2022年全国各省市中考数学真题汇编之计算题
2022年江苏省各地区中考数学真题按题型分类汇编图形的变化一、解答题1．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的
2022年全国各省市中考数学真题汇编计算题专题1.(2022·浙江省嘉兴市)(1)计算：(1−38)0−4．(2)解方程：x−32x−1=1．2.(2022·山东省泰安市)(1)化简：(a−2−4a−2)÷a−4a2−4；(2)解不等式：2
简介：2022年全国各省市中考数学真题汇编二次函数压轴题1.(2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．2.(2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 1.(2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD’，连接CD’，求线段CD’长度的最小值．2.(2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．2.(2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标； ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．1.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”． 1.(2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2.(2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值． 1.(2022·云南省)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．（1）求c的值；（2）直接写出T的值；（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．2.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．1.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值． 1.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 参考答案1.解：（1）∵A（-1，0），∴OA=1，∵∠AOC=90°，∴tan∠OAC=OCOA=2，∴OC=2OA=2，∴点C（0，-3），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2），∴a•1×（-2）=-2，∴a=1，∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2；（2）设点P（a，a2-a-2），如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a，∴PE=a2-a-a=a2-2a，∴S△PBC=12PE•OC，∵抛物线的对称轴为直线y=12，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=12CD⋅OC，∴12PE•OC=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a 1=1+2（舍去），a2=1-2，当x=1-2时，y=a2-a-2=a-1=-2，∴P（1-2，-2），如图2，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a-2）∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，∴S△PBC=12PF⋅OB=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），当a=1+2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，∴P（1+2，2），综上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；（3）如图3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴PQOQ=PMOC= −t2+2t2=-12(t−1)2+12，∴当t=1时，（PQOQ）最大=12．2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，∴∠APB+∠CPM=90°，∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠CPM，∵∠B=∠PCM=90°，∴△MCP∽△PBA，∴PCAB=CMPB，即3−m3=nm，∴3n=m（3-m），∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，∵-13＜0，∴当m=32时，n的值最大，最大值是34．3.解：在直线y=2x+2中，当x=2时，y=2，当y=0时，x=-1，∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c，a−b+c=0c=29a+3b+c=0，解得a=−23b=43c=2，∴抛物线的解析式为y=-23×2+43x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP， 又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=AO=1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=OB=2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．4.解：（1）当x=0时，y=-2，∴C（0，2），当y=0时，x2-x-2=0，（x-2）（x+1）=0，∴x1=2，x2=-1，∴A（-1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把C（0，2）代入得：-2a=2，∴a=-1，∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，-x+b=-x2+x+2，x2-2x+b-2=0，Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y=2时，x2-x-2=2，x2-x-4=0，∴x1=1+172，x2=1−172，∴P（1+172，0）；如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y=x+2，∴x+2=x2-x-2，∴x1=1+5，x2=1-5（舍），∴P（1+5，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（1+172，0）或（1+5，0）．5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，解方程，得x1=-1，x2=2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（-1，0），B（2m+1，0），当x=0时，y=2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°；（2）如图1中，连接AE．∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE，∴∠EAB=∠OBC=45°，∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，∴m+1m=m+1，∴m=1或-1，∵m＞0，∴m=1；（3）如图，设PC交x轴于点Q． 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ=75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜3，∴m＜3−12，∴0＜m＜3−12．6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），∴c=-4，∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0），∴−b2a=14a−2b−4=0，解得a=12b=−1，∴抛物线的解析式为y=12×2-x-4；（2）①如图1中，设直线AB的解析式为y=kx+n，∵A（-2，0），B（0，-4），∴−2k+n=0n=−4， 解得k=−2n=−4，∴直线AB的解析式为y=-2x-4，∵A，C关于直线x=1对称，∴C（4，0），设N（m，0），∵MN⊥x轴，∴M（m，-2m-4），∴NC=4-m，∵MN=3NC，∴2m+4=3（4-m），∴m=85，∴点M（85，-365）；②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），∵四边形MPNQ是正方形，∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，∴PQ∥x轴，∴E（t，-t-2），∴NE=t+2，∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，∴P（2t+2，-t-2），∵点P在抛物线y=12×2-x-4上，∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，解得t1=12，t2=-2， ∵点P在第四象限，∴t=-2舍去，∴t=12，∴点M坐标为（12，-5）．7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=-3；（2）①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−b2−4ac2a，x2=−b+b2−4ac2a，∴AB=x2-x1=b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：（-b2a，4ac−b24a），∴AE=b2−4ac4a，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB=34，∴b2−4ac4a÷b2−4aca=34，∴b2-4ac=9；②∵b2-4ac=9，∴x2=−b+32a，∵OP∥MN，∴NPBP=OMOB，∴b2a：−b+32a=2，∴b=2，∴22-4ac=9，∴c=-54a，∴T=1a2+165c=1a2-54a⋅165=1a2-4a=（1a-2）2+4，∴当1a=2时，T 最小=4，即a=12时，T最小=4．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），∴a−2+c=09a+6+c=0，解得a=−1c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，可得y=3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则b=33k+b=0，∴k=−1b=3，∴直线BC的解析式为y=-x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∵PF∥AB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC =12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3=-32m2+92m=-32（m-32）2+94，∵-32＜0，∴m=32时，△PBC的面积最大，面积的最大值为94，此时PE的值最大，∵12×32×PE=94，∴PE=32，∴△PEF的周长的最大值=32+32+62=3+62，此时P（32，154）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3，解得m=-2或4，∴G（-2，-5）或（4，-5），当BC为平行四边形的对角线时，12（1+m）=12（0+3），∴m=2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）． 9.解：（1）∵抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，∴14（4+3）（4-a）=0，解得a=4，∴y=14（x+3）（x-4）=14×2-14x-3，即抛物线的表达式为y=14×2-14x-3；（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，∴A（-3，0），OA=3，∵OC=OB=4，∴C（0，4），∵AE=1，∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，∴E（-2，0），∵DE⊥x轴，∴xP=xD=xE=-2，∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，∴PE=32，∴DP=DE+PE=43+32=176；（3）①如下图，连接DG交AB于点M，∵△BCD与BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM=GM，设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a，MG=MD=AM•tan∠CAO=43（3-a），∴G（-a，43（a-3）），∵点G （-a，43（a-3））在抛物线y=14（x+3）（x-4）上，∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），解得a=43或3（舍去），∴G（-43，-209）；②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，∵AE=CD，∴△AEQ≌△CDB（SAS），∴EQ=BD，∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CH⊥AQ，垂足为H，∵OC⊥OB，OC=OB=4，∴∠CBA=45°，BC=42，∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=22AC=522，HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322，∴CQ=CH2+HQ2=(522)2+(1322)2=97，即BD+CE的最小值为97．10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-3x+c中得：c=2；（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，∴顶点的坐标为（-32，114），∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，∴其中一个点M就是抛物线的顶点，∴T=-114×2+114=-114； （3）当y=0时，-x2-3x+2=0，x2+3x-2=0，∵k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+3x-2=0的解，∴k2+3k-2=0，∴k2=2-3k，∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，∵k8+k6+2k4+4k2+16=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16=164-1823k+168（2-3k）=500-3503k，∴k4k8+k6+2k4+4k2+16=10−73k50(10−73k)=150．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），∴a−b+2=09a+3b+2=0，解得：a=−23b=43，∴该二次函数的表达式为y=−23×2+43x+2；（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，∵y=−23×2+43x+2，∴抛物线对称轴为直线x=-432×(−23)=1，∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠ PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，解得：m=56，∴D（56，0），设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，解得：k=−125d=2，∴直线CD的解析式为y=−125x+2，联立，得y=−125x+2y=−23×2+43x+2，解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=−21425，∴P（225，-21425），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y=−23×2+43x+2的对称轴为直线x=1，∴E（1，0），设Q（t，−23t2+43t+2），且-1＜t＜3，设直线AQ的解析式为y=ex+f，则−e+f=0te+f=−23t2+43t+2，解得：e=−23t+2f=−23t+2，∴直线AQ的解析式为y=（−23t+2）x-23t+2，当x=1时，y=-43t+4，∴M（1，-43t+4），同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，当x=1时，y=43t+43，∴N（1，43t+43），∴EM=-43 t+4，EN=43t+43，∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，故EM+EN的值为定值163．