC，进而得出∠AEB=30°，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠C=∠EAD=15°，∴∠AEB=30°，∵∠B=90°，∴2AB=AE=EC=8，∴AB=4，∴△AEC的面积=，故选：B．6.【答案】C【解析】解：∵OC平分∠DOE，∴∠BOC=∠AOC，∵AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴OC=OC，∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④Rt△OAE≌Rt△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）．故选：C．根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．7.【答案】A第8页，共15页n【解析】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选：A．连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．8.【答案】B【解析】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．根据角平分线的定义和性质和等腰三角形的性质判断即可．本题考查了角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，是基础知识，需熟练掌握．9.【答案】C【解析】解：连接BB′，∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选：C．利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形，正确得出∠BAC度数是解题关键．10.【答案】C第9页，共15页n【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选：C．此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题考查的是平面展开-最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．11.【答案】C【解析】解：∵D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，△DEF的面积为1，∴S△ADE=2S△DEF=2，∴S△ABD=2S△ADE=4，∴S△ABC=2S△ABD=8，故选：C．利用三角形的等积变换可解答．本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．12.【答案】D【解析】解：设勾为x，股为y（x＜y），∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，∴4×+5=9，∴xy=2，∵x2+y2=5，∴y-x====1，（x-y）2=1，故选：D．设勾为x，股为y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可．本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，∴AB=CD，∵AD=6，BC=2，∴2CD+2=6，解得：CD=2，∴AC=AD-DC=4．故答案为：4．直接利用全等三角形的性质得出AB=CD，进而利用已知得出答案．第10页，共15页n此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB=CD是解题关键．14.【答案】36°【解析】解：在△PBC中，∵∠BPC=108°，∴∠PBC+∠PCB=180°-108°=72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×72°=144°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-144°=36°．故答案为：36°．据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．本题主要考查了利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求解，熟练掌握定理和角平分线的定义是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：设点D到AB的距离为h，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴h=CD，∴△ABD的面积=AB•h=×10×h=20cm2．∴h=4cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm根据角平分线上的点到角的两边距离相等求出点D到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，求出点D到AB的距离是解题的关键．16.【答案】24【解析】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得：AC==5cm，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，则S=S△ABC-S△ACD=×12×5-×3×4=24（cm2）．连接AC，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ABC为直角三角形，三角形ABC面积减去三角形ACD面积即可确定出菜地面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17.【答案】15【解析】解：∵P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．故答案为：15.第11页，共15页nP点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，故有PM=P1M，PN=P2N．本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．18.【答案】7【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，∴∠BAD=∠BCE，且BE=EH，∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△CEB（AAS）∴AH=BC=13，∴EC===12，∴CH=EC-EH=12-5=7，故答案为：7．由“AAS”可证△AEH≌△CEB，可得AH=BC=13，由勾股定理可求EC的长，即可求CH的长．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AEH≌△CEB是本题的关键．19.【答案】解：如图所示，△CDE即为所求．【解析】作∠C=∠A，作CD=AB，再作∠CDE=∠B，交于点E，依据ASA即可得到△CDE与原三角形全等．此题考查作图-应用与设计作图，熟记全等三角形的判定方法和基本作图的思路与方法是解题的关键．20.【答案】解：BC与AE的位置关系是：BC∥AE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCA，∴BC∥AE．【解析】由△ABC是等边三角形，得出∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，由SAS证得△ABD≌△ACE，得出∠BAD=∠CAE=∠BCA，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．第12页，共15页n21.【答案】解：设OB=OA=x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=．∴OA的长度为（尺）．【解析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】33【解析】解：（1）S△ABC=2×4-×2×1-×1×4-×2×2=8-1-2-2=3．故答案为：3；（2）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．故答案为：3；（3）如图，P点即为所求．（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）根据勾股定理找出图形即可；（3）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.【答案】解：如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD=MN=1.6米，AB=2米，由作法得，CE=DE=0.8米，又∵OC=OA=1米，在Rt△OCE中，OE=≈0.6（米），∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．【解析】过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．24.【答案】解：（1）成立．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE．第13页，共15页n在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（ SAS ）∴BE=CE．（2）成立．理由：∵∠BAC=45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF=BF…由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF在△AEF和△BCF中，．∴△AEF≌△BCF（ AAS ），∴EF=CF．【解析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．不同考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25.【答案】解：（1）AD+BE=ED．理由如下：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，∴ED=EC+CD=AD+BE．（2）AD=DE+BE．∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，第14页，共15页n∴AD=CE=CD+DE=DE+BE．【解析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求DE=AD+BE；（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求AD=BE+DE．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△CEB是本题的关键．第15页，共15页
