四川省2022年中考语文分类汇编之文言文阅读专题
文言文阅读专题四川省成都市2022年中考语文试卷二、文言文阅读（每小题3分，共12分）阅读下面两篇文章，完成下面小题。甲山不在高，有仙则名。水不在深，有龙则灵。斯是陋室，惟吾德馨。苔痕上阶绿，草色入帘青。谈笑有鸿儒，往来无白丁。可以调素琴，
简介：2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．（1）求b，c的值．（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L21：y=a（x+1）-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．5.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 16.(2022·四川省南充市)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．7.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于 点N．求的最大值． 38.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点4A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点6M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；53（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-x2+bx+c的对称轴对称．将43抛物线y=-x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线4上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．19.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．11.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B’．（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB’，BB’，若△B’AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB’是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 12.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．13.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．315.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接 1BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标. 2 16.(2022·四川省)如图，已知抛物线C21：y=ax+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求a的值及P的坐标；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 17.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 18.(2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教113表达式分别为x=t+2，x=t2-t+3，函数图象见图2．售价成本242请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m= 3 10或m= 3 10（舍去）．综上所述，m=-2或 3 10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4， ∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．3.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 1 ܿ0得， ܿ3 ܿ2解得：， ܿ3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得： -（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，设直线PF的解析式为y=kx+n，2똠 뚀ܿ3∴， 똠 뚀ܿ 14똠ܿ3解得：，1뚀ܿ341∴直线PF的解析式为y=x+，331∴点M的坐标为（0，）．34.解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），∴1=a-1，∴a=2，∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；②∵y1=y2，∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3， 17∴x1=，x2=，22117当x=时，y21=2（-2）-1=，22279∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=+1=；22（2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，又∵二次函数y的最小值为-1，∴x=x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方，∴AB≥3，∴m-n≥3，令y=0，可得a（x-2）2-1=0，11∴m=2+，n=2-， 11∴（2+）-（2-）≥3， 2∴≥3， 又∵a＞0，4∴0＜a≤．95.解：（1）针对于抛物线y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C（0，-3）；令y=0，则x2-2x-3=0，∴x=3或x=-1，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（3，0），∴AC= 1 0 2 0 3 2=10； 2（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-=1，2∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA= 1 1 2 2= 2 4，PC=12 3 2= 2 6 10， ∵PA=PC，∴ 2 4= 2 6 10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M’H’⊥x轴，同①的方法得，M’（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°， ∵∠DMC+∠EMB=90°，∴∠DCM=∠EMB，∴△CDM∽△MEB， ∴ܿ， ∵M（m，m2-2m-3），B（3，0），C（0，-3），∴DM=m，CD=m2-2m-3+3=m2-2m，ME=3-m，BE=-（m2-2m-3）=-m2+2m+3， 2 2 ∴ܿ，3 2 2 31 10∴m=0（舍去）或m=3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m=（不符合题意，21 10舍去）或m=，21 105 210∴M（，-），241 105 210即满足条件的M的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（，-）．246.解：（1）由题意得，12 4 4 ܿ03， ܿ 41 ܿ ∴3， ܿ 4121∴y= - 4；33（2）如图1，作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，∵BC的解析式为y=x-4，∴设直线l的解析式为：y=x+b，121由 4=x+b得，33×2-4x-3（b+4）=0， ∵Δ=0，∴-3（b+4）=4，16∴b=-，316∴x2-4x+4=0，y=x-，310∴x=2，y=-，310∴P1（2，-），316∵E（0，-），C（0，-4），316∴F（0，-4×2-（-）），38即（0，-），38∴直线m的解析式为：y=x-，3121 ܿ 433∴，8 ܿ 3 1ܿ2 22 2ܿ2 22∴2，2， 1ܿ22 2ܿ 22 3322∴P2（2-22，-22-），P3（2+22，22-），331022综上所述：点P（2，-）或（2-22，-22-）或（2+22，22-）；333（3）如图2，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，∵BN=DN， 4∴BD=2BN，N点的横坐标为：，2 4∴OH=，2∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD， 1∴ܿܿ， 2∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH， ∴=ܿܿ2， ∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE ∴=2•， 1∴EF= ，2∵BF=4-a，1∴EF= 4 ，2∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK， ∴=， 1 4 1∴2ܿ，2 42∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），1218当x=-4时，y= 4 - 4 -4=，3338∴M（-4，）．37.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b， 2똠 ܿ0则有，5똠 ܿ3똠ܿ1解得， ܿ 2∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．4∵抛物线的对称轴x=-=2，点M（2，0）， 2∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称， 1 2∴2=，2∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T． ∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， 1215237∴==（t-（t-4t-3）=-（t-）+， 332121∵-＜0，3 37∴有最大值，最大值为． 1238.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．4 12 4 ܿ0∴， ܿ39 ܿ∴4． ܿ3329∴抛物线的函数表达式为y=- 3；44（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，56∴AM= ， ܿ2 ，356∴PM+ ܿ 2 ，5 ∵B（0，3），A（4，0），3∴lAB：y=- 3，43293∴设P（m，- 3），M（m，- 3），Q（m，0），4443233227∴PM+2MQ=- 6=- 1 ，42443∵-＜0，4∴开口向下，0＜m＜4，6279∴当m=1时，PM+ 的最大值为，此时P（1，）；5423293（3）由y=- 3知，对称轴x=，4429∴P’（2，），2∵直线l：x=4，5∴抛物线向右平移个单位，232117∴平移后抛物线解析式为y’=- 6 ，41632117设D（4，t），C（c，- 6 ），416①AP’与DC为对角线时，4 2ܿ4 932117，0 ܿ′ 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ1645∴D（4，），16②P’D与AC为对角线时，2 4ܿ4 932117， ′ܿ0 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ 1645∴D（4，-），16③AD与P’C为对角线时，4 4ܿ2 932117，0 ′ܿ 16 2416 ܿ6∴99，′ܿ16 99∴D（4，），16454599综上：D（4，）或（4，-）或（4，）．16161619.解：（1）把A（0，-4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得：2 ܿ 4，8 4 ܿ0 ܿ 1解得， ܿ 41∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；2（2）设直线AB解析式为y=kx+t，把A（0，-4），B（4，0）代入得：′ܿ 4，4똠 ′ܿ0똠ܿ1解得，′ܿ 4∴直线AB解析式为y=x-4，11设P（m，m2-m-4），则PD=-m2+m+4，2211在y=x-4中，令y=m2-m-4得x=m2-m，2211∴C（m2-m，m2-m-4），2211∴PC=m-（m2-m）=-m2+2m，22∴PC+PD=-1m2+2m-1m2+m+4=-m2+3m-4=-（m-3）2+25，2224∵-1＜0，325∴当m=时，PC+PD取最大值，2412132335此时m-m-4=×（）–4=-，22228335∴P（，-）；2825335答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，-）；4281117（3）∵将抛物线y=x2-x-4向左平移5个单位得抛物线y=（x+5）2-（x+5）-4=x2+4x+，22224∴新抛物线对称轴是直线x=-1=-4，2 2177在y=x2+4x+中，令x=0得y=，2227∴F（0，），2335735将P（，-）向左平移5个单位得E（-，-），2828 17设M（-4，n），N（r，r2+4r+），22①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，70 ܿ 4 䁩2∴，735127 ܿ뚀 䁩 4䁩 28221解得r=，21271121745∴r+4r+=×（）+4×+=，2222228145∴N（，）；28②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，70 4ܿ 䁩2∴，735127 뚀ܿ 䁩 4䁩 28221解得r=-，217111713∴r2+4r+=×（-）2+4×（-）+=，2222228113∴N（-，）；28③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，70 䁩ܿ 42∴，712735 䁩 4䁩 ܿ 뚀222815解得r=-，2127115215713∴r+4r+=×（-）+4×（-）+=，22222281513∴N（-，）；281451131513综上所述，N的坐标为：（，）或（-，）或（-，）．28282810.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．1 ܿ0∴， ܿ 3 ܿ 2∴， ܿ 3∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2= 2 2 1 2=52 12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m， ܿ 3则有，3똠 ܿ0 똠ܿ1∴， ܿ 3∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1， ܿ 1 ܿ1 ܿ4由2，解得或， ܿ 2 3 ܿ0 ܿ5∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN= ′ 1 2 ′ 3 2，MN= ′ 4 2 ′ 8 2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52= ′ 1 2 ′ 3 2，解得t=1±21，当AM=MN时，52= ′ 4 2 ′ 8 2，解得t=6±21，当AN=MN时， ′ 1 2 ′ 3 2= ′ 4 2 ′ 8 2，7解得t=，2∵N在第一象限，∴t＞3， 7∴t的值为，1+21，6+21，271∴点N的坐标为（，）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．2211.解：（1）当k=2时，直线为y=2x-3， ܿ2 3 ܿ 3 ܿ1由2得：或， ܿ ܿ 9 ܿ 1∴A（-3，-9），B（1，-1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB’∥AB，∴∠OB’B=∠B’BC，∵B、B’关于y轴对称，∴OB=OB’，∠ODB=∠ODB’=90°，∴∠OB’B=∠OBB’，∴∠OBB’=∠B’BC，∵∠ODB=90°=∠CDB，BD=BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD=CD，在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴C（0，-3），OC=3，133∴OD=OC=，D（0，-），22233在y=-x2中，令y=-得-=-x2，2266解得x=或x=-，22 63∴B（，-），2263把B（，-）代入y=kx-3得：2236-=k-3，226解得k=；2当k＜0时，过B’作B’F∥AB交y轴于F，如图：在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴E（0，-3），OE=3，∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE=EF=3，∵B、B’关于y轴对称，∴FB=FB’，∠FGB=∠FGB’=90°，∴∠FB’B=∠FBB’，∵B’F∥AB，∴∠EBB’=∠FB’B，∴∠EBB’=∠FBB’，∵∠BGE=90°=∠BGF，BG=BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），13∴GE=GF=EF=，2299∴OG=OE+GE=，G（0，-），2299在y=-x2中，令y=-得-=-x2，223232解得x=或x=-，22 329∴B（，-），22329把B（，-）代入y=kx-3得：22932-=k-3，222解得k=-，262综上所述，k的值为或-；22（3）直线AB’经过定点（0，3），理由如下： ܿ 2由得： ܿ똠 3 똠 똠2 12 똠 똠2 12 ܿ ܿ22或， 똠2 똠똠2 12 6 똠2 똠똠2 12 6 ܿ ܿ22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴A（，），B（，），2222∵B、B’关于y轴对称，똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴B’（，），22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6设直线AB’解析式为y=mx+n，将A（，），B（’，）2222代入得： 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12ܿ 뚀22， 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12ܿ 뚀22 ܿ똠2 12解得，뚀ܿ3∴直线AB’解析式为y=똠2 12•x+3，令x=0得y=3，∴直线AB’经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0）， 2ܿ0∴，9 3 2ܿ02 ܿ 3解得：，4 ܿ324∴该二次函数的表达式为y= x2+x+2；33（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，24∵y= x2+x+2，3343∴抛物线对称轴为直线x=-2=1，2 3∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，5解得：m=，65∴D（，0），65똠 ܿ0设直线CD的解析式为y=kx+d，则6， ܿ212똠ܿ 解得：5， ܿ212∴直线CD的解析式为y= x+2，512 ܿ 25联立，得，224 ܿ 23322 1ܿ0 2ܿ5解得：（舍去），， 1ܿ2214 2ܿ 2522214∴P（，-），52522214综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，-）；52524（3）由（2）知：抛物线y= x2+x+2的对称轴为直线x=1，33∴E（1，0），24设Q（t， t2+t+2），且-1＜t＜3，33 ܿ0设直线AQ的解析式为y=ex+f，则224，′ ܿ ′ ′ 233 2 ܿ ′ 23解得：，2 ܿ ′ 2322∴直线AQ的解析式为y=（ t+2）x-t+2，334当x=1时，y=-t+4，34∴M（1，-t+4），322同理可得直线BQ的解析式为y=（-t-）x+2t+2，3344当x=1时，y=t+，3344∴N（1，t+），33444∴EM=-t+4，EN=t+，33344416∴EM+EN=-t+4+t+=，333316故EM+EN的值为定值．324 2 ܿ013.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax+x+c中得： ܿ41 ܿ 解得：2； ܿ41（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-x2+x+4，2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 2똠 ܿ0똠ܿ2则，解得：， ܿ4 ܿ4∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，4∴x=， 2当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，114∴•3•（-3m）=•4•，222 ∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0，28∴m1=-，m2=（舍），33 2∴直线DE的解析式为：y=-x；3（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：1设P（t，-t2+t+4），2①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB， ′4∴=，即12=， 2′ ′ 4 43 ′解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM， 43∴=，即=12， ′ 3 ′ ′ 421 2011 201解得：t1=，t2=（舍），44201 11∴F（，0）；4201 11综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．414.