12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2−m2，−m2+8m−204），∵m＞2，∴2-m＜0，∴2−m2＜0，∵−m2+8m−204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c−b24），当x=0时，B（0，c），将（-b2，4c−b24）代入y=-x-2得：4c−b24=b2-2，∴c=b2+2b−84，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB=-c=-b2+2b−84，过点A作AH⊥OB于H，如图： ∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b−84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，∵-18＜0，∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，答：△AOB面积的最大值是98．13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4， r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，解得：a=-16，∴抛物线对应的函数表达式为y=-16×2+8；（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，-16m2+8），∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，∵-12＜0，∴当m=2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1=3，P2P3=9，令-16×2+8=3，解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，方案二：设P2P1=n，则P2P3=18−2n2=9-n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，∵-1＜0，∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1=92，P2P3=92，令-16×2+8=92，解得：x=±21，∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有2k+b=05k+b=3，解得k=1b=−2，∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q． ∵抛物线的对称轴x=-4−2=2，点M（2，0），∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称，∴2=x1+x22，∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， ∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PNAN有最大值，最大值为3712．16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得−1−b+c=0c=3，解得：b=2c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小， 设直线PF的解析式为y=kx+n，∴2k+n=3−k+n=−1，解得：k=43n=13，∴直线PF的解析式为y=43x+13，∴点M的坐标为（0，13）．17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a−2+c=0c=4解得：a=−12c=4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12×2+x+4，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则−2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，∴x=4m−2，当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴12•3•（-3m）=12•4•42−m，∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0， ∴m1=-23，m2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PHBH=OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM，∴OBOF=FMPM，即4t−3=3−12t2+t+4，解得：t1=1+2014，t2=1−2014（舍），∴F（201−114，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（201−114，0）．18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0， ∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N在第一象限，∴t＞3， ∴t的值为72，1+21，6+21，∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
简介：2022年全国各省市中考数学真题汇编二次函数压轴题1.(2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．2.(2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 1.(2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD’，连接CD’，求线段CD’长度的最小值．2.(2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．2.(2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标； ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．1.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”． 1.(2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2.(2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值． 1.(2022·云南省)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．（1）求c的值；（2）直接写出T的值；（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．2.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．1.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值． 1.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 参考答案1.解：（1）∵A（-1，0），∴OA=1，∵∠AOC=90°，∴tan∠OAC=OCOA=2，∴OC=2OA=2，∴点C（0，-3），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2），∴a•1×（-2）=-2，∴a=1，∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2；（2）设点P（a，a2-a-2），如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a，∴PE=a2-a-a=a2-2a，∴S△PBC=12PE•OC，∵抛物线的对称轴为直线y=12，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=12CD⋅OC，∴12PE•OC=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a 1=1+2（舍去），a2=1-2，当x=1-2时，y=a2-a-2=a-1=-2，∴P（1-2，-2），如图2，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a-2）∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，∴S△PBC=12PF⋅OB=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），当a=1+2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，∴P（1+2，2），综上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；（3）如图3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴PQOQ=PMOC= −t2+2t2=-12(t−1)2+12，∴当t=1时，（PQOQ）最大=12．2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，∴∠APB+∠CPM=90°，∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠CPM，∵∠B=∠PCM=90°，∴△MCP∽△PBA，∴PCAB=CMPB，即3−m3=nm，∴3n=m（3-m），∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，∵-13＜0，∴当m=32时，n的值最大，最大值是34．3.解：在直线y=2x+2中，当x=2时，y=2，当y=0时，x=-1，∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c，a−b+c=0c=29a+3b+c=0，解得a=−23b=43c=2，∴抛物线的解析式为y=-23×2+43x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP， 又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=AO=1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=OB=2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．4.解：（1）当x=0时，y=-2，∴C（0，2），当y=0时，x2-x-2=0，（x-2）（x+1）=0，∴x1=2，x2=-1，∴A（-1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把C（0，2）代入得：-2a=2，∴a=-1，∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，-x+b=-x2+x+2，x2-2x+b-2=0，Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y=2时，x2-x-2=2，x2-x-4=0，∴x1=1+172，x2=1−172，∴P（1+172，0）；如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y=x+2，∴x+2=x2-x-2，∴x1=1+5，x2=1-5（舍），∴P（1+5，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（1+172，0）或（1+5，0）．5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，解方程，得x1=-1，x2=2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（-1，0），B（2m+1，0），当x=0时，y=2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°；（2）如图1中，连接AE．∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE，∴∠EAB=∠OBC=45°，∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，∴m+1m=m+1，∴m=1或-1，∵m＞0，∴m=1；（3）如图，设PC交x轴于点Q． 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ=75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜3，∴m＜3−12，∴0＜m＜3−12．6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），∴c=-4，∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0），∴−b2a=14a−2b−4=0，解得a=12b=−1，∴抛物线的解析式为y=12×2-x-4；（2）①如图1中，设直线AB的解析式为y=kx+n，∵A（-2，0），B（0，-4），∴−2k+n=0n=−4， 解得k=−2n=−4，∴直线AB的解析式为y=-2x-4，∵A，C关于直线x=1对称，∴C（4，0），设N（m，0），∵MN⊥x轴，∴M（m，-2m-4），∴NC=4-m，∵MN=3NC，∴2m+4=3（4-m），∴m=85，∴点M（85，-365）；②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），∵四边形MPNQ是正方形，∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，∴PQ∥x轴，∴E（t，-t-2），∴NE=t+2，∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，∴P（2t+2，-t-2），∵点P在抛物线y=12×2-x-4上，∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，解得t1=12，t2=-2， ∵点P在第四象限，∴t=-2舍去，∴t=12，∴点M坐标为（12，-5）．7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=-3；（2）①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−b2−4ac2a，x2=−b+b2−4ac2a，∴AB=x2-x1=b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：（-b2a，4ac−b24a），∴AE=b2−4ac4a，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB=34，∴b2−4ac4a÷b2−4aca=34，∴b2-4ac=9；②∵b2-4ac=9，∴x2=−b+32a，∵OP∥MN，∴NPBP=OMOB，∴b2a：−b+32a=2，∴b=2，∴22-4ac=9，∴c=-54a，∴T=1a2+165c=1a2-54a⋅165=1a2-4a=（1a-2）2+4，∴当1a=2时，T 最小=4，即a=12时，T最小=4．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），∴a−2+c=09a+6+c=0，解得a=−1c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，可得y=3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则b=33k+b=0，∴k=−1b=3，∴直线BC的解析式为y=-x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∵PF∥AB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC =12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3=-32m2+92m=-32（m-32）2+94，∵-32＜0，∴m=32时，△PBC的面积最大，面积的最大值为94，此时PE的值最大，∵12×32×PE=94，∴PE=32，∴△PEF的周长的最大值=32+32+62=3+62，此时P（32，154）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3，解得m=-2或4，∴G（-2，-5）或（4，-5），当BC为平行四边形的对角线时，12（1+m）=12（0+3），∴m=2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）． 