简介：期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）A.两点之间，线段最短B.垂线段最短C.两直线平行，内错角相等D.三角形具有稳定性3.现有两根木棒，它们的长度分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A.10cm的木棒B.40cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）A.30°B.10°C.40°D.20°5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，若∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为（ ）A.32B.16C.64D.1286.如图，OC平分∠DOE，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）第1页，共15页 A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等8.对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ）A.①②③④B.①③C.①②③D.①②④9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°10.如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（ ）A.3B.4C.8D.1212.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，AD=6，BC=2，则AC=______．第2页，共15页 14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC=108°，则∠A的度数为______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为______cm．16.如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，∠ADC=90°，则这块菜地的面积为______cm2．17.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为______．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，EH=EB=5，AH=13，则CH的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）第3页，共15页 19.一个缺角的三角形残片如图所示，请用尺规在残片图右侧的空白处，画出残片图复原后的完整三角形．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）20.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断BC与AE的位置关系，并证明你的结论．21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．22.如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积为______；（2）以AC为边画出一个与△ABC全等的三角形，并进一步探究：满足条件的三角形可以作出______；第4页，共15页 （3）在直线l上确定点P，使PB+PC的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）23.有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．第5页，共15页 25.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC．（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．第6页，共15页 答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；B、不属于轴对称图形，故此选项错误；C、属于轴对称图形，故此选项正确；D、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选D．3.【答案】B【解析】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即30-20=10；而小于两边之和，即30+20=50．下列答案中，只有40符合条件．故选：B．根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．本题利用了三角形中三边的关系求解．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD=40°∵AE⊥BC，∠C=60°∴∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠EAD=10°，故选：B．根据三角形内角和可求得∠BAC的度数，又因为AD平分∠BAC，所以可求得∠CAD的度数，由AE⊥BC，∠C=60°，可求得∠CAE的度数从而求得∠EAD的度数．本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5.【答案】B第7页，共15页 【解析】【分析】此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线得出EA=EC．根据线段垂直平分线得出EA=EC，进而得出∠AEB=30°，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠C=∠EAD=15°，∴∠AEB=30°，∵∠B=90°，∴2AB=AE=EC=8，∴AB=4，∴△AEC的面积=，故选：B．6.【答案】C【解析】解：∵OC平分∠DOE，∴∠BOC=∠AOC，∵AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴OC=OC，∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④Rt△OAE≌Rt△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）．故选：C．根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．7.【答案】A第8页，共15页 【解析】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选：A．连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．8.【答案】B【解析】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．根据角平分线的定义和性质和等腰三角形的性质判断即可．本题考查了角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，是基础知识，需熟练掌握．9.【答案】C【解析】解：连接BB′，∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选：C．利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形，正确得出∠BAC度数是解题关键．10.【答案】C第9页，共15页 【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选：C．此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题考查的是平面展开-最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．11.【答案】C【解析】解：∵D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，△DEF的面积为1，∴S△ADE=2S△DEF=2，∴S△ABD=2S△ADE=4，∴S△ABC=2S△ABD=8，故选：C．利用三角形的等积变换可解答．本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．12.【答案】D【解析】解：设勾为x，股为y（x＜y），∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，∴4×+5=9，∴xy=2，∵x2+y2=5，∴y-x====1，（x-y）2=1，故选：D．