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；22 2 8 20（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x+（m-2）x+m-4的顶点为（，），24∵m＞2，∴2-m＜0，2 ∴＜0，2 2 8 2012∵=-（m-4）-1≤-1＜0，44∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；2 4 2（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x+bx+c，其顶点为（-，），24当x=0时，B（0，c）， 4 2将（-，）代入y=-x-2得：244 2 =-2，42 2 2 8∴c=，4∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0， 2 2 8∴OB=-c=-，4过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，11 2 2 8121129S△AOB=OB•AH=×（-）×1=-b-b+1=-（b+1）+，22484881∵-＜0，89∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，89答：△AOB面积的最大值是．8315.解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过点A（1，0），C（0，-2），2310ܿ ܿ∴2，解得：2． 2ܿ ܿ 2123∴抛物线的表达式为y= 2．22设直线AC的表达式为y=kx+b，则똠 ܿ0똠ܿ2，解得：． ܿ 2 ܿ 2∴直线AC的表达式为y=2x-2．（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是： 123∵抛物线的表达式为y= 2，22∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2， ∴ܿ． 又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，3∵抛物线的对称轴为直线x=-．2故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），1 2ܿ뚀 ܿ ∴，解得：2．0ܿ 4 뚀뚀ܿ 21∴过点B、C的直线解析式为y= 2．25过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-），2过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．123设点P坐标为（m， 2），则点N坐标为（m，221 2），2112312∴PN= 2-（ 2）= 2 ，2222∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN． ∴ܿ． 若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底）， 1 则△BPQ与△BAQ的面积比为，即ܿ． 2 12 1 2 2 24 124∴ܿ=5= = 2 ． 2 555521∵-＜0，5 14∴当m=-2时，的最大值为，此时点P坐标为（-2，-3）． 2516.解：（1）由抛物线C2-5得，1：y=a（x+2）顶点P的坐标为（-2，-5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2-5，5解得a=；9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∴∠PHB=∠MGB=90°，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，PH=MG∴Rt△PBH≌Rt△MBG（HL），∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，52∴抛物线C3的表达式为y=-（x-4）+5；9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5）， 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴EF=AB．∵点P是抛物线的顶点，∴AH=BH，∴BH=3∴AB=2BH=6∵点N是抛物线的顶点，11∴FG=EG=EF=AB=322∴点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），∵顶点P的坐标为（-2，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，44①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，319∴Q点坐标为（，0）．310②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，32∴Q点坐标为（，0）．3③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90° 192综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直33角三角形．17.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，1解得：a=-，61∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+8；6（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，1∴P22的坐标为（m，-m+8），61∴P21P2=P3P4=MN=-m+8，P2P3=2m，6111∴l=3（-m2+8）+2m=-m2+2m+24=-（m-2）2+26，6221∵-＜0，2∴当m=2时，l有最大值为26，1即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-m2+2m+24，l的最大值为26；2（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P221P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n+18n=-3（n-3）+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1=3，P2P3=9，1令-x2+8=3，6解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，18 2뚀方案二：设P2P1=n，则P2P3==9-n，2981∴矩形P221P2P3P4面积为（9-n）n=-n+n=-（n-）+，24∵-1＜0，981∴当n=时，矩形面积有最大值为，24 99此时P2P1=，P2P3=，2219令-x2+8=，62解得：x=±21，9∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+≤P1横坐标≤21．218.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y2+c，需求=ax9 ܿ7.2 ，16 ܿ5.8 ②-①，得7a=-1.4，1解得：a=-，51把a=-代入①，得c=9，51∴a的值为-，c的值为9；5（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，1131w=x-x=t+2-（t2-t+3）=-（t-4）2+3，售价成本24241∵-＜0，且1≤t≤7，4∴当t=4时，w有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；1（3）当y=y时，x-1=-x2+9，供给需求5解得：x1=5，x2=-10（舍去），∴此时售价为5元/千克，则y供给=x-1=5-1=4（吨）=4000（千克），1令t+2=5，解得t=6，211∴w=-（t-4）2+3=-（6-4）2+3=2，44∴总利润为w•y=2×4000=8000（元），答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
简介：2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．（1）求b，c的值．（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L21：y=a（x+1）-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．5.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 16.(2022·四川省南充市)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．7.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于 点N．求的最大值． 38.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点4A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点6M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；53（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-x2+bx+c的对称轴对称．将43抛物线y=-x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线4上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．19.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．11.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B’．（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB’，BB’，若△B’AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB’是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 12.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．13.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．315.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接 1BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标. 2 16.(2022·四川省)如图，已知抛物线C21：y=ax+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求a的值及P的坐标；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 17.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 18.(2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教113表达式分别为x=t+2，x=t2-t+3，函数图象见图2．售价成本242请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m= 3 10或m= 3 10（舍去）．综上所述，m=-2或 3 10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4， ∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．3.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 1 ܿ0得， ܿ3 ܿ2解得：， ܿ3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得： -（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，设直线PF的解析式为y=kx+n，2똠 뚀ܿ3∴， 똠 뚀ܿ 14똠ܿ3解得：，1뚀ܿ341∴直线PF的解析式为y=x+，331∴点M的坐标为（0，）．34.解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），∴1=a-1，∴a=2，∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；②∵y1=y2，∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3， 17∴x1=，x2=，22117当x=时，y21=2（-2）-1=，22279∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=+1=；22（2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，又∵二次函数y的最小值为-1，∴x=x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方，∴AB≥3，∴m-n≥3，令y=0，可得a（x-2）2-1=0，11∴m=2+，n=2-， 11∴（2+）-（2-）≥3， 2∴≥3， 又∵a＞0，4∴0＜a≤．95.解：（1）针对于抛物线y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C（0，-3）；令y=0，则x2-2x-3=0，∴x=3或x=-1，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（3，0），∴AC= 1 0 2 0 3 2=10； 2（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-=1，2∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA= 1 1 2 2= 2 4，PC=12 3 2= 2 6 10， ∵PA=PC，∴ 2 4= 2 6 10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M’H’⊥x轴，同①的方法得，M’（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°， ∵∠DMC+∠EMB=90°，∴∠DCM=∠EMB，∴△CDM∽△MEB， ∴ܿ， ∵M（m，m2-2m-3），B（3，0），C（0，-3），∴DM=m，CD=m2-2m-3+3=m2-2m，ME=3-m，BE=-（m2-2m-3）=-m2+2m+3， 2 2 ∴ܿ，3 2 2 31 10∴m=0（舍去）或m=3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m=（不符合题意，21 10舍去）或m=，21 105 210∴M（，-），241 105 210即满足条件的M的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（，-）．246.解：（1）由题意得，12 4 4 ܿ03， ܿ 41 ܿ ∴3， ܿ 4121∴y= - 4；33（2）如图1，作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，∵BC的解析式为y=x-4，∴设直线l的解析式为：y=x+b，121由 4=x+b得，33×2-4x-3（b+4）=0， ∵Δ=0，∴-3（b+4）=4，16∴b=-，316∴x2-4x+4=0，y=x-，310∴x=2，y=-，310∴P1（2，-），316∵E（0，-），C（0，-4），316∴F（0，-4×2-（-）），38即（0，-），38∴直线m的解析式为：y=x-，3121 ܿ 433∴，8 ܿ 3 1ܿ2 22 2ܿ2 22∴2，2， 1ܿ22 2ܿ 22 3322∴P2（2-22，-22-），P3（2+22，22-），331022综上所述：点P（2，-）或（2-22，-22-）或（2+22，22-）；333（3）如图2，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，∵BN=DN， 4∴BD=2BN，N点的横坐标为：，2 4∴OH=，2∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD， 1∴ܿܿ， 2∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH， ∴=ܿܿ2， ∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE ∴=2•， 1∴EF= ，2∵BF=4-a，1∴EF= 4 ，2∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK， ∴=， 1 4 1∴2ܿ，2 42∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），1218当x=-4时，y= 4 - 4 -4=，3338∴M（-4，）．37.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b， 2똠 ܿ0则有，5똠 ܿ3똠ܿ1解得， ܿ 2∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．4∵抛物线的对称轴x=-=2，点M（2，0）， 2∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称， 1 2∴2=，2∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T． ∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， 1215237∴==（t-（t-4t-3）=-（t-）+， 332121∵-＜0，3 37∴有最大值，最大值为． 1238.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．4 12 4 ܿ0∴， ܿ39 ܿ∴4． ܿ3329∴抛物线的函数表达式为y=- 3；44（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，56∴AM= ， ܿ2 ，356∴PM+ ܿ 2 ，5 ∵B（0，3），A（4，0），3∴lAB：y=- 3，43293∴设P（m，- 3），M（m，- 3），Q（m，0），4443233227∴PM+2MQ=- 6=- 1 ，42443∵-＜0，4∴开口向下，0＜m＜4，6279∴当m=1时，PM+ 的最大值为，此时P（1，）；5423293（3）由y=- 3知，对称轴x=，4429∴P’（2，），2∵直线l：x=4，5∴抛物线向右平移个单位，232117∴平移后抛物线解析式为y’=- 6 ，41632117设D（4，t），C（c，- 6 ），416①AP’与DC为对角线时，4 2ܿ4 932117，0 ܿ′ 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ1645∴D（4，），16②P’D与AC为对角线时，2 4ܿ4 932117， ′ܿ0 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ 1645∴D（4，-），16③AD与P’C为对角线时，4 4ܿ2 932117，0 ′ܿ 16 2416 ܿ6∴99，′ܿ16 99∴D（4，），16454599综上：D（4，）或（4，-）或（4，）．16161619.解：（1）把A（0，-4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得：2 ܿ 4，8 4 ܿ0 ܿ 1解得， ܿ 41∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；2（2）设直线AB解析式为y=kx+t，把A（0，-4），B（4，0）代入得：′ܿ 4，4똠 ′ܿ0똠ܿ1解得，′ܿ 4∴直线AB解析式为y=x-4，11设P（m，m2-m-4），则PD=-m2+m+4，2211在y=x-4中，令y=m2-m-4得x=m2-m，2211∴C（m2-m，m2-m-4），2211∴PC=m-（m2-m）=-m2+2m，22∴PC+PD=-1m2+2m-1m2+m+4=-m2+3m-4=-（m-3）2+25，2224∵-1＜0，325∴当m=时，PC+PD取最大值，2412132335此时m-m-4=×（）–4=-，22228335∴P（，-）；2825335答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，-）；4281117（3）∵将抛物线y=x2-x-4向左平移5个单位得抛物线y=（x+5）2-（x+5）-4=x2+4x+，22224∴新抛物线对称轴是直线x=-1=-4，2 2177在y=x2+4x+中，令x=0得y=，2227∴F（0，），2335735将P（，-）向左平移5个单位得E（-，-），2828 17设M（-4，n），N（r，r2+4r+），22①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，70 ܿ 4 䁩2∴，735127 ܿ뚀 䁩 4䁩 28221解得r=，21271121745∴r+4r+=×（）+4×+=，2222228145∴N（，）；28②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，70 4ܿ 䁩2∴，735127 뚀ܿ 䁩 4䁩 28221解得r=-，217111713∴r2+4r+=×（-）2+4×（-）+=，2222228113∴N（-，）；28③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，70 䁩ܿ 42∴，712735 䁩 4䁩 ܿ 뚀222815解得r=-，2127115215713∴r+4r+=×（-）+4×（-）+=，22222281513∴N（-，）；281451131513综上所述，N的坐标为：（，）或（-，）或（-，）．28282810.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．1 ܿ0∴， ܿ 3 ܿ 2∴， ܿ 3∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2= 2 2 1 2=52 12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m， ܿ 3则有，3똠 ܿ0 똠ܿ1∴， ܿ 3∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1， ܿ 1 ܿ1 ܿ4由2，解得或， ܿ 2 3 ܿ0 ܿ5∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN= ′ 1 2 ′ 3 2，MN= ′ 4 2 ′ 8 2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52= ′ 1 2 ′ 3 2，解得t=1±21，当AM=MN时，52= ′ 4 2 ′ 8 2，解得t=6±21，当AN=MN时， ′ 1 2 ′ 3 2= ′ 4 2 ′ 8 2，7解得t=，2∵N在第一象限，∴t＞3， 7∴t的值为，1+21，6+21，271∴点N的坐标为（，）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．