9.解：（1）∵抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，∴14（4+3）（4-a）=0，解得a=4，∴y=14（x+3）（x-4）=14×2-14x-3，即抛物线的表达式为y=14×2-14x-3；（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，∴A（-3，0），OA=3，∵OC=OB=4，∴C（0，4），∵AE=1，∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，∴E（-2，0），∵DE⊥x轴，∴xP=xD=xE=-2，∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，∴PE=32，∴DP=DE+PE=43+32=176；（3）①如下图，连接DG交AB于点M，∵△BCD与BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM=GM，设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a，MG=MD=AM•tan∠CAO=43（3-a），∴G（-a，43（a-3）），∵点G （-a，43（a-3））在抛物线y=14（x+3）（x-4）上，∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），解得a=43或3（舍去），∴G（-43，-209）；②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，∵AE=CD，∴△AEQ≌△CDB（SAS），∴EQ=BD，∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CH⊥AQ，垂足为H，∵OC⊥OB，OC=OB=4，∴∠CBA=45°，BC=42，∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=22AC=522，HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322，∴CQ=CH2+HQ2=(522)2+(1322)2=97，即BD+CE的最小值为97．10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-3x+c中得：c=2；（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，∴顶点的坐标为（-32，114），∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，∴其中一个点M就是抛物线的顶点，∴T=-114×2+114=-114； （3）当y=0时，-x2-3x+2=0，x2+3x-2=0，∵k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+3x-2=0的解，∴k2+3k-2=0，∴k2=2-3k，∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，∵k8+k6+2k4+4k2+16=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16=164-1823k+168（2-3k）=500-3503k，∴k4k8+k6+2k4+4k2+16=10−73k50(10−73k)=150．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），∴a−b+2=09a+3b+2=0，解得：a=−23b=43，∴该二次函数的表达式为y=−23×2+43x+2；（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，∵y=−23×2+43x+2，∴抛物线对称轴为直线x=-432×(−23)=1，∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠ PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，解得：m=56，∴D（56，0），设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，解得：k=−125d=2，∴直线CD的解析式为y=−125x+2，联立，得y=−125x+2y=−23×2+43x+2，解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=−21425，∴P（225，-21425），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y=−23×2+43x+2的对称轴为直线x=1，∴E（1，0），设Q（t，−23t2+43t+2），且-1＜t＜3，设直线AQ的解析式为y=ex+f，则−e+f=0te+f=−23t2+43t+2，解得：e=−23t+2f=−23t+2，∴直线AQ的解析式为y=（−23t+2）x-23t+2，当x=1时，y=-43t+4，∴M（1，-43t+4），同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，当x=1时，y=43t+43，∴N（1，43t+43），∴EM=-43 t+4，EN=43t+43，∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，故EM+EN的值为定值163．12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2−m2，−m2+8m−204），∵m＞2，∴2-m＜0，∴2−m2＜0，∵−m2+8m−204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c−b24），当x=0时，B（0，c），将（-b2，4c−b24）代入y=-x-2得：4c−b24=b2-2，∴c=b2+2b−84，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB=-c=-b2+2b−84，过点A作AH⊥OB于H，如图： ∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b−84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，∵-18＜0，∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，答：△AOB面积的最大值是98．13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4， r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，解得：a=-16，∴抛物线对应的函数表达式为y=-16×2+8；（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，-16m2+8），∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，∵-12＜0，∴当m=2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1=3，P2P3=9，令-16×2+8=3，解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，方案二：设P2P1=n，则P2P3=18−2n2=9-n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，∵-1＜0，∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1=92，P2P3=92，令-16×2+8=92，解得：x=±21，∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有2k+b=05k+b=3，解得k=1b=−2，∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q． ∵抛物线的对称轴x=-4−2=2，点M（2，0），∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称，∴2=x1+x22，∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， ∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PNAN有最大值，最大值为3712．16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得−1−b+c=0c=3，解得：b=2c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小， 设直线PF的解析式为y=kx+n，∴2k+n=3−k+n=−1，解得：k=43n=13，∴直线PF的解析式为y=43x+13，∴点M的坐标为（0，13）．17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a−2+c=0c=4解得：a=−12c=4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12×2+x+4，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则−2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，∴x=4m−2，当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴12•3•（-3m）=12•4•42−m，∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0， ∴m1=-23，m2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PHBH=OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM，∴OBOF=FMPM，即4t−3=3−12t2+t+4，解得：t1=1+2014，t2=1−2014（舍），∴F（201−114，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（201−114，0）．18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0， ∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N在第一象限，∴t＞3， ∴t的值为72，1+21，6+21，∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
简介：2022年全国各省市中考数学真题汇编二次函数压轴题1.(2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．2.(2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 1.(2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD’，连接CD’，求线段CD’长度的最小值．2.(2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．2.(2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标； ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．1.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”． 1.(2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2.(2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值． 1.(2022·云南省)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．（1）求c的值；（2）直接写出T的值；（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．2.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．1.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值． 1.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 参考答案1.解：（1）∵A（-1，0），∴OA=1，∵∠AOC=90°，∴tan∠OAC=OCOA=2，∴OC=2OA=2，∴点C（0，-3），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2），∴a•1×（-2）=-2，∴a=1，∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2；（2）设点P（a，a2-a-2），如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a，∴PE=a2-a-a=a2-2a，∴S△PBC=12PE•OC，∵抛物线的对称轴为直线y=12，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=12CD⋅OC，∴12PE•OC=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a 1=1+2（舍去），a2=1-2，当x=1-2时，y=a2-a-2=a-1=-2，∴P（1-2，-2），如图2，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a-2）∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，∴S△PBC=12PF⋅OB=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），当a=1+2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，∴P（1+2，2），综上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；（3）如图3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴PQOQ=PMOC= −t2+2t2=-12(t−1)2+12，∴当t=1时，（PQOQ）最大=12．2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，∴∠APB+∠CPM=90°，∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠CPM，∵∠B=∠PCM=90°，∴△MCP∽△PBA，∴PCAB=CMPB，即3−m3=nm，∴3n=m（3-m），∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，∵-13＜0，∴当m=32时，n的值最大，最大值是34．3.解：在直线y=2x+2中，当x=2时，y=2，当y=0时，x=-1，∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c，a−b+c=0c=29a+3b+c=0，解得a=−23b=43c=2，∴抛物线的解析式为y=-23×2+43x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP， 又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=AO=1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=OB=2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．4.