设勾为x，股为y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可．本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，∴AB=CD，∵AD=6，BC=2，∴2CD+2=6，解得：CD=2，∴AC=AD-DC=4．故答案为：4．直接利用全等三角形的性质得出AB=CD，进而利用已知得出答案．第10页，共15页 此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB=CD是解题关键．14.【答案】36°【解析】解：在△PBC中，∵∠BPC=108°，∴∠PBC+∠PCB=180°-108°=72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×72°=144°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-144°=36°．故答案为：36°．据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．本题主要考查了利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求解，熟练掌握定理和角平分线的定义是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：设点D到AB的距离为h，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴h=CD，∴△ABD的面积=AB•h=×10×h=20cm2．∴h=4cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm根据角平分线上的点到角的两边距离相等求出点D到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，求出点D到AB的距离是解题的关键．16.【答案】24【解析】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得：AC==5cm，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，则S=S△ABC-S△ACD=×12×5-×3×4=24（cm2）．连接AC，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ABC为直角三角形，三角形ABC面积减去三角形ACD面积即可确定出菜地面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17.【答案】15【解析】解：∵P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．故答案为：15.第11页，共15页 P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，故有PM=P1M，PN=P2N．本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．18.【答案】7【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，∴∠BAD=∠BCE，且BE=EH，∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△CEB（AAS）∴AH=BC=13，∴EC===12，∴CH=EC-EH=12-5=7，故答案为：7．由“AAS”可证△AEH≌△CEB，可得AH=BC=13，由勾股定理可求EC的长，即可求CH的长．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AEH≌△CEB是本题的关键．19.【答案】解：如图所示，△CDE即为所求．【解析】作∠C=∠A，作CD=AB，再作∠CDE=∠B，交于点E，依据ASA即可得到△CDE与原三角形全等．此题考查作图-应用与设计作图，熟记全等三角形的判定方法和基本作图的思路与方法是解题的关键．20.【答案】解：BC与AE的位置关系是：BC∥AE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCA，∴BC∥AE．【解析】由△ABC是等边三角形，得出∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，由SAS证得△ABD≌△ACE，得出∠BAD=∠CAE=∠BCA，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．第12页，共15页 21.【答案】解：设OB=OA=x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=．∴OA的长度为（尺）．【解析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】33【解析】解：（1）S△ABC=2×4-×2×1-×1×4-×2×2=8-1-2-2=3．故答案为：3；（2）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．故答案为：3；（3）如图，P点即为所求．（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）根据勾股定理找出图形即可；（3）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.【答案】解：如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD=MN=1.6米，AB=2米，由作法得，CE=DE=0.8米，又∵OC=OA=1米，在Rt△OCE中，OE=≈0.6（米），∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．【解析】过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．24.【答案】解：（1）成立．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE．第13页，共15页 在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（ SAS ）∴BE=CE．（2）成立．理由：∵∠BAC=45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF=BF…由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF在△AEF和△BCF中，．∴△AEF≌△BCF（ AAS ），∴EF=CF．【解析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．不同考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25.【答案】解：（1）AD+BE=ED．理由如下：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，∴ED=EC+CD=AD+BE．（2）AD=DE+BE．∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，第14页，共15页 ∴AD=CE=CD+DE=DE+BE．【解析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求DE=AD+BE；（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求AD=BE+DE．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△CEB是本题的关键．第15页，共15页
简介：期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）A.两点之间，线段最短B.垂线段最短C.两直线平行，内错角相等D.三角形具有稳定性3.现有两根木棒，它们的长度分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A.10cm的木棒B.40cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）A.30°B.10°C.40°D.20°5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，若∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为（ ）A.32B.16C.64D.1286.如图，OC平分∠DOE，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）第1页，共15页 A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等8.对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ）A.①②③④B.①③C.①②③D.①②④9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°10.如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（ ）A.3B.4C.8D.1212.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，AD=6，BC=2，则AC=______．