2211.解：（1）当k=2时，直线为y=2x-3， ܿ2 3 ܿ 3 ܿ1由2得：或， ܿ ܿ 9 ܿ 1∴A（-3，-9），B（1，-1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB’∥AB，∴∠OB’B=∠B’BC，∵B、B’关于y轴对称，∴OB=OB’，∠ODB=∠ODB’=90°，∴∠OB’B=∠OBB’，∴∠OBB’=∠B’BC，∵∠ODB=90°=∠CDB，BD=BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD=CD，在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴C（0，-3），OC=3，133∴OD=OC=，D（0，-），22233在y=-x2中，令y=-得-=-x2，2266解得x=或x=-，22 63∴B（，-），2263把B（，-）代入y=kx-3得：2236-=k-3，226解得k=；2当k＜0时，过B’作B’F∥AB交y轴于F，如图：在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴E（0，-3），OE=3，∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE=EF=3，∵B、B’关于y轴对称，∴FB=FB’，∠FGB=∠FGB’=90°，∴∠FB’B=∠FBB’，∵B’F∥AB，∴∠EBB’=∠FB’B，∴∠EBB’=∠FBB’，∵∠BGE=90°=∠BGF，BG=BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），13∴GE=GF=EF=，2299∴OG=OE+GE=，G（0，-），2299在y=-x2中，令y=-得-=-x2，223232解得x=或x=-，22 329∴B（，-），22329把B（，-）代入y=kx-3得：22932-=k-3，222解得k=-，262综上所述，k的值为或-；22（3）直线AB’经过定点（0，3），理由如下： ܿ 2由得： ܿ똠 3 똠 똠2 12 똠 똠2 12 ܿ ܿ22或， 똠2 똠똠2 12 6 똠2 똠똠2 12 6 ܿ ܿ22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴A（，），B（，），2222∵B、B’关于y轴对称，똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴B’（，），22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6设直线AB’解析式为y=mx+n，将A（，），B（’，）2222代入得： 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12ܿ 뚀22， 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12ܿ 뚀22 ܿ똠2 12解得，뚀ܿ3∴直线AB’解析式为y=똠2 12•x+3，令x=0得y=3，∴直线AB’经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0）， 2ܿ0∴，9 3 2ܿ02 ܿ 3解得：，4 ܿ324∴该二次函数的表达式为y= x2+x+2；33（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，24∵y= x2+x+2，3343∴抛物线对称轴为直线x=-2=1，2 3∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，5解得：m=，65∴D（，0），65똠 ܿ0设直线CD的解析式为y=kx+d，则6， ܿ212똠ܿ 解得：5， ܿ212∴直线CD的解析式为y= x+2，512 ܿ 25联立，得，224 ܿ 23322 1ܿ0 2ܿ5解得：（舍去），， 1ܿ2214 2ܿ 2522214∴P（，-），52522214综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，-）；52524（3）由（2）知：抛物线y= x2+x+2的对称轴为直线x=1，33∴E（1，0），24设Q（t， t2+t+2），且-1＜t＜3，33 ܿ0设直线AQ的解析式为y=ex+f，则224，′ ܿ ′ ′ 233 2 ܿ ′ 23解得：，2 ܿ ′ 2322∴直线AQ的解析式为y=（ t+2）x-t+2，334当x=1时，y=-t+4，34∴M（1，-t+4），322同理可得直线BQ的解析式为y=（-t-）x+2t+2，3344当x=1时，y=t+，3344∴N（1，t+），33444∴EM=-t+4，EN=t+，33344416∴EM+EN=-t+4+t+=，333316故EM+EN的值为定值．324 2 ܿ013.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax+x+c中得： ܿ41 ܿ 解得：2； ܿ41（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-x2+x+4，2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 2똠 ܿ0똠ܿ2则，解得：， ܿ4 ܿ4∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，4∴x=， 2当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，114∴•3•（-3m）=•4•，222 ∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0，28∴m1=-，m2=（舍），33 2∴直线DE的解析式为：y=-x；3（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：1设P（t，-t2+t+4），2①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB， ′4∴=，即12=， 2′ ′ 4 43 ′解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM， 43∴=，即=12， ′ 3 ′ ′ 421 2011 201解得：t1=，t2=（舍），44201 11∴F（，0）；4201 11综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．414.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；22 2 8 20（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x+（m-2）x+m-4的顶点为（，），24∵m＞2，∴2-m＜0，2 ∴＜0，2 2 8 2012∵=-（m-4）-1≤-1＜0，44∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；2 4 2（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x+bx+c，其顶点为（-，），24当x=0时，B（0，c）， 4 2将（-，）代入y=-x-2得：244 2 =-2，42 2 2 8∴c=，4∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0， 2 2 8∴OB=-c=-，4过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，11 2 2 8121129S△AOB=OB•AH=×（-）×1=-b-b+1=-（b+1）+，22484881∵-＜0，89∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，89答：△AOB面积的最大值是．8315.解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过点A（1，0），C（0，-2），2310ܿ ܿ∴2，解得：2． 2ܿ ܿ 2123∴抛物线的表达式为y= 2．22设直线AC的表达式为y=kx+b，则똠 ܿ0똠ܿ2，解得：． ܿ 2 ܿ 2∴直线AC的表达式为y=2x-2．（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是： 123∵抛物线的表达式为y= 2，22∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2， ∴ܿ． 又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，3∵抛物线的对称轴为直线x=-．2故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），1 2ܿ뚀 ܿ ∴，解得：2．0ܿ 4 뚀뚀ܿ 21∴过点B、C的直线解析式为y= 2．25过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-），2过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．123设点P坐标为（m， 2），则点N坐标为（m，221 2），2112312∴PN= 2-（ 2）= 2 ，2222∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN． ∴ܿ． 若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底）， 1 则△BPQ与△BAQ的面积比为，即ܿ． 2 12 1 2 2 24 124∴ܿ=5= = 2 ． 2 555521∵-＜0，5 14∴当m=-2时，的最大值为，此时点P坐标为（-2，-3）． 2516.解：（1）由抛物线C2-5得，1：y=a（x+2）顶点P的坐标为（-2，-5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2-5，5解得a=；9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∴∠PHB=∠MGB=90°，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，PH=MG∴Rt△PBH≌Rt△MBG（HL），∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，52∴抛物线C3的表达式为y=-（x-4）+5；9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5）， 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴EF=AB．∵点P是抛物线的顶点，∴AH=BH，∴BH=3∴AB=2BH=6∵点N是抛物线的顶点，11∴FG=EG=EF=AB=322∴点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），∵顶点P的坐标为（-2，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，44①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，319∴Q点坐标为（，0）．310②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，32∴Q点坐标为（，0）．3③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90° 192综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直33角三角形．17.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，1解得：a=-，61∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+8；6（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，1∴P22的坐标为（m，-m+8），61∴P21P2=P3P4=MN=-m+8，P2P3=2m，6111∴l=3（-m2+8）+2m=-m2+2m+24=-（m-2）2+26，6221∵-＜0，2∴当m=2时，l有最大值为26，1即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-m2+2m+24，l的最大值为26；2（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P221P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n+18n=-3（n-3）+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1=3，P2P3=9，1令-x2+8=3，6解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，18 2뚀方案二：设P2P1=n，则P2P3==9-n，2981∴矩形P221P2P3P4面积为（9-n）n=-n+n=-（n-）+，24∵-1＜0，981∴当n=时，矩形面积有最大值为，24 99此时P2P1=，P2P3=，2219令-x2+8=，62解得：x=±21，9∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+≤P1横坐标≤21．218.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y2+c，需求=ax9 ܿ7.2 ，16 ܿ5.8 ②-①，得7a=-1.4，1解得：a=-，51把a=-代入①，得c=9，51∴a的值为-，c的值为9；5（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，1131w=x-x=t+2-（t2-t+3）=-（t-4）2+3，售价成本24241∵-＜0，且1≤t≤7，4∴当t=4时，w有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；1（3）当y=y时，x-1=-x2+9，供给需求5解得：x1=5，x2=-10（舍去），∴此时售价为5元/千克，则y供给=x-1=5-1=4（吨）=4000（千克），1令t+2=5，解得t=6，211∴w=-（t-4）2+3=-（6-4）2+3=2，44∴总利润为w•y=2×4000=8000（元），答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
简介：2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．（1）求b，c的值．（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L21：y=a（x+1）-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．5.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 16.(2022·四川省南充市)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．7.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于 点N．求的最大值． 38.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点4A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点6M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；53（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-x2+bx+c的对称轴对称．将43抛物线y=-x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线4上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．19.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．11.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B’．（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB’，BB’，若△B’AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB’是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 12.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．13.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．315.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接 1BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标. 2 16.(2022·四川省)如图，已知抛物线C21：y=ax+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求a的值及P的坐标；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 17.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 18.(2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教113表达式分别为x=t+2，x=t2-t+3，函数图象见图2．售价成本242请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m= 3 10或m= 3 10（舍去）．综上所述，m=-2或 3 10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4， ∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．3.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 1 ܿ0得， ܿ3 ܿ2解得：， ܿ3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得： -（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，设直线PF的解析式为y=kx+n，2똠 뚀ܿ3∴， 똠 뚀ܿ 14똠ܿ3解得：，1뚀ܿ341∴直线PF的解析式为y=x+，331∴点M的坐标为（0，）．34.解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），∴1=a-1，∴a=2，∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；②∵y1=y2，∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3， 17∴x1=，x2=，22117当x=时，y21=2（-2）-1=，22279∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=+1=；22（2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，又∵二次函数y的最小值为-1，∴x=x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方，∴AB≥3，∴m-n≥3，令y=0，可得a（x-2）2-1=0，11∴m=2+，n=2-， 11∴（2+）-（2-）≥3， 2∴≥3， 又∵a＞0，4∴0＜a≤．95.解：（1）针对于抛物线y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C（0，-3）；令y=0，则x2-2x-3=0，∴x=3或x=-1，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（3，0），∴AC= 1 0 2 0 3 2=10； 2（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-=1，2∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA= 1 1 2 2= 2 4，PC=12 3 2= 2 6 10， ∵PA=PC，∴ 2 4= 2 6 10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M’H’⊥x轴，同①的方法得，M’（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°， ∵∠DMC+∠EMB=90°，∴∠DCM=∠EMB，∴△CDM∽△MEB， ∴ܿ， ∵M（m，m2-2m-3），B（3，0），C（0，-3），∴DM=m，CD=m2-2m-3+3=m2-2m，ME=3-m，BE=-（m2-2m-3）=-m2+2m+3， 2 2 ∴ܿ，3 2 2 31 10∴m=0（舍去）或m=3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m=（不符合题意，21 10舍去）或m=，21 105 210∴M（，-），241 105 210即满足条件的M的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（，-）．246.