解：（1）当x=0时，y=-2，∴C（0，2），当y=0时，x2-x-2=0，（x-2）（x+1）=0，∴x1=2，x2=-1，∴A（-1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把C（0，2）代入得：-2a=2，∴a=-1，∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，-x+b=-x2+x+2，x2-2x+b-2=0，Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y=2时，x2-x-2=2，x2-x-4=0，∴x1=1+172，x2=1−172，∴P（1+172，0）；如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y=x+2，∴x+2=x2-x-2，∴x1=1+5，x2=1-5（舍），∴P（1+5，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（1+172，0）或（1+5，0）．5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，解方程，得x1=-1，x2=2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（-1，0），B（2m+1，0），当x=0时，y=2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°；（2）如图1中，连接AE．∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE，∴∠EAB=∠OBC=45°，∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，∴m+1m=m+1，∴m=1或-1，∵m＞0，∴m=1；（3）如图，设PC交x轴于点Q． 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ=75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜3，∴m＜3−12，∴0＜m＜3−12．6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），∴c=-4，∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0），∴−b2a=14a−2b−4=0，解得a=12b=−1，∴抛物线的解析式为y=12×2-x-4；（2）①如图1中，设直线AB的解析式为y=kx+n，∵A（-2，0），B（0，-4），∴−2k+n=0n=−4， 解得k=−2n=−4，∴直线AB的解析式为y=-2x-4，∵A，C关于直线x=1对称，∴C（4，0），设N（m，0），∵MN⊥x轴，∴M（m，-2m-4），∴NC=4-m，∵MN=3NC，∴2m+4=3（4-m），∴m=85，∴点M（85，-365）；②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），∵四边形MPNQ是正方形，∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，∴PQ∥x轴，∴E（t，-t-2），∴NE=t+2，∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，∴P（2t+2，-t-2），∵点P在抛物线y=12×2-x-4上，∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，解得t1=12，t2=-2， ∵点P在第四象限，∴t=-2舍去，∴t=12，∴点M坐标为（12，-5）．7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=-3；（2）①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−b2−4ac2a，x2=−b+b2−4ac2a，∴AB=x2-x1=b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：（-b2a，4ac−b24a），∴AE=b2−4ac4a，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB=34，∴b2−4ac4a÷b2−4aca=34，∴b2-4ac=9；②∵b2-4ac=9，∴x2=−b+32a，∵OP∥MN，∴NPBP=OMOB，∴b2a：−b+32a=2，∴b=2，∴22-4ac=9，∴c=-54a，∴T=1a2+165c=1a2-54a⋅165=1a2-4a=（1a-2）2+4，∴当1a=2时，T 最小=4，即a=12时，T最小=4．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），∴a−2+c=09a+6+c=0，解得a=−1c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，可得y=3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则b=33k+b=0，∴k=−1b=3，∴直线BC的解析式为y=-x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∵PF∥AB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC =12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3=-32m2+92m=-32（m-32）2+94，∵-32＜0，∴m=32时，△PBC的面积最大，面积的最大值为94，此时PE的值最大，∵12×32×PE=94，∴PE=32，∴△PEF的周长的最大值=32+32+62=3+62，此时P（32，154）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3，解得m=-2或4，∴G（-2，-5）或（4，-5），当BC为平行四边形的对角线时，12（1+m）=12（0+3），∴m=2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）． 9.解：（1）∵抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，∴14（4+3）（4-a）=0，解得a=4，∴y=14（x+3）（x-4）=14×2-14x-3，即抛物线的表达式为y=14×2-14x-3；（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，∴A（-3，0），OA=3，∵OC=OB=4，∴C（0，4），∵AE=1，∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，∴E（-2，0），∵DE⊥x轴，∴xP=xD=xE=-2，∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，∴PE=32，∴DP=DE+PE=43+32=176；（3）①如下图，连接DG交AB于点M，∵△BCD与BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM=GM，设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a，MG=MD=AM•tan∠CAO=43（3-a），∴G（-a，43（a-3）），∵点G （-a，43（a-3））在抛物线y=14（x+3）（x-4）上，∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），解得a=43或3（舍去），∴G（-43，-209）；②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，∵AE=CD，∴△AEQ≌△CDB（SAS），∴EQ=BD，∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CH⊥AQ，垂足为H，∵OC⊥OB，OC=OB=4，∴∠CBA=45°，BC=42，∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=22AC=522，HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322，∴CQ=CH2+HQ2=(522)2+(1322)2=97，即BD+CE的最小值为97．10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-3x+c中得：c=2；（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，∴顶点的坐标为（-32，114），∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，∴其中一个点M就是抛物线的顶点，∴T=-114×2+114=-114； （3）当y=0时，-x2-3x+2=0，x2+3x-2=0，∵k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+3x-2=0的解，∴k2+3k-2=0，∴k2=2-3k，∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，∵k8+k6+2k4+4k2+16=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16=164-1823k+168（2-3k）=500-3503k，∴k4k8+k6+2k4+4k2+16=10−73k50(10−73k)=150．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），∴a−b+2=09a+3b+2=0，解得：a=−23b=43，∴该二次函数的表达式为y=−23×2+43x+2；（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，∵y=−23×2+43x+2，∴抛物线对称轴为直线x=-432×(−23)=1，∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠ PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，解得：m=56，∴D（56，0），设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，解得：k=−125d=2，∴直线CD的解析式为y=−125x+2，联立，得y=−125x+2y=−23×2+43x+2，解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=−21425，∴P（225，-21425），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y=−23×2+43x+2的对称轴为直线x=1，∴E（1，0），设Q（t，−23t2+43t+2），且-1＜t＜3，设直线AQ的解析式为y=ex+f，则−e+f=0te+f=−23t2+43t+2，解得：e=−23t+2f=−23t+2，∴直线AQ的解析式为y=（−23t+2）x-23t+2，当x=1时，y=-43t+4，∴M（1，-43t+4），同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，当x=1时，y=43t+43，∴N（1，43t+43），∴EM=-43 t+4，EN=43t+43，∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，故EM+EN的值为定值163．12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2−m2，−m2+8m−204），∵m＞2，∴2-m＜0，∴2−m2＜0，∵−m2+8m−204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c−b24），当x=0时，B（0，c），将（-b2，4c−b24）代入y=-x-2得：4c−b24=b2-2，∴c=b2+2b−84，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB=-c=-b2+2b−84，过点A作AH⊥OB于H，如图： ∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b−84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，∵-18＜0，∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，答：△AOB面积的最大值是98．13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4， r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，解得：a=-16，∴抛物线对应的函数表达式为y=-16×2+8；（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，-16m2+8），∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，∵-12＜0，∴当m=2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1=3，P2P3=9，令-16×2+8=3，解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，方案二：设P2P1=n，则P2P3=18−2n2=9-n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，∵-1＜0，∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1=92，P2P3=92，令-16×2+8=92，解得：x=±21，∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有2k+b=05k+b=3，解得k=1b=−2，∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q． ∵抛物线的对称轴x=-4−2=2，点M（2，0），∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称，∴2=x1+x22，∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， ∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PNAN有最大值，最大值为3712．16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得−1−b+c=0c=3，解得：b=2c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小， 设直线PF的解析式为y=kx+n，∴2k+n=3−k+n=−1，解得：k=43n=13，∴直线PF的解析式为y=43x+13，∴点M的坐标为（0，13）．17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a−2+c=0c=4解得：a=−12c=4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12×2+x+4，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则−2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，∴x=4m−2，当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴12•3•（-3m）=12•4•42−m，∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0， ∴m1=-23，m2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PHBH=OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM，∴OBOF=FMPM，即4t−3=3−12t2+t+4，解得：t1=1+2014，t2=1−2014（舍），∴F（201−114，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（201−114，0）．18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0， ∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N在第一象限，∴t＞3， ∴t的值为72，1+21，6+21，∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
