2022年四川省高考数学试卷（理科）（甲卷）（含解析）
2022年陕西省高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}（）A．{2，4}B．{
2022年四川省高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若z＝﹣1+i，则＝（）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．﹣+iD．﹣﹣i2．（5分）某
简介：2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为． 12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口 为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解 方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为66． 【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关 系，属于基础题．，AB＝2，AC＝3，则△ABC8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝的外接圆半径为．【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A3＝12种情况，即有12个符合题3意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为﹣．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2×2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，﹣≥﹣，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2×2﹣3x＝2∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值 范围为[1，+∞）．【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝2． 【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图象，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域 得答案．【解答】解：，定义域为{x|x＞0}，，定义域为{x|x≠0}，，定义域为R，，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的 关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021 【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn． 若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q＝，则，∴Sn＝＝4；（2）若{an}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），四边形ADEFS＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，当且仅当3tanθ＝，即tan5，最大面积为450﹣时取等号，此时AE＝15tanθ＝≈255.14m2． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0）， ＝，解得c＝，+y²＝1；因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），x﹣（满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，＝4，因为≥，所以≥则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变 换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换 后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；）t]∪[（当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
简介：2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为． 12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口 为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解 方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为66． 【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关 系，属于基础题．，AB＝2，AC＝3，则△ABC8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝的外接圆半径为．【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A3＝12种情况，即有12个符合题3意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为﹣．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2×2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，﹣≥﹣，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2×2﹣3x＝2∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值 范围为[1，+∞）．【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝2． 【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图象，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域 得答案．【解答】解：，定义域为{x|x＞0}，，定义域为{x|x≠0}，，定义域为R，，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的 关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021 【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn． 若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q＝，则，∴Sn＝＝4；（2）若{an}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），四边形ADEFS＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，当且仅当3tanθ＝，即tan5，最大面积为450﹣时取等号，此时AE＝15tanθ＝≈255.14m2． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0）， ＝，解得c＝，+y²＝1；因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），x﹣（满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，＝4，因为≥，所以≥则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变 换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换 后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；）t]∪[（当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
简介：2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为． 12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口 为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解 方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为66． 【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关 系，属于基础题．，AB＝2，AC＝3，则△ABC8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝的外接圆半径为．【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A3＝12种情况，即有12个符合题3意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为﹣．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2×2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，﹣≥﹣，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2×2﹣3x＝2∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值 范围为[1，+∞）．【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝2． 【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图象，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域 得答案．【解答】解：，定义域为{x|x＞0}，，定义域为{x|x≠0}，，定义域为R，，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的 关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021 【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn． 若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q＝，则，∴Sn＝＝4；（2）若{an}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），四边形ADEFS＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，当且仅当3tanθ＝，即tan5，最大面积为450﹣时取等号，此时AE＝15tanθ＝≈255.14m2． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0）， ＝，解得c＝，+y²＝1；因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），x﹣（满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，＝4，因为≥，所以≥则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变 换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换 后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；）t]∪[（当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
简介：2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为． 12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口 为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解 方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为66． 【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关 系，属于基础题．，AB＝2，AC＝3，则△ABC8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝的外接圆半径为．【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A3＝12种情况，即有12个符合题3意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为﹣．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2×2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，﹣≥﹣，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2×2﹣3x＝2∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值 范围为[1，+∞）．【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝2． 【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图象，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域 得答案．【解答】解：，定义域为{x|x＞0}，，定义域为{x|x≠0}，，定义域为R，，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的 关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021 【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn． 若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q＝，则，∴Sn＝＝4；（2）若{an}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），四边形ADEFS＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，当且仅当3tanθ＝，即tan5，最大面积为450﹣时取等号，此时AE＝15tanθ＝≈255.14m2． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0）， ＝，解得c＝，+y²＝1；因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），x﹣（满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，＝4，因为≥，所以≥则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变 换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换 后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；）t]∪[（当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
简介：2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为． 12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口 为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解 方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为66． 【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关 系，属于基础题．，AB＝2，AC＝3，则△ABC8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝的外接圆半径为．【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A3＝12种情况，即有12个符合题3意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为﹣．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2×2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，﹣≥﹣，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2×2﹣3x＝2∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值 范围为[1，+∞）．【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝2． 【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图象，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域 得答案．【解答】解：，定义域为{x|x＞0}，，定义域为{x|x≠0}，，定义域为R，，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的 关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021 【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn． 若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q＝，则，∴Sn＝＝4；（2）若{an}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），四边形ADEFS＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，当且仅当3tanθ＝，即tan5，最大面积为450﹣时取等号，此时AE＝15tanθ＝≈255.14m2． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0）， ＝，解得c＝，+y²＝1；因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），x﹣（满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，＝4，因为≥，所以≥则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变 换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换 后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；）t]∪[（当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
简介：2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为． 12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口 为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解 方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为66． 【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关 系，属于基础题．，AB＝2，AC＝3，则△ABC8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝的外接圆半径为．【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A3＝12种情况，即有12个符合题3意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为﹣．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2×2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，﹣≥﹣，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2×2﹣3x＝2∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值 范围为[1，+∞）．【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝2． 【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图象，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域 得答案．【解答】解：，定义域为{x|x＞0}，，定义域为{x|x≠0}，，定义域为R，，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的 关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021 【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn． 若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q＝，则，∴Sn＝＝4；（2）若{an}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的 四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）若∠ADE＝20°，求EF的长；当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），四边形ADEFS＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，当且仅当3tanθ＝，即tan5，最大面积为450﹣时取等号，此时AE＝15tanθ＝≈255.14m2． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0）， ＝，解得c＝，+y²＝1；因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），x﹣（满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，＝4，因为≥，所以≥则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变 换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换 后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；）t]∪[（当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