第2页，共15页 14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC=108°，则∠A的度数为______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为______cm．16.如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，∠ADC=90°，则这块菜地的面积为______cm2．17.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为______．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，EH=EB=5，AH=13，则CH的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）第3页，共15页 19.一个缺角的三角形残片如图所示，请用尺规在残片图右侧的空白处，画出残片图复原后的完整三角形．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）20.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断BC与AE的位置关系，并证明你的结论．21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．22.如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积为______；（2）以AC为边画出一个与△ABC全等的三角形，并进一步探究：满足条件的三角形可以作出______；第4页，共15页 （3）在直线l上确定点P，使PB+PC的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）23.有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．第5页，共15页 25.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC．（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．第6页，共15页 答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；B、不属于轴对称图形，故此选项错误；C、属于轴对称图形，故此选项正确；D、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选D．3.【答案】B【解析】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即30-20=10；而小于两边之和，即30+20=50．下列答案中，只有40符合条件．故选：B．根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．本题利用了三角形中三边的关系求解．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD=40°∵AE⊥BC，∠C=60°∴∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠EAD=10°，故选：B．根据三角形内角和可求得∠BAC的度数，又因为AD平分∠BAC，所以可求得∠CAD的度数，由AE⊥BC，∠C=60°，可求得∠CAE的度数从而求得∠EAD的度数．本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5.【答案】B第7页，共15页 【解析】【分析】此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线得出EA=EC．根据线段垂直平分线得出EA=EC，进而得出∠AEB=30°，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠C=∠EAD=15°，∴∠AEB=30°，∵∠B=90°，∴2AB=AE=EC=8，∴AB=4，∴△AEC的面积=，故选：B．6.【答案】C【解析】解：∵OC平分∠DOE，∴∠BOC=∠AOC，∵AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴OC=OC，∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④Rt△OAE≌Rt△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）．故选：C．根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．7.【答案】A第8页，共15页 【解析】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选：A．连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．8.【答案】B【解析】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．根据角平分线的定义和性质和等腰三角形的性质判断即可．本题考查了角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，是基础知识，需熟练掌握．9.【答案】C【解析】解：连接BB′，∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选：C．利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形，正确得出∠BAC度数是解题关键．10.【答案】C第9页，共15页 【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选：C．此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题考查的是平面展开-最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．11.【答案】C【解析】解：∵D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，△DEF的面积为1，∴S△ADE=2S△DEF=2，∴S△ABD=2S△ADE=4，∴S△ABC=2S△ABD=8，故选：C．利用三角形的等积变换可解答．本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．12.【答案】D【解析】解：设勾为x，股为y（x＜y），∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，∴4×+5=9，∴xy=2，∵x2+y2=5，∴y-x====1，（x-y）2=1，故选：D．设勾为x，股为y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可．本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，∴AB=CD，∵AD=6，BC=2，∴2CD+2=6，解得：CD=2，∴AC=AD-DC=4．故答案为：4．直接利用全等三角形的性质得出AB=CD，进而利用已知得出答案．第10页，共15页 此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB=CD是解题关键．14.【答案】36°【解析】解：在△PBC中，∵∠BPC=108°，∴∠PBC+∠PCB=180°-108°=72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×72°=144°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-144°=36°．故答案为：36°．据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．本题主要考查了利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求解，熟练掌握定理和角平分线的定义是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：设点D到AB的距离为h，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴h=CD，∴△ABD的面积=AB•h=×10×h=20cm2．∴h=4cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm根据角平分线上的点到角的两边距离相等求出点D到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，求出点D到AB的距离是解题的关键．16.【答案】24【解析】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得：AC==5cm，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，则S=S△ABC-S△ACD=×12×5-×3×4=24（cm2）．连接AC，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ABC为直角三角形，三角形ABC面积减去三角形ACD面积即可确定出菜地面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17.【答案】15【解析】解：∵P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．