简介：2022年全国各省市中考数学真题汇编二次函数压轴题1.(2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．2.(2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 1.(2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD’，连接CD’，求线段CD’长度的最小值．2.(2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．2.(2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标； ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．1.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”． 1.(2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2.(2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值． 1.(2022·云南省)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．（1）求c的值；（2）直接写出T的值；（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．2.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．1.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值． 1.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 参考答案1.解：（1）∵A（-1，0），∴OA=1，∵∠AOC=90°，∴tan∠OAC=OCOA=2，∴OC=2OA=2，∴点C（0，-3），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2），∴a•1×（-2）=-2，∴a=1，∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2；（2）设点P（a，a2-a-2），如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a，∴PE=a2-a-a=a2-2a，∴S△PBC=12PE•OC，∵抛物线的对称轴为直线y=12，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=12CD⋅OC，∴12PE•OC=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a 1=1+2（舍去），a2=1-2，当x=1-2时，y=a2-a-2=a-1=-2，∴P（1-2，-2），如图2，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a-2）∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，∴S△PBC=12PF⋅OB=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），当a=1+2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，∴P（1+2，2），综上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；（3）如图3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴PQOQ=PMOC= −t2+2t2=-12(t−1)2+12，∴当t=1时，（PQOQ）最大=12．2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，∴∠APB+∠CPM=90°，∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠CPM，∵∠B=∠PCM=90°，∴△MCP∽△PBA，∴PCAB=CMPB，即3−m3=nm，∴3n=m（3-m），∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，∵-13＜0，∴当m=32时，n的值最大，最大值是34．3.解：在直线y=2x+2中，当x=2时，y=2，当y=0时，x=-1，∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c，a−b+c=0c=29a+3b+c=0，解得a=−23b=43c=2，∴抛物线的解析式为y=-23×2+43x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP， 又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=AO=1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=OB=2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．4.解：（1）当x=0时，y=-2，∴C（0，2），当y=0时，x2-x-2=0，（x-2）（x+1）=0，∴x1=2，x2=-1，∴A（-1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把C（0，2）代入得：-2a=2，∴a=-1，∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，-x+b=-x2+x+2，x2-2x+b-2=0，Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y=2时，x2-x-2=2，x2-x-4=0，∴x1=1+172，x2=1−172，∴P（1+172，0）；如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y=x+2，∴x+2=x2-x-2，∴x1=1+5，x2=1-5（舍），∴P（1+5，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（1+172，0）或（1+5，0）．5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，解方程，得x1=-1，x2=2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（-1，0），B（2m+1，0），当x=0时，y=2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°；（2）如图1中，连接AE．∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE，∴∠EAB=∠OBC=45°，∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，∴m+1m=m+1，∴m=1或-1，∵m＞0，∴m=1；（3）如图，设PC交x轴于点Q． 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ=75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜3，∴m＜3−12，∴0＜m＜3−12．6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），∴c=-4，∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0），∴−b2a=14a−2b−4=0，解得a=12b=−1，∴抛物线的解析式为y=12×2-x-4；（2）①如图1中，设直线AB的解析式为y=kx+n，∵A（-2，0），B（0，-4），∴−2k+n=0n=−4， 解得k=−2n=−4，∴直线AB的解析式为y=-2x-4，∵A，C关于直线x=1对称，∴C（4，0），设N（m，0），∵MN⊥x轴，∴M（m，-2m-4），∴NC=4-m，∵MN=3NC，∴2m+4=3（4-m），∴m=85，∴点M（85，-365）；②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），∵四边形MPNQ是正方形，∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，∴PQ∥x轴，∴E（t，-t-2），∴NE=t+2，∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，∴P（2t+2，-t-2），∵点P在抛物线y=12×2-x-4上，∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，解得t1=12，t2=-2， ∵点P在第四象限，∴t=-2舍去，∴t=12，∴点M坐标为（12，-5）．7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=-3；（2）①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−b2−4ac2a，x2=−b+b2−4ac2a，∴AB=x2-x1=b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：（-b2a，4ac−b24a），∴AE=b2−4ac4a，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB=34，∴b2−4ac4a÷b2−4aca=34，∴b2-4ac=9；②∵b2-4ac=9，∴x2=−b+32a，∵OP∥MN，∴NPBP=OMOB，∴b2a：−b+32a=2，∴b=2，∴22-4ac=9，∴c=-54a，∴T=1a2+165c=1a2-54a⋅165=1a2-4a=（1a-2）2+4，∴当1a=2时，T 最小=4，即a=12时，T最小=4．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），∴a−2+c=09a+6+c=0，解得a=−1c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，可得y=3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则b=33k+b=0，∴k=−1b=3，∴直线BC的解析式为y=-x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∵PF∥AB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC =12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3=-32m2+92m=-32（m-32）2+94，∵-32＜0，∴m=32时，△PBC的面积最大，面积的最大值为94，此时PE的值最大，∵12×32×PE=94，∴PE=32，∴△PEF的周长的最大值=32+32+62=3+62，此时P（32，154）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3，解得m=-2或4，∴G（-2，-5）或（4，-5），当BC为平行四边形的对角线时，12（1+m）=12（0+3），∴m=2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）． 9.解：（1）∵抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，∴14（4+3）（4-a）=0，解得a=4，∴y=14（x+3）（x-4）=14×2-14x-3，即抛物线的表达式为y=14×2-14x-3；（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，∴A（-3，0），OA=3，∵OC=OB=4，∴C（0，4），∵AE=1，∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，∴E（-2，0），∵DE⊥x轴，∴xP=xD=xE=-2，∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，∴PE=32，∴DP=DE+PE=43+32=176；（3）①如下图，连接DG交AB于点M，∵△BCD与BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM=GM，设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a，MG=MD=AM•tan∠CAO=43（3-a），∴G（-a，43（a-3）），∵点G （-a，43（a-3））在抛物线y=14（x+3）（x-4）上，∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），解得a=43或3（舍去），∴G（-43，-209）；②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，∵AE=CD，∴△AEQ≌△CDB（SAS），∴EQ=BD，∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CH⊥AQ，垂足为H，∵OC⊥OB，OC=OB=4，∴∠CBA=45°，BC=42，∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=22AC=522，HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322，∴CQ=CH2+HQ2=(522)2+(1322)2=97，即BD+CE的最小值为97．10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-3x+c中得：c=2；（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，∴顶点的坐标为（-32，114），∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，∴其中一个点M就是抛物线的顶点，∴T=-114×2+114=-114； （3）当y=0时，-x2-3x+2=0，x2+3x-2=0，∵k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+3x-2=0的解，∴k2+3k-2=0，∴k2=2-3k，∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，∵k8+k6+2k4+4k2+16=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16=164-1823k+168（2-3k）=500-3503k，∴k4k8+k6+2k4+4k2+16=10−73k50(10−73k)=150．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），∴a−b+2=09a+3b+2=0，解得：a=−23b=43，∴该二次函数的表达式为y=−23×2+43x+2；（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，∵y=−23×2+43x+2，∴抛物线对称轴为直线x=-432×(−23)=1，∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠ PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，解得：m=56，∴D（56，0），设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，解得：k=−125d=2，∴直线CD的解析式为y=−125x+2，联立，得y=−125x+2y=−23×2+43x+2，解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=−21425，∴P（225，-21425），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y=−23×2+43x+2的对称轴为直线x=1，∴E（1，0），设Q（t，−23t2+43t+2），且-1＜t＜3，设直线AQ的解析式为y=ex+f，则−e+f=0te+f=−23t2+43t+2，解得：e=−23t+2f=−23t+2，∴直线AQ的解析式为y=（−23t+2）x-23t+2，当x=1时，y=-43t+4，∴M（1，-43t+4），同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，当x=1时，y=43t+43，∴N（1，43t+43），∴EM=-43 t+4，EN=43t+43，∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，故EM+EN的值为定值163．