解：（1）由题意得，12 4 4 ܿ03， ܿ 41 ܿ ∴3， ܿ 4121∴y= - 4；33（2）如图1，作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，∵BC的解析式为y=x-4，∴设直线l的解析式为：y=x+b，121由 4=x+b得，33×2-4x-3（b+4）=0， ∵Δ=0，∴-3（b+4）=4，16∴b=-，316∴x2-4x+4=0，y=x-，310∴x=2，y=-，310∴P1（2，-），316∵E（0，-），C（0，-4），316∴F（0，-4×2-（-）），38即（0，-），38∴直线m的解析式为：y=x-，3121 ܿ 433∴，8 ܿ 3 1ܿ2 22 2ܿ2 22∴2，2， 1ܿ22 2ܿ 22 3322∴P2（2-22，-22-），P3（2+22，22-），331022综上所述：点P（2，-）或（2-22，-22-）或（2+22，22-）；333（3）如图2，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，∵BN=DN， 4∴BD=2BN，N点的横坐标为：，2 4∴OH=，2∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD， 1∴ܿܿ， 2∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH， ∴=ܿܿ2， ∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE ∴=2•， 1∴EF= ，2∵BF=4-a，1∴EF= 4 ，2∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK， ∴=， 1 4 1∴2ܿ，2 42∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），1218当x=-4时，y= 4 - 4 -4=，3338∴M（-4，）．37.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b， 2똠 ܿ0则有，5똠 ܿ3똠ܿ1解得， ܿ 2∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．4∵抛物线的对称轴x=-=2，点M（2，0）， 2∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称， 1 2∴2=，2∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T． ∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， 1215237∴==（t-（t-4t-3）=-（t-）+， 332121∵-＜0，3 37∴有最大值，最大值为． 1238.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．4 12 4 ܿ0∴， ܿ39 ܿ∴4． ܿ3329∴抛物线的函数表达式为y=- 3；44（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，56∴AM= ， ܿ2 ，356∴PM+ ܿ 2 ，5 ∵B（0，3），A（4，0），3∴lAB：y=- 3，43293∴设P（m，- 3），M（m，- 3），Q（m，0），4443233227∴PM+2MQ=- 6=- 1 ，42443∵-＜0，4∴开口向下，0＜m＜4，6279∴当m=1时，PM+ 的最大值为，此时P（1，）；5423293（3）由y=- 3知，对称轴x=，4429∴P’（2，），2∵直线l：x=4，5∴抛物线向右平移个单位，232117∴平移后抛物线解析式为y’=- 6 ，41632117设D（4，t），C（c，- 6 ），416①AP’与DC为对角线时，4 2ܿ4 932117，0 ܿ′ 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ1645∴D（4，），16②P’D与AC为对角线时，2 4ܿ4 932117， ′ܿ0 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ 1645∴D（4，-），16③AD与P’C为对角线时，4 4ܿ2 932117，0 ′ܿ 16 2416 ܿ6∴99，′ܿ16 99∴D（4，），16454599综上：D（4，）或（4，-）或（4，）．16161619.解：（1）把A（0，-4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得：2 ܿ 4，8 4 ܿ0 ܿ 1解得， ܿ 41∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；2（2）设直线AB解析式为y=kx+t，把A（0，-4），B（4，0）代入得：′ܿ 4，4똠 ′ܿ0똠ܿ1解得，′ܿ 4∴直线AB解析式为y=x-4，11设P（m，m2-m-4），则PD=-m2+m+4，2211在y=x-4中，令y=m2-m-4得x=m2-m，2211∴C（m2-m，m2-m-4），2211∴PC=m-（m2-m）=-m2+2m，22∴PC+PD=-1m2+2m-1m2+m+4=-m2+3m-4=-（m-3）2+25，2224∵-1＜0，325∴当m=时，PC+PD取最大值，2412132335此时m-m-4=×（）–4=-，22228335∴P（，-）；2825335答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，-）；4281117（3）∵将抛物线y=x2-x-4向左平移5个单位得抛物线y=（x+5）2-（x+5）-4=x2+4x+，22224∴新抛物线对称轴是直线x=-1=-4，2 2177在y=x2+4x+中，令x=0得y=，2227∴F（0，），2335735将P（，-）向左平移5个单位得E（-，-），2828 17设M（-4，n），N（r，r2+4r+），22①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，70 ܿ 4 䁩2∴，735127 ܿ뚀 䁩 4䁩 28221解得r=，21271121745∴r+4r+=×（）+4×+=，2222228145∴N（，）；28②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，70 4ܿ 䁩2∴，735127 뚀ܿ 䁩 4䁩 28221解得r=-，217111713∴r2+4r+=×（-）2+4×（-）+=，2222228113∴N（-，）；28③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，70 䁩ܿ 42∴，712735 䁩 4䁩 ܿ 뚀222815解得r=-，2127115215713∴r+4r+=×（-）+4×（-）+=，22222281513∴N（-，）；281451131513综上所述，N的坐标为：（，）或（-，）或（-，）．28282810.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．1 ܿ0∴， ܿ 3 ܿ 2∴， ܿ 3∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2= 2 2 1 2=52 12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m， ܿ 3则有，3똠 ܿ0 똠ܿ1∴， ܿ 3∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1， ܿ 1 ܿ1 ܿ4由2，解得或， ܿ 2 3 ܿ0 ܿ5∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN= ′ 1 2 ′ 3 2，MN= ′ 4 2 ′ 8 2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52= ′ 1 2 ′ 3 2，解得t=1±21，当AM=MN时，52= ′ 4 2 ′ 8 2，解得t=6±21，当AN=MN时， ′ 1 2 ′ 3 2= ′ 4 2 ′ 8 2，7解得t=，2∵N在第一象限，∴t＞3， 7∴t的值为，1+21，6+21，271∴点N的坐标为（，）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．2211.解：（1）当k=2时，直线为y=2x-3， ܿ2 3 ܿ 3 ܿ1由2得：或， ܿ ܿ 9 ܿ 1∴A（-3，-9），B（1，-1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB’∥AB，∴∠OB’B=∠B’BC，∵B、B’关于y轴对称，∴OB=OB’，∠ODB=∠ODB’=90°，∴∠OB’B=∠OBB’，∴∠OBB’=∠B’BC，∵∠ODB=90°=∠CDB，BD=BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD=CD，在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴C（0，-3），OC=3，133∴OD=OC=，D（0，-），22233在y=-x2中，令y=-得-=-x2，2266解得x=或x=-，22 63∴B（，-），2263把B（，-）代入y=kx-3得：2236-=k-3，226解得k=；2当k＜0时，过B’作B’F∥AB交y轴于F，如图：在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴E（0，-3），OE=3，∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE=EF=3，∵B、B’关于y轴对称，∴FB=FB’，∠FGB=∠FGB’=90°，∴∠FB’B=∠FBB’，∵B’F∥AB，∴∠EBB’=∠FB’B，∴∠EBB’=∠FBB’，∵∠BGE=90°=∠BGF，BG=BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），13∴GE=GF=EF=，2299∴OG=OE+GE=，G（0，-），2299在y=-x2中，令y=-得-=-x2，223232解得x=或x=-，22 329∴B（，-），22329把B（，-）代入y=kx-3得：22932-=k-3，222解得k=-，262综上所述，k的值为或-；22（3）直线AB’经过定点（0，3），理由如下： ܿ 2由得： ܿ똠 3 똠 똠2 12 똠 똠2 12 ܿ ܿ22或， 똠2 똠똠2 12 6 똠2 똠똠2 12 6 ܿ ܿ22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴A（，），B（，），2222∵B、B’关于y轴对称，똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴B’（，），22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6设直线AB’解析式为y=mx+n，将A（，），B（’，）2222代入得： 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12ܿ 뚀22， 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12ܿ 뚀22 ܿ똠2 12解得，뚀ܿ3∴直线AB’解析式为y=똠2 12•x+3，令x=0得y=3，∴直线AB’经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0）， 2ܿ0∴，9 3 2ܿ02 ܿ 3解得：，4 ܿ324∴该二次函数的表达式为y= x2+x+2；33（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，24∵y= x2+x+2，3343∴抛物线对称轴为直线x=-2=1，2 3∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，5解得：m=，65∴D（，0），65똠 ܿ0设直线CD的解析式为y=kx+d，则6， ܿ212똠ܿ 解得：5， ܿ212∴直线CD的解析式为y= x+2，512 ܿ 25联立，得，224 ܿ 23322 1ܿ0 2ܿ5解得：（舍去），， 1ܿ2214 2ܿ 2522214∴P（，-），52522214综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，-）；52524（3）由（2）知：抛物线y= x2+x+2的对称轴为直线x=1，33∴E（1，0），24设Q（t， t2+t+2），且-1＜t＜3，33 ܿ0设直线AQ的解析式为y=ex+f，则224，′ ܿ ′ ′ 233 2 ܿ ′ 23解得：，2 ܿ ′ 2322∴直线AQ的解析式为y=（ t+2）x-t+2，334当x=1时，y=-t+4，34∴M（1，-t+4），322同理可得直线BQ的解析式为y=（-t-）x+2t+2，3344当x=1时，y=t+，3344∴N（1，t+），33444∴EM=-t+4，EN=t+，33344416∴EM+EN=-t+4+t+=，333316故EM+EN的值为定值．324 2 ܿ013.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax+x+c中得： ܿ41 ܿ 解得：2； ܿ41（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-x2+x+4，2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 2똠 ܿ0똠ܿ2则，解得：， ܿ4 ܿ4∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，4∴x=， 2当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，114∴•3•（-3m）=•4•，222 ∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0，28∴m1=-，m2=（舍），33 2∴直线DE的解析式为：y=-x；3（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：1设P（t，-t2+t+4），2①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB， ′4∴=，即12=， 2′ ′ 4 43 ′解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM， 43∴=，即=12， ′ 3 ′ ′ 421 2011 201解得：t1=，t2=（舍），44201 11∴F（，0）；4201 11综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．414.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；22 2 8 20（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x+（m-2）x+m-4的顶点为（，），24∵m＞2，∴2-m＜0，2 ∴＜0，2 2 8 2012∵=-（m-4）-1≤-1＜0，44∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；2 4 2（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x+bx+c，其顶点为（-，），24当x=0时，B（0，c）， 4 2将（-，）代入y=-x-2得：244 2 =-2，42 2 2 8∴c=，4∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0， 2 2 8∴OB=-c=-，4过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，11 2 2 8121129S△AOB=OB•AH=×（-）×1=-b-b+1=-（b+1）+，22484881∵-＜0，89∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，89答：△AOB面积的最大值是．8315.解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过点A（1，0），C（0，-2），2310ܿ ܿ∴2，解得：2． 2ܿ ܿ 2123∴抛物线的表达式为y= 2．22设直线AC的表达式为y=kx+b，则똠 ܿ0똠ܿ2，解得：． ܿ 2 ܿ 2∴直线AC的表达式为y=2x-2．（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是： 123∵抛物线的表达式为y= 2，22∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2， ∴ܿ． 又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，3∵抛物线的对称轴为直线x=-．2故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），1 2ܿ뚀 ܿ ∴，解得：2．0ܿ 4 뚀뚀ܿ 21∴过点B、C的直线解析式为y= 2．25过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-），2过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．123设点P坐标为（m， 2），则点N坐标为（m，221 2），2112312∴PN= 2-（ 2）= 2 ，2222∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN． ∴ܿ． 若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底）， 1 则△BPQ与△BAQ的面积比为，即ܿ． 2 12 1 2 2 24 124∴ܿ=5= = 2 ． 2 555521∵-＜0，5 14∴当m=-2时，的最大值为，此时点P坐标为（-2，-3）． 2516.解：（1）由抛物线C2-5得，1：y=a（x+2）顶点P的坐标为（-2，-5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2-5，5解得a=；9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∴∠PHB=∠MGB=90°，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，PH=MG∴Rt△PBH≌Rt△MBG（HL），∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，52∴抛物线C3的表达式为y=-（x-4）+5；9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5）， 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴EF=AB．∵点P是抛物线的顶点，∴AH=BH，∴BH=3∴AB=2BH=6∵点N是抛物线的顶点，11∴FG=EG=EF=AB=322∴点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），∵顶点P的坐标为（-2，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，44①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，319∴Q点坐标为（，0）．310②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，32∴Q点坐标为（，0）．3③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90° 192综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直33角三角形．17.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，1解得：a=-，61∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+8；6（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，1∴P22的坐标为（m，-m+8），61∴P21P2=P3P4=MN=-m+8，P2P3=2m，6111∴l=3（-m2+8）+2m=-m2+2m+24=-（m-2）2+26，6221∵-＜0，2∴当m=2时，l有最大值为26，1即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-m2+2m+24，l的最大值为26；2（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P221P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n+18n=-3（n-3）+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1=3，P2P3=9，1令-x2+8=3，6解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，18 2뚀方案二：设P2P1=n，则P2P3==9-n，2981∴矩形P221P2P3P4面积为（9-n）n=-n+n=-（n-）+，24∵-1＜0，981∴当n=时，矩形面积有最大值为，24 99此时P2P1=，P2P3=，2219令-x2+8=，62解得：x=±21，9∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+≤P1横坐标≤21．218.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y2+c，需求=ax9 ܿ7.2 ，16 ܿ5.8 ②-①，得7a=-1.4，1解得：a=-，51把a=-代入①，得c=9，51∴a的值为-，c的值为9；5（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，1131w=x-x=t+2-（t2-t+3）=-（t-4）2+3，售价成本24241∵-＜0，且1≤t≤7，4∴当t=4时，w有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；1（3）当y=y时，x-1=-x2+9，供给需求5解得：x1=5，x2=-10（舍去），∴此时售价为5元/千克，则y供给=x-1=5-1=4（吨）=4000（千克），1令t+2=5，解得t=6，211∴w=-（t-4）2+3=-（6-4）2+3=2，44∴总利润为w•y=2×4000=8000（元），答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
