浙江省温州市2022年中考数学试卷及答案
浙江省台州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)1.计算-2×(-3)的结果是( )A.6B.-6C.5D.-52.如图是由四个相同的正方
浙江省温州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)1.计算9+(-3)的结果是( )A.6B.-6C.3D.-32.某物体如图所示,它的主视图是(
简介:浙江省台州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)1.计算-2×(-3)的结果是( )A.6B.-6C.5D.-5【答案】A【知识点】有理数的乘法【解析】【解答】解:-2×(-3)=6.故答案为:A.【分析】利用两数相乘,同号为正,把绝对值相乘,即可求出结果.2.如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视图是( )A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从正面看有两列,第一列1个正方形,第二列2个正方形,第一行2个正方形,故答案为:A.【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.3.估计6的值应在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之【答案】B【知识点】估算无理数的大小【解析】【解答】解:∵4<6<9,∴4<6<9,∴2<6<3,故答案为:B.【分析】直接根据估算无理数大小的方法进行解答.4.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是( ) A.∠2=90°B.∠3=90°C.∠4=90°D.∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解:∵两条铁轨平行,∴∠1=∠4=90°,故答案为:C.【分析】利用两直线平行,同位角相等,可知添加的条件为∠4=90°.5.下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5B.(a2)3=a8C.(a2b)3=a2b3D.a6÷a3=a2【答案】A【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;积的乘方;幂的乘方【解析】【解答】解:A、a2·a3=a5,故A符合题意;B(a2)3=a6,故B不符合题意;C、(a2b)3=a6b3,故C不符合题意;D、a6÷a3=a3,故D不符合题意;故答案为:A.【分析】利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对A作出判断;利用幂的乘方,底数不变,指数相乘,可对B作出判断;利用积的乘方法则,可对C作出判断;利用同底数幂相除,底数不变,指数相减,可对D作出判断.6.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B、C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )A.(40,−a)B.(−40,a)C.(−40,−a)D.(a,−40)【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解:∵战机在空中展示的轴对称队形.∴点D和点E关于y轴对称,∴点D(-40,a).故答案为:B.【分析】利用已知条件可知点D和点E关于y轴对称,利用关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,可得到点D的坐标. 7.从A、B两个品种的西瓜中随机各取7个,它们的质量分布折线图如图.下列统计量中,最能反映出这两组数据之间差异的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】D【知识点】平均数及其计算;中位数;方差;常用统计量的选择;众数【解析】【解答】解:A品种西瓜的平均数为4.9+4×5+5.1+5.27=35.27≈5;B品种西瓜的平均数为4.4+3×5+5.2+5.3+5.47≈5;平均数不能反映出这两组数据之间差异,故A不符合题意;A、B组数据的众数为5,不能反映出这两组数据之间差异,故C不符合题意;A、B组数据的中位数都为5,不能反映出这两组数据之间差异,故B不符合题意;A种数据波动较小,B组数据波动较大,∴最能反映出这两组数据之间差异是方差,故D符合题意;【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义分析判断即可.8.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解:∵y是吴老师离公园的距离,故A不符合题意;∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m,故B不符合题意; ∵他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,∴当x=12和x=8时,y=0,故D不符合题意;C符合题意;故答案为:C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离,可排除选项A,利用家到公园,公园道学校的距离,可排除选项B,再根据他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,可排除选项D,即可得到正确结论的选项.9.如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是( )A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PCB.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=ACC.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PCD.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;真命题与假命题【解析】【解答】解:A、∵AB=AC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故A不符合题意;B、∵PB=PC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴AB=AC,此命题是真命题,故B-不符合题意;C、∵AB=AC,∠1=∠2∴AD⊥BC,AD是△ABC的中线,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故C不符合题意;由PB=PC,∠1=∠2,不能证明AB=AC,此命题是假命题,故D符合题意;故答案为:D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可对A,B,C作出判断;据此可得到是假命题的选项.10.一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80m,宽60m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )A.(840+6π)m2B.(840+9π)m2C.840m2D.876m2 【答案】B【知识点】列式表示数量关系【解析】【解答】解:如图,该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为80×3×2+60×3×2+π×32=(840+9π)m2.故答案为:B.【分析】抓住关键已知条件:有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,可得到该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为四个小矩形的面积+半径为3m的圆的面积,列式计算即可.二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.分解因式:a2−1= .【答案】(a+1)(a−1)【知识点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】原式=(a+1)(a−1).故答案为:(a+1)(a−1).【分析】观察代数式的特点,利用平方差公式分解即可。12.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,朝上一面点数是1的概率为 .【答案】16【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解:∵将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,∴P(朝上一面点数是1)=16.故答案为:16.【分析】利用已知条件可知一共有6种结果数,朝上一面点数是1的只有1种情况,再利用概率公式进行计算.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .【答案】10【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,点D为AB的中点,∴CD=12AB,∵点E,F是CB,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,∴CD=EF=10.故答案为:10.【分析】利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,可证得CD=12AB;再利用三角形的中位线等于第三边的一半,可证得EF=12AB;由此可推出EF=CD,即可求出CD的长.14.如图,△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.【答案】8【知识点】矩形的判定与性质;平移的性质【解析】【解答】解:∵将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,∴BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,∴四边形BCC′B′是平行四边形,S△ABC=S△A′B′C′,∵BB′⊥BC,∴∠BB′C′=90°,∴四边形BCC′B′是矩形,∴S阴影部分=S矩形BCC′B′=4×2=8.故答案为:8【分析】利用平移的性质可证得BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证得四边形BCC′B′是平行四边形,同时可证得S△ABC=S△A′B′C′;再证明四边形BCC′B′是矩形,由此可得到阴影部分的面积=矩形BCC′B′的面积,然后利用矩形的面积公式进行计算.15.如图的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是 .先化简,再求值:3−xx−4+1,其中x=解:原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−1【答案】5【知识点】利用分式运算化简求值;解分式方程【解析】【解答】解:原式=3-xx-4+x-4x-4=-1x-4∵最后所求的值是正确的∴-1x-4=-1解之:x=5经检验:x=5是方程的解.故答案为:5.【分析】先通分计算,再由题意可得到-1x-4=-1;然后解方程求出x的值.16.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .【答案】33;6-33【知识点】勾股定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,当点M与点B重合时,∵折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F,∴EF垂直平分AB,∴AD=AB=6,在Rt△AEF中,∠A=60°, ∴EF=ADsin∠A=6sin60°=6×32=33;如图2,连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=6,AD∥BC,∴∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,∵∠BAH=30°,∴BH=3,AH=ABsin∠A=6sin60°=6×32=33;设BM=x,DF=y则HM=x+33,∴AM=332+3+x2=x2+6x+36∵折叠菱形,∴EF垂直平分AM,∴AN=12×2+6x+36,∵∠ANF=∠MHA=90°,∠FAN=∠ANH∴△FAN∽△ANH∴AFAM=ANMH即AFx2+6x+36=12×2+6x+363+x解之:AF=x2+6x+362x+6∴y=DF=AD-AF=6-x2+6x+362x+6=-x2+6x2x+6∴x2+(2y-6)x+6y=0b2-4ac=(2y-6)2-24y≥0∴y≤6-33,y≥6+33∵0≤y≤6∴0≤y≤6-33∴DF的最大值为6-33.故答案为: 33,6-33.【分析】如图1,当点M与点B重合时,利用折叠的性质可证得EF垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质,可求出AD的长,在Rt△AEF中,利用解直角三角形求出EF的长;连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,利用菱形的性质可证得AD=AB=6,AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,利用解直角三角形求出BH,AH的长,设BM=x,DF=y,表示出HM的长,利用勾股定理可表示出AM的长,再利用折叠的性质可表示出AN的长;利用有两组对应角分别相等的两三角形相似,可证得△FAN∽△ANH,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AF的长,根据y=AD=AF,可得到y与x之间的函数解析式,从而可得到关于x的方程,由b2-4ac≥0,可建立关于y的不等式,然后求出y的取值范围,即可得到DF的最大值.三、解答题(共有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)17.计算:9+|−5|−22.【答案】原式=3+5-4=4【知识点】实数的运算【解析】【分析】先算乘方和开方运算,同时化简绝对值;再利用有理数的加减法法则进行计算,可求出结果.18.解方程组:x+2y=4x+3y=5.【答案】解:x+2y=4①x+3y=5②由②-①得y=1将y=1代入①得x+2=4解之:x=2∴原方程组的解为x=2y=1.【知识点】加减消元法解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x的系数相等,因此由②-① 求出y的值,再将y=1代入①可求出x的值,即可得到方程组的解.19.如图1,梯子斜靠在竖直的墙上,其示意图如图2,梯子与地面所成的角α为75°,梯子AB长3m,求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果精确到0.1m;参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)【答案】解:在Rt△ABC中,∠A=75°,∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答:梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】在Rt△ABC中,利用解直角三角形,可得到BC=ABsin∠A,代入计算求出BC的长.20.如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.(1)求y关于x的函数解析式;(2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.【答案】(1)解:∵y是关于x的反比例函数,设y与x之间的函数解析式为y=kx,当x=6时y=2∴k=2×6=12;∴函数解析式为y=12x(2)∵y=12x当y=3时3x=12,解之:x=4答:若火焰的像高为3cm,小孔到蜡烛的距离为4cm. 【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】(1)利用y是关于x的反比例函数,因此y与x之间的函数解析式为y=kx,将x=6,y=2代入函数解析式求出k的值,可得到反比例函数解析式.(2)将y=3代入函数解析式求出对应的x的值,即可求解.21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,连接AD.(1)求证:BD=CD;(2)若⊙O与AC相切,求∠B的度数;(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD(2)∵⊙O与AC相切,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∠B=45°(3)如下图,点E就是所要做的AD的中点.【知识点】垂径定理;圆周角定理;切线的判定与性质;作图-角的平分线;作图-线段垂直平分线【解析】 【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可证得∠ADB=90°,再利用等腰三角形三线合一的性质,可证得结论.(2)利用切线的性质可证得BA⊥AC,利用垂直的定义可得到∠BAC=90°,再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.(3)利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线,交劣弧AD于点E;或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线,交劣弧AD于点E;或连接OD,作出∠AOD的角平分线;或作出AC的中点;或过点O作OE∥BC,即可得到劣弧AD的中点E.22.某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周劳动时间(单位:小时)的合格标准,为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间,获得数据并整理成表格.学生目前每周劳动时间统计表每周劳动时间x(小时)0.5≤x<1.51.5≤x<2.52.5≤x<3.53.5≤x<4.54.5≤x<5.5组中值12345人数(人)2130191812(1)画扇形图描述数据时,1.5≤x<2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度?(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数;(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用统计量说明其合理性.【答案】(1)解:由题意得360°×30100×100%=108°.答:这组数据对应的扇形圆心角是108°.(2)答:x=1×21+2×30+3×19+4×18+5×12100=2.7答:该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心.从平均数看,标准可以定为3小时.理由:平均数为2.7小时,说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时,把标准定为3小时,至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标,同时至少还有51%的学生未达标,这样使多数学生有更高的努力目标.从中位数的范围或频数看,标准可以定为2小时.理由:该校学生目前每周劳动时间的中位数落在1.5≤x<2.5 范围内,把标准定为2小时,至少有49%的学生目前劳动时间能达标,同时至少还有21%的学生未达标,这样有利于学生建立达标的信心,促进未达标学生努力达标,提高该校学生的劳动积极性.【知识点】频数(率)分布表;加权平均数及其计算;分析数据的集中趋势【解析】【分析】(1)利用360°×每周劳动时间为1.5≤x<2.5的人数所占的百分比,列式计算.(2)利用平均数公式,列式计算可求出该校学生目前每周劳动时间的平均数.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心;再分别从平均数,中位数进行分析,可得答案.23.图1中有四条优美的“螺旋折线”,它们是怎样画出来的呢?