12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2−m2，−m2+8m−204），∵m＞2，∴2-m＜0，∴2−m2＜0，∵−m2+8m−204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c−b24），当x=0时，B（0，c），将（-b2，4c−b24）代入y=-x-2得：4c−b24=b2-2，∴c=b2+2b−84，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB=-c=-b2+2b−84，过点A作AH⊥OB于H，如图： ∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b−84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，∵-18＜0，∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，答：△AOB面积的最大值是98．13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4， r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，解得：a=-16，∴抛物线对应的函数表达式为y=-16×2+8；（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，-16m2+8），∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，∵-12＜0，∴当m=2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1=3，P2P3=9，令-16×2+8=3，解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，方案二：设P2P1=n，则P2P3=18−2n2=9-n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，∵-1＜0，∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1=92，P2P3=92，令-16×2+8=92，解得：x=±21，∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有2k+b=05k+b=3，解得k=1b=−2，∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q． ∵抛物线的对称轴x=-4−2=2，点M（2，0），∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称，∴2=x1+x22，∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， ∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PNAN有最大值，最大值为3712．16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得−1−b+c=0c=3，解得：b=2c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小， 设直线PF的解析式为y=kx+n，∴2k+n=3−k+n=−1，解得：k=43n=13，∴直线PF的解析式为y=43x+13，∴点M的坐标为（0，13）．17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a−2+c=0c=4解得：a=−12c=4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12×2+x+4，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则−2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，∴x=4m−2，当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴12•3•（-3m）=12•4•42−m，∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0， ∴m1=-23，m2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PHBH=OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM，∴OBOF=FMPM，即4t−3=3−12t2+t+4，解得：t1=1+2014，t2=1−2014（舍），∴F（201−114，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（201−114，0）．18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0， ∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N在第一象限，∴t＞3， ∴t的值为72，1+21，6+21，∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
简介：2022年全国各省市中考数学真题汇编二次函数压轴题1.(2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．2.(2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 1.(2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD’，连接CD’，求线段CD’长度的最小值．2.(2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．2.(2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标； ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．1.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”． 1.(2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2.(2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值． 1.(2022·云南省)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．（1）求c的值；（2）直接写出T的值；（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．2.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．1.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值． 1.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 参考答案1.解：（1）∵A（-1，0），∴OA=1，∵∠AOC=90°，∴tan∠OAC=OCOA=2，∴OC=2OA=2，∴点C（0，-3），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2），∴a•1×（-2）=-2，∴a=1，∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2；（2）设点P（a，a2-a-2），如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a，∴PE=a2-a-a=a2-2a，∴S△PBC=12PE•OC，∵抛物线的对称轴为直线y=12，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=12CD⋅OC，∴12PE•OC=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a 1=1+2（舍去），a2=1-2，当x=1-2时，y=a2-a-2=a-1=-2，∴P（1-2，-2），如图2，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a-2）∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，∴S△PBC=12PF⋅OB=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），当a=1+2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，∴P（1+2，2），综上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；（3）如图3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴PQOQ=PMOC= −t2+2t2=-12(t−1)2+12，∴当t=1时，（PQOQ）最大=12．2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，∴∠APB+∠CPM=90°，∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠CPM，∵∠B=∠PCM=90°，∴△MCP∽△PBA，∴PCAB=CMPB，即3−m3=nm，∴3n=m（3-m），∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，∵-13＜0，∴当m=32时，n的值最大，最大值是34．3.解：在直线y=2x+2中，当x=2时，y=2，当y=0时，x=-1，∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c，a−b+c=0c=29a+3b+c=0，解得a=−23b=43c=2，∴抛物线的解析式为y=-23×2+43x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP， 又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=AO=1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=OB=2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．4.解：（1）当x=0时，y=-2，∴C（0，2），当y=0时，x2-x-2=0，（x-2）（x+1）=0，∴x1=2，x2=-1，∴A（-1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把C（0，2）代入得：-2a=2，∴a=-1，∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，-x+b=-x2+x+2，x2-2x+b-2=0，Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y=2时，x2-x-2=2，x2-x-4=0，∴x1=1+172，x2=1−172，∴P（1+172，0）；如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y=x+2，∴x+2=x2-x-2，∴x1=1+5，x2=1-5（舍），∴P（1+5，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（1+172，0）或（1+5，0）．5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，解方程，得x1=-1，x2=2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（-1，0），B（2m+1，0），当x=0时，y=2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°；（2）如图1中，连接AE．∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE，∴∠EAB=∠OBC=45°，∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，∴m+1m=m+1，∴m=1或-1，∵m＞0，∴m=1；（3）如图，设PC交x轴于点Q． 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ=75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜3，∴m＜3−12，∴0＜m＜3−12．6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），∴c=-4，∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0），∴−b2a=14a−2b−4=0，解得a=12b=−1，∴抛物线的解析式为y=12×2-x-4；（2）①如图1中，设直线AB的解析式为y=kx+n，∵A（-2，0），B（0，-4），∴−2k+n=0n=−4， 解得k=−2n=−4，∴直线AB的解析式为y=-2x-4，∵A，C关于直线x=1对称，∴C（4，0），设N（m，0），∵MN⊥x轴，∴M（m，-2m-4），∴NC=4-m，∵MN=3NC，∴2m+4=3（4-m），∴m=85，∴点M（85，-365）；②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），∵四边形MPNQ是正方形，∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，∴PQ∥x轴，∴E（t，-t-2），∴NE=t+2，∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，∴P（2t+2，-t-2），∵点P在抛物线y=12×2-x-4上，∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，解得t1=12，t2=-2， ∵点P在第四象限，∴t=-2舍去，∴t=12，∴点M坐标为（12，-5）．7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=-3；（2）①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−b2−4ac2a，x2=−b+b2−4ac2a，∴AB=x2-x1=b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：（-b2a，4ac−b24a），∴AE=b2−4ac4a，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB=34，∴b2−4ac4a÷b2−4aca=34，∴b2-4ac=9；②∵b2-4ac=9，∴x2=−b+32a，∵OP∥MN，∴NPBP=OMOB，∴b2a：−b+32a=2，∴b=2，∴22-4ac=9，∴c=-54a，∴T=1a2+165c=1a2-54a⋅165=1a2-4a=（1a-2）2+4，∴当1a=2时，T 最小=4，即a=12时，T最小=4．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），∴a−2+c=09a+6+c=0，解得a=−1c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，可得y=3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则b=33k+b=0，∴k=−1b=3，∴直线BC的解析式为y=-x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∵PF∥AB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC =12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3=-32m2+92m=-32（m-32）2+94，∵-32＜0，∴m=32时，△PBC的面积最大，面积的最大值为94，此时PE的值最大，∵12×32×PE=94，∴PE=32，∴△PEF的周长的最大值=32+32+62=3+62，此时P（32，154）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3，解得m=-2或4，∴G（-2，-5）或（4，-5），当BC为平行四边形的对角线时，12（1+m）=12（0+3），∴m=2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）． 