2022年重庆市高考数学试卷（新高考II）（含解析）
2022年云南省高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}}，则A∩B＝（A．{0，1，2}B．{﹣2
2022年重庆市高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}（A．{﹣1，2}B．{1，
简介：2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．22πB．8πC．πD．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（） A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝ ．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an} 的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数） 2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，4，6}，∴A∪B＝{1，4，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣2，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最 大值是（）A．20B．18C．13D．6【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，2），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝2过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是6×2+4×5＝18，故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝7，①当sinx＝1时，则cosx＝0，②当cosx＝3时，则sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝4的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22πB．8πC．πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，12所以几何体的体积为：+π××2+ ＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移）+．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log53＝b，可得8b＝63b＝3，则4a﹣3b＝＝＝＝，故选：C． 【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，连接GE4A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，5]，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，…①，再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC， ∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），…②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣8≥0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特 值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an＜0，2∴{an}为递减数列，又，且an≠5，∴，，又a1＝5＞0，则an＞0，∴∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，， ∴，∴；综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开 式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4×3+2×2﹣4x+4，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，则a0＝4，令x＝1，则a0+a8+a2+a3+a8+a5＝0，∴a6+a2+a3+a8+a5＝﹣2．故答案为：4，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴5sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos2α＝1，，∴sin2α+（2sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝cos2β＝2cos2β﹣1＝7×﹣1＝． 故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是3+．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，1≤f（x）≤4故答案为：；4+．．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题． 15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，+4×＝，∴E（ξ）＝1×+2×故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设， 根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，由于B（x2，y2）且x4＞0，则点B在渐近线上，设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝5m，∴|OF|＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，∴．故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是[12+2，16]．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，2+y），进而得到2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位2+置可求出x2+y2的范围，从而得到2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A7A1所在直线，A5（为y轴，建立平面直角坐标系，则A1（2，1），，A3（1，6），0，﹣1），，A7（﹣4，0），，设P（x，y），则2+2+…+5＝ |PA1|2+|PA7|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA2|2+|PA6|6+|PA7|2+|PA6|2＝8（x6+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，2+即2+…+4的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+5，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由 正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞6，），且sinC＝＝，，由正弦定理可得：＝即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为3a＝c⇒a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；＝＝＝3，由正弦定理可得：所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系： 于是，则，，，z＝，设平面ADE的法向量＝（x，y，则，∴，令x＝∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞8，因为S4﹣2a4a3+6＝8，可得2a6+6＝0，即6（a1+a4）﹣6a2a3+6＝0，a1+a4+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝6，即﹣1﹣1+6d﹣（﹣1+d）（﹣1+3d）+3＝0，＝，整理可得：d7＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na8+d＝﹣n+即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+7+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a4+nd+4cn）2＝[a7+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+6）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn+[（14﹣8n）d+8]cn+d＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]752﹣4d8≥0，即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣6n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣7n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣3， 当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣4，所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝6时，d≤2或∅，，而d＞1，所以此时d∈（1，3]，当n为大于2的任何整数，d≤所以d≤（舍）；综上所述，n＝2时，8]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，都存在cn，使an+cn，an+5+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1﹣x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y）2＝x2+（y﹣7）2＝12﹣12y2+y6﹣2y+1＝﹣11y6﹣2y+13，y∈[﹣1，而函数z＝﹣11y3﹣2y+13的对称轴为为，，则其最大值∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得2+3）x2+12kx﹣9＝6，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x2，y4），直线AP：，联立以及， 可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当，∴|CD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣） a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，推导出要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，由此能证明+＜+＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），∴+＝，（x＞8），由＞0，∴f（x）在（；由＜0，∴f（x）在（8，．