如图2,在正方形ABCD各边上分别取点B1,C1,D1,A1,使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,依次连接它们,得到四边形A1B1C1D1;再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2,C2,D2,A2,使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1,依次连接它们,得到四边形A2B2C2D2;…如此继续下去,得到四条螺旋折线.(1)求证:四边形A1B1C1D1是正方形;(2)求A1B1AB的值;(3)请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以证明.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠B=90°,又∵AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,∴AA1=BB1=15AB.∴△AB1A1≌△BC1B1.∴A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1.又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°,∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.∴∠A1B1C1=90°.同理可证:B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.∴四边形A1B1C1D1是正方形.(2)解:∵AA1=BB1=15AB,AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,∴A1B1=a2+16a2=17a∴A1B1AB=17a5a=175.(3)解:相邻线段的比为51717或175. 理由:∵BB1=15AB,A1B1=17a,∴B1B2=15A1B1,A1B1AB=175,∴BB1B1B2=ABA1B1=5a17a=51717同理可得B2B1B2B3=51717∴相邻线段的比为51717或175【知识点】勾股定理;正方形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)利用正方形的性质及已知条件可证得AA1=BB1=15AB,同时可证得∠A=∠B=90°,利用SAS证明△AB1A1≌△BC1B1,利用全等三角形的性质可证得A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1;再证明∠A1B1C1=90°,同理可证得B1C1=C1D1=D1A1=A1B1;然后利用有一个角是直角的菱形是正方形,可证得结论.(2)设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,利用勾股定理求出A1B1的长;然后求出A1B1AB的值.(3)利用BB1=15AB,及A1B1的长,可得到B1B2=15A1B1及A1B1与AB的比值;再求出BB1与B2B3的比值;同理求出B2B1与B2B3的比值,由此可得到螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系.24.如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).(1)若h=1.5,EF=0.5m;①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标; ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围;(2)若EF=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.【答案】(1)解:①由题意可知点A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,∴设y=a(x-2)2+2,∵抛物线过点(0,1.5)∴4a+2=1.5解之:a=-18∴抛物线的解析式为y=-18(x-2)2+2,,当y=0时-18(x-2)2+2=0解之:x1=6,x2=-2(舍去)∴喷出水的最大射程OC为6m.②∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,∴点B(2,0)③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,当y=0.5时-18(x-2)2+2=0.5解之:x1=2+23,x2=2-23(舍去),当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5∴x≤2+23;∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+23,∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,∴d的最大值为2+23-3=23-1在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,∴d的最小值为2,∴d的取值范围为2≤d≤23-1. (2)解:当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,设点Dm,-18m+22+h+0.5,Fm+3,-18m+3-22+h+0.5∴-18m+3-22+h+0.5–18m+22+h+0.5=1解之:m=2.5,∴点D的纵坐标为h-6532,∴h-6532=0解之:h=6532∴h的最小值为6532.【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数的最值;二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标,因此设y=a(x-2)2+2,将点(0,1.5)代入函数解析式,可求出a的值,可得到抛物线的解析式;由y=0求出对应的x的值,可得到喷出水的最大射程OC的长;②抛物线的对称轴为直线x=2,可得到点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,即可得到点B的坐标;③利用EF的长,可得到点F的纵坐标,将y=0.5代入函数解析式,可求出对应的x的值,利用二次函数的性质可知当x>2时,y随x的增大而减小,由此可得到当2≤x≤6时,要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时,要使y≥0.5的x的取值范围;根据DE=3,可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值;在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,可得到d的最小值,综上所述可得到d的取值范围.(2)当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,利用函数解析式设处点D,F的坐标,再根据EF=1,可得到关于m的方程,解方程求出m的值;再求出点D的纵坐标,由此可得到关于h的值,可得到h的最小值.
简介:浙江省台州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)1.计算-2×(-3)的结果是( )A.6B.-6C.5D.-5【答案】A【知识点】有理数的乘法【解析】【解答】解:-2×(-3)=6.故答案为:A.【分析】利用两数相乘,同号为正,把绝对值相乘,即可求出结果.2.如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视图是( )A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从正面看有两列,第一列1个正方形,第二列2个正方形,第一行2个正方形,故答案为:A.【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.3.估计6的值应在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之【答案】B【知识点】估算无理数的大小【解析】【解答】解:∵4<6<9,∴4<6<9,∴2<6<3,故答案为:B.【分析】直接根据估算无理数大小的方法进行解答.4.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是( ) A.∠2=90°B.∠3=90°C.∠4=90°D.∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解:∵两条铁轨平行,∴∠1=∠4=90°,故答案为:C.【分析】利用两直线平行,同位角相等,可知添加的条件为∠4=90°.5.下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5B.(a2)3=a8C.(a2b)3=a2b3D.a6÷a3=a2【答案】A【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;积的乘方;幂的乘方【解析】【解答】解:A、a2·a3=a5,故A符合题意;B(a2)3=a6,故B不符合题意;C、(a2b)3=a6b3,故C不符合题意;D、a6÷a3=a3,故D不符合题意;故答案为:A.【分析】利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对A作出判断;利用幂的乘方,底数不变,指数相乘,可对B作出判断;利用积的乘方法则,可对C作出判断;利用同底数幂相除,底数不变,指数相减,可对D作出判断.6.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B、C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )A.(40,−a)B.(−40,a)C.(−40,−a)D.(a,−40)【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解:∵战机在空中展示的轴对称队形.∴点D和点E关于y轴对称,∴点D(-40,a).故答案为:B.【分析】利用已知条件可知点D和点E关于y轴对称,利用关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,可得到点D的坐标. 7.从A、B两个品种的西瓜中随机各取7个,它们的质量分布折线图如图.下列统计量中,最能反映出这两组数据之间差异的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】D【知识点】平均数及其计算;中位数;方差;常用统计量的选择;众数【解析】【解答】解:A品种西瓜的平均数为4.9+4×5+5.1+5.27=35.27≈5;B品种西瓜的平均数为4.4+3×5+5.2+5.3+5.47≈5;平均数不能反映出这两组数据之间差异,故A不符合题意;A、B组数据的众数为5,不能反映出这两组数据之间差异,故C不符合题意;A、B组数据的中位数都为5,不能反映出这两组数据之间差异,故B不符合题意;A种数据波动较小,B组数据波动较大,∴最能反映出这两组数据之间差异是方差,故D符合题意;【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义分析判断即可.8.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解:∵y是吴老师离公园的距离,故A不符合题意;∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m,故B不符合题意; ∵他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,∴当x=12和x=8时,y=0,故D不符合题意;C符合题意;故答案为:C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离,可排除选项A,利用家到公园,公园道学校的距离,可排除选项B,再根据他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,可排除选项D,即可得到正确结论的选项.9.如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是( )A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PCB.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=ACC.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PCD.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;真命题与假命题【解析】【解答】解:A、∵AB=AC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故A不符合题意;B、∵PB=PC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴AB=AC,此命题是真命题,故B-不符合题意;C、∵AB=AC,∠1=∠2∴AD⊥BC,AD是△ABC的中线,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故C不符合题意;由PB=PC,∠1=∠2,不能证明AB=AC,此命题是假命题,故D符合题意;故答案为:D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可对A,B,C作出判断;据此可得到是假命题的选项.10.一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80m,宽60m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )A.(840+6π)m2B.(840+9π)m2C.840m2D.876m2 【答案】B【知识点】列式表示数量关系【解析】【解答】解:如图,该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为80×3×2+60×3×2+π×32=(840+9π)m2.故答案为:B.【分析】抓住关键已知条件:有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,可得到该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为四个小矩形的面积+半径为3m的圆的面积,列式计算即可.二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.分解因式:a2−1= .【答案】(a+1)(a−1)【知识点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】原式=(a+1)(a−1).故答案为:(a+1)(a−1).【分析】观察代数式的特点,利用平方差公式分解即可。12.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,朝上一面点数是1的概率为 .【答案】16【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解:∵将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,∴P(朝上一面点数是1)=16.故答案为:16.【分析】利用已知条件可知一共有6种结果数,朝上一面点数是1的只有1种情况,再利用概率公式进行计算.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .【答案】10【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,点D为AB的中点,∴CD=12AB,∵点E,F是CB,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,∴CD=EF=10.故答案为:10.【分析】利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,可证得CD=12AB;再利用三角形的中位线等于第三边的一半,可证得EF=12AB;由此可推出EF=CD,即可求出CD的长.14.如图,△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.【答案】8【知识点】矩形的判定与性质;平移的性质【解析】【解答】解:∵将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,∴BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,∴四边形BCC′B′是平行四边形,S△ABC=S△A′B′C′,∵BB′⊥BC,∴∠BB′C′=90°,∴四边形BCC′B′是矩形,∴S阴影部分=S矩形BCC′B′=4×2=8.故答案为:8【分析】利用平移的性质可证得BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证得四边形BCC′B′是平行四边形,同时可证得S△ABC=S△A′B′C′;再证明四边形BCC′B′是矩形,由此可得到阴影部分的面积=矩形BCC′B′的面积,然后利用矩形的面积公式进行计算.15.如图的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是 .先化简,再求值:3−xx−4+1,其中x=解:原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−1【答案】5【知识点】利用分式运算化简求值;解分式方程【解析】【解答】解:原式=3-xx-4+x-4x-4=-1x-4∵最后所求的值是正确的∴-1x-4=-1解之:x=5经检验:x=5是方程的解.故答案为:5.【分析】先通分计算,再由题意可得到-1x-4=-1;然后解方程求出x的值.16.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .【答案】33;6-33【知识点】勾股定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,当点M与点B重合时,∵折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F,∴EF垂直平分AB,∴AD=AB=6,在Rt△AEF中,∠A=60°, ∴EF=ADsin∠A=6sin60°=6×32=33;如图2,连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=6,AD∥BC,∴∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,∵∠BAH=30°,∴BH=3,AH=ABsin∠A=6sin60°=6×32=33;设BM=x,DF=y则HM=x+33,∴AM=332+3+x2=x2+6x+36∵折叠菱形,∴EF垂直平分AM,∴AN=12×2+6x+36,∵∠ANF=∠MHA=90°,∠FAN=∠ANH∴△FAN∽△ANH∴AFAM=ANMH即AFx2+6x+36=12×2+6x+363+x解之:AF=x2+6x+362x+6∴y=DF=AD-AF=6-x2+6x+362x+6=-x2+6x2x+6∴x2+(2y-6)x+6y=0b2-4ac=(2y-6)2-24y≥0∴y≤6-33,y≥6+33∵0≤y≤6∴0≤y≤6-33∴DF的最大值为6-33.故答案为: 33,6-33.【分析】如图1,当点M与点B重合时,利用折叠的性质可证得EF垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质,可求出AD的长,在Rt△AEF中,利用解直角三角形求出EF的长;连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,利用菱形的性质可证得AD=AB=6,AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,利用解直角三角形求出BH,AH的长,设BM=x,DF=y,表示出HM的长,利用勾股定理可表示出AM的长,再利用折叠的性质可表示出AN的长;利用有两组对应角分别相等的两三角形相似,可证得△FAN∽△ANH,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AF的长,根据y=AD=AF,可得到y与x之间的函数解析式,从而可得到关于x的方程,由b2-4ac≥0,可建立关于y的不等式,然后求出y的取值范围,即可得到DF的最大值.