9.解：（1）∵抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，∴14（4+3）（4-a）=0，解得a=4，∴y=14（x+3）（x-4）=14×2-14x-3，即抛物线的表达式为y=14×2-14x-3；（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，∴A（-3，0），OA=3，∵OC=OB=4，∴C（0，4），∵AE=1，∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，∴E（-2，0），∵DE⊥x轴，∴xP=xD=xE=-2，∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，∴PE=32，∴DP=DE+PE=43+32=176；（3）①如下图，连接DG交AB于点M，∵△BCD与BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM=GM，设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a，MG=MD=AM•tan∠CAO=43（3-a），∴G（-a，43（a-3）），∵点G （-a，43（a-3））在抛物线y=14（x+3）（x-4）上，∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），解得a=43或3（舍去），∴G（-43，-209）；②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，∵AE=CD，∴△AEQ≌△CDB（SAS），∴EQ=BD，∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CH⊥AQ，垂足为H，∵OC⊥OB，OC=OB=4，∴∠CBA=45°，BC=42，∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=22AC=522，HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322，∴CQ=CH2+HQ2=(522)2+(1322)2=97，即BD+CE的最小值为97．10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-3x+c中得：c=2；（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，∴顶点的坐标为（-32，114），∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，∴其中一个点M就是抛物线的顶点，∴T=-114×2+114=-114； （3）当y=0时，-x2-3x+2=0，x2+3x-2=0，∵k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+3x-2=0的解，∴k2+3k-2=0，∴k2=2-3k，∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，∵k8+k6+2k4+4k2+16=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16=164-1823k+168（2-3k）=500-3503k，∴k4k8+k6+2k4+4k2+16=10−73k50(10−73k)=150．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），∴a−b+2=09a+3b+2=0，解得：a=−23b=43，∴该二次函数的表达式为y=−23×2+43x+2；（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，∵y=−23×2+43x+2，∴抛物线对称轴为直线x=-432×(−23)=1，∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠ PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，解得：m=56，∴D（56，0），设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，解得：k=−125d=2，∴直线CD的解析式为y=−125x+2，联立，得y=−125x+2y=−23×2+43x+2，解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=−21425，∴P（225，-21425），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y=−23×2+43x+2的对称轴为直线x=1，∴E（1，0），设Q（t，−23t2+43t+2），且-1＜t＜3，设直线AQ的解析式为y=ex+f，则−e+f=0te+f=−23t2+43t+2，解得：e=−23t+2f=−23t+2，∴直线AQ的解析式为y=（−23t+2）x-23t+2，当x=1时，y=-43t+4，∴M（1，-43t+4），同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，当x=1时，y=43t+43，∴N（1，43t+43），∴EM=-43 t+4，EN=43t+43，∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，故EM+EN的值为定值163．12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2−m2，−m2+8m−204），∵m＞2，∴2-m＜0，∴2−m2＜0，∵−m2+8m−204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c−b24），当x=0时，B（0，c），将（-b2，4c−b24）代入y=-x-2得：4c−b24=b2-2，∴c=b2+2b−84，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB=-c=-b2+2b−84，过点A作AH⊥OB于H，如图： ∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b−84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，∵-18＜0，∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，答：△AOB面积的最大值是98．13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4， r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，解得：a=-16，∴抛物线对应的函数表达式为y=-16×2+8；（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，-16m2+8），∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，∵-12＜0，∴当m=2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1=3，P2P3=9，令-16×2+8=3，解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，方案二：设P2P1=n，则P2P3=18−2n2=9-n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，∵-1＜0，∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1=92，P2P3=92，令-16×2+8=92，解得：x=±21，∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有2k+b=05k+b=3，解得k=1b=−2，∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q． ∵抛物线的对称轴x=-4−2=2，点M（2，0），∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称，∴2=x1+x22，∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， ∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PNAN有最大值，最大值为3712．16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得−1−b+c=0c=3，解得：b=2c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小， 设直线PF的解析式为y=kx+n，∴2k+n=3−k+n=−1，解得：k=43n=13，∴直线PF的解析式为y=43x+13，∴点M的坐标为（0，13）．17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a−2+c=0c=4解得：a=−12c=4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12×2+x+4，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则−2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，∴x=4m−2，当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴12•3•（-3m）=12•4•42−m，∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0， ∴m1=-23，m2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PHBH=OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM，∴OBOF=FMPM，即4t−3=3−12t2+t+4，解得：t1=1+2014，t2=1−2014（舍），∴F（201−114，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（201−114，0）．18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0， ∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N在第一象限，∴t＞3， ∴t的值为72，1+21，6+21，∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
简介：2022年全国各省市中考数学真题汇编二次函数压轴题1.(2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．2.(2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 1.(2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD’，连接CD’，求线段CD’长度的最小值．2.(2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．2.(2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标； ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．1.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”． 1.(2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2.(2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值． 1.(2022·云南省)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．（1）求c的值；（2）直接写出T的值；（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．2.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．1.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值． 1.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 参考答案1.解：（1）∵A（-1，0），∴OA=1，∵∠AOC=90°，∴tan∠OAC=OCOA=2，∴OC=2OA=2，∴点C（0，-3），设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2），∴a•1×（-2）=-2，∴a=1，∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2；（2）设点P（a，a2-a-2），如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a，∴PE=a2-a-a=a2-2a，∴S△PBC=12PE•OC，∵抛物线的对称轴为直线y=12，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=12CD⋅OC，∴12PE•OC=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a 1=1+2（舍去），a2=1-2，当x=1-2时，y=a2-a-2=a-1=-2，∴P（1-2，-2），如图2，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a-2）∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，∴S△PBC=12PF⋅OB=12CD•OC，∴a2-2a=1，∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），当a=1+2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，∴P（1+2，2），综上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；（3）如图3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴PQOQ=PMOC= −t2+2t2=-12(t−1)2+12，∴当t=1时，（PQOQ）最大=12．2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：−9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，∴∠APB+∠CPM=90°，∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠CPM，∵∠B=∠PCM=90°，∴△MCP∽△PBA，∴PCAB=CMPB，即3−m3=nm，∴3n=m（3-m），∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，∵-13＜0，∴当m=32时，n的值最大，最大值是34．3.解：在直线y=2x+2中，当x=2时，y=2，当y=0时，x=-1，∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c，a−b+c=0c=29a+3b+c=0，解得a=−23b=43c=2，∴抛物线的解析式为y=-23×2+43x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP， 又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=AO=1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP=OP=OB=2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．4.