（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x8）（x﹣x0），∵，∴切线l的方程为（﹣，∴（﹣）a﹣b+0﹣1＝7， 令g（x）＝（﹣）﹣a+b+，（x＞0），∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x3）），（x2，f（x2）），（x4，f（x3））处的切线都经过点（a，b），，∴函数g（x）有三个不同的零点，∵＝∵a＞e，∴x＜e，g′（x）＞0，e＜x＜a时，g′（x）＜2，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极②，小值＝g（a）＜0，∴，且由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，即lna+，，只需证明令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），综上，若a＞e（﹣1）；（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b+，设＝t）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t6，t2，t3，且t8＞t2＞t3，∵h（t8）＝h（t3），∴e（t1﹣t4）﹣ln+，∴， 解得，③要证明结论，只需证明[4+t3﹣（）]≤0，即，把③式代入得只需证明（e+a﹣1+t5）+（）•）（，即﹣（）≤0，令＝s，当s＞时，＝3•），∴只需证明，∵lnn＞，∴＞[2n﹣）]＞0，＝＞∴+＜+＜﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
简介：2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．22πB．8πC．πD．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（） A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝ ．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an} 的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数） 2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，4，6}，∴A∪B＝{1，4，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣2，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最 大值是（）A．20B．18C．13D．6【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，2），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝2过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是6×2+4×5＝18，故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝7，①当sinx＝1时，则cosx＝0，②当cosx＝3时，则sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝4的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22πB．8πC．πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，12所以几何体的体积为：+π××2+ ＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移）+．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log53＝b，可得8b＝63b＝3，则4a﹣3b＝＝＝＝，故选：C． 【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，连接GE4A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，5]，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，…①，再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC， ∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），…②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣8≥0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特 值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an＜0，2∴{an}为递减数列，又，且an≠5，∴，，又a1＝5＞0，则an＞0，∴∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，， ∴，∴；综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开 式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4×3+2×2﹣4x+4，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，则a0＝4，令x＝1，则a0+a8+a2+a3+a8+a5＝0，∴a6+a2+a3+a8+a5＝﹣2．故答案为：4，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴5sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos2α＝1，，∴sin2α+（2sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝cos2β＝2cos2β﹣1＝7×﹣1＝． 故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是3+．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，1≤f（x）≤4故答案为：；4+．．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题． 15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，+4×＝，∴E（ξ）＝1×+2×故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设， 根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，由于B（x2，y2）且x4＞0，则点B在渐近线上，设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝5m，∴|OF|＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，∴．故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是[12+2，16]．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，2+y），进而得到2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位2+置可求出x2+y2的范围，从而得到2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A7A1所在直线，A5（为y轴，建立平面直角坐标系，则A1（2，1），，A3（1，6），0，﹣1），，A7（﹣4，0），，设P（x，y），则2+2+…+5＝ |PA1|2+|PA7|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA2|2+|PA6|6+|PA7|2+|PA6|2＝8（x6+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，2+即2+…+4的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+5，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由 正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞6，），且sinC＝＝，，由正弦定理可得：＝即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为3a＝c⇒a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；＝＝＝3，由正弦定理可得：所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系： 于是，则，，，z＝，设平面ADE的法向量＝（x，y，则，∴，令x＝∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞8，因为S4﹣2a4a3+6＝8，可得2a6+6＝0，即6（a1+a4）﹣6a2a3+6＝0，a1+a4+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝6，即﹣1﹣1+6d﹣（﹣1+d）（﹣1+3d）+3＝0，＝，整理可得：d7＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na8+d＝﹣n+即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+7+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a4+nd+4cn）2＝[a7+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+6）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn+[（14﹣8n）d+8]cn+d＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]752﹣4d8≥0，即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣6n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣7n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣3， 