故答案为：15.第11页，共15页 P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，故有PM=P1M，PN=P2N．本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．18.【答案】7【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，∴∠BAD=∠BCE，且BE=EH，∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△CEB（AAS）∴AH=BC=13，∴EC===12，∴CH=EC-EH=12-5=7，故答案为：7．由“AAS”可证△AEH≌△CEB，可得AH=BC=13，由勾股定理可求EC的长，即可求CH的长．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AEH≌△CEB是本题的关键．19.【答案】解：如图所示，△CDE即为所求．【解析】作∠C=∠A，作CD=AB，再作∠CDE=∠B，交于点E，依据ASA即可得到△CDE与原三角形全等．此题考查作图-应用与设计作图，熟记全等三角形的判定方法和基本作图的思路与方法是解题的关键．20.【答案】解：BC与AE的位置关系是：BC∥AE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCA，∴BC∥AE．【解析】由△ABC是等边三角形，得出∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，由SAS证得△ABD≌△ACE，得出∠BAD=∠CAE=∠BCA，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．第12页，共15页 21.【答案】解：设OB=OA=x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=．∴OA的长度为（尺）．【解析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】33【解析】解：（1）S△ABC=2×4-×2×1-×1×4-×2×2=8-1-2-2=3．故答案为：3；（2）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．故答案为：3；（3）如图，P点即为所求．（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）根据勾股定理找出图形即可；（3）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.【答案】解：如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD=MN=1.6米，AB=2米，由作法得，CE=DE=0.8米，又∵OC=OA=1米，在Rt△OCE中，OE=≈0.6（米），∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．【解析】过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．24.【答案】解：（1）成立．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE．第13页，共15页 在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（ SAS ）∴BE=CE．（2）成立．理由：∵∠BAC=45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF=BF…由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF在△AEF和△BCF中，．∴△AEF≌△BCF（ AAS ），∴EF=CF．【解析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．不同考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25.【答案】解：（1）AD+BE=ED．理由如下：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，∴ED=EC+CD=AD+BE．（2）AD=DE+BE．∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，第14页，共15页 ∴AD=CE=CD+DE=DE+BE．【解析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求DE=AD+BE；（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求AD=BE+DE．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△CEB是本题的关键．第15页，共15页
简介：期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）A.两点之间，线段最短B.垂线段最短C.两直线平行，内错角相等D.三角形具有稳定性3.现有两根木棒，它们的长度分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A.10cm的木棒B.40cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）A.30°B.10°C.40°D.20°5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，若∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为（ ）A.32B.16C.64D.1286.如图，OC平分∠DOE，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）第1页，共15页 A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等8.对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ）A.①②③④B.①③C.①②③D.①②④9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°10.如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（ ）A.3B.4C.8D.1212.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，AD=6，BC=2，则AC=______．第2页，共15页 14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC=108°，则∠A的度数为______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为______cm．16.如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，∠ADC=90°，则这块菜地的面积为______cm2．17.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为______．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，EH=EB=5，AH=13，则CH的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）第3页，共15页 19.一个缺角的三角形残片如图所示，请用尺规在残片图右侧的空白处，画出残片图复原后的完整三角形．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）20.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断BC与AE的位置关系，并证明你的结论．21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．22.如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积为______；（2）以AC为边画出一个与△ABC全等的三角形，并进一步探究：满足条件的三角形可以作出______；第4页，共15页 （3）在直线l上确定点P，使PB+PC的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）23.有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．第5页，共15页 25.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC．（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．第6页，共15页 答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；B、不属于轴对称图形，故此选项错误；C、属于轴对称图形，故此选项正确；D、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选D．3.【答案】B【解析】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即30-20=10；而小于两边之和，即30+20=50．下列答案中，只有40符合条件．故选：B．