简介：2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．（1）求b，c的值．（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L21：y=a（x+1）-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．5.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 16.(2022·四川省南充市)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．7.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于 点N．求的最大值． 38.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点4A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点6M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；53（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-x2+bx+c的对称轴对称．将43抛物线y=-x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线4上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．19.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．11.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B’．（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB’，BB’，若△B’AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB’是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 12.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．13.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．315.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接 1BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标. 2 16.(2022·四川省)如图，已知抛物线C21：y=ax+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求a的值及P的坐标；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 17.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 18.(2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教113表达式分别为x=t+2，x=t2-t+3，函数图象见图2．售价成本242请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m= 3 10或m= 3 10（舍去）．综上所述，m=-2或 3 10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4， ∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．3.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 1 ܿ0得， ܿ3 ܿ2解得：， ܿ3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得： -（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，设直线PF的解析式为y=kx+n，2똠 뚀ܿ3∴， 똠 뚀ܿ 14똠ܿ3解得：，1뚀ܿ341∴直线PF的解析式为y=x+，331∴点M的坐标为（0，）．34.解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），∴1=a-1，∴a=2，∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；②∵y1=y2，∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3， 17∴x1=，x2=，22117当x=时，y21=2（-2）-1=，22279∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=+1=；22（2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，又∵二次函数y的最小值为-1，∴x=x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方，∴AB≥3，∴m-n≥3，令y=0，可得a（x-2）2-1=0，11∴m=2+，n=2-， 11∴（2+）-（2-）≥3， 2∴≥3， 又∵a＞0，4∴0＜a≤．95.解：（1）针对于抛物线y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C（0，-3）；令y=0，则x2-2x-3=0，∴x=3或x=-1，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（3，0），∴AC= 1 0 2 0 3 2=10； 2（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-=1，2∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA= 1 1 2 2= 2 4，PC=12 3 2= 2 6 10， ∵PA=PC，∴ 2 4= 2 6 10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M’H’⊥x轴，同①的方法得，M’（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°， ∵∠DMC+∠EMB=90°，∴∠DCM=∠EMB，∴△CDM∽△MEB， ∴ܿ， ∵M（m，m2-2m-3），B（3，0），C（0，-3），∴DM=m，CD=m2-2m-3+3=m2-2m，ME=3-m，BE=-（m2-2m-3）=-m2+2m+3， 2 2 ∴ܿ，3 2 2 31 10∴m=0（舍去）或m=3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m=（不符合题意，21 10舍去）或m=，21 105 210∴M（，-），241 105 210即满足条件的M的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（，-）．246.解：（1）由题意得，12 4 4 ܿ03， ܿ 41 ܿ ∴3， ܿ 4121∴y= - 4；33（2）如图1，作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，∵BC的解析式为y=x-4，∴设直线l的解析式为：y=x+b，121由 4=x+b得，33×2-4x-3（b+4）=0， ∵Δ=0，∴-3（b+4）=4，16∴b=-，316∴x2-4x+4=0，y=x-，310∴x=2，y=-，310∴P1（2，-），316∵E（0，-），C（0，-4），316∴F（0，-4×2-（-）），38即（0，-），38∴直线m的解析式为：y=x-，3121 ܿ 433∴，8 ܿ 3 1ܿ2 22 2ܿ2 22∴2，2， 1ܿ22 2ܿ 22 3322∴P2（2-22，-22-），P3（2+22，22-），331022综上所述：点P（2，-）或（2-22，-22-）或（2+22，22-）；333（3）如图2，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，∵BN=DN， 4∴BD=2BN，N点的横坐标为：，2 4∴OH=，2∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD， 1∴ܿܿ， 2∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH， ∴=ܿܿ2， ∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE ∴=2•， 1∴EF= ，2∵BF=4-a，1∴EF= 4 ，2∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK， ∴=， 1 4 1∴2ܿ，2 42∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），1218当x=-4时，y= 4 - 4 -4=，3338∴M（-4，）．37.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b， 2똠 ܿ0则有，5똠 ܿ3똠ܿ1解得， ܿ 2∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．4∵抛物线的对称轴x=-=2，点M（2，0）， 2∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称， 1 2∴2=，2∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T． ∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， 1215237∴==（t-（t-4t-3）=-（t-）+， 332121∵-＜0，3 37∴有最大值，最大值为． 1238.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．4 12 4 ܿ0∴， ܿ39 ܿ∴4． ܿ3329∴抛物线的函数表达式为y=- 3；44（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，56∴AM= ， ܿ2 ，356∴PM+ ܿ 2 ，5 ∵B（0，3），A（4，0），3∴lAB：y=- 3，43293∴设P（m，- 3），M（m，- 3），Q（m，0），4443233227∴PM+2MQ=- 6=- 1 ，42443∵-＜0，4∴开口向下，0＜m＜4，6279∴当m=1时，PM+ 的最大值为，此时P（1，）；5423293（3）由y=- 3知，对称轴x=，4429∴P’（2，），2∵直线l：x=4，5∴抛物线向右平移个单位，232117∴平移后抛物线解析式为y’=- 6 ，41632117设D（4，t），C（c，- 6 ），416①AP’与DC为对角线时，4 2ܿ4 932117，0 ܿ′ 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ1645∴D（4，），16②P’D与AC为对角线时，2 4ܿ4 932117， ′ܿ0 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ 1645∴D（4，-），16③AD与P’C为对角线时，4 4ܿ2 932117，0 ′ܿ 16 2416 ܿ6∴99，′ܿ16 99∴D（4，），16454599综上：D（4，）或（4，-）或（4，）．16161619.解：（1）把A（0，-4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得：2 ܿ 4，8 4 ܿ0 ܿ 1解得， ܿ 41∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；2（2）设直线AB解析式为y=kx+t，把A（0，-4），B（4，0）代入得：′ܿ 4，4똠 ′ܿ0똠ܿ1解得，′ܿ 4∴直线AB解析式为y=x-4，11设P（m，m2-m-4），则PD=-m2+m+4，2211在y=x-4中，令y=m2-m-4得x=m2-m，2211∴C（m2-m，m2-m-4），2211∴PC=m-（m2-m）=-m2+2m，22∴PC+PD=-1m2+2m-1m2+m+4=-m2+3m-4=-（m-3）2+25，2224∵-1＜0，325∴当m=时，PC+PD取最大值，2412132335此时m-m-4=×（）–4=-，22228335∴P（，-）；2825335答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，-）；4281117（3）∵将抛物线y=x2-x-4向左平移5个单位得抛物线y=（x+5）2-（x+5）-4=x2+4x+，22224∴新抛物线对称轴是直线x=-1=-4，2 2177在y=x2+4x+中，令x=0得y=，2227∴F（0，），2335735将P（，-）向左平移5个单位得E（-，-），2828 17设M（-4，n），N（r，r2+4r+），22①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，70 ܿ 4 䁩2∴，735127 ܿ뚀 䁩 4䁩 28221解得r=，21271121745∴r+4r+=×（）+4×+=，2222228145∴N（，）；28②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，70 4ܿ 䁩2∴，735127 뚀ܿ 䁩 4䁩 28221解得r=-，217111713∴r2+4r+=×（-）2+4×（-）+=，2222228113∴N（-，）；28③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，70 䁩ܿ 42∴，712735 䁩 4䁩 ܿ 뚀222815解得r=-，2127115215713∴r+4r+=×（-）+4×（-）+=，22222281513∴N（-，）；281451131513综上所述，N的坐标为：（，）或（-，）或（-，）．28282810.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．1 ܿ0∴， ܿ 3 ܿ 2∴， ܿ 3∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2= 2 2 1 2=52 12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m， ܿ 3则有，3똠 ܿ0 똠ܿ1∴， ܿ 3∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1， ܿ 1 ܿ1 ܿ4由2，解得或， ܿ 2 3 ܿ0 ܿ5∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN= ′ 1 2 ′ 3 2，MN= ′ 4 2 ′ 8 2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52= ′ 1 2 ′ 3 2，解得t=1±21，当AM=MN时，52= ′ 4 2 ′ 8 2，解得t=6±21，当AN=MN时， ′ 1 2 ′ 3 2= ′ 4 2 ′ 8 2，7解得t=，2∵N在第一象限，∴t＞3， 7∴t的值为，1+21，6+21，271∴点N的坐标为（，）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．2211.解：（1）当k=2时，直线为y=2x-3， ܿ2 3 ܿ 3 ܿ1由2得：或， ܿ ܿ 9 ܿ 1∴A（-3，-9），B（1，-1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB’∥AB，∴∠OB’B=∠B’BC，∵B、B’关于y轴对称，∴OB=OB’，∠ODB=∠ODB’=90°，∴∠OB’B=∠OBB’，∴∠OBB’=∠B’BC，∵∠ODB=90°=∠CDB，BD=BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD=CD，在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴C（0，-3），OC=3，133∴OD=OC=，D（0，-），22233在y=-x2中，令y=-得-=-x2，2266解得x=或x=-，22 63∴B（，-），2263把B（，-）代入y=kx-3得：2236-=k-3，226解得k=；2当k＜0时，过B’作B’F∥AB交y轴于F，如图：在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴E（0，-3），OE=3，∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE=EF=3，∵B、B’关于y轴对称，∴FB=FB’，∠FGB=∠FGB’=90°，∴∠FB’B=∠FBB’，∵B’F∥AB，∴∠EBB’=∠FB’B，∴∠EBB’=∠FBB’，∵∠BGE=90°=∠BGF，BG=BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），13∴GE=GF=EF=，2299∴OG=OE+GE=，G（0，-），2299在y=-x2中，令y=-得-=-x2，223232解得x=或x=-，22 329∴B（，-），22329把B（，-）代入y=kx-3得：22932-=k-3，222解得k=-，262综上所述，k的值为或-；22（3）直线AB’经过定点（0，3），理由如下： ܿ 2由得： ܿ똠 3 똠 똠2 12 똠 똠2 12 ܿ ܿ22或， 똠2 똠똠2 12 6 똠2 똠똠2 12 6 ܿ ܿ22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴A（，），B（，），2222∵B、B’关于y轴对称，똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴B’（，），22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6设直线AB’解析式为y=mx+n，将A（，），B（’，）2222代入得： 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12ܿ 뚀22， 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12ܿ 뚀22 ܿ똠2 12解得，뚀ܿ3∴直线AB’解析式为y=똠2 12•x+3，令x=0得y=3，∴直线AB’经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0）， 2ܿ0∴，9 3 2ܿ02 ܿ 3解得：，4 ܿ324∴该二次函数的表达式为y= x2+x+2；33（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，24∵y= x2+x+2，3343∴抛物线对称轴为直线x=-2=1，2 3∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，5解得：m=，65∴D（，0），65똠 ܿ0设直线CD的解析式为y=kx+d，则6， ܿ212똠ܿ 解得：5， ܿ212∴直线CD的解析式为y= x+2，512 ܿ 25联立，得，224 ܿ 23322 1ܿ0 2ܿ5解得：（舍去），， 1ܿ2214 2ܿ 2522214∴P（，-），52522214综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，-）；52524（3）由（2）知：抛物线y= x2+x+2的对称轴为直线x=1，33∴E（1，0），24设Q（t， t2+t+2），且-1＜t＜3，33 ܿ0设直线AQ的解析式为y=ex+f，则224，′ ܿ ′ ′ 233 2 ܿ ′ 23解得：，2 ܿ ′ 2322∴直线AQ的解析式为y=（ t+2）x-t+2，334当x=1时，y=-t+4，34∴M（1，-t+4），322同理可得直线BQ的解析式为y=（-t-）x+2t+2，3344当x=1时，y=t+，3344∴N（1，t+），33444∴EM=-t+4，EN=t+，33344416∴EM+EN=-t+4+t+=，333316故EM+EN的值为定值．324 2 ܿ013.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax+x+c中得： ܿ41 ܿ 解得：2； ܿ41（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-x2+x+4，2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 2똠 ܿ0똠ܿ2则，解得：， ܿ4 ܿ4∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，4∴x=， 2当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，114∴•3•（-3m）=•4•，222 ∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0，28∴m1=-，m2=（舍），33 2∴直线DE的解析式为：y=-x；3（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：1设P（t，-t2+t+4），2①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB， ′4∴=，即12=， 2′ ′ 4 43 ′解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM， 43∴=，即=12， ′ 3 ′ ′ 421 2011 201解得：t1=，t2=（舍），44201 11∴F（，0）；4201 11综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．414.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；22 2 8 20（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x+（m-2）x+m-4的顶点为（，），24∵m＞2，∴2-m＜0，2 ∴＜0，2 2 8 2012∵=-（m-4）-1≤-1＜0，44∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；2 4 2（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x+bx+c，其顶点为（-，），24当x=0时，B（0，c）， 4 2将（-，）代入y=-x-2得：244 2 =-2，42 2 2 8∴c=，4∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0， 2 2 8∴OB=-c=-，4过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，11 2 2 8121129S△AOB=OB•AH=×（-）×1=-b-b+1=-（b+1）+，22484881∵-＜0，89∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，89答：△AOB面积的最大值是．8315.解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过点A（1，0），C（0，-2），2310ܿ ܿ∴2，解得：2． 2ܿ ܿ 2123∴抛物线的表达式为y= 2．22设直线AC的表达式为y=kx+b，则똠 ܿ0똠ܿ2，解得：． ܿ 2 ܿ 2∴直线AC的表达式为y=2x-2．