当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣4，所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝6时，d≤2或∅，，而d＞1，所以此时d∈（1，3]，当n为大于2的任何整数，d≤所以d≤（舍）；综上所述，n＝2时，8]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，都存在cn，使an+cn，an+5+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1﹣x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y）2＝x2+（y﹣7）2＝12﹣12y2+y6﹣2y+1＝﹣11y6﹣2y+13，y∈[﹣1，而函数z＝﹣11y3﹣2y+13的对称轴为为，，则其最大值∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得2+3）x2+12kx﹣9＝6，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x2，y4），直线AP：，联立以及， 可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当，∴|CD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣） a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，推导出要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，由此能证明+＜+＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），∴+＝，（x＞8），由＞0，∴f（x）在（；由＜0，∴f（x）在（8，．（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x8）（x﹣x0），∵，∴切线l的方程为（﹣，∴（﹣）a﹣b+0﹣1＝7， 令g（x）＝（﹣）﹣a+b+，（x＞0），∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x3）），（x2，f（x2）），（x4，f（x3））处的切线都经过点（a，b），，∴函数g（x）有三个不同的零点，∵＝∵a＞e，∴x＜e，g′（x）＞0，e＜x＜a时，g′（x）＜2，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极②，小值＝g（a）＜0，∴，且由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，即lna+，，只需证明令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），综上，若a＞e（﹣1）；（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b+，设＝t）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t6，t2，t3，且t8＞t2＞t3，∵h（t8）＝h（t3），∴e（t1﹣t4）﹣ln+，∴， 解得，③要证明结论，只需证明[4+t3﹣（）]≤0，即，把③式代入得只需证明（e+a﹣1+t5）+（）•）（，即﹣（）≤0，令＝s，当s＞时，＝3•），∴只需证明，∵lnn＞，∴＞[2n﹣）]＞0，＝＞∴+＜+＜﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
简介：2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．22πB．8πC．πD．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（） A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝ ．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an} 的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数） 2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，4，6}，∴A∪B＝{1，4，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣2，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最 大值是（）A．20B．18C．13D．6【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，2），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝2过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是6×2+4×5＝18，故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝7，①当sinx＝1时，则cosx＝0，②当cosx＝3时，则sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝4的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22πB．8πC．πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，12所以几何体的体积为：+π××2+ ＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移）+．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log53＝b，可得8b＝63b＝3，则4a﹣3b＝＝＝＝，故选：C． 【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，连接GE4A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，5]，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，…①，再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC， ∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），…②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣8≥0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特 值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an＜0，2∴{an}为递减数列，又，且an≠5，∴，，又a1＝5＞0，则an＞0，∴∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，， ∴，∴；综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开 式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4×3+2×2﹣4x+4，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，则a0＝4，令x＝1，则a0+a8+a2+a3+a8+a5＝0，∴a6+a2+a3+a8+a5＝﹣2．故答案为：4，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴5sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos2α＝1，，∴sin2α+（2sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝cos2β＝2cos2β﹣1＝7×﹣1＝． 故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是3+．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，1≤f（x）≤4故答案为：；4+．．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题． 15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，+4×＝，∴E（ξ）＝1×+2×故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设， 根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，由于B（x2，y2）且x4＞0，则点B在渐近线上，设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝5m，∴|OF|＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，∴．故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是[12+2，16]．