根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．本题利用了三角形中三边的关系求解．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD=40°∵AE⊥BC，∠C=60°∴∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠EAD=10°，故选：B．根据三角形内角和可求得∠BAC的度数，又因为AD平分∠BAC，所以可求得∠CAD的度数，由AE⊥BC，∠C=60°，可求得∠CAE的度数从而求得∠EAD的度数．本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5.【答案】B第7页，共15页 【解析】【分析】此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线得出EA=EC．根据线段垂直平分线得出EA=EC，进而得出∠AEB=30°，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠C=∠EAD=15°，∴∠AEB=30°，∵∠B=90°，∴2AB=AE=EC=8，∴AB=4，∴△AEC的面积=，故选：B．6.【答案】C【解析】解：∵OC平分∠DOE，∴∠BOC=∠AOC，∵AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴OC=OC，∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④Rt△OAE≌Rt△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）．故选：C．根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．7.【答案】A第8页，共15页 【解析】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选：A．连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．8.【答案】B【解析】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．根据角平分线的定义和性质和等腰三角形的性质判断即可．本题考查了角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，是基础知识，需熟练掌握．9.【答案】C【解析】解：连接BB′，∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选：C．利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形，正确得出∠BAC度数是解题关键．10.【答案】C第9页，共15页 【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选：C．此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题考查的是平面展开-最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．11.【答案】C【解析】解：∵D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，△DEF的面积为1，∴S△ADE=2S△DEF=2，∴S△ABD=2S△ADE=4，∴S△ABC=2S△ABD=8，故选：C．利用三角形的等积变换可解答．本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．12.【答案】D【解析】解：设勾为x，股为y（x＜y），∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，∴4×+5=9，∴xy=2，∵x2+y2=5，∴y-x====1，（x-y）2=1，故选：D．设勾为x，股为y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可．本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，∴AB=CD，∵AD=6，BC=2，∴2CD+2=6，解得：CD=2，∴AC=AD-DC=4．故答案为：4．直接利用全等三角形的性质得出AB=CD，进而利用已知得出答案．第10页，共15页 此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB=CD是解题关键．14.【答案】36°【解析】解：在△PBC中，∵∠BPC=108°，∴∠PBC+∠PCB=180°-108°=72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×72°=144°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-144°=36°．故答案为：36°．据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．本题主要考查了利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求解，熟练掌握定理和角平分线的定义是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：设点D到AB的距离为h，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴h=CD，∴△ABD的面积=AB•h=×10×h=20cm2．∴h=4cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm根据角平分线上的点到角的两边距离相等求出点D到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，求出点D到AB的距离是解题的关键．16.【答案】24【解析】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得：AC==5cm，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，则S=S△ABC-S△ACD=×12×5-×3×4=24（cm2）．连接AC，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ABC为直角三角形，三角形ABC面积减去三角形ACD面积即可确定出菜地面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17.【答案】15【解析】解：∵P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．故答案为：15.第11页，共15页 P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，故有PM=P1M，PN=P2N．本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．18.【答案】7【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，∴∠BAD=∠BCE，且BE=EH，∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△CEB（AAS）∴AH=BC=13，∴EC===12，∴CH=EC-EH=12-5=7，故答案为：7．由“AAS”可证△AEH≌△CEB，可得AH=BC=13，由勾股定理可求EC的长，即可求CH的长．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AEH≌△CEB是本题的关键．19.【答案】解：如图所示，△CDE即为所求．【解析】作∠C=∠A，作CD=AB，再作∠CDE=∠B，交于点E，依据ASA即可得到△CDE与原三角形全等．此题考查作图-应用与设计作图，熟记全等三角形的判定方法和基本作图的思路与方法是解题的关键．20.【答案】解：BC与AE的位置关系是：BC∥AE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCA，∴BC∥AE．【解析】由△ABC是等边三角形，得出∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，由SAS证得△ABD≌△ACE，得出∠BAD=∠CAE=∠BCA，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．第12页，共15页 21.【答案】解：设OB=OA=x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=．∴OA的长度为（尺）．【解析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】33【解析】解：（1）S△ABC=2×4-×2×1-×1×4-×2×2=8-1-2-2=3．故答案为：3；（2）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．故答案为：3；（3）如图，P点即为所求．（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）根据勾股定理找出图形即可；（3）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.