三、解答题(共有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)17.计算:9+|−5|−22.【答案】原式=3+5-4=4【知识点】实数的运算【解析】【分析】先算乘方和开方运算,同时化简绝对值;再利用有理数的加减法法则进行计算,可求出结果.18.解方程组:x+2y=4x+3y=5.【答案】解:x+2y=4①x+3y=5②由②-①得y=1将y=1代入①得x+2=4解之:x=2∴原方程组的解为x=2y=1.【知识点】加减消元法解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x的系数相等,因此由②-① 求出y的值,再将y=1代入①可求出x的值,即可得到方程组的解.19.如图1,梯子斜靠在竖直的墙上,其示意图如图2,梯子与地面所成的角α为75°,梯子AB长3m,求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果精确到0.1m;参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)【答案】解:在Rt△ABC中,∠A=75°,∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答:梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】在Rt△ABC中,利用解直角三角形,可得到BC=ABsin∠A,代入计算求出BC的长.20.如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.(1)求y关于x的函数解析式;(2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.【答案】(1)解:∵y是关于x的反比例函数,设y与x之间的函数解析式为y=kx,当x=6时y=2∴k=2×6=12;∴函数解析式为y=12x(2)∵y=12x当y=3时3x=12,解之:x=4答:若火焰的像高为3cm,小孔到蜡烛的距离为4cm. 【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】(1)利用y是关于x的反比例函数,因此y与x之间的函数解析式为y=kx,将x=6,y=2代入函数解析式求出k的值,可得到反比例函数解析式.(2)将y=3代入函数解析式求出对应的x的值,即可求解.21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,连接AD.(1)求证:BD=CD;(2)若⊙O与AC相切,求∠B的度数;(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD(2)∵⊙O与AC相切,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∠B=45°(3)如下图,点E就是所要做的AD的中点.【知识点】垂径定理;圆周角定理;切线的判定与性质;作图-角的平分线;作图-线段垂直平分线【解析】 【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可证得∠ADB=90°,再利用等腰三角形三线合一的性质,可证得结论.(2)利用切线的性质可证得BA⊥AC,利用垂直的定义可得到∠BAC=90°,再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.(3)利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线,交劣弧AD于点E;或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线,交劣弧AD于点E;或连接OD,作出∠AOD的角平分线;或作出AC的中点;或过点O作OE∥BC,即可得到劣弧AD的中点E.22.某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周劳动时间(单位:小时)的合格标准,为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间,获得数据并整理成表格.学生目前每周劳动时间统计表每周劳动时间x(小时)0.5≤x<1.51.5≤x<2.52.5≤x<3.53.5≤x<4.54.5≤x<5.5组中值12345人数(人)2130191812(1)画扇形图描述数据时,1.5≤x<2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度?(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数;(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用统计量说明其合理性.【答案】(1)解:由题意得360°×30100×100%=108°.答:这组数据对应的扇形圆心角是108°.(2)答:x=1×21+2×30+3×19+4×18+5×12100=2.7答:该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心.从平均数看,标准可以定为3小时.理由:平均数为2.7小时,说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时,把标准定为3小时,至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标,同时至少还有51%的学生未达标,这样使多数学生有更高的努力目标.从中位数的范围或频数看,标准可以定为2小时.理由:该校学生目前每周劳动时间的中位数落在1.5≤x<2.5 范围内,把标准定为2小时,至少有49%的学生目前劳动时间能达标,同时至少还有21%的学生未达标,这样有利于学生建立达标的信心,促进未达标学生努力达标,提高该校学生的劳动积极性.【知识点】频数(率)分布表;加权平均数及其计算;分析数据的集中趋势【解析】【分析】(1)利用360°×每周劳动时间为1.5≤x<2.5的人数所占的百分比,列式计算.(2)利用平均数公式,列式计算可求出该校学生目前每周劳动时间的平均数.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心;再分别从平均数,中位数进行分析,可得答案.23.图1中有四条优美的“螺旋折线”,它们是怎样画出来的呢?如图2,在正方形ABCD各边上分别取点B1,C1,D1,A1,使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,依次连接它们,得到四边形A1B1C1D1;再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2,C2,D2,A2,使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1,依次连接它们,得到四边形A2B2C2D2;…如此继续下去,得到四条螺旋折线.(1)求证:四边形A1B1C1D1是正方形;(2)求A1B1AB的值;(3)请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以证明.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠B=90°,又∵AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,∴AA1=BB1=15AB.∴△AB1A1≌△BC1B1.∴A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1.又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°,∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.∴∠A1B1C1=90°.同理可证:B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.∴四边形A1B1C1D1是正方形.(2)解:∵AA1=BB1=15AB,AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,∴A1B1=a2+16a2=17a∴A1B1AB=17a5a=175.(3)解:相邻线段的比为51717或175. 理由:∵BB1=15AB,A1B1=17a,∴B1B2=15A1B1,A1B1AB=175,∴BB1B1B2=ABA1B1=5a17a=51717同理可得B2B1B2B3=51717∴相邻线段的比为51717或175【知识点】勾股定理;正方形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)利用正方形的性质及已知条件可证得AA1=BB1=15AB,同时可证得∠A=∠B=90°,利用SAS证明△AB1A1≌△BC1B1,利用全等三角形的性质可证得A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1;再证明∠A1B1C1=90°,同理可证得B1C1=C1D1=D1A1=A1B1;然后利用有一个角是直角的菱形是正方形,可证得结论.(2)设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,利用勾股定理求出A1B1的长;然后求出A1B1AB的值.(3)利用BB1=15AB,及A1B1的长,可得到B1B2=15A1B1及A1B1与AB的比值;再求出BB1与B2B3的比值;同理求出B2B1与B2B3的比值,由此可得到螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系.24.如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).(1)若h=1.5,EF=0.5m;①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标; ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围;(2)若EF=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.【答案】(1)解:①由题意可知点A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,∴设y=a(x-2)2+2,∵抛物线过点(0,1.5)∴4a+2=1.5解之:a=-18∴抛物线的解析式为y=-18(x-2)2+2,,当y=0时-18(x-2)2+2=0解之:x1=6,x2=-2(舍去)∴喷出水的最大射程OC为6m.②∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,∴点B(2,0)③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,当y=0.5时-18(x-2)2+2=0.5解之:x1=2+23,x2=2-23(舍去),当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5∴x≤2+23;∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+23,∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,∴d的最大值为2+23-3=23-1在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,∴d的最小值为2,∴d的取值范围为2≤d≤23-1. (2)解:当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,设点Dm,-18m+22+h+0.5,Fm+3,-18m+3-22+h+0.5∴-18m+3-22+h+0.5–18m+22+h+0.5=1解之:m=2.5,∴点D的纵坐标为h-6532,∴h-6532=0解之:h=6532∴h的最小值为6532.【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数的最值;二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标,因此设y=a(x-2)2+2,将点(0,1.5)代入函数解析式,可求出a的值,可得到抛物线的解析式;由y=0求出对应的x的值,可得到喷出水的最大射程OC的长;②抛物线的对称轴为直线x=2,可得到点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,即可得到点B的坐标;③利用EF的长,可得到点F的纵坐标,将y=0.5代入函数解析式,可求出对应的x的值,利用二次函数的性质可知当x>2时,y随x的增大而减小,由此可得到当2≤x≤6时,要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时,要使y≥0.5的x的取值范围;根据DE=3,可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值;在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,可得到d的最小值,综上所述可得到d的取值范围.(2)当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,利用函数解析式设处点D,F的坐标,再根据EF=1,可得到关于m的方程,解方程求出m的值;再求出点D的纵坐标,由此可得到关于h的值,可得到h的最小值.
简介:浙江省台州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)1.计算-2×(-3)的结果是( )A.6B.-6C.5D.-5【答案】A【知识点】有理数的乘法【解析】【解答】解:-2×(-3)=6.故答案为:A.【分析】利用两数相乘,同号为正,把绝对值相乘,即可求出结果.2.如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视图是( )A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从正面看有两列,第一列1个正方形,第二列2个正方形,第一行2个正方形,故答案为:A.【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.3.估计6的值应在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之【答案】B【知识点】估算无理数的大小【解析】【解答】解:∵4<6<9,∴4<6<9,∴2<6<3,故答案为:B.【分析】直接根据估算无理数大小的方法进行解答.4.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是( ) A.∠2=90°B.∠3=90°C.∠4=90°D.∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解:∵两条铁轨平行,∴∠1=∠4=90°,故答案为:C.【分析】利用两直线平行,同位角相等,可知添加的条件为∠4=90°.5.下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5B.(a2)3=a8C.(a2b)3=a2b3D.a6÷a3=a2【答案】A【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;积的乘方;幂的乘方【解析】【解答】解:A、a2·a3=a5,故A符合题意;B(a2)3=a6,故B不符合题意;C、(a2b)3=a6b3,故C不符合题意;D、a6÷a3=a3,故D不符合题意;故答案为:A.【分析】利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对A作出判断;利用幂的乘方,底数不变,指数相乘,可对B作出判断;利用积的乘方法则,可对C作出判断;利用同底数幂相除,底数不变,指数相减,可对D作出判断.6.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B、C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )A.(40,−a)B.(−40,a)C.(−40,−a)D.(a,−40)【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解:∵战机在空中展示的轴对称队形.∴点D和点E关于y轴对称,∴点D(-40,a).故答案为:B.【分析】利用已知条件可知点D和点E关于y轴对称,利用关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,可得到点D的坐标. 7.从A、B两个品种的西瓜中随机各取7个,它们的质量分布折线图如图.下列统计量中,最能反映出这两组数据之间差异的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】D【知识点】平均数及其计算;中位数;方差;常用统计量的选择;众数【解析】【解答】解:A品种西瓜的平均数为4.9+4×5+5.1+5.27=35.27≈5;B品种西瓜的平均数为4.4+3×5+5.2+5.3+5.47≈5;平均数不能反映出这两组数据之间差异,故A不符合题意;A、B组数据的众数为5,不能反映出这两组数据之间差异,故C不符合题意;A、B组数据的中位数都为5,不能反映出这两组数据之间差异,故B不符合题意;A种数据波动较小,B组数据波动较大,∴最能反映出这两组数据之间差异是方差,故D符合题意;【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义分析判断即可.8.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解:∵y是吴老师离公园的距离,故A不符合题意;∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m,故B不符合题意; ∵他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,∴当x=12和x=8时,y=0,故D不符合题意;C符合题意;故答案为:C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离,可排除选项A,利用家到公园,公园道学校的距离,可排除选项B,再根据他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,可排除选项D,即可得到正确结论的选项.9.如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是( )A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PCB.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=ACC.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PCD.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;真命题与假命题【解析】【解答】解:A、∵AB=AC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故A不符合题意;B、∵PB=PC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴AB=AC,此命题是真命题,故B-不符合题意;C、∵AB=AC,∠1=∠2∴AD⊥BC,AD是△ABC的中线,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故C不符合题意;由PB=PC,∠1=∠2,不能证明AB=AC,此命题是假命题,故D符合题意;故答案为:D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可对A,B,C作出判断;据此可得到是假命题的选项.10.