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，2+y），进而得到2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位2+置可求出x2+y2的范围，从而得到2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A7A1所在直线，A5（为y轴，建立平面直角坐标系，则A1（2，1），，A3（1，6），0，﹣1），，A7（﹣4，0），，设P（x，y），则2+2+…+5＝ |PA1|2+|PA7|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA2|2+|PA6|6+|PA7|2+|PA6|2＝8（x6+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，2+即2+…+4的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+5，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由 正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞6，），且sinC＝＝，，由正弦定理可得：＝即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为3a＝c⇒a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；＝＝＝3，由正弦定理可得：所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系： 于是，则，，，z＝，设平面ADE的法向量＝（x，y，则，∴，令x＝∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞8，因为S4﹣2a4a3+6＝8，可得2a6+6＝0，即6（a1+a4）﹣6a2a3+6＝0，a1+a4+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝6，即﹣1﹣1+6d﹣（﹣1+d）（﹣1+3d）+3＝0，＝，整理可得：d7＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na8+d＝﹣n+即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+7+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a4+nd+4cn）2＝[a7+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+6）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn+[（14﹣8n）d+8]cn+d＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]752﹣4d8≥0，即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣6n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣7n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣3， 当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣4，所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝6时，d≤2或∅，，而d＞1，所以此时d∈（1，3]，当n为大于2的任何整数，d≤所以d≤（舍）；综上所述，n＝2时，8]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，都存在cn，使an+cn，an+5+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1﹣x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y）2＝x2+（y﹣7）2＝12﹣12y2+y6﹣2y+1＝﹣11y6﹣2y+13，y∈[﹣1，而函数z＝﹣11y3﹣2y+13的对称轴为为，，则其最大值∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得2+3）x2+12kx﹣9＝6，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x2，y4），直线AP：，联立以及， 可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当，∴|CD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣） a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，推导出要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，由此能证明+＜+＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），∴+＝，（x＞8），由＞0，∴f（x）在（；由＜0，∴f（x）在（8，．（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x8）（x﹣x0），∵，∴切线l的方程为（﹣，∴（﹣）a﹣b+0﹣1＝7， 令g（x）＝（﹣）﹣a+b+，（x＞0），∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x3）），（x2，f（x2）），（x4，f（x3））处的切线都经过点（a，b），，∴函数g（x）有三个不同的零点，∵＝∵a＞e，∴x＜e，g′（x）＞0，e＜x＜a时，g′（x）＜2，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极②，小值＝g（a）＜0，∴，且由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，即lna+，，只需证明令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），综上，若a＞e（﹣1）；（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b+，设＝t）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t6，t2，t3，且t8＞t2＞t3，∵h（t8）＝h（t3），∴e（t1﹣t4）﹣ln+，∴， 解得，③要证明结论，只需证明[4+t3﹣（）]≤0，即，把③式代入得只需证明（e+a﹣1+t5）+（）•）（，即﹣（）≤0，令＝s，当s＞时，＝3•），∴只需证明，∵lnn＞，∴＞[2n﹣）]＞0，＝＞∴+＜+＜﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
简介：2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．22πB．8πC．πD．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（） A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝ ．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an} 的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数） 2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，4，6}，∴A∪B＝{1，4，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣2，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最 大值是（）A．20B．18C．13D．6【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，2），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝2过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是6×2+4×5＝18，故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝7，①当sinx＝1时，则cosx＝0，②当cosx＝3时，则sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝4的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22πB．8πC．πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，12所以几何体的体积为：+π××2+ ＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移）+．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log53＝b，可得8b＝63b＝3，则4a﹣3b＝＝＝＝，故选：C． 【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，连接GE4A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，5]，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，…①，再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC， ∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），…②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣8≥0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特 值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an＜0，2∴{an}为递减数列，又，且an≠5，∴，，又a1＝5＞0，则an＞0，∴∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，， ∴，∴；综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开 式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4×3+2×2﹣4x+4，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，则a0＝4，令x＝1，则a0+a8+a2+a3+a8+a5＝0，∴a6+a2+a3+a8+a5＝﹣2．故答案为：4，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴5sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos2α＝1，，∴sin2α+（2sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝cos2β＝2cos2β﹣1＝7×﹣1＝． 故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是3+．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，1≤f（x）≤4故答案为：；4+．．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题． 15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，+4×＝，∴E（ξ）＝1×+2×故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设， 根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，由于B（x2，y2）且x4＞0，则点B在渐近线上，设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝5m，∴|OF|＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，∴．