【答案】解：如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD=MN=1.6米，AB=2米，由作法得，CE=DE=0.8米，又∵OC=OA=1米，在Rt△OCE中，OE=≈0.6（米），∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．【解析】过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．24.【答案】解：（1）成立．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE．第13页，共15页 在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（ SAS ）∴BE=CE．（2）成立．理由：∵∠BAC=45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF=BF…由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF在△AEF和△BCF中，．∴△AEF≌△BCF（ AAS ），∴EF=CF．【解析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．不同考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25.【答案】解：（1）AD+BE=ED．理由如下：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，∴ED=EC+CD=AD+BE．（2）AD=DE+BE．∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，第14页，共15页 ∴AD=CE=CD+DE=DE+BE．【解析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求DE=AD+BE；（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求AD=BE+DE．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△CEB是本题的关键．第15页，共15页
简介：期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）A.两点之间，线段最短B.垂线段最短C.两直线平行，内错角相等D.三角形具有稳定性3.现有两根木棒，它们的长度分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A.10cm的木棒B.40cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）A.30°B.10°C.40°D.20°5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，若∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为（ ）A.32B.16C.64D.1286.如图，OC平分∠DOE，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）第1页，共15页 A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等8.对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（ ）A.①②③④B.①③C.①②③D.①②④9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°10.如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（ ）A.3B.4C.8D.1212.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，AD=6，BC=2，则AC=______．第2页，共15页 14.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC=108°，则∠A的度数为______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为______cm．16.如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，∠ADC=90°，则这块菜地的面积为______cm2．17.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为______．18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，EH=EB=5，AH=13，则CH的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）第3页，共15页 19.一个缺角的三角形残片如图所示，请用尺规在残片图右侧的空白处，画出残片图复原后的完整三角形．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）20.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断BC与AE的位置关系，并证明你的结论．21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺送行，二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此塔板离地五尽（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．22.如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积为______；（2）以AC为边画出一个与△ABC全等的三角形，并进一步探究：满足条件的三角形可以作出______；第4页，共15页 （3）在直线l上确定点P，使PB+PC的长度最短．（画出示意图，并标明点P的位置即可）23.有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．24.在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．第5页，共15页 25.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC．（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．第6页，共15页 答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；B、不属于轴对称图形，故此选项错误；C、属于轴对称图形，故此选项正确；D、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选D．3.【答案】B【解析】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即30-20=10；而小于两边之和，即30+20=50．下列答案中，只有40符合条件．故选：B．根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．本题利用了三角形中三边的关系求解．4.【答案】B【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD=40°∵AE⊥BC，∠C=60°∴∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠EAD=10°，故选：B．根据三角形内角和可求得∠BAC的度数，又因为AD平分∠BAC，所以可求得∠CAD的度数，由AE⊥BC，∠C=60°，可求得∠CAE的度数从而求得∠EAD的度数．本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5.【答案】B第7页，共15页 【解析】【分析】此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线得出EA=EC．根据线段垂直平分线得出EA=EC，进而得出∠AEB=30°，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠C=∠EAD=15°，∴∠AEB=30°，∵∠B=90°，∴2AB=AE=EC=8，∴AB=4，∴△AEC的面积=，故选：B．6.【答案】C【解析】解：∵OC平分∠DOE，∴∠BOC=∠AOC，∵AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴OC=OC，∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④Rt△OAE≌Rt△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）．故选：C．根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．7.【答案】A第8页，共15页 【解析】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选：A．连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．8.【答案】B【解析】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．根据角平分线的定义和性质和等腰三角形的性质判断即可．本题考查了角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质，是基础知识，需熟练掌握．9.