一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80m,宽60m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )A.(840+6π)m2B.(840+9π)m2C.840m2D.876m2 【答案】B【知识点】列式表示数量关系【解析】【解答】解:如图,该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为80×3×2+60×3×2+π×32=(840+9π)m2.故答案为:B.【分析】抓住关键已知条件:有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,可得到该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为四个小矩形的面积+半径为3m的圆的面积,列式计算即可.二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.分解因式:a2−1= .【答案】(a+1)(a−1)【知识点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】原式=(a+1)(a−1).故答案为:(a+1)(a−1).【分析】观察代数式的特点,利用平方差公式分解即可。12.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,朝上一面点数是1的概率为 .【答案】16【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解:∵将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,∴P(朝上一面点数是1)=16.故答案为:16.【分析】利用已知条件可知一共有6种结果数,朝上一面点数是1的只有1种情况,再利用概率公式进行计算.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .【答案】10【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,点D为AB的中点,∴CD=12AB,∵点E,F是CB,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,∴CD=EF=10.故答案为:10.【分析】利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,可证得CD=12AB;再利用三角形的中位线等于第三边的一半,可证得EF=12AB;由此可推出EF=CD,即可求出CD的长.14.如图,△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.【答案】8【知识点】矩形的判定与性质;平移的性质【解析】【解答】解:∵将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,∴BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,∴四边形BCC′B′是平行四边形,S△ABC=S△A′B′C′,∵BB′⊥BC,∴∠BB′C′=90°,∴四边形BCC′B′是矩形,∴S阴影部分=S矩形BCC′B′=4×2=8.故答案为:8【分析】利用平移的性质可证得BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证得四边形BCC′B′是平行四边形,同时可证得S△ABC=S△A′B′C′;再证明四边形BCC′B′是矩形,由此可得到阴影部分的面积=矩形BCC′B′的面积,然后利用矩形的面积公式进行计算.15.如图的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是 .先化简,再求值:3−xx−4+1,其中x=解:原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−1【答案】5【知识点】利用分式运算化简求值;解分式方程【解析】【解答】解:原式=3-xx-4+x-4x-4=-1x-4∵最后所求的值是正确的∴-1x-4=-1解之:x=5经检验:x=5是方程的解.故答案为:5.【分析】先通分计算,再由题意可得到-1x-4=-1;然后解方程求出x的值.16.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .【答案】33;6-33【知识点】勾股定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,当点M与点B重合时,∵折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F,∴EF垂直平分AB,∴AD=AB=6,在Rt△AEF中,∠A=60°, ∴EF=ADsin∠A=6sin60°=6×32=33;如图2,连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=6,AD∥BC,∴∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,∵∠BAH=30°,∴BH=3,AH=ABsin∠A=6sin60°=6×32=33;设BM=x,DF=y则HM=x+33,∴AM=332+3+x2=x2+6x+36∵折叠菱形,∴EF垂直平分AM,∴AN=12×2+6x+36,∵∠ANF=∠MHA=90°,∠FAN=∠ANH∴△FAN∽△ANH∴AFAM=ANMH即AFx2+6x+36=12×2+6x+363+x解之:AF=x2+6x+362x+6∴y=DF=AD-AF=6-x2+6x+362x+6=-x2+6x2x+6∴x2+(2y-6)x+6y=0b2-4ac=(2y-6)2-24y≥0∴y≤6-33,y≥6+33∵0≤y≤6∴0≤y≤6-33∴DF的最大值为6-33.故答案为: 33,6-33.【分析】如图1,当点M与点B重合时,利用折叠的性质可证得EF垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质,可求出AD的长,在Rt△AEF中,利用解直角三角形求出EF的长;连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,利用菱形的性质可证得AD=AB=6,AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,利用解直角三角形求出BH,AH的长,设BM=x,DF=y,表示出HM的长,利用勾股定理可表示出AM的长,再利用折叠的性质可表示出AN的长;利用有两组对应角分别相等的两三角形相似,可证得△FAN∽△ANH,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AF的长,根据y=AD=AF,可得到y与x之间的函数解析式,从而可得到关于x的方程,由b2-4ac≥0,可建立关于y的不等式,然后求出y的取值范围,即可得到DF的最大值.三、解答题(共有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)17.计算:9+|−5|−22.【答案】原式=3+5-4=4【知识点】实数的运算【解析】【分析】先算乘方和开方运算,同时化简绝对值;再利用有理数的加减法法则进行计算,可求出结果.18.解方程组:x+2y=4x+3y=5.【答案】解:x+2y=4①x+3y=5②由②-①得y=1将y=1代入①得x+2=4解之:x=2∴原方程组的解为x=2y=1.【知识点】加减消元法解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x的系数相等,因此由②-① 求出y的值,再将y=1代入①可求出x的值,即可得到方程组的解.19.如图1,梯子斜靠在竖直的墙上,其示意图如图2,梯子与地面所成的角α为75°,梯子AB长3m,求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果精确到0.1m;参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)【答案】解:在Rt△ABC中,∠A=75°,∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答:梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】在Rt△ABC中,利用解直角三角形,可得到BC=ABsin∠A,代入计算求出BC的长.20.如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.(1)求y关于x的函数解析式;(2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.【答案】(1)解:∵y是关于x的反比例函数,设y与x之间的函数解析式为y=kx,当x=6时y=2∴k=2×6=12;∴函数解析式为y=12x(2)∵y=12x当y=3时3x=12,解之:x=4答:若火焰的像高为3cm,小孔到蜡烛的距离为4cm. 【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】(1)利用y是关于x的反比例函数,因此y与x之间的函数解析式为y=kx,将x=6,y=2代入函数解析式求出k的值,可得到反比例函数解析式.(2)将y=3代入函数解析式求出对应的x的值,即可求解.21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,连接AD.(1)求证:BD=CD;(2)若⊙O与AC相切,求∠B的度数;(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD(2)∵⊙O与AC相切,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∠B=45°(3)如下图,点E就是所要做的AD的中点.【知识点】垂径定理;圆周角定理;切线的判定与性质;作图-角的平分线;作图-线段垂直平分线【解析】 【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可证得∠ADB=90°,再利用等腰三角形三线合一的性质,可证得结论.(2)利用切线的性质可证得BA⊥AC,利用垂直的定义可得到∠BAC=90°,再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.(3)利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线,交劣弧AD于点E;或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线,交劣弧AD于点E;或连接OD,作出∠AOD的角平分线;或作出AC的中点;或过点O作OE∥BC,即可得到劣弧AD的中点E.22.某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周劳动时间(单位:小时)的合格标准,为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间,获得数据并整理成表格.学生目前每周劳动时间统计表每周劳动时间x(小时)0.5≤x<1.51.5≤x<2.52.5≤x<3.53.5≤x<4.54.5≤x<5.5组中值12345人数(人)2130191812(1)画扇形图描述数据时,1.5≤x<2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度?(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数;(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用统计量说明其合理性.【答案】(1)解:由题意得360°×30100×100%=108°.答:这组数据对应的扇形圆心角是108°.(2)答:x=1×21+2×30+3×19+4×18+5×12100=2.7答:该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心.从平均数看,标准可以定为3小时.理由:平均数为2.7小时,说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时,把标准定为3小时,至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标,同时至少还有51%的学生未达标,这样使多数学生有更高的努力目标.从中位数的范围或频数看,标准可以定为2小时.理由:该校学生目前每周劳动时间的中位数落在1.5≤x<2.5 范围内,把标准定为2小时,至少有49%的学生目前劳动时间能达标,同时至少还有21%的学生未达标,这样有利于学生建立达标的信心,促进未达标学生努力达标,提高该校学生的劳动积极性.【知识点】频数(率)分布表;加权平均数及其计算;分析数据的集中趋势【解析】【分析】(1)利用360°×每周劳动时间为1.5≤x<2.5的人数所占的百分比,列式计算.(2)利用平均数公式,列式计算可求出该校学生目前每周劳动时间的平均数.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心;再分别从平均数,中位数进行分析,可得答案.23.图1中有四条优美的“螺旋折线”,它们是怎样画出来的呢?如图2,在正方形ABCD各边上分别取点B1,C1,D1,A1,使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,依次连接它们,得到四边形A1B1C1D1;再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2,C2,D2,A2,使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1,依次连接它们,得到四边形A2B2C2D2;…如此继续下去,得到四条螺旋折线.(1)求证:四边形A1B1C1D1是正方形;(2)求A1B1AB的值;(3)请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以证明.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠B=90°,又∵AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,∴AA1=BB1=15AB.∴△AB1A1≌△BC1B1.∴A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1.又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°,∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.∴∠A1B1C1=90°.同理可证:B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.∴四边形A1B1C1D1是正方形.(2)解:∵AA1=BB1=15AB,AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,∴A1B1=a2+16a2=17a∴A1B1AB=17a5a=175.(3)解:相邻线段的比为51717或175. 理由:∵BB1=15AB,A1B1=17a,∴B1B2=15A1B1,A1B1AB=175,∴BB1B1B2=ABA1B1=5a17a=51717同理可得B2B1B2B3=51717∴相邻线段的比为51717或175【知识点】勾股定理;正方形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)利用正方形的性质及已知条件可证得AA1=BB1=15AB,同时可证得∠A=∠B=90°,利用SAS证明△AB1A1≌△BC1B1,利用全等三角形的性质可证得A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1;再证明∠A1B1C1=90°,同理可证得B1C1=C1D1=D1A1=A1B1;然后利用有一个角是直角的菱形是正方形,可证得结论.(2)设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,利用勾股定理求出A1B1的长;然后求出A1B1AB的值.(3)利用BB1=15AB,及A1B1的长,可得到B1B2=15A1B1及A1B1与AB的比值;再求出BB1与B2B3的比值;同理求出B2B1与B2B3的比值,由此可得到螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系.24.如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).(1)若h=1.5,EF=0.5m;①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标; ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围;(2)若EF=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.【答案】(1)解:①由题意可知点A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,∴设y=a(x-2)2+2,∵抛物线过点(0,1.5)∴4a+2=1.5解之:a=-18∴抛物线的解析式为y=-18(x-2)2+2,,当y=0时-18(x-2)2+2=0解之:x1=6,x2=-2(舍去)∴喷出水的最大射程OC为6m.②∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,∴点B(2,0)③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,当y=0.5时-18(x-2)2+2=0.5解之:x1=2+23,x2=2-23(舍去),当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5∴x≤2+23;∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+23,∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,∴d的最大值为2+23-3=23-1在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,∴d的最小值为2,∴d的取值范围为2≤d≤23-1. (2)解:当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,设点Dm,-18m+22+h+0.5,Fm+3,-18m+3-22+h+0.5∴-18m+3-22+h+0.5–18m+22+h+0.5=1解之:m=2.5,∴点D的纵坐标为h-6532,∴h-6532=0解之:h=6532∴h的最小值为6532.【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数的最值;二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标,因此设y=a(x-2)2+2,将点(0,1.5)代入函数解析式,可求出a的值,可得到抛物线的解析式;由y=0求出对应的x的值,可得到喷出水的最大射程OC的长;②抛物线的对称轴为直线x=2,可得到点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,即可得到点B的坐标;③利用EF的长,可得到点F的纵坐标,将y=0.5代入函数解析式,可求出对应的x的值,利用二次函数的性质可知当x>2时,y随x的增大而减小,由此可得到当2≤x≤6时,要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时,要使y≥0.5的x的取值范围;根据DE=3,可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值;在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,可得到d的最小值,综上所述可得到d的取值范围.(2)当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,利用函数解析式设处点D,F的坐标,再根据EF=1,可得到关于m的方程,解方程求出m的值;再求出点D的纵坐标,由此可得到关于h的值,可得到h的最小值.