（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是： 123∵抛物线的表达式为y= 2，22∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2， ∴ܿ． 又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，3∵抛物线的对称轴为直线x=-．2故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），1 2ܿ뚀 ܿ ∴，解得：2．0ܿ 4 뚀뚀ܿ 21∴过点B、C的直线解析式为y= 2．25过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-），2过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．123设点P坐标为（m， 2），则点N坐标为（m，221 2），2112312∴PN= 2-（ 2）= 2 ，2222∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN． ∴ܿ． 若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底）， 1 则△BPQ与△BAQ的面积比为，即ܿ． 2 12 1 2 2 24 124∴ܿ=5= = 2 ． 2 555521∵-＜0，5 14∴当m=-2时，的最大值为，此时点P坐标为（-2，-3）． 2516.解：（1）由抛物线C2-5得，1：y=a（x+2）顶点P的坐标为（-2，-5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2-5，5解得a=；9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∴∠PHB=∠MGB=90°，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，PH=MG∴Rt△PBH≌Rt△MBG（HL），∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，52∴抛物线C3的表达式为y=-（x-4）+5；9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5）， 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴EF=AB．∵点P是抛物线的顶点，∴AH=BH，∴BH=3∴AB=2BH=6∵点N是抛物线的顶点，11∴FG=EG=EF=AB=322∴点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），∵顶点P的坐标为（-2，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，44①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，319∴Q点坐标为（，0）．310②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，32∴Q点坐标为（，0）．3③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90° 192综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直33角三角形．17.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，1解得：a=-，61∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+8；6（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，1∴P22的坐标为（m，-m+8），61∴P21P2=P3P4=MN=-m+8，P2P3=2m，6111∴l=3（-m2+8）+2m=-m2+2m+24=-（m-2）2+26，6221∵-＜0，2∴当m=2时，l有最大值为26，1即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-m2+2m+24，l的最大值为26；2（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P221P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n+18n=-3（n-3）+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1=3，P2P3=9，1令-x2+8=3，6解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，18 2뚀方案二：设P2P1=n，则P2P3==9-n，2981∴矩形P221P2P3P4面积为（9-n）n=-n+n=-（n-）+，24∵-1＜0，981∴当n=时，矩形面积有最大值为，24 99此时P2P1=，P2P3=，2219令-x2+8=，62解得：x=±21，9∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+≤P1横坐标≤21．218.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y2+c，需求=ax9 ܿ7.2 ，16 ܿ5.8 ②-①，得7a=-1.4，1解得：a=-，51把a=-代入①，得c=9，51∴a的值为-，c的值为9；5（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，1131w=x-x=t+2-（t2-t+3）=-（t-4）2+3，售价成本24241∵-＜0，且1≤t≤7，4∴当t=4时，w有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；1（3）当y=y时，x-1=-x2+9，供给需求5解得：x1=5，x2=-10（舍去），∴此时售价为5元/千克，则y供给=x-1=5-1=4（吨）=4000（千克），1令t+2=5，解得t=6，211∴w=-（t-4）2+3=-（6-4）2+3=2，44∴总利润为w•y=2×4000=8000（元），答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
简介：2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．（1）求b，c的值．（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L21：y=a（x+1）-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．5.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 16.(2022·四川省南充市)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．7.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于 点N．求的最大值． 38.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点4A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点6M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；53（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-x2+bx+c的对称轴对称．将43抛物线y=-x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线4上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．19.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．11.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B’．（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB’，BB’，若△B’AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB’是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 12.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．13.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．315.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接 1BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标. 2 16.(2022·四川省)如图，已知抛物线C21：y=ax+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求a的值及P的坐标；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 17.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 18.(2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教113表达式分别为x=t+2，x=t2-t+3，函数图象见图2．售价成本242请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m= 3 10或m= 3 10（舍去）．综上所述，m=-2或 3 10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4， ∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．3.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 1 ܿ0得， ܿ3 ܿ2解得：， ܿ3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得： -（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，设直线PF的解析式为y=kx+n，2똠 뚀ܿ3∴， 똠 뚀ܿ 14똠ܿ3解得：，1뚀ܿ341∴直线PF的解析式为y=x+，331∴点M的坐标为（0，）．34.解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），∴1=a-1，∴a=2，∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；②∵y1=y2，∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3， 17∴x1=，x2=，22117当x=时，y21=2（-2）-1=，22279∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=+1=；22（2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，又∵二次函数y的最小值为-1，∴x=x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方，∴AB≥3，∴m-n≥3，令y=0，可得a（x-2）2-1=0，11∴m=2+，n=2-， 11∴（2+）-（2-）≥3， 2∴≥3， 又∵a＞0，4∴0＜a≤．95.解：（1）针对于抛物线y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C（0，-3）；令y=0，则x2-2x-3=0，∴x=3或x=-1，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（3，0），∴AC= 1 0 2 0 3 2=10； 2（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-=1，2∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA= 1 1 2 2= 2 4，PC=12 3 2= 2 6 10， ∵PA=PC，∴ 2 4= 2 6 10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M’H’⊥x轴，同①的方法得，M’（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°， ∵∠DMC+∠EMB=90°，∴∠DCM=∠EMB，∴△CDM∽△MEB， ∴ܿ， ∵M（m，m2-2m-3），B（3，0），C（0，-3），∴DM=m，CD=m2-2m-3+3=m2-2m，ME=3-m，BE=-（m2-2m-3）=-m2+2m+3， 2 2 ∴ܿ，3 2 2 31 10∴m=0（舍去）或m=3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m=（不符合题意，21 10舍去）或m=，21 105 210∴M（，-），241 105 210即满足条件的M的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（，-）．246.解：（1）由题意得，12 4 4 ܿ03， ܿ 41 ܿ ∴3， ܿ 4121∴y= - 4；33（2）如图1，作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，∵BC的解析式为y=x-4，∴设直线l的解析式为：y=x+b，121由 4=x+b得，33×2-4x-3（b+4）=0， ∵Δ=0，∴-3（b+4）=4，16∴b=-，316∴x2-4x+4=0，y=x-，310∴x=2，y=-，310∴P1（2，-），316∵E（0，-），C（0，-4），316∴F（0，-4×2-（-）），38即（0，-），38∴直线m的解析式为：y=x-，3121 ܿ 433∴，8 ܿ 3 1ܿ2 22 2ܿ2 22∴2，2， 1ܿ22 2ܿ 22 3322∴P2（2-22，-22-），P3（2+22，22-），331022综上所述：点P（2，-）或（2-22，-22-）或（2+22，22-）；333（3）如图2，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，∵BN=DN， 4∴BD=2BN，N点的横坐标为：，2 4∴OH=，2∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD， 1∴ܿܿ， 2∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH， ∴=ܿܿ2， ∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE ∴=2•， 1∴EF= ，2∵BF=4-a，1∴EF= 4 ，2∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK， ∴=， 1 4 1∴2ܿ，2 42∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），1218当x=-4时，y= 4 - 4 -4=，3338∴M（-4，）．37.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b， 2똠 ܿ0则有，5똠 ܿ3똠ܿ1解得， ܿ 2∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．4∵抛物线的对称轴x=-=2，点M（2，0）， 2∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称， 1 2∴2=，2∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T． ∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， 1215237∴==（t-（t-4t-3）=-（t-）+， 332121∵-＜0，3 37∴有最大值，最大值为． 1238.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．4 12 4 ܿ0∴， ܿ39 ܿ∴4． ܿ3329∴抛物线的函数表达式为y=- 3；44（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，56∴AM= ， ܿ2 ，356∴PM+ ܿ 2 ，5 ∵B（0，3），A（4，0），3∴lAB：y=- 3，43293∴设P（m，- 3），M（m，- 3），Q（m，0），4443233227∴PM+2MQ=- 6=- 1 ，42443∵-＜0，4∴开口向下，0＜m＜4，6279∴当m=1时，PM+ 的最大值为，此时P（1，）；5423293（3）由y=- 3知，对称轴x=，4429∴P’（2，），2∵直线l：x=4，5∴抛物线向右平移个单位，232117∴平移后抛物线解析式为y’=- 6 ，41632117设D（4，t），C（c，- 6 ），416①AP’与DC为对角线时，4 2ܿ4 932117，0 ܿ′ 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ1645∴D（4，），16②P’D与AC为对角线时，2 4ܿ4 932117， ′ܿ0 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ 1645∴D（4，-），16③AD与P’C为对角线时，4 4ܿ2 932117，0 ′ܿ 16 2416 ܿ6∴99，′ܿ16 99∴D（4，），16454599综上：D（4，）或（4，-）或（4，）．16161619.解：（1）把A（0，-4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得：2 ܿ 4，8 4 ܿ0 ܿ 1解得， ܿ 41∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；2（2）设直线AB解析式为y=kx+t，把A（0，-4），B（4，0）代入得：′ܿ 4，4똠 ′ܿ0똠ܿ1解得，′ܿ 4∴直线AB解析式为y=x-4，11设P（m，m2-m-4），则PD=-m2+m+4，2211在y=x-4中，令y=m2-m-4得x=m2-m，2211∴C（m2-m，m2-m-4），2211∴PC=m-（m2-m）=-m2+2m，22∴PC+PD=-1m2+2m-1m2+m+4=-m2+3m-4=-（m-3）2+25，2224∵-1＜0，325∴当m=时，PC+PD取最大值，2412132335此时m-m-4=×（）–4=-，22228335∴P（，-）；2825335答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，-）；4281117（3）∵将抛物线y=x2-x-4向左平移5个单位得抛物线y=（x+5）2-（x+5）-4=x2+4x+，22224∴新抛物线对称轴是直线x=-1=-4，2 2177在y=x2+4x+中，令x=0得y=，2227∴F（0，），2335735将P（，-）向左平移5个单位得E（-，-），2828 17设M（-4，n），N（r，r2+4r+），22①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，70 ܿ 4 䁩2∴，735127 ܿ뚀 䁩 4䁩 28221解得r=，21271121745∴r+4r+=×（）+4×+=，2222228145∴N（，）；28②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，70 4ܿ 䁩2∴，735127 뚀ܿ 䁩 4䁩 28221解得r=-，217111713∴r2+4r+=×（-）2+4×（-）+=，2222228113∴N（-，）；28③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，70 䁩ܿ 42∴，712735 䁩 4䁩 ܿ 뚀222815解得r=-，2127115215713∴r+4r+=×（-）+4×（-）+=，22222281513∴N（-，）；281451131513综上所述，N的坐标为：（，）或（-，）或（-，）．28282810.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．1 ܿ0∴， ܿ 3 ܿ 2∴， ܿ 3∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2= 2 2 1 2=52 12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m， ܿ 3则有，3똠 ܿ0 똠ܿ1∴， ܿ 3∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1， ܿ 1 ܿ1 ܿ4由2，解得或， ܿ 2 3 ܿ0 ܿ5∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN= ′ 1 2 ′ 3 2，MN= ′ 4 2 ′ 8 2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52= ′ 1 2 ′ 3 2，解得t=1±21，当AM=MN时，52= ′ 4 2 ′ 8 2，解得t=6±21，当AN=MN时， ′ 1 2 ′ 3 2= ′ 4 2 ′ 8 2，7解得t=，2∵N在第一象限，∴t＞3， 7∴t的值为，1+21，6+21，271∴点N的坐标为（，）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．2211.