故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是[12+2，16]．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，2+y），进而得到2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位2+置可求出x2+y2的范围，从而得到2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A7A1所在直线，A5（为y轴，建立平面直角坐标系，则A1（2，1），，A3（1，6），0，﹣1），，A7（﹣4，0），，设P（x，y），则2+2+…+5＝ |PA1|2+|PA7|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA2|2+|PA6|6+|PA7|2+|PA6|2＝8（x6+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，2+即2+…+4的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+5，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由 正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞6，），且sinC＝＝，，由正弦定理可得：＝即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为3a＝c⇒a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；＝＝＝3，由正弦定理可得：所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系： 于是，则，，，z＝，设平面ADE的法向量＝（x，y，则，∴，令x＝∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞8，因为S4﹣2a4a3+6＝8，可得2a6+6＝0，即6（a1+a4）﹣6a2a3+6＝0，a1+a4+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝6，即﹣1﹣1+6d﹣（﹣1+d）（﹣1+3d）+3＝0，＝，整理可得：d7＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na8+d＝﹣n+即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+7+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a4+nd+4cn）2＝[a7+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+6）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn+[（14﹣8n）d+8]cn+d＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]752﹣4d8≥0，即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣6n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣7n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣3， 当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣4，所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝6时，d≤2或∅，，而d＞1，所以此时d∈（1，3]，当n为大于2的任何整数，d≤所以d≤（舍）；综上所述，n＝2时，8]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，都存在cn，使an+cn，an+5+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1﹣x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y）2＝x2+（y﹣7）2＝12﹣12y2+y6﹣2y+1＝﹣11y6﹣2y+13，y∈[﹣1，而函数z＝﹣11y3﹣2y+13的对称轴为为，，则其最大值∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得2+3）x2+12kx﹣9＝6，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x2，y4），直线AP：，联立以及， 可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当，∴|CD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣） a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，推导出要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，由此能证明+＜+＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），∴+＝，（x＞8），由＞0，∴f（x）在（；由＜0，∴f（x）在（8，．（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x8）（x﹣x0），∵，∴切线l的方程为（﹣，∴（﹣）a﹣b+0﹣1＝7， 令g（x）＝（﹣）﹣a+b+，（x＞0），∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x3）），（x2，f（x2）），（x4，f（x3））处的切线都经过点（a，b），，∴函数g（x）有三个不同的零点，∵＝∵a＞e，∴x＜e，g′（x）＞0，e＜x＜a时，g′（x）＜2，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极②，小值＝g（a）＜0，∴，且由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，即lna+，，只需证明令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），综上，若a＞e（﹣1）；（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b+，设＝t）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t6，t2，t3，且t8＞t2＞t3，∵h（t8）＝h（t3），∴e（t1﹣t4）﹣ln+，∴， 解得，③要证明结论，只需证明[4+t3﹣（）]≤0，即，把③式代入得只需证明（e+a﹣1+t5）+（）•）（，即﹣（）≤0，令＝s，当s＞时，＝3•），∴只需证明，∵lnn＞，∴＞[2n﹣）]＞0，＝＞∴+＜+＜﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
简介：2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．22πB．8πC．πD．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（） A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝ ．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an} 的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数） 2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，4，6}，∴A∪B＝{1，4，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣2，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最 大值是（）A．20B．18C．13D．6【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，2），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝2过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是6×2+4×5＝18，故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝7，①当sinx＝1时，则cosx＝0，②当cosx＝3时，则sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝4的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22πB．8πC．πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，12所以几何体的体积为：+π××2+ ＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移）+．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log53＝b，可得8b＝63b＝3，则4a﹣3b＝＝＝＝，故选：C． 【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，连接GE4A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，5]，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，…①，再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC， ∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），…②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣8≥0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特 值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an＜0，2∴{an}为递减数列，又，且an≠5，∴，，又a1＝5＞0，则an＞0，∴∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，， ∴，∴；综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开 式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4×3+2×2﹣4x+4，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，则a0＝4，令x＝1，则a0+a8+a2+a3+a8+a5＝0，∴a6+a2+a3+a8+a5＝﹣2．