2022年中考数学试题汇编之二次函数（选择题）
2022年中考数学试题汇编：二次函数（选择题）1．（2022•青岛）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ）A．b＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．3a+c＝0
简介：2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题）1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2． 12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m． 16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 参考答案与试题解析1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣ m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，① 过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．【解答】解：∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0或m＝﹣，综上所述：m的值为1或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD’，∵点D与D’关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD’＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD’＝45°，∴∠OAD’＝90°，∴D’（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D’在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， 则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D’关于直线AC对称，∴E是DD’的中点，∴D’（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1， ∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；②错误．3a+2c＝0；③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；④正确，证明判别式＞0即可．【解答】解：∵对称轴x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正确；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②错误；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵1＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2×2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s． 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2×2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b 的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解． 【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
简介：2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题）1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2． 12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m． 16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 参考答案与试题解析1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣ m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，① 过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．【解答】解：∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0或m＝﹣，综上所述：m的值为1或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD’，∵点D与D’关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD’＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD’＝45°，∴∠OAD’＝90°，∴D’（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D’在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， 则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D’关于直线AC对称，∴E是DD’的中点，∴D’（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1， ∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；②错误．3a+2c＝0；③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；④正确，证明判别式＞0即可．【解答】解：∵对称轴x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正确；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②错误；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵1＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2×2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s． 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2×2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b 的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解． 【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
简介：2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题）1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2． 12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m． 16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 参考答案与试题解析1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣ m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，① 过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．【解答】解：∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0或m＝﹣，综上所述：m的值为1或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD’，∵点D与D’关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD’＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD’＝45°，∴∠OAD’＝90°，∴D’（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D’在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， 则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D’关于直线AC对称，∴E是DD’的中点，∴D’（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1， ∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；②错误．3a+2c＝0；③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；④正确，证明判别式＞0即可．【解答】解：∵对称轴x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正确；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②错误；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵1＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2×2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s． 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2×2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b 的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解． 【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
简介：2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题）1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2． 12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m． 16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 参考答案与试题解析1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣ m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，① 过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．【解答】解：∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0或m＝﹣，综上所述：m的值为1或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD’，∵点D与D’关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD’＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD’＝45°，∴∠OAD’＝90°，∴D’（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D’在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， 则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D’关于直线AC对称，∴E是DD’的中点，∴D’（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1， ∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；②错误．3a+2c＝0；③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；④正确，证明判别式＞0即可．【解答】解：∵对称轴x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正确；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②错误；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵1＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2×2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s． 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2×2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b 的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解． 【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
简介：2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题）1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2． 12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m． 16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 参考答案与试题解析1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣ m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，① 过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．【解答】解：∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0或m＝﹣，综上所述：m的值为1或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD’，∵点D与D’关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD’＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD’＝45°，∴∠OAD’＝90°，∴D’（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D’在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， 则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D’关于直线AC对称，∴E是DD’的中点，∴D’（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1， ∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；②错误．3a+2c＝0；③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；④正确，证明判别式＞0即可．【解答】解：∵对称轴x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正确；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②错误；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵1＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2×2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s． 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2×2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b 的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解． 【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
简介：2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题）1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2． 12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m． 16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 参考答案与试题解析1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣ m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，① 过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．【解答】解：∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0或m＝﹣，综上所述：m的值为1或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD’，∵点D与D’关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD’＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD’＝45°，∴∠OAD’＝90°，∴D’（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D’在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， 则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D’关于直线AC对称，∴E是DD’的中点，∴D’（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1， ∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；②错误．3a+2c＝0；③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；④正确，证明判别式＞0即可．【解答】解：∵对称轴x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正确；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②错误；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵1＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2×2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s． 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2×2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2×2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b 的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解． 【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2×2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