解：（1）当x=0时，y=-2，∴C（0，2），当y=0时，x2-x-2=0，（x-2）（x+1）=0，∴x1=2，x2=-1，∴A（-1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把C（0，2）代入得：-2a=2，∴a=-1，∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，-x+b=-x2+x+2，x2-2x+b-2=0，Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y=2时，x2-x-2=2，x2-x-4=0，∴x1=1+172，x2=1−172，∴P（1+172，0）；如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y=x+2，∴x+2=x2-x-2，∴x1=1+5，x2=1-5（舍），∴P（1+5，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（1+172，0）或（1+5，0）．5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，解方程，得x1=-1，x2=2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（-1，0），B（2m+1，0），当x=0时，y=2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°；（2）如图1中，连接AE．∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE，∴∠EAB=∠OBC=45°，∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，∴m+1m=m+1，∴m=1或-1，∵m＞0，∴m=1；（3）如图，设PC交x轴于点Q． 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ=75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜3，∴m＜3−12，∴0＜m＜3−12．6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），∴c=-4，∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0），∴−b2a=14a−2b−4=0，解得a=12b=−1，∴抛物线的解析式为y=12×2-x-4；（2）①如图1中，设直线AB的解析式为y=kx+n，∵A（-2，0），B（0，-4），∴−2k+n=0n=−4， 解得k=−2n=−4，∴直线AB的解析式为y=-2x-4，∵A，C关于直线x=1对称，∴C（4，0），设N（m，0），∵MN⊥x轴，∴M（m，-2m-4），∴NC=4-m，∵MN=3NC，∴2m+4=3（4-m），∴m=85，∴点M（85，-365）；②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），∵四边形MPNQ是正方形，∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，∴PQ∥x轴，∴E（t，-t-2），∴NE=t+2，∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，∴P（2t+2，-t-2），∵点P在抛物线y=12×2-x-4上，∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，解得t1=12，t2=-2， ∵点P在第四象限，∴t=-2舍去，∴t=12，∴点M坐标为（12，-5）．7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=-3；（2）①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−b2−4ac2a，x2=−b+b2−4ac2a，∴AB=x2-x1=b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：（-b2a，4ac−b24a），∴AE=b2−4ac4a，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB=34，∴b2−4ac4a÷b2−4aca=34，∴b2-4ac=9；②∵b2-4ac=9，∴x2=−b+32a，∵OP∥MN，∴NPBP=OMOB，∴b2a：−b+32a=2，∴b=2，∴22-4ac=9，∴c=-54a，∴T=1a2+165c=1a2-54a⋅165=1a2-4a=（1a-2）2+4，∴当1a=2时，T 最小=4，即a=12时，T最小=4．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），∴a−2+c=09a+6+c=0，解得a=−1c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，可得y=3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则b=33k+b=0，∴k=−1b=3，∴直线BC的解析式为y=-x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∵PF∥AB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC =12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3=-32m2+92m=-32（m-32）2+94，∵-32＜0，∴m=32时，△PBC的面积最大，面积的最大值为94，此时PE的值最大，∵12×32×PE=94，∴PE=32，∴△PEF的周长的最大值=32+32+62=3+62，此时P（32，154）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3，解得m=-2或4，∴G（-2，-5）或（4，-5），当BC为平行四边形的对角线时，12（1+m）=12（0+3），∴m=2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）． 9.解：（1）∵抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，∴14（4+3）（4-a）=0，解得a=4，∴y=14（x+3）（x-4）=14×2-14x-3，即抛物线的表达式为y=14×2-14x-3；（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，∴A（-3，0），OA=3，∵OC=OB=4，∴C（0，4），∵AE=1，∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，∴E（-2，0），∵DE⊥x轴，∴xP=xD=xE=-2，∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，∴PE=32，∴DP=DE+PE=43+32=176；（3）①如下图，连接DG交AB于点M，∵△BCD与BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM=GM，设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a，MG=MD=AM•tan∠CAO=43（3-a），∴G（-a，43（a-3）），∵点G （-a，43（a-3））在抛物线y=14（x+3）（x-4）上，∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），解得a=43或3（舍去），∴G（-43，-209）；②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，∵AE=CD，∴△AEQ≌△CDB（SAS），∴EQ=BD，∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CH⊥AQ，垂足为H，∵OC⊥OB，OC=OB=4，∴∠CBA=45°，BC=42，∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=22AC=522，HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322，∴CQ=CH2+HQ2=(522)2+(1322)2=97，即BD+CE的最小值为97．10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-3x+c中得：c=2；（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，∴顶点的坐标为（-32，114），∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，∴其中一个点M就是抛物线的顶点，∴T=-114×2+114=-114； （3）当y=0时，-x2-3x+2=0，x2+3x-2=0，∵k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+3x-2=0的解，∴k2+3k-2=0，∴k2=2-3k，∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，∵k8+k6+2k4+4k2+16=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16=164-1823k+168（2-3k）=500-3503k，∴k4k8+k6+2k4+4k2+16=10−73k50(10−73k)=150．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），∴a−b+2=09a+3b+2=0，解得：a=−23b=43，∴该二次函数的表达式为y=−23×2+43x+2；（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，∵y=−23×2+43x+2，∴抛物线对称轴为直线x=-432×(−23)=1，∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠ PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，解得：m=56，∴D（56，0），设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，解得：k=−125d=2，∴直线CD的解析式为y=−125x+2，联立，得y=−125x+2y=−23×2+43x+2，解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=−21425，∴P（225，-21425），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y=−23×2+43x+2的对称轴为直线x=1，∴E（1，0），设Q（t，−23t2+43t+2），且-1＜t＜3，设直线AQ的解析式为y=ex+f，则−e+f=0te+f=−23t2+43t+2，解得：e=−23t+2f=−23t+2，∴直线AQ的解析式为y=（−23t+2）x-23t+2，当x=1时，y=-43t+4，∴M（1，-43t+4），同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，当x=1时，y=43t+43，∴N（1，43t+43），∴EM=-43 t+4，EN=43t+43，∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，故EM+EN的值为定值163．12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2−m2，−m2+8m−204），∵m＞2，∴2-m＜0，∴2−m2＜0，∵−m2+8m−204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c−b24），当x=0时，B（0，c），将（-b2，4c−b24）代入y=-x-2得：4c−b24=b2-2，∴c=b2+2b−84，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB=-c=-b2+2b−84，过点A作AH⊥OB于H，如图： ∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b−84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，∵-18＜0，∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，答：△AOB面积的最大值是98．13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4， r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，解得：a=-16，∴抛物线对应的函数表达式为y=-16×2+8；（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，-16m2+8），∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，∵-12＜0，∴当m=2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1=3，P2P3=9，令-16×2+8=3，解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，方案二：设P2P1=n，则P2P3=18−2n2=9-n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，∵-1＜0，∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1=92，P2P3=92，令-16×2+8=92，解得：x=±21，∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有2k+b=05k+b=3，解得k=1b=−2，∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q． ∵抛物线的对称轴x=-4−2=2，点M（2，0），∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称，∴2=x1+x22，∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， ∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PNAN有最大值，最大值为3712．16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得−1−b+c=0c=3，解得：b=2c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小， 设直线PF的解析式为y=kx+n，∴2k+n=3−k+n=−1，解得：k=43n=13，∴直线PF的解析式为y=43x+13，∴点M的坐标为（0，13）．17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a−2+c=0c=4解得：a=−12c=4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12×2+x+4，设直线AB的解析式为：y=kx+b，则−2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，∴x=4m−2，当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，∴12•3•（-3m）=12•4•42−m，∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0， ∴m1=-23，m2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PHBH=OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM，∴OBOF=FMPM，即4t−3=3−12t2+t+4，解得：t1=1+2014，t2=1−2014（舍），∴F（201−114，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（201−114，0）．18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0， ∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N在第一象限，∴t＞3， ∴t的值为72，1+21，6+21，∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