故答案为：4，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴5sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos2α＝1，，∴sin2α+（2sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝cos2β＝2cos2β﹣1＝7×﹣1＝． 故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是3+．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，1≤f（x）≤4故答案为：；4+．．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题． 15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，+4×＝，∴E（ξ）＝1×+2×故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设， 根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，由于B（x2，y2）且x4＞0，则点B在渐近线上，设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝5m，∴|OF|＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，∴．故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是[12+2，16]．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，2+y），进而得到2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位2+置可求出x2+y2的范围，从而得到2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A7A1所在直线，A5（为y轴，建立平面直角坐标系，则A1（2，1），，A3（1，6），0，﹣1），，A7（﹣4，0），，设P（x，y），则2+2+…+5＝ |PA1|2+|PA7|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA2|2+|PA6|6+|PA7|2+|PA6|2＝8（x6+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，2+即2+…+4的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+5，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由 正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞6，），且sinC＝＝，，由正弦定理可得：＝即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为3a＝c⇒a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；＝＝＝3，由正弦定理可得：所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系： 于是，则，，，z＝，设平面ADE的法向量＝（x，y，则，∴，令x＝∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞8，因为S4﹣2a4a3+6＝8，可得2a6+6＝0，即6（a1+a4）﹣6a2a3+6＝0，a1+a4+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝6，即﹣1﹣1+6d﹣（﹣1+d）（﹣1+3d）+3＝0，＝，整理可得：d7＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na8+d＝﹣n+即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+7+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a4+nd+4cn）2＝[a7+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+6）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn+[（14﹣8n）d+8]cn+d＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]752﹣4d8≥0，即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣6n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣7n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣3， 当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣4，所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝6时，d≤2或∅，，而d＞1，所以此时d∈（1，3]，当n为大于2的任何整数，d≤所以d≤（舍）；综上所述，n＝2时，8]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，都存在cn，使an+cn，an+5+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1﹣x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y）2＝x2+（y﹣7）2＝12﹣12y2+y6﹣2y+1＝﹣11y6﹣2y+13，y∈[﹣1，而函数z＝﹣11y3﹣2y+13的对称轴为为，，则其最大值∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得2+3）x2+12kx﹣9＝6，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x2，y4），直线AP：，联立以及， 可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当，∴|CD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣） a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，推导出要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，由此能证明+＜+＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），∴+＝，（x＞8），由＞0，∴f（x）在（；由＜0，∴f（x）在（8，．（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x8）（x﹣x0），∵，∴切线l的方程为（﹣，∴（﹣）a﹣b+0﹣1＝7， 令g（x）＝（﹣）﹣a+b+，（x＞0），∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x3）），（x2，f（x2）），（x4，f（x3））处的切线都经过点（a，b），，∴函数g（x）有三个不同的零点，∵＝∵a＞e，∴x＜e，g′（x）＞0，e＜x＜a时，g′（x）＜2，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极②，小值＝g（a）＜0，∴，且由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，即lna+，，只需证明令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），综上，若a＞e（﹣1）；（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b+，设＝t）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t6，t2，t3，且t8＞t2＞t3，∵h（t8）＝h（t3），∴e（t1﹣t4）﹣ln+，∴， 解得，③要证明结论，只需证明[4+t3﹣（）]≤0，即，把③式代入得只需证明（e+a﹣1+t5）+（）•）（，即﹣（）≤0，令＝s，当s＞时，＝3•），∴只需证明，∵lnn＞，∴＞[2n﹣）]＞0，＝＞∴+＜+＜﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
简介：2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．22πB．8πC．πD．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（） A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝ ．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an} 的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数） 2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，4，6}，∴A∪B＝{1，4，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣2，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最 大值是（）A．20B．18C．13D．6【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，2），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝2过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是6×2+4×5＝18，故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝7，①当sinx＝1时，则cosx＝0，②当cosx＝3时，则sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝4的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22πB．8πC．πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，12所以几何体的体积为：+π××2+ ＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移）+．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log53＝b，可得8b＝63b＝3，则4a﹣3b＝＝＝＝，故选：C． 【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，连接GE4A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，5]，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，…①，再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC， ∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），…②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣8≥0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特 值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an（n∈N），则（2*）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an＜0，2∴{an}为递减数列，又，且an≠5，∴，，又a1＝5＞0，则an＞0，∴∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，， ∴，∴；综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开 式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4×3+2×2﹣4x+4，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，则a0＝4，令x＝1，则a0+a8+a2+a3+a8+a5＝0，∴a6+a2+a3+a8+a5＝﹣2．故答案为：4，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴5sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos2α＝1，，∴sin2α+（2sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝cos2β＝2cos2β﹣1＝7×﹣1＝． 故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是3+．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，1≤f（x）≤4故答案为：；4+．．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题． 15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，+4×＝，∴E（ξ）＝1×+2×故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设， 根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，由于B（x2，y2）且x4＞0，则点B在渐近线上，设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝5m，∴|OF|＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，∴．故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，2+则2+…+2的取值范围是[12+2，16]．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，2+y），进而得到2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位2+置可求出x2+y2的范围，从而得到2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A7A1所在直线，A5（为y轴，建立平面直角坐标系，则A1（2，1），，A3（1，6），0，﹣1），，A7（﹣4，0），，设P（x，y），则2+2+…+5＝ |PA1|2+|PA7|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA2|2+|PA6|6+|PA7|2+|PA6|2＝8（x6+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，2+即2+…+4的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+5，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。c，cosC18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由 正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞6，），且sinC＝＝，，由正弦定理可得：＝即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为3a＝c⇒a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；＝＝＝3，由正弦定理可得：所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系： 于是，则，，，z＝，设平面ADE的法向量＝（x，y，则，∴，令x＝∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞8，因为S4﹣2a4a3+6＝8，可得2a6+6＝0，即6（a1+a4）﹣6a2a3+6＝0，a1+a4+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝6，即﹣1﹣1+6d﹣（﹣1+d）（﹣1+3d）+3＝0，＝，整理可得：d7＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na8+d＝﹣n+即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+7+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a4+nd+4cn）2＝[a7+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+6）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn+[（14﹣8n）d+8]cn+d＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]752﹣4d8≥0，即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣6n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣7n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣3， 当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣4，所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝6时，d≤2或∅，，而d＞1，所以此时d∈（1，3]，当n为大于2的任何整数，d≤所以d≤（舍）；综上所述，n＝2时，8]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，都存在cn，使an+cn，an+5+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1﹣x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y）2＝x2+（y﹣7）2＝12﹣12y2+y6﹣2y+1＝﹣11y6﹣2y+13，y∈[﹣1，而函数z＝﹣11y3﹣2y+13的对称轴为为，，则其最大值∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得2+3）x2+12kx﹣9＝6，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x2，y4），直线AP：，联立以及， 可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当，∴|CD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣） a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，推导出要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，由此能证明+＜+＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），∴+＝，（x＞8），由＞0，∴f（x）在（；由＜0，∴f（x）在（8，．（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x8）（x﹣x0），∵，∴切线l的方程为（﹣，∴（﹣）a﹣b+0﹣1＝7， 令g（x）＝（﹣）﹣a+b+，（x＞0），∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x3）），（x2，f（x2）），（x4，f（x3））处的切线都经过点（a，b），，∴函数g（x）有三个不同的零点，∵＝∵a＞e，∴x＜e，g′（x）＞0，e＜x＜a时，g′（x）＜2，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极②，小值＝g（a）＜0，∴，且由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，即lna+，，只需证明令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），综上，若a＞e（﹣1）；（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b+，设＝t）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t6，t2，t3，且t8＞t2＞t3，∵h（t8）＝h（t3），∴e（t1﹣t4）﹣ln+，∴， 解得，③要证明结论，只需证明[4+t3﹣（）]≤0，即，把③式代入得只需证明（e+a﹣1+t5）+（）•）（，即﹣（）≤0，令＝s，当s＞时，＝3•），∴只需证明，∵lnn＞，∴＞[2n﹣）]＞0，＝＞∴+＜+＜﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