解：（1）当k=2时，直线为y=2x-3， ܿ2 3 ܿ 3 ܿ1由2得：或， ܿ ܿ 9 ܿ 1∴A（-3，-9），B（1，-1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB’∥AB，∴∠OB’B=∠B’BC，∵B、B’关于y轴对称，∴OB=OB’，∠ODB=∠ODB’=90°，∴∠OB’B=∠OBB’，∴∠OBB’=∠B’BC，∵∠ODB=90°=∠CDB，BD=BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD=CD，在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴C（0，-3），OC=3，133∴OD=OC=，D（0，-），22233在y=-x2中，令y=-得-=-x2，2266解得x=或x=-，22 63∴B（，-），2263把B（，-）代入y=kx-3得：2236-=k-3，226解得k=；2当k＜0时，过B’作B’F∥AB交y轴于F，如图：在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴E（0，-3），OE=3，∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE=EF=3，∵B、B’关于y轴对称，∴FB=FB’，∠FGB=∠FGB’=90°，∴∠FB’B=∠FBB’，∵B’F∥AB，∴∠EBB’=∠FB’B，∴∠EBB’=∠FBB’，∵∠BGE=90°=∠BGF，BG=BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），13∴GE=GF=EF=，2299∴OG=OE+GE=，G（0，-），2299在y=-x2中，令y=-得-=-x2，223232解得x=或x=-，22 329∴B（，-），22329把B（，-）代入y=kx-3得：22932-=k-3，222解得k=-，262综上所述，k的值为或-；22（3）直线AB’经过定点（0，3），理由如下： ܿ 2由得： ܿ똠 3 똠 똠2 12 똠 똠2 12 ܿ ܿ22或， 똠2 똠똠2 12 6 똠2 똠똠2 12 6 ܿ ܿ22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴A（，），B（，），2222∵B、B’关于y轴对称，똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴B’（，），22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6设直线AB’解析式为y=mx+n，将A（，），B（’，）2222代入得： 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12ܿ 뚀22， 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12ܿ 뚀22 ܿ똠2 12解得，뚀ܿ3∴直线AB’解析式为y=똠2 12•x+3，令x=0得y=3，∴直线AB’经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0）， 2ܿ0∴，9 3 2ܿ02 ܿ 3解得：，4 ܿ324∴该二次函数的表达式为y= x2+x+2；33（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，24∵y= x2+x+2，3343∴抛物线对称轴为直线x=-2=1，2 3∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，5解得：m=，65∴D（，0），65똠 ܿ0设直线CD的解析式为y=kx+d，则6， ܿ212똠ܿ 解得：5， ܿ212∴直线CD的解析式为y= x+2，512 ܿ 25联立，得，224 ܿ 23322 1ܿ0 2ܿ5解得：（舍去），， 1ܿ2214 2ܿ 2522214∴P（，-），52522214综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，-）；52524（3）由（2）知：抛物线y= x2+x+2的对称轴为直线x=1，33∴E（1，0），24设Q（t， t2+t+2），且-1＜t＜3，33 ܿ0设直线AQ的解析式为y=ex+f，则224，′ ܿ ′ ′ 233 2 ܿ ′ 23解得：，2 ܿ ′ 2322∴直线AQ的解析式为y=（ t+2）x-t+2，334当x=1时，y=-t+4，34∴M（1，-t+4），322同理可得直线BQ的解析式为y=（-t-）x+2t+2，3344当x=1时，y=t+，3344∴N（1，t+），33444∴EM=-t+4，EN=t+，33344416∴EM+EN=-t+4+t+=，333316故EM+EN的值为定值．324 2 ܿ013.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax+x+c中得： ܿ41 ܿ 解得：2； ܿ41（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-x2+x+4，2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 2똠 ܿ0똠ܿ2则，解得：， ܿ4 ܿ4∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，4∴x=， 2当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，114∴•3•（-3m）=•4•，222 ∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0，28∴m1=-，m2=（舍），33 2∴直线DE的解析式为：y=-x；3（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：1设P（t，-t2+t+4），2①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB， ′4∴=，即12=， 2′ ′ 4 43 ′解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM， 43∴=，即=12， ′ 3 ′ ′ 421 2011 201解得：t1=，t2=（舍），44201 11∴F（，0）；4201 11综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．414.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；22 2 8 20（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x+（m-2）x+m-4的顶点为（，），24∵m＞2，∴2-m＜0，2 ∴＜0，2 2 8 2012∵=-（m-4）-1≤-1＜0，44∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；2 4 2（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x+bx+c，其顶点为（-，），24当x=0时，B（0，c）， 4 2将（-，）代入y=-x-2得：244 2 =-2，42 2 2 8∴c=，4∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0， 2 2 8∴OB=-c=-，4过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，11 2 2 8121129S△AOB=OB•AH=×（-）×1=-b-b+1=-（b+1）+，22484881∵-＜0，89∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，89答：△AOB面积的最大值是．8315.解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过点A（1，0），C（0，-2），2310ܿ ܿ∴2，解得：2． 2ܿ ܿ 2123∴抛物线的表达式为y= 2．22设直线AC的表达式为y=kx+b，则똠 ܿ0똠ܿ2，解得：． ܿ 2 ܿ 2∴直线AC的表达式为y=2x-2．（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是： 123∵抛物线的表达式为y= 2，22∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2， ∴ܿ． 又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，3∵抛物线的对称轴为直线x=-．2故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），1 2ܿ뚀 ܿ ∴，解得：2．0ܿ 4 뚀뚀ܿ 21∴过点B、C的直线解析式为y= 2．25过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-），2过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．123设点P坐标为（m， 2），则点N坐标为（m，221 2），2112312∴PN= 2-（ 2）= 2 ，2222∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN． ∴ܿ． 若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底）， 1 则△BPQ与△BAQ的面积比为，即ܿ． 2 12 1 2 2 24 124∴ܿ=5= = 2 ． 2 555521∵-＜0，5 14∴当m=-2时，的最大值为，此时点P坐标为（-2，-3）． 2516.解：（1）由抛物线C2-5得，1：y=a（x+2）顶点P的坐标为（-2，-5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2-5，5解得a=；9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∴∠PHB=∠MGB=90°，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，PH=MG∴Rt△PBH≌Rt△MBG（HL），∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，52∴抛物线C3的表达式为y=-（x-4）+5；9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5）， 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴EF=AB．∵点P是抛物线的顶点，∴AH=BH，∴BH=3∴AB=2BH=6∵点N是抛物线的顶点，11∴FG=EG=EF=AB=322∴点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），∵顶点P的坐标为（-2，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，44①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，319∴Q点坐标为（，0）．310②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，32∴Q点坐标为（，0）．3③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90° 192综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直33角三角形．17.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，1解得：a=-，61∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+8；6（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，1∴P22的坐标为（m，-m+8），61∴P21P2=P3P4=MN=-m+8，P2P3=2m，6111∴l=3（-m2+8）+2m=-m2+2m+24=-（m-2）2+26，6221∵-＜0，2∴当m=2时，l有最大值为26，1即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-m2+2m+24，l的最大值为26；2（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P221P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n+18n=-3（n-3）+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1=3，P2P3=9，1令-x2+8=3，6解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，18 2뚀方案二：设P2P1=n，则P2P3==9-n，2981∴矩形P221P2P3P4面积为（9-n）n=-n+n=-（n-）+，24∵-1＜0，981∴当n=时，矩形面积有最大值为，24 99此时P2P1=，P2P3=，2219令-x2+8=，62解得：x=±21，9∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+≤P1横坐标≤21．218.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y2+c，需求=ax9 ܿ7.2 ，16 ܿ5.8 ②-①，得7a=-1.4，1解得：a=-，51把a=-代入①，得c=9，51∴a的值为-，c的值为9；5（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，1131w=x-x=t+2-（t2-t+3）=-（t-4）2+3，售价成本24241∵-＜0，且1≤t≤7，4∴当t=4时，w有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；1（3）当y=y时，x-1=-x2+9，供给需求5解得：x1=5，x2=-10（舍去），∴此时售价为5元/千克，则y供给=x-1=5-1=4（吨）=4000（千克），1令t+2=5，解得t=6，211∴w=-（t-4）2+3=-（6-4）2+3=2，44∴总利润为w•y=2×4000=8000（元），答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
简介：2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．（1）求b，c的值．（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．2.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L21：y=a（x+1）-4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．3.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1=y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．5.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 16.(2022·四川省南充市)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．7.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于 点N．求的最大值． 38.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点4A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点6M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；53（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-x2+bx+c的对称轴对称．将43抛物线y=-x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线4上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．19.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 10.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．11.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B’．（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB’，BB’，若△B’AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB’是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 12.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．13.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．315.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接 1BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标. 2 16.(2022·四川省)如图，已知抛物线C21：y=ax+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求a的值及P的坐标；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 17.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 18.(2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（吨）…7.757.26.555.8…②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教113表达式分别为x=t+2，x=t2-t+3，函数图象见图2．售价成本242请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m= 3 10或m= 3 10（舍去）．综上所述，m=-2或 3 10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4， ∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，∵当t＞6时，s＞r，∴s-r＞0，∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，（6-2n）（12-2t）＞0，∵t＞6，∴12-2t＜0，∴6-2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范围是n＞3．3.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 1 ܿ0得， ܿ3 ܿ2解得：， ܿ3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）∵y=-（x-1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，如图，设CD=t，则D（1，4-t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（1+t，4-t），把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得： -（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，整理得t2-t=0，解得：t1=0（舍去），t2=1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，-1），∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，设直线PF的解析式为y=kx+n，2똠 뚀ܿ3∴， 똠 뚀ܿ 14똠ܿ3解得：，1뚀ܿ341∴直线PF的解析式为y=x+，331∴点M的坐标为（0，）．34.解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），∴1=a-1，∴a=2，∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；②∵y1=y2，∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3， 17∴x1=，x2=，22117当x=时，y21=2（-2）-1=，22279∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=+1=；22（2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，又∵二次函数y的最小值为-1，∴x=x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方，∴AB≥3，∴m-n≥3，令y=0，可得a（x-2）2-1=0，11∴m=2+，n=2-， 11∴（2+）-（2-）≥3， 2∴≥3， 又∵a＞0，4∴0＜a≤．95.解：（1）针对于抛物线y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C（0，-3）；令y=0，则x2-2x-3=0，∴x=3或x=-1，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（3，0），∴AC= 1 0 2 0 3 2=10； 2（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-=1，2∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA= 1 1 2 2= 2 4，PC=12 3 2= 2 6 10， ∵PA=PC，∴ 2 4= 2 6 10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M’H’⊥x轴，同①的方法得，M’（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°， ∵∠DMC+∠EMB=90°，∴∠DCM=∠EMB，∴△CDM∽△MEB， ∴ܿ， ∵M（m，m2-2m-3），B（3，0），C（0，-3），∴DM=m，CD=m2-2m-3+3=m2-2m，ME=3-m，BE=-（m2-2m-3）=-m2+2m+3， 2 2 ∴ܿ，3 2 2 31 10∴m=0（舍去）或m=3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m=（不符合题意，21 10舍去）或m=，21 105 210∴M（，-），241 105 210即满足条件的M的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（，-）．246.