简介:浙江省台州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)1.计算-2×(-3)的结果是( )A.6B.-6C.5D.-5【答案】A【知识点】有理数的乘法【解析】【解答】解:-2×(-3)=6.故答案为:A.【分析】利用两数相乘,同号为正,把绝对值相乘,即可求出结果.2.如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视图是( )A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从正面看有两列,第一列1个正方形,第二列2个正方形,第一行2个正方形,故答案为:A.【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.3.估计6的值应在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之【答案】B【知识点】估算无理数的大小【解析】【解答】解:∵4<6<9,∴4<6<9,∴2<6<3,故答案为:B.【分析】直接根据估算无理数大小的方法进行解答.4.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是( ) A.∠2=90°B.∠3=90°C.∠4=90°D.∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解:∵两条铁轨平行,∴∠1=∠4=90°,故答案为:C.【分析】利用两直线平行,同位角相等,可知添加的条件为∠4=90°.5.下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5B.(a2)3=a8C.(a2b)3=a2b3D.a6÷a3=a2【答案】A【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;积的乘方;幂的乘方【解析】【解答】解:A、a2·a3=a5,故A符合题意;B(a2)3=a6,故B不符合题意;C、(a2b)3=a6b3,故C不符合题意;D、a6÷a3=a3,故D不符合题意;故答案为:A.【分析】利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对A作出判断;利用幂的乘方,底数不变,指数相乘,可对B作出判断;利用积的乘方法则,可对C作出判断;利用同底数幂相除,底数不变,指数相减,可对D作出判断.6.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B、C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )A.(40,−a)B.(−40,a)C.(−40,−a)D.(a,−40)【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解:∵战机在空中展示的轴对称队形.∴点D和点E关于y轴对称,∴点D(-40,a).故答案为:B.【分析】利用已知条件可知点D和点E关于y轴对称,利用关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,可得到点D的坐标. 7.从A、B两个品种的西瓜中随机各取7个,它们的质量分布折线图如图.下列统计量中,最能反映出这两组数据之间差异的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】D【知识点】平均数及其计算;中位数;方差;常用统计量的选择;众数【解析】【解答】解:A品种西瓜的平均数为4.9+4×5+5.1+5.27=35.27≈5;B品种西瓜的平均数为4.4+3×5+5.2+5.3+5.47≈5;平均数不能反映出这两组数据之间差异,故A不符合题意;A、B组数据的众数为5,不能反映出这两组数据之间差异,故C不符合题意;A、B组数据的中位数都为5,不能反映出这两组数据之间差异,故B不符合题意;A种数据波动较小,B组数据波动较大,∴最能反映出这两组数据之间差异是方差,故D符合题意;【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义分析判断即可.8.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解:∵y是吴老师离公园的距离,故A不符合题意;∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m,故B不符合题意; ∵他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,∴当x=12和x=8时,y=0,故D不符合题意;C符合题意;故答案为:C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离,可排除选项A,利用家到公园,公园道学校的距离,可排除选项B,再根据他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,可排除选项D,即可得到正确结论的选项.9.如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是( )A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PCB.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=ACC.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PCD.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;真命题与假命题【解析】【解答】解:A、∵AB=AC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故A不符合题意;B、∵PB=PC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴AB=AC,此命题是真命题,故B-不符合题意;C、∵AB=AC,∠1=∠2∴AD⊥BC,AD是△ABC的中线,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故C不符合题意;由PB=PC,∠1=∠2,不能证明AB=AC,此命题是假命题,故D符合题意;故答案为:D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可对A,B,C作出判断;据此可得到是假命题的选项.10.一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80m,宽60m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )A.(840+6π)m2B.(840+9π)m2C.840m2D.876m2 【答案】B【知识点】列式表示数量关系【解析】【解答】解:如图,该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为80×3×2+60×3×2+π×32=(840+9π)m2.故答案为:B.【分析】抓住关键已知条件:有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,可得到该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为四个小矩形的面积+半径为3m的圆的面积,列式计算即可.二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.分解因式:a2−1= .【答案】(a+1)(a−1)【知识点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】原式=(a+1)(a−1).故答案为:(a+1)(a−1).【分析】观察代数式的特点,利用平方差公式分解即可。12.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,朝上一面点数是1的概率为 .【答案】16【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解:∵将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,∴P(朝上一面点数是1)=16.故答案为:16.【分析】利用已知条件可知一共有6种结果数,朝上一面点数是1的只有1种情况,再利用概率公式进行计算.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .【答案】10【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,点D为AB的中点,∴CD=12AB,∵点E,F是CB,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,∴CD=EF=10.故答案为:10.【分析】利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,可证得CD=12AB;再利用三角形的中位线等于第三边的一半,可证得EF=12AB;由此可推出EF=CD,即可求出CD的长.14.如图,△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.【答案】8【知识点】矩形的判定与性质;平移的性质【解析】【解答】解:∵将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,∴BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,∴四边形BCC′B′是平行四边形,S△ABC=S△A′B′C′,∵BB′⊥BC,∴∠BB′C′=90°,∴四边形BCC′B′是矩形,∴S阴影部分=S矩形BCC′B′=4×2=8.故答案为:8【分析】利用平移的性质可证得BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证得四边形BCC′B′是平行四边形,同时可证得S△ABC=S△A′B′C′;再证明四边形BCC′B′是矩形,由此可得到阴影部分的面积=矩形BCC′B′的面积,然后利用矩形的面积公式进行计算.15.如图的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是 .先化简,再求值:3−xx−4+1,其中x=解:原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−1【答案】5【知识点】利用分式运算化简求值;解分式方程【解析】【解答】解:原式=3-xx-4+x-4x-4=-1x-4∵最后所求的值是正确的∴-1x-4=-1解之:x=5经检验:x=5是方程的解.故答案为:5.【分析】先通分计算,再由题意可得到-1x-4=-1;然后解方程求出x的值.16.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .【答案】33;6-33【知识点】勾股定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,当点M与点B重合时,∵折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F,∴EF垂直平分AB,∴AD=AB=6,在Rt△AEF中,∠A=60°, ∴EF=ADsin∠A=6sin60°=6×32=33;如图2,连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=6,AD∥BC,∴∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,∵∠BAH=30°,∴BH=3,AH=ABsin∠A=6sin60°=6×32=33;设BM=x,DF=y则HM=x+33,∴AM=332+3+x2=x2+6x+36∵折叠菱形,∴EF垂直平分AM,∴AN=12×2+6x+36,∵∠ANF=∠MHA=90°,∠FAN=∠ANH∴△FAN∽△ANH∴AFAM=ANMH即AFx2+6x+36=12×2+6x+363+x解之:AF=x2+6x+362x+6∴y=DF=AD-AF=6-x2+6x+362x+6=-x2+6x2x+6∴x2+(2y-6)x+6y=0b2-4ac=(2y-6)2-24y≥0∴y≤6-33,y≥6+33∵0≤y≤6∴0≤y≤6-33∴DF的最大值为6-33.故答案为: 33,6-33.【分析】如图1,当点M与点B重合时,利用折叠的性质可证得EF垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质,可求出AD的长,在Rt△AEF中,利用解直角三角形求出EF的长;连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,利用菱形的性质可证得AD=AB=6,AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,利用解直角三角形求出BH,AH的长,设BM=x,DF=y,表示出HM的长,利用勾股定理可表示出AM的长,再利用折叠的性质可表示出AN的长;利用有两组对应角分别相等的两三角形相似,可证得△FAN∽△ANH,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AF的长,根据y=AD=AF,可得到y与x之间的函数解析式,从而可得到关于x的方程,由b2-4ac≥0,可建立关于y的不等式,然后求出y的取值范围,即可得到DF的最大值.三、解答题(共有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)17.计算:9+|−5|−22.【答案】原式=3+5-4=4【知识点】实数的运算【解析】【分析】先算乘方和开方运算,同时化简绝对值;再利用有理数的加减法法则进行计算,可求出结果.18.解方程组:x+2y=4x+3y=5.【答案】解:x+2y=4①x+3y=5②由②-①得y=1将y=1代入①得x+2=4解之:x=2∴原方程组的解为x=2y=1.【知识点】加减消元法解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x的系数相等,因此由②-① 求出y的值,再将y=1代入①可求出x的值,即可得到方程组的解.19.如图1,梯子斜靠在竖直的墙上,其示意图如图2,梯子与地面所成的角α为75°,梯子AB长3m,求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果精确到0.1m;参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)【答案】解:在Rt△ABC中,∠A=75°,∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答:梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】在Rt△ABC中,利用解直角三角形,可得到BC=ABsin∠A,代入计算求出BC的长.20.如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.(1)求y关于x的函数解析式;(2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.【答案】(1)解:∵y是关于x的反比例函数,设y与x之间的函数解析式为y=kx,当x=6时y=2∴k=2×6=12;∴函数解析式为y=12x(2)∵y=12x当y=3时3x=12,解之:x=4答:若火焰的像高为3cm,小孔到蜡烛的距离为4cm. 【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】(1)利用y是关于x的反比例函数,因此y与x之间的函数解析式为y=kx,将x=6,y=2代入函数解析式求出k的值,可得到反比例函数解析式.(2)将y=3代入函数解析式求出对应的x的值,即可求解.21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,连接AD.(1)求证:BD=CD;(2)若⊙O与AC相切,求∠B的度数;(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD(2)∵⊙O与AC相切,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∠B=45°(3)如下图,点E就是所要做的AD的中点.【知识点】垂径定理;圆周角定理;切线的判定与性质;作图-角的平分线;作图-线段垂直平分线【解析】 【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可证得∠ADB=90°,再利用等腰三角形三线合一的性质,可证得结论.(2)利用切线的性质可证得BA⊥AC,利用垂直的定义可得到∠BAC=90°,再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.(3)利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线,交劣弧AD于点E;或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线,交劣弧AD于点E;或连接OD,作出∠AOD的角平分线;或作出AC的中点;或过点O作OE∥BC,即可得到劣弧AD的中点E.22.某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周劳动时间(单位:小时)的合格标准,为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间,获得数据并整理成表格.学生目前每周劳动时间统计表每周劳动时间x(小时)0.5≤x<1.51.5≤x<2.52.5≤x<3.53.5≤x<4.54.5≤x<5.5组中值12345人数(人)2130191812(1)画扇形图描述数据时,1.5≤x<2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度?(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数;(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用统计量说明其合理性.【答案】(1)解:由题意得360°×30100×100%=108°.答:这组数据对应的扇形圆心角是108°.(2)答:x=1×21+2×30+3×19+4×18+5×12100=2.7答:该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心.从平均数看,标准可以定为3小时.理由:平均数为2.7小时,说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时,把标准定为3小时,至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标,同时至少还有51%的学生未达标,这样使多数学生有更高的努力目标.从中位数的范围或频数看,标准可以定为2小时.理由:该校学生目前每周劳动时间的中位数落在1.5≤x<2.5 范围内,把标准定为2小时,至少有49%的学生目前劳动时间能达标,同时至少还有21%的学生未达标,这样有利于学生建立达标的信心,促进未达标学生努力达标,提高该校学生的劳动积极性.【知识点】频数(率)分布表;加权平均数及其计算;分析数据的集中趋势【解析】【分析】(1)利用360°×每周劳动时间为1.5≤x<2.5的人数所占的百分比,列式计算.(2)利用平均数公式,列式计算可求出该校学生目前每周劳动时间的平均数.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心;再分别从平均数,中位数进行分析,可得答案.23.图1中有四条优美的“螺旋折线”,它们是怎样画出来的呢?如图2,在正方形ABCD各边上分别取点B1,C1,D1,A1,使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,依次连接它们,得到四边形A1B1C1D1;再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2,C2,D2,A2,使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1,依次连接它们,得到四边形A2B2C2D2;…如此继续下去,得到四条螺旋折线.(1)求证:四边形A1B1C1D1是正方形;(2)求A1B1AB的值;(3)请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以证明.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠B=90°,又∵AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,∴AA1=BB1=15AB.∴△AB1A1≌△BC1B1.∴A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1.又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°,∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.∴∠A1B1C1=90°.同理可证:B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.∴四边形A1B1C1D1是正方形.(2)解:∵AA1=BB1=15AB,AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,∴A1B1=a2+16a2=17a∴A1B1AB=17a5a=175.(3)解:相邻线段的比为51717或175. 理由:∵BB1=15AB,A1B1=17a,∴B1B2=15A1B1,A1B1AB=175,∴BB1B1B2=ABA1B1=5a17a=51717同理可得B2B1B2B3=51717∴相邻线段的比为51717或175【知识点】勾股定理;正方形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)利用正方形的性质及已知条件可证得AA1=BB1=15AB,同时可证得∠A=∠B=90°,利用SAS证明△AB1A1≌△BC1B1,利用全等三角形的性质可证得A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1;再证明∠A1B1C1=90°,同理可证得B1C1=C1D1=D1A1=A1B1;然后利用有一个角是直角的菱形是正方形,可证得结论.(2)设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,利用勾股定理求出A1B1的长;然后求出A1B1AB的值.(3)利用BB1=15AB,及A1B1的长,可得到B1B2=15A1B1及A1B1与AB的比值;再求出BB1与B2B3的比值;同理求出B2B1与B2B3的比值,由此可得到螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系.24.如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).(1)若h=1.5,EF=0.5m;①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标; ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围;(2)若EF=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.【答案】(1)解:①由题意可知点A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,∴设y=a(x-2)2+2,∵抛物线过点(0,1.5)∴4a+2=1.5解之:a=-18∴抛物线的解析式为y=-18(x-2)2+2,,当y=0时-18(x-2)2+2=0解之:x1=6,x2=-2(舍去)∴喷出水的最大射程OC为6m.②∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,∴点B(2,0)③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,当y=0.5时-18(x-2)2+2=0.5解之:x1=2+23,x2=2-23(舍去),当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5∴x≤2+23;∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+23,∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,∴d的最大值为2+23-3=23-1在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,∴d的最小值为2,∴d的取值范围为2≤d≤23-1. (2)解:当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,设点Dm,-18m+22+h+0.5,Fm+3,-18m+3-22+h+0.5∴-18m+3-22+h+0.5–18m+22+h+0.5=1解之:m=2.5,∴点D的纵坐标为h-6532,∴h-6532=0解之:h=6532∴h的最小值为6532.【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数的最值;二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标,因此设y=a(x-2)2+2,将点(0,1.5)代入函数解析式,可求出a的值,可得到抛物线的解析式;由y=0求出对应的x的值,可得到喷出水的最大射程OC的长;②抛物线的对称轴为直线x=2,可得到点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,即可得到点B的坐标;③利用EF的长,可得到点F的纵坐标,将y=0.5代入函数解析式,可求出对应的x的值,利用二次函数的性质可知当x>2时,y随x的增大而减小,由此可得到当2≤x≤6时,要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时,要使y≥0.5的x的取值范围;根据DE=3,可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值;在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,可得到d的最小值,综上所述可得到d的取值范围.(2)当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,利用函数解析式设处点D,F的坐标,再根据EF=1,可得到关于m的方程,解方程求出m的值;再求出点D的纵坐标,由此可得到关于h的值,可得到h的最小值.