【答案】C【解析】解：连接BB′，∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选：C．利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形，正确得出∠BAC度数是解题关键．10.【答案】C第9页，共15页 【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选：C．此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．此题考查的是平面展开-最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．11.【答案】C【解析】解：∵D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，△DEF的面积为1，∴S△ADE=2S△DEF=2，∴S△ABD=2S△ADE=4，∴S△ABC=2S△ABD=8，故选：C．利用三角形的等积变换可解答．本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．12.【答案】D【解析】解：设勾为x，股为y（x＜y），∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，∴4×+5=9，∴xy=2，∵x2+y2=5，∴y-x====1，（x-y）2=1，故选：D．设勾为x，股为y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可．本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，∴AB=CD，∵AD=6，BC=2，∴2CD+2=6，解得：CD=2，∴AC=AD-DC=4．故答案为：4．直接利用全等三角形的性质得出AB=CD，进而利用已知得出答案．第10页，共15页 此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB=CD是解题关键．14.【答案】36°【解析】解：在△PBC中，∵∠BPC=108°，∴∠PBC+∠PCB=180°-108°=72°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×72°=144°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-144°=36°．故答案为：36°．据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．本题主要考查了利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求解，熟练掌握定理和角平分线的定义是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：设点D到AB的距离为h，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴h=CD，∴△ABD的面积=AB•h=×10×h=20cm2．∴h=4cm，∴CD=4cm，故答案为：4cm根据角平分线上的点到角的两边距离相等求出点D到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，求出点D到AB的距离是解题的关键．16.【答案】24【解析】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4cm，CD=3cm，根据勾股定理得：AC==5cm，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，则S=S△ABC-S△ACD=×12×5-×3×4=24（cm2）．连接AC，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ABC为直角三角形，三角形ABC面积减去三角形ACD面积即可确定出菜地面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17.【答案】15【解析】解：∵P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．故答案为：15.第11页，共15页 P点关于OA的对称点是P1，P点关于OB的对称点是P2，故有PM=P1M，PN=P2N．本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．18.【答案】7【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，∴∠BAD=∠BCE，且BE=EH，∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△CEB（AAS）∴AH=BC=13，∴EC===12，∴CH=EC-EH=12-5=7，故答案为：7．由“AAS”可证△AEH≌△CEB，可得AH=BC=13，由勾股定理可求EC的长，即可求CH的长．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AEH≌△CEB是本题的关键．19.【答案】解：如图所示，△CDE即为所求．【解析】作∠C=∠A，作CD=AB，再作∠CDE=∠B，交于点E，依据ASA即可得到△CDE与原三角形全等．此题考查作图-应用与设计作图，熟记全等三角形的判定方法和基本作图的思路与方法是解题的关键．20.【答案】解：BC与AE的位置关系是：BC∥AE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCA，∴BC∥AE．【解析】由△ABC是等边三角形，得出∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC，由SAS证得△ABD≌△ACE，得出∠BAD=∠CAE=∠BCA，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．第12页，共15页 21.【答案】解：设OB=OA=x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD=EC=5（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=．∴OA的长度为（尺）．【解析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】33【解析】解：（1）S△ABC=2×4-×2×1-×1×4-×2×2=8-1-2-2=3．故答案为：3；（2）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．故答案为：3；（3）如图，P点即为所求．（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（2）根据勾股定理找出图形即可；（3）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23.【答案】解：如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，CD=MN=1.6米，AB=2米，由作法得，CE=DE=0.8米，又∵OC=OA=1米，在Rt△OCE中，OE=≈0.6（米），∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．∴这辆卡车能通过．【解析】过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用：建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．24.【答案】解：（1）成立．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE．第13页，共15页 在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（ SAS ）∴BE=CE．（2）成立．理由：∵∠BAC=45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF=BF…由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF在△AEF和△BCF中，．∴△AEF≌△BCF（ AAS ），∴EF=CF．【解析】（1）成立，根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；（2）成立，由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．不同考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25.【答案】解：（1）AD+BE=ED．理由如下：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，∴ED=EC+CD=AD+BE．（2）AD=DE+BE．∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CD=BE，AD=CE，第14页，共15页 ∴AD=CE=CD+DE=DE+BE．【解析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求DE=AD+BE；（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，AD=CE，可求AD=BE+DE．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADC≌△CEB是本题的关键．第15页，共15页