解：（1）由题意得，12 4 4 ܿ03， ܿ 41 ܿ ∴3， ܿ 4121∴y= - 4；33（2）如图1，作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，∵BC的解析式为y=x-4，∴设直线l的解析式为：y=x+b，121由 4=x+b得，33×2-4x-3（b+4）=0， ∵Δ=0，∴-3（b+4）=4，16∴b=-，316∴x2-4x+4=0，y=x-，310∴x=2，y=-，310∴P1（2，-），316∵E（0，-），C（0，-4），316∴F（0，-4×2-（-）），38即（0，-），38∴直线m的解析式为：y=x-，3121 ܿ 433∴，8 ܿ 3 1ܿ2 22 2ܿ2 22∴2，2， 1ܿ22 2ܿ 22 3322∴P2（2-22，-22-），P3（2+22，22-），331022综上所述：点P（2，-）或（2-22，-22-）或（2+22，22-）；333（3）如图2，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，∵BN=DN， 4∴BD=2BN，N点的横坐标为：，2 4∴OH=，2∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD， 1∴ܿܿ， 2∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH， ∴=ܿܿ2， ∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE ∴=2•， 1∴EF= ，2∵BF=4-a，1∴EF= 4 ，2∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK， ∴=， 1 4 1∴2ܿ，2 42∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），1218当x=-4时，y= 4 - 4 -4=，3338∴M（-4，）．37.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b， 2똠 ܿ0则有，5똠 ܿ3똠ܿ1解得， ܿ 2∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．4∵抛物线的对称轴x=-=2，点M（2，0）， 2∴点M值抛物线的对称轴上，∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，∴P，Q关于直线x=2对称， 1 2∴2=，2∴x1+x2=4；（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T． ∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM， 1215237∴==（t-（t-4t-3）=-（t-）+， 332121∵-＜0，3 37∴有最大值，最大值为． 1238.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．4 12 4 ܿ0∴， ܿ39 ܿ∴4． ܿ3329∴抛物线的函数表达式为y=- 3；44（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，56∴AM= ， ܿ2 ，356∴PM+ ܿ 2 ，5 ∵B（0，3），A（4，0），3∴lAB：y=- 3，43293∴设P（m，- 3），M（m，- 3），Q（m，0），4443233227∴PM+2MQ=- 6=- 1 ，42443∵-＜0，4∴开口向下，0＜m＜4，6279∴当m=1时，PM+ 的最大值为，此时P（1，）；5423293（3）由y=- 3知，对称轴x=，4429∴P’（2，），2∵直线l：x=4，5∴抛物线向右平移个单位，232117∴平移后抛物线解析式为y’=- 6 ，41632117设D（4，t），C（c，- 6 ），416①AP’与DC为对角线时，4 2ܿ4 932117，0 ܿ′ 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ1645∴D（4，），16②P’D与AC为对角线时，2 4ܿ4 932117， ′ܿ0 6 2416 ܿ2∴45，′ܿ 1645∴D（4，-），16③AD与P’C为对角线时，4 4ܿ2 932117，0 ′ܿ 16 2416 ܿ6∴99，′ܿ16 99∴D（4，），16454599综上：D（4，）或（4，-）或（4，）．16161619.解：（1）把A（0，-4），B（4，0）代入y=x2+bx+c得：2 ܿ 4，8 4 ܿ0 ܿ 1解得， ܿ 41∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；2（2）设直线AB解析式为y=kx+t，把A（0，-4），B（4，0）代入得：′ܿ 4，4똠 ′ܿ0똠ܿ1解得，′ܿ 4∴直线AB解析式为y=x-4，11设P（m，m2-m-4），则PD=-m2+m+4，2211在y=x-4中，令y=m2-m-4得x=m2-m，2211∴C（m2-m，m2-m-4），2211∴PC=m-（m2-m）=-m2+2m，22∴PC+PD=-1m2+2m-1m2+m+4=-m2+3m-4=-（m-3）2+25，2224∵-1＜0，325∴当m=时，PC+PD取最大值，2412132335此时m-m-4=×（）–4=-，22228335∴P（，-）；2825335答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，-）；4281117（3）∵将抛物线y=x2-x-4向左平移5个单位得抛物线y=（x+5）2-（x+5）-4=x2+4x+，22224∴新抛物线对称轴是直线x=-1=-4，2 2177在y=x2+4x+中，令x=0得y=，2227∴F（0，），2335735将P（，-）向左平移5个单位得E（-，-），2828 17设M（-4，n），N（r，r2+4r+），22①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，70 ܿ 4 䁩2∴，735127 ܿ뚀 䁩 4䁩 28221解得r=，21271121745∴r+4r+=×（）+4×+=，2222228145∴N（，）；28②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，70 4ܿ 䁩2∴，735127 뚀ܿ 䁩 4䁩 28221解得r=-，217111713∴r2+4r+=×（-）2+4×（-）+=，2222228113∴N（-，）；28③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，70 䁩ܿ 42∴，712735 䁩 4䁩 ܿ 뚀222815解得r=-，2127115215713∴r+4r+=×（-）+4×（-）+=，22222281513∴N（-，）；281451131513综上所述，N的坐标为：（，）或（-，）或（-，）．28282810.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．1 ܿ0∴， ܿ 3 ܿ 2∴， ܿ 3∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2= 2 2 1 2=52 12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m， ܿ 3则有，3똠 ܿ0 똠ܿ1∴， ܿ 3∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1， ܿ 1 ܿ1 ܿ4由2，解得或， ܿ 2 3 ܿ0 ܿ5∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN= ′ 1 2 ′ 3 2，MN= ′ 4 2 ′ 8 2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52= ′ 1 2 ′ 3 2，解得t=1±21，当AM=MN时，52= ′ 4 2 ′ 8 2，解得t=6±21，当AN=MN时， ′ 1 2 ′ 3 2= ′ 4 2 ′ 8 2，7解得t=，2∵N在第一象限，∴t＞3， 7∴t的值为，1+21，6+21，271∴点N的坐标为（，）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．2211.解：（1）当k=2时，直线为y=2x-3， ܿ2 3 ܿ 3 ܿ1由2得：或， ܿ ܿ 9 ܿ 1∴A（-3，-9），B（1，-1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB’∥AB，∴∠OB’B=∠B’BC，∵B、B’关于y轴对称，∴OB=OB’，∠ODB=∠ODB’=90°，∴∠OB’B=∠OBB’，∴∠OBB’=∠B’BC，∵∠ODB=90°=∠CDB，BD=BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD=CD，在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴C（0，-3），OC=3，133∴OD=OC=，D（0，-），22233在y=-x2中，令y=-得-=-x2，2266解得x=或x=-，22 63∴B（，-），2263把B（，-）代入y=kx-3得：2236-=k-3，226解得k=；2当k＜0时，过B’作B’F∥AB交y轴于F，如图：在y=kx-3中，令x=0得y=-3，∴E（0，-3），OE=3，∵△B’AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE=EF=3，∵B、B’关于y轴对称，∴FB=FB’，∠FGB=∠FGB’=90°，∴∠FB’B=∠FBB’，∵B’F∥AB，∴∠EBB’=∠FB’B，∴∠EBB’=∠FBB’，∵∠BGE=90°=∠BGF，BG=BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），13∴GE=GF=EF=，2299∴OG=OE+GE=，G（0，-），2299在y=-x2中，令y=-得-=-x2，223232解得x=或x=-，22 329∴B（，-），22329把B（，-）代入y=kx-3得：22932-=k-3，222解得k=-，262综上所述，k的值为或-；22（3）直线AB’经过定点（0，3），理由如下： ܿ 2由得： ܿ똠 3 똠 똠2 12 똠 똠2 12 ܿ ܿ22或， 똠2 똠똠2 12 6 똠2 똠똠2 12 6 ܿ ܿ22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴A（，），B（，），2222∵B、B’关于y轴对称，똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6∴B’（，），22 똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12 똠2 똠똠2 12 6设直线AB’解析式为y=mx+n，将A（，），B（’，）2222代入得： 똠2 똠똠2 12 6 똠 똠2 12ܿ 뚀22， 똠2 똠똠2 12 6똠 똠2 12ܿ 뚀22 ܿ똠2 12解得，뚀ܿ3∴直线AB’解析式为y=똠2 12•x+3，令x=0得y=3，∴直线AB’经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0）， 2ܿ0∴，9 3 2ܿ02 ܿ 3解得：，4 ܿ324∴该二次函数的表达式为y= x2+x+2；33（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，∵∠PCB=∠ABC， ∴CP∥AB，即CP∥x轴，∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，24∵y= x2+x+2，3343∴抛物线对称轴为直线x=-2=1，2 3∵C（0，2），∴P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD=m，DB=3-m，∵∠PCB=∠ABC，∴CD=BD=3-m，在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，∴22+m2=（3-m）2，5解得：m=，65∴D（，0），65똠 ܿ0设直线CD的解析式为y=kx+d，则6， ܿ212똠ܿ 解得：5， ܿ212∴直线CD的解析式为y= x+2，512 ܿ 25联立，得，224 ܿ 23322 1ܿ0 2ܿ5解得：（舍去），， 1ܿ2214 2ܿ 2522214∴P（，-），52522214综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，-）；52524（3）由（2）知：抛物线y= x2+x+2的对称轴为直线x=1，33∴E（1，0），24设Q（t， t2+t+2），且-1＜t＜3，33 ܿ0设直线AQ的解析式为y=ex+f，则224，′ ܿ ′ ′ 233 2 ܿ ′ 23解得：，2 ܿ ′ 2322∴直线AQ的解析式为y=（ t+2）x-t+2，334当x=1时，y=-t+4，34∴M（1，-t+4），322同理可得直线BQ的解析式为y=（-t-）x+2t+2，3344当x=1时，y=t+，3344∴N（1，t+），33444∴EM=-t+4，EN=t+，33344416∴EM+EN=-t+4+t+=，333316故EM+EN的值为定值．324 2 ܿ013.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax+x+c中得： ܿ41 ܿ 解得：2； ܿ41（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-x2+x+4，2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 2똠 ܿ0똠ܿ2则，解得：， ܿ4 ܿ4∴AB的解析式为：y=2x+4，设直线DE的解析式为：y=mx，∴2x+4=mx，4∴x=， 2当x=3时，y=3m，∴E（3，3m），∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，114∴•3•（-3m）=•4•，222 ∴9m2-18m-16=0，∴（3m+2）（3m-8）=0，28∴m1=-，m2=（舍），33 2∴直线DE的解析式为：y=-x；3（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：1设P（t，-t2+t+4），2①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB， ′4∴=，即12=， 2′ ′ 4 43 ′解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，∵∠OFB=∠FPM，∴tan∠OFB=tan∠FPM， 43∴=，即=12， ′ 3 ′ ′ 421 2011 201解得：t1=，t2=（舍），44201 11∴F（，0）；4201 11综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．414.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：m-4=0，解得m=4，∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；22 2 8 20（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x+（m-2）x+m-4的顶点为（，），24∵m＞2，∴2-m＜0，2 ∴＜0，2 2 8 2012∵=-（m-4）-1≤-1＜0，44∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；2 4 2（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x+bx+c，其顶点为（-，），24当x=0时，B（0，c）， 4 2将（-，）代入y=-x-2得：244 2 =-2，42 2 2 8∴c=，4∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0， 2 2 8∴OB=-c=-，4过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（-1，-1），∴AH=1，在△AOB中，11 2 2 8121129S△AOB=OB•AH=×（-）×1=-b-b+1=-（b+1）+，22484881∵-＜0，89∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，89答：△AOB面积的最大值是．8315.解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c过点A（1，0），C（0，-2），2310ܿ ܿ∴2，解得：2． 2ܿ ܿ 2123∴抛物线的表达式为y= 2．22设直线AC的表达式为y=kx+b，则똠 ܿ0똠ܿ2，解得：． ܿ 2 ܿ 2∴直线AC的表达式为y=2x-2．（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是： 123∵抛物线的表达式为y= 2，22∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2， ∴ܿ． 又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，3∵抛物线的对称轴为直线x=-．2故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），1 2ܿ뚀 ܿ ∴，解得：2．0ܿ 4 뚀뚀ܿ 21∴过点B、C的直线解析式为y= 2．25过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-），2过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．123设点P坐标为（m， 2），则点N坐标为（m，221 2），2112312∴PN= 2-（ 2）= 2 ，2222∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN． ∴ܿ． 若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底）， 1 则△BPQ与△BAQ的面积比为，即ܿ． 2 12 1 2 2 24 124∴ܿ=5= = 2 ． 2 555521∵-＜0，5 14∴当m=-2时，的最大值为，此时点P坐标为（-2，-3）． 2516.解：（1）由抛物线C2-5得，1：y=a（x+2）顶点P的坐标为（-2，-5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2-5，5解得a=；9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∴∠PHB=∠MGB=90°，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，PH=MG∴Rt△PBH≌Rt△MBG（HL），∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，52∴抛物线C3的表达式为y=-（x-4）+5；9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5）， 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴EF=AB．∵点P是抛物线的顶点，∴AH=BH，∴BH=3∴AB=2BH=6∵点N是抛物线的顶点，11∴FG=EG=EF=AB=322∴点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），∵顶点P的坐标为（-2，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，44①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，319∴Q点坐标为（，0）．310②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，32∴Q点坐标为（，0）．3③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90° 192综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直33角三角形．17.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，（-6）2a+8=2，1解得：a=-，61∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+8；6（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，1∴P22的坐标为（m，-m+8），61∴P21P2=P3P4=MN=-m+8，P2P3=2m，6111∴l=3（-m2+8）+2m=-m2+2m+24=-（m-2）2+26，6221∵-＜0，2∴当m=2时，l有最大值为26，1即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-m2+2m+24，l的最大值为26；2（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，∴矩形P221P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n+18n=-3（n-3）+27，∵-3＜0，∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1=3，P2P3=9，1令-x2+8=3，6解得：x=±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，18 2뚀方案二：设P2P1=n，则P2P3==9-n，2981∴矩形P221P2P3P4面积为（9-n）n=-n+n=-（n-）+，24∵-1＜0，981∴当n=时，矩形面积有最大值为，24 99此时P2P1=，P2P3=，2219令-x2+8=，62解得：x=±21，9∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+≤P1横坐标≤21．218.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y2+c，需求=ax9 ܿ7.2 ，16 ܿ5.8 ②-①，得7a=-1.4，1解得：a=-，51把a=-代入①，得c=9，51∴a的值为-，c的值为9；5（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，1131w=x-x=t+2-（t2-t+3）=-（t-4）2+3，售价成本24241∵-＜0，且1≤t≤7，4∴当t=4时，w有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；1（3）当y=y时，x-1=-x2+9，供给需求5解得：x1=5，x2=-10（舍去），∴此时售价为5元/千克，则y供给=x-1=5-1=4（吨）=4000（千克），1令t+2=5，解得t=6，211∴w=-（t-4）2+3=-（6-4）2+3=2，44∴总利润为w•y=2×4000=8000（元），答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