简介:浙江省台州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)1.计算-2×(-3)的结果是( )A.6B.-6C.5D.-5【答案】A【知识点】有理数的乘法【解析】【解答】解:-2×(-3)=6.故答案为:A.【分析】利用两数相乘,同号为正,把绝对值相乘,即可求出结果.2.如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视图是( )A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从正面看有两列,第一列1个正方形,第二列2个正方形,第一行2个正方形,故答案为:A.【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.3.估计6的值应在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之【答案】B【知识点】估算无理数的大小【解析】【解答】解:∵4<6<9,∴4<6<9,∴2<6<3,故答案为:B.【分析】直接根据估算无理数大小的方法进行解答.4.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是( ) A.∠2=90°B.∠3=90°C.∠4=90°D.∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解:∵两条铁轨平行,∴∠1=∠4=90°,故答案为:C.【分析】利用两直线平行,同位角相等,可知添加的条件为∠4=90°.5.下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5B.(a2)3=a8C.(a2b)3=a2b3D.a6÷a3=a2【答案】A【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;积的乘方;幂的乘方【解析】【解答】解:A、a2·a3=a5,故A符合题意;B(a2)3=a6,故B不符合题意;C、(a2b)3=a6b3,故C不符合题意;D、a6÷a3=a3,故D不符合题意;故答案为:A.【分析】利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对A作出判断;利用幂的乘方,底数不变,指数相乘,可对B作出判断;利用积的乘方法则,可对C作出判断;利用同底数幂相除,底数不变,指数相减,可对D作出判断.6.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B、C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )A.(40,−a)B.(−40,a)C.(−40,−a)D.(a,−40)【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解:∵战机在空中展示的轴对称队形.∴点D和点E关于y轴对称,∴点D(-40,a).故答案为:B.【分析】利用已知条件可知点D和点E关于y轴对称,利用关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,可得到点D的坐标. 7.从A、B两个品种的西瓜中随机各取7个,它们的质量分布折线图如图.下列统计量中,最能反映出这两组数据之间差异的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】D【知识点】平均数及其计算;中位数;方差;常用统计量的选择;众数【解析】【解答】解:A品种西瓜的平均数为4.9+4×5+5.1+5.27=35.27≈5;B品种西瓜的平均数为4.4+3×5+5.2+5.3+5.47≈5;平均数不能反映出这两组数据之间差异,故A不符合题意;A、B组数据的众数为5,不能反映出这两组数据之间差异,故C不符合题意;A、B组数据的中位数都为5,不能反映出这两组数据之间差异,故B不符合题意;A种数据波动较小,B组数据波动较大,∴最能反映出这两组数据之间差异是方差,故D符合题意;【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义分析判断即可.8.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解:∵y是吴老师离公园的距离,故A不符合题意;∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m,故B不符合题意; ∵他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,∴当x=12和x=8时,y=0,故D不符合题意;C符合题意;故答案为:C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离,可排除选项A,利用家到公园,公园道学校的距离,可排除选项B,再根据他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,可排除选项D,即可得到正确结论的选项.9.如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是( )A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PCB.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=ACC.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PCD.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;真命题与假命题【解析】【解答】解:A、∵AB=AC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故A不符合题意;B、∵PB=PC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴AB=AC,此命题是真命题,故B-不符合题意;C、∵AB=AC,∠1=∠2∴AD⊥BC,AD是△ABC的中线,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故C不符合题意;由PB=PC,∠1=∠2,不能证明AB=AC,此命题是假命题,故D符合题意;故答案为:D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可对A,B,C作出判断;据此可得到是假命题的选项.10.一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80m,宽60m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )A.(840+6π)m2B.(840+9π)m2C.840m2D.876m2 【答案】B【知识点】列式表示数量关系【解析】【解答】解:如图,该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为80×3×2+60×3×2+π×32=(840+9π)m2.故答案为:B.【分析】抓住关键已知条件:有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,可得到该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为四个小矩形的面积+半径为3m的圆的面积,列式计算即可.二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.分解因式:a2−1= .【答案】(a+1)(a−1)【知识点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】原式=(a+1)(a−1).故答案为:(a+1)(a−1).【分析】观察代数式的特点,利用平方差公式分解即可。12.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,朝上一面点数是1的概率为 .【答案】16【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解:∵将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,∴P(朝上一面点数是1)=16.故答案为:16.【分析】利用已知条件可知一共有6种结果数,朝上一面点数是1的只有1种情况,再利用概率公式进行计算.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .【答案】10【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,点D为AB的中点,∴CD=12AB,∵点E,F是CB,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,∴CD=EF=10.故答案为:10.【分析】利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,可证得CD=12AB;再利用三角形的中位线等于第三边的一半,可证得EF=12AB;由此可推出EF=CD,即可求出CD的长.14.如图,△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.【答案】8【知识点】矩形的判定与性质;平移的性质【解析】【解答】解:∵将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,∴BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,∴四边形BCC′B′是平行四边形,S△ABC=S△A′B′C′,∵BB′⊥BC,∴∠BB′C′=90°,∴四边形BCC′B′是矩形,∴S阴影部分=S矩形BCC′B′=4×2=8.故答案为:8【分析】利用平移的性质可证得BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证得四边形BCC′B′是平行四边形,同时可证得S△ABC=S△A′B′C′;再证明四边形BCC′B′是矩形,由此可得到阴影部分的面积=矩形BCC′B′的面积,然后利用矩形的面积公式进行计算.15.如图的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是 .先化简,再求值:3−xx−4+1,其中x=解:原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−1【答案】5【知识点】利用分式运算化简求值;解分式方程【解析】【解答】解:原式=3-xx-4+x-4x-4=-1x-4∵最后所求的值是正确的∴-1x-4=-1解之:x=5经检验:x=5是方程的解.故答案为:5.【分析】先通分计算,再由题意可得到-1x-4=-1;然后解方程求出x的值.16.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .【答案】33;6-33【知识点】勾股定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,当点M与点B重合时,∵折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F,∴EF垂直平分AB,∴AD=AB=6,在Rt△AEF中,∠A=60°, ∴EF=ADsin∠A=6sin60°=6×32=33;如图2,连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=6,AD∥BC,∴∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,∵∠BAH=30°,∴BH=3,AH=ABsin∠A=6sin60°=6×32=33;设BM=x,DF=y则HM=x+33,∴AM=332+3+x2=x2+6x+36∵折叠菱形,∴EF垂直平分AM,∴AN=12×2+6x+36,∵∠ANF=∠MHA=90°,∠FAN=∠ANH∴△FAN∽△ANH∴AFAM=ANMH即AFx2+6x+36=12×2+6x+363+x解之:AF=x2+6x+362x+6∴y=DF=AD-AF=6-x2+6x+362x+6=-x2+6x2x+6∴x2+(2y-6)x+6y=0b2-4ac=(2y-6)2-24y≥0∴y≤6-33,y≥6+33∵0≤y≤6∴0≤y≤6-33∴DF的最大值为6-33.故答案为: 33,6-33.【分析】如图1,当点M与点B重合时,利用折叠的性质可证得EF垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质,可求出AD的长,在Rt△AEF中,利用解直角三角形求出EF的长;连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,利用菱形的性质可证得AD=AB=6,AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,利用解直角三角形求出BH,AH的长,设BM=x,DF=y,表示出HM的长,利用勾股定理可表示出AM的长,再利用折叠的性质可表示出AN的长;利用有两组对应角分别相等的两三角形相似,可证得△FAN∽△ANH,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AF的长,根据y=AD=AF,可得到y与x之间的函数解析式,从而可得到关于x的方程,由b2-4ac≥0,可建立关于y的不等式,然后求出y的取值范围,即可得到DF的最大值.三、解答题(共有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)17.计算:9+|−5|−22.【答案】原式=3+5-4=4【知识点】实数的运算【解析】【分析】先算乘方和开方运算,同时化简绝对值;再利用有理数的加减法法则进行计算,可求出结果.18.解方程组:x+2y=4x+3y=5.【答案】解:x+2y=4①x+3y=5②由②-①得y=1将y=1代入①得x+2=4解之:x=2∴原方程组的解为x=2y=1.【知识点】加减消元法解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x的系数相等,因此由②-① 求出y的值,再将y=1代入①可求出x的值,即可得到方程组的解.19.如图1,梯子斜靠在竖直的墙上,其示意图如图2,梯子与地面所成的角α为75°,梯子AB长3m,求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果精确到0.1m;参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)【答案】解:在Rt△ABC中,∠A=75°,∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答:梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】在Rt△ABC中,利用解直角三角形,可得到BC=ABsin∠A,代入计算求出BC的长.20.如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.(1)求y关于x的函数解析式;(2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.【答案】(1)解:∵y是关于x的反比例函数,设y与x之间的函数解析式为y=kx,当x=6时y=2∴k=2×6=12;∴函数解析式为y=12x(2)∵y=12x当y=3时3x=12,解之:x=4答:若火焰的像高为3cm,小孔到蜡烛的距离为4cm. 【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】(1)利用y是关于x的反比例函数,因此y与x之间的函数解析式为y=kx,将x=6,y=2代入函数解析式求出k的值,可得到反比例函数解析式.(2)将y=3代入函数解析式求出对应的x的值,即可求解.21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,连接AD.(1)求证:BD=CD;(2)若⊙O与AC相切,求∠B的度数;(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD(2)∵⊙O与AC相切,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∠B=45°(3)如下图,点E就是所要做的AD的中点.【知识点】垂径定理;圆周角定理;切线的判定与性质;作图-角的平分线;作图-线段垂直平分线【解析】 【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可证得∠ADB=90°,再利用等腰三角形三线合一的性质,可证得结论.(2)利用切线的性质可证得BA⊥AC,利用垂直的定义可得到∠BAC=90°,再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.(3)利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线,交劣弧AD于点E;或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线,交劣弧AD于点E;或连接OD,作出∠AOD的角平分线;或作出AC的中点;或过点O作OE∥BC,即可得到劣弧AD的中点E.22.某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周劳动时间(单位:小时)的合格标准,为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间,获得数据并整理成表格.学生目前每周劳动时间统计表每周劳动时间x(小时)0.5≤x<1.51.5≤x<2.52.5≤x<3.53.5≤x<4.54.5≤x<5.5组中值12345人数(人)2130191812(1)画扇形图描述数据时,1.5≤x<2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度?(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数;(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用统计量说明其合理性.【答案】(1)解:由题意得360°×30100×100%=108°.答:这组数据对应的扇形圆心角是108°.(2)答:x=1×21+2×30+3×19+4×18+5×12100=2.7答:该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心.从平均数看,标准可以定为3小时.理由:平均数为2.7小时,说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时,把标准定为3小时,至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标,同时至少还有51%的学生未达标,这样使多数学生有更高的努力目标.从中位数的范围或频数看,标准可以定为2小时.理由:该校学生目前每周劳动时间的中位数落在1.5≤x<2.5 范围内,把标准定为2小时,至少有49%的学生目前劳动时间能达标,同时至少还有21%的学生未达标,这样有利于学生建立达标的信心,促进未达标学生努力达标,提高该校学生的劳动积极性.【知识点】频数(率)分布表;加权平均数及其计算;分析数据的集中趋势【解析】【分析】(1)利用360°×每周劳动时间为1.5≤x<2.5的人数所占的百分比,列式计算.(2)利用平均数公式,列式计算可求出该校学生目前每周劳动时间的平均数.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心;再分别从平均数,中位数进行分析,可得答案.23.图1中有四条优美的“螺旋折线”,它们是怎样画出来的呢?如图2,在正方形ABCD各边上分别取点B1,C1,D1,A1,使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,依次连接它们,得到四边形A1B1C1D1;再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2,C2,D2,A2,使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1,依次连接它们,得到四边形A2B2C2D2;…如此继续下去,得到四条螺旋折线.(1)求证:四边形A1B1C1D1是正方形;(2)求A1B1AB的值;(3)请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以证明.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠B=90°,又∵AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,∴AA1=BB1=15AB.∴△AB1A1≌△BC1B1.∴A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1.又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°,∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.∴∠A1B1C1=90°.同理可证:B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.∴四边形A1B1C1D1是正方形.(2)解:∵AA1=BB1=15AB,AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,∴A1B1=a2+16a2=17a∴A1B1AB=17a5a=175.(3)解:相邻线段的比为51717或175. 理由:∵BB1=15AB,A1B1=17a,∴B1B2=15A1B1,A1B1AB=175,∴BB1B1B2=ABA1B1=5a17a=51717同理可得B2B1B2B3=51717∴相邻线段的比为51717或175【知识点】勾股定理;正方形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)利用正方形的性质及已知条件可证得AA1=BB1=15AB,同时可证得∠A=∠B=90°,利用SAS证明△AB1A1≌△BC1B1,利用全等三角形的性质可证得A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1;再证明∠A1B1C1=90°,同理可证得B1C1=C1D1=D1A1=A1B1;然后利用有一个角是直角的菱形是正方形,可证得结论.(2)设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,利用勾股定理求出A1B1的长;然后求出A1B1AB的值.(3)利用BB1=15AB,及A1B1的长,可得到B1B2=15A1B1及A1B1与AB的比值;再求出BB1与B2B3的比值;同理求出B2B1与B2B3的比值,由此可得到螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系.24.如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).(1)若h=1.5,EF=0.5m;①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标; ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围;(2)若EF=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.【答案】(1)解:①由题意可知点A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,∴设y=a(x-2)2+2,∵抛物线过点(0,1.5)∴4a+2=1.5解之:a=-18∴抛物线的解析式为y=-18(x-2)2+2,,当y=0时-18(x-2)2+2=0解之:x1=6,x2=-2(舍去)∴喷出水的最大射程OC为6m.②∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,∴点B(2,0)③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,当y=0.5时-18(x-2)2+2=0.5解之:x1=2+23,x2=2-23(舍去),当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5∴x≤2+23;∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+23,∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,∴d的最大值为2+23-3=23-1在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,∴d的最小值为2,∴d的取值范围为2≤d≤23-1. (2)解:当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,设点Dm,-18m+22+h+0.5,Fm+3,-18m+3-22+h+0.5∴-18m+3-22+h+0.5–18m+22+h+0.5=1解之:m=2.5,∴点D的纵坐标为h-6532,∴h-6532=0解之:h=6532∴h的最小值为6532.【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数的最值;二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标,因此设y=a(x-2)2+2,将点(0,1.5)代入函数解析式,可求出a的值,可得到抛物线的解析式;由y=0求出对应的x的值,可得到喷出水的最大射程OC的长;②抛物线的对称轴为直线x=2,可得到点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,即可得到点B的坐标;③利用EF的长,可得到点F的纵坐标,将y=0.5代入函数解析式,可求出对应的x的值,利用二次函数的性质可知当x>2时,y随x的增大而减小,由此可得到当2≤x≤6时,要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时,要使y≥0.5的x的取值范围;根据DE=3,可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值;在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,可得到d的最小值,综上所述可得到d的取值范围.(2)当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,利用函数解析式设处点D,F的坐标,再根据EF=1,可得到关于m的方程,解方程求出m的值;再求出点D的纵坐标,由此可得到关于h的值,可得到h的最小值.
简介:浙江省台州市2022年中考数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)1.计算-2×(-3)的结果是( )A.6B.-6C.5D.-5【答案】A【知识点】有理数的乘法【解析】【解答】解:-2×(-3)=6.故答案为:A.【分析】利用两数相乘,同号为正,把绝对值相乘,即可求出结果.2.如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形,其主视图是( )A.B.C.D.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从正面看有两列,第一列1个正方形,第二列2个正方形,第一行2个正方形,故答案为:A.【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形.3.估计6的值应在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之【答案】B【知识点】估算无理数的大小【解析】【解答】解:∵4<6<9,∴4<6<9,∴2<6<3,故答案为:B.【分析】直接根据估算无理数大小的方法进行解答.4.如图,已知∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是( ) A.∠2=90°B.∠3=90°C.∠4=90°D.∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解:∵两条铁轨平行,∴∠1=∠4=90°,故答案为:C.【分析】利用两直线平行,同位角相等,可知添加的条件为∠4=90°.5.下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5B.(a2)3=a8C.(a2b)3=a2b3D.a6÷a3=a2【答案】A【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;积的乘方;幂的乘方【解析】【解答】解:A、a2·a3=a5,故A符合题意;B(a2)3=a6,故B不符合题意;C、(a2b)3=a6b3,故C不符合题意;D、a6÷a3=a3,故D不符合题意;故答案为:A.【分析】利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对A作出判断;利用幂的乘方,底数不变,指数相乘,可对B作出判断;利用积的乘方法则,可对C作出判断;利用同底数幂相除,底数不变,指数相减,可对D作出判断.6.如图是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B、C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为(40,a),则飞机D的坐标为( )A.(40,−a)B.(−40,a)C.(−40,−a)D.(a,−40)【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解:∵战机在空中展示的轴对称队形.∴点D和点E关于y轴对称,∴点D(-40,a).故答案为:B.【分析】利用已知条件可知点D和点E关于y轴对称,利用关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,可得到点D的坐标. 7.从A、B两个品种的西瓜中随机各取7个,它们的质量分布折线图如图.下列统计量中,最能反映出这两组数据之间差异的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】D【知识点】平均数及其计算;中位数;方差;常用统计量的选择;众数【解析】【解答】解:A品种西瓜的平均数为4.9+4×5+5.1+5.27=35.27≈5;B品种西瓜的平均数为4.4+3×5+5.2+5.3+5.47≈5;平均数不能反映出这两组数据之间差异,故A不符合题意;A、B组数据的众数为5,不能反映出这两组数据之间差异,故C不符合题意;A、B组数据的中位数都为5,不能反映出这两组数据之间差异,故B不符合题意;A种数据波动较小,B组数据波动较大,∴最能反映出这两组数据之间差异是方差,故D符合题意;【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义分析判断即可.8.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解:∵y是吴老师离公园的距离,故A不符合题意;∵家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m,故B不符合题意; ∵他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,∴当x=12和x=8时,y=0,故D不符合题意;C符合题意;故答案为:C.【分析】利用y是吴老师离公园的距离,可排除选项A,利用家到公园,公园道学校的距离,可排除选项B,再根据他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,可排除选项D,即可得到正确结论的选项.9.如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是( )A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PCB.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=ACC.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PCD.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;真命题与假命题【解析】【解答】解:A、∵AB=AC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故A不符合题意;B、∵PB=PC,AD⊥BC,∴AP垂直平分BC,∴AB=AC,此命题是真命题,故B-不符合题意;C、∵AB=AC,∠1=∠2∴AD⊥BC,AD是△ABC的中线,∴AP垂直平分BC,∴PB=PC,此命题是真命题,故C不符合题意;由PB=PC,∠1=∠2,不能证明AB=AC,此命题是假命题,故D符合题意;故答案为:D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可对A,B,C作出判断;据此可得到是假命题的选项.10.一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80m,宽60m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )A.(840+6π)m2B.(840+9π)m2C.840m2D.876m2 【答案】B【知识点】列式表示数量关系【解析】【解答】解:如图,该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为80×3×2+60×3×2+π×32=(840+9π)m2.故答案为:B.【分析】抓住关键已知条件:有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m,可得到该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为四个小矩形的面积+半径为3m的圆的面积,列式计算即可.二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.分解因式:a2−1= .【答案】(a+1)(a−1)【知识点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】原式=(a+1)(a−1).故答案为:(a+1)(a−1).【分析】观察代数式的特点,利用平方差公式分解即可。12.将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,朝上一面点数是1的概率为 .【答案】16【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解:∵将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)掷一次,∴P(朝上一面点数是1)=16.故答案为:16.【分析】利用已知条件可知一共有6种结果数,朝上一面点数是1的只有1种情况,再利用概率公式进行计算.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为 .【答案】10【知识点】三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解:∵在Rt△ABC中,点D为AB的中点,∴CD=12AB,∵点E,F是CB,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,∴CD=EF=10.故答案为:10.【分析】利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,可证得CD=12AB;再利用三角形的中位线等于第三边的一半,可证得EF=12AB;由此可推出EF=CD,即可求出CD的长.14.如图,△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.【答案】8【知识点】矩形的判定与性质;平移的性质【解析】【解答】解:∵将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,∴BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,∴四边形BCC′B′是平行四边形,S△ABC=S△A′B′C′,∵BB′⊥BC,∴∠BB′C′=90°,∴四边形BCC′B′是矩形,∴S阴影部分=S矩形BCC′B′=4×2=8.故答案为:8【分析】利用平移的性质可证得BB′=CC′=2,BC=B′C′=4,△ABC≌△A′B′C′,利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证得四边形BCC′B′是平行四边形,同时可证得S△ABC=S△A′B′C′;再证明四边形BCC′B′是矩形,由此可得到阴影部分的面积=矩形BCC′B′的面积,然后利用矩形的面积公式进行计算.15.如图的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是 .先化简,再求值:3−xx−4+1,其中x=解:原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−1【答案】5【知识点】利用分式运算化简求值;解分式方程【解析】【解答】解:原式=3-xx-4+x-4x-4=-1x-4∵最后所求的值是正确的∴-1x-4=-1解之:x=5经检验:x=5是方程的解.故答案为:5.【分析】先通分计算,再由题意可得到-1x-4=-1;然后解方程求出x的值.16.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .【答案】33;6-33【知识点】勾股定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:如图1,当点M与点B重合时,∵折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F,∴EF垂直平分AB,∴AD=AB=6,在Rt△AEF中,∠A=60°, ∴EF=ADsin∠A=6sin60°=6×32=33;如图2,连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=6,AD∥BC,∴∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,∵∠BAH=30°,∴BH=3,AH=ABsin∠A=6sin60°=6×32=33;设BM=x,DF=y则HM=x+33,∴AM=332+3+x2=x2+6x+36∵折叠菱形,∴EF垂直平分AM,∴AN=12×2+6x+36,∵∠ANF=∠MHA=90°,∠FAN=∠ANH∴△FAN∽△ANH∴AFAM=ANMH即AFx2+6x+36=12×2+6x+363+x解之:AF=x2+6x+362x+6∴y=DF=AD-AF=6-x2+6x+362x+6=-x2+6x2x+6∴x2+(2y-6)x+6y=0b2-4ac=(2y-6)2-24y≥0∴y≤6-33,y≥6+33∵0≤y≤6∴0≤y≤6-33∴DF的最大值为6-33.故答案为: 33,6-33.【分析】如图1,当点M与点B重合时,利用折叠的性质可证得EF垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质,可求出AD的长,在Rt△AEF中,利用解直角三角形求出EF的长;连接AM交EF于点N,过点A作AH⊥DC,交CD的延长线于点H,利用菱形的性质可证得AD=AB=6,AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠BAD=∠ABH=60°,∠DAM=∠AMH,利用解直角三角形求出BH,AH的长,设BM=x,DF=y,表示出HM的长,利用勾股定理可表示出AM的长,再利用折叠的性质可表示出AN的长;利用有两组对应角分别相等的两三角形相似,可证得△FAN∽△ANH,利用相似三角形的对应边成比例,可求出AF的长,根据y=AD=AF,可得到y与x之间的函数解析式,从而可得到关于x的方程,由b2-4ac≥0,可建立关于y的不等式,然后求出y的取值范围,即可得到DF的最大值.三、解答题(共有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)17.计算:9+|−5|−22.【答案】原式=3+5-4=4【知识点】实数的运算【解析】【分析】先算乘方和开方运算,同时化简绝对值;再利用有理数的加减法法则进行计算,可求出结果.18.解方程组:x+2y=4x+3y=5.【答案】解:x+2y=4①x+3y=5②由②-①得y=1将y=1代入①得x+2=4解之:x=2∴原方程组的解为x=2y=1.【知识点】加减消元法解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点:x的系数相等,因此由②-① 求出y的值,再将y=1代入①可求出x的值,即可得到方程组的解.19.如图1,梯子斜靠在竖直的墙上,其示意图如图2,梯子与地面所成的角α为75°,梯子AB长3m,求梯子顶部离地竖直高度BC.(结果精确到0.1m;参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)【答案】解:在Rt△ABC中,∠A=75°,∴BC=ABsin∠A=3×sin75°≈3×0.97≈2.9m答:梯子的顶部离地面的垂直高度为2.9m【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】在Rt△ABC中,利用解直角三角形,可得到BC=ABsin∠A,代入计算求出BC的长.20.如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.(1)求y关于x的函数解析式;(2)若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.【答案】(1)解:∵y是关于x的反比例函数,设y与x之间的函数解析式为y=kx,当x=6时y=2∴k=2×6=12;∴函数解析式为y=12x(2)∵y=12x当y=3时3x=12,解之:x=4答:若火焰的像高为3cm,小孔到蜡烛的距离为4cm. 【知识点】反比例函数的实际应用【解析】【分析】(1)利用y是关于x的反比例函数,因此y与x之间的函数解析式为y=kx,将x=6,y=2代入函数解析式求出k的值,可得到反比例函数解析式.(2)将y=3代入函数解析式求出对应的x的值,即可求解.21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,连接AD.(1)求证:BD=CD;(2)若⊙O与AC相切,求∠B的度数;(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD(2)∵⊙O与AC相切,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∠B=45°(3)如下图,点E就是所要做的AD的中点.【知识点】垂径定理;圆周角定理;切线的判定与性质;作图-角的平分线;作图-线段垂直平分线【解析】 【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可证得∠ADB=90°,再利用等腰三角形三线合一的性质,可证得结论.(2)利用切线的性质可证得BA⊥AC,利用垂直的定义可得到∠BAC=90°,再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B的度数.(3)利用垂径定理作出弦AD的垂直平分线,交劣弧AD于点E;或利用尺规作图作出∠ABC的角平分线,交劣弧AD于点E;或连接OD,作出∠AOD的角平分线;或作出AC的中点;或过点O作OE∥BC,即可得到劣弧AD的中点E.22.某中学为加强学生的劳动教育,需要制定学生每周劳动时间(单位:小时)的合格标准,为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间,获得数据并整理成表格.学生目前每周劳动时间统计表每周劳动时间x(小时)0.5≤x<1.51.5≤x<2.52.5≤x<3.53.5≤x<4.54.5≤x<5.5组中值12345人数(人)2130191812(1)画扇形图描述数据时,1.5≤x<2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度?(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数;(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时),并用统计量说明其合理性.【答案】(1)解:由题意得360°×30100×100%=108°.答:这组数据对应的扇形圆心角是108°.(2)答:x=1×21+2×30+3×19+4×18+5×12100=2.7答:该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心.从平均数看,标准可以定为3小时.理由:平均数为2.7小时,说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时,把标准定为3小时,至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标,同时至少还有51%的学生未达标,这样使多数学生有更高的努力目标.从中位数的范围或频数看,标准可以定为2小时.理由:该校学生目前每周劳动时间的中位数落在1.5≤x<2.5 范围内,把标准定为2小时,至少有49%的学生目前劳动时间能达标,同时至少还有21%的学生未达标,这样有利于学生建立达标的信心,促进未达标学生努力达标,提高该校学生的劳动积极性.【知识点】频数(率)分布表;加权平均数及其计算;分析数据的集中趋势【解析】【分析】(1)利用360°×每周劳动时间为1.5≤x<2.5的人数所占的百分比,列式计算.(2)利用平均数公式,列式计算可求出该校学生目前每周劳动时间的平均数.(3)制定标准的原则:既要让学生有努力的方向,又要有利于学生建立达标的信心;再分别从平均数,中位数进行分析,可得答案.23.图1中有四条优美的“螺旋折线”,它们是怎样画出来的呢?如图2,在正方形ABCD各边上分别取点B1,C1,D1,A1,使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,依次连接它们,得到四边形A1B1C1D1;再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2,C2,D2,A2,使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1,依次连接它们,得到四边形A2B2C2D2;…如此继续下去,得到四条螺旋折线.(1)求证:四边形A1B1C1D1是正方形;(2)求A1B1AB的值;(3)请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系,写出一个正确结论并加以证明.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠B=90°,又∵AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,∴AA1=BB1=15AB.∴△AB1A1≌△BC1B1.∴A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1.又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°,∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.∴∠A1B1C1=90°.同理可证:B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.∴四边形A1B1C1D1是正方形.(2)解:∵AA1=BB1=15AB,AB1=BC1=CD1=DA1=45AB,设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,∴A1B1=a2+16a2=17a∴A1B1AB=17a5a=175.(3)解:相邻线段的比为51717或175. 理由:∵BB1=15AB,A1B1=17a,∴B1B2=15A1B1,A1B1AB=175,∴BB1B1B2=ABA1B1=5a17a=51717同理可得B2B1B2B3=51717∴相邻线段的比为51717或175【知识点】勾股定理;正方形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)【解析】【分析】(1)利用正方形的性质及已知条件可证得AA1=BB1=15AB,同时可证得∠A=∠B=90°,利用SAS证明△AB1A1≌△BC1B1,利用全等三角形的性质可证得A1B1=B1C1,∠AB1A1=∠BC1B1;再证明∠A1B1C1=90°,同理可证得B1C1=C1D1=D1A1=A1B1;然后利用有一个角是直角的菱形是正方形,可证得结论.(2)设AA1=a,则AB1=4a,AB=5a,利用勾股定理求出A1B1的长;然后求出A1B1AB的值.(3)利用BB1=15AB,及A1B1的长,可得到B1B2=15A1B1及A1B1与AB的比值;再求出BB1与B2B3的比值;同理求出B2B1与B2B3的比值,由此可得到螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系.24.如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).(1)若h=1.5,EF=0.5m;①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标; ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围;(2)若EF=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.【答案】(1)解:①由题意可知点A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,∴设y=a(x-2)2+2,∵抛物线过点(0,1.5)∴4a+2=1.5解之:a=-18∴抛物线的解析式为y=-18(x-2)2+2,,当y=0时-18(x-2)2+2=0解之:x1=6,x2=-2(舍去)∴喷出水的最大射程OC为6m.②∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,∴点B(2,0)③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,当y=0.5时-18(x-2)2+2=0.5解之:x1=2+23,x2=2-23(舍去),当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5∴x≤2+23;∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+23,∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,∴d的最大值为2+23-3=23-1在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,∴d的最小值为2,∴d的取值范围为2≤d≤23-1. (2)解:当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,设点Dm,-18m+22+h+0.5,Fm+3,-18m+3-22+h+0.5∴-18m+3-22+h+0.5–18m+22+h+0.5=1解之:m=2.5,∴点D的纵坐标为h-6532,∴h-6532=0解之:h=6532∴h的最小值为6532.【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数的最值;二次函数的其他应用【解析】【分析】(1)①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标,因此设y=a(x-2)2+2,将点(0,1.5)代入函数解析式,可求出a的值,可得到抛物线的解析式;由y=0求出对应的x的值,可得到喷出水的最大射程OC的长;②抛物线的对称轴为直线x=2,可得到点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到,即可得到点B的坐标;③利用EF的长,可得到点F的纵坐标,将y=0.5代入函数解析式,可求出对应的x的值,利用二次函数的性质可知当x>2时,y随x的增大而减小,由此可得到当2≤x≤6时,要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时,要使y≥0.5的x的取值范围;根据DE=3,可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值;在看下边缘抛物线,喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d,可得到d的最小值,综上所述可得到d的取值范围.(2)当喷水口高度最低时,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D,F恰好分别在两条抛物线上,利用函数解析式设处点D,F的坐标,再根据EF=1,可得到关于m的方程,解方程求出m的值;再求出点D的纵坐标,由此可得到关于h的值,可得到h的最小值.