浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形及答案
浙江省2022年中考数学真题分类汇编05二次函数一、单选题1．将抛物线y=x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A．y=x2+3B．y=x2-3C．y=(x+3)2D．y=(x-3)22．点A(m-1，y1)，B(m，y2)都在
浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形一、单选题1．如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°2．如图，CD⊥AB于点D，
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形一、单选题1．如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，∴∠1=∠4=90°，故答案为：C.【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.2．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；故答案为：B.【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.3．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面展开﹣最短路径问题【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，∵两点之间，线段最短，∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.故答案为：C.【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.4．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）A．SSSB．SASC．AASD．HL【答案】B【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）.故答案为：B.【分析】根据图中边角的位置关系，即”SAS“判定△ABO≌△DCO，即可得出正确答案.5．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°，\n∴∠A=30°.故答案为：C.【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；B、∵PB=PC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；C、∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.7．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）A．42B．6C．210D．35【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，∵∠ABN=90°，BM=4，BN=2，∴MN=42+22=25又∵AM=2，∠A=90°，∴Rt△AMP≌Rt△DMN（HL），∴AP=BM=4，即P在格点上，又∵∠PMA+∠DMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，即∠MPN=45°，∴PN=2MN=210，且此时PN的长最大.故答案为：C.【分析】以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，由勾股定理求得MN的长，利用“HL”定理证出Rt△AMP≌Rt△DMN，得AP=BM=4，即P在格点上，即可证得构造的△PMN为等腰直角三角形，此时的PN的长最大，利用等腰直角三角形性质即可求出PN的长.8．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1=（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；∵AC∥EF，∴∠1=∠A=60°.故答案为：C.\n【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.9．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )A．B．C．D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；作图-角的平分线【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项.据此逐项分析判断即可得出正确答案.二、填空题10．正八边形一个内角的度数是 .【答案】135°【知识点】正多边形的性质；邻补角【解析】【解答】解：正八边形的一个外角度数=360÷8=45°，∴正八边形的一个内角度数=180°-45°=135°.故答案为：135°.【分析】先由360°÷8求出正八边形的一个外角度数，再由内角和外角互为邻补角，即可求出其内角度数.11．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．【答案】∠B=60°【知识点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，若∠B=60°，则△ABC为等边三角形.故答案为：∠B=60°（答案不唯一，也可以添加其他内角为60°）.【分析】根据等边三角形的判定定理，即含有60°角的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案，答案不唯一，符合判定定理即可.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【答案】233【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，又∵BC=3，DE=1，∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，∴BD=AB-AD=3-33=233.故答案为：233.【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.13．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．【答案】10°或100°【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，\n在△ABC中，∠ACB＝180°−40°−80°＝60°，由作图可知AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝60°−50°＝10°；由作图可知AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°−∠ABC−∠AD′C＝180°−40°−40°＝100°，∴∠BCD的度数是10°或100°.故答案为：10°或100°【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB−∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A’B’C’，连结CC’，则四边形AB’C’C的周长为 cm..【答案】（8+23）【知识点】含30°角的直角三角形；平移的性质【解析】【解答】解：∵△ABC沿AB方向平移1cm得到△A’B’C’，∴BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，∴四边形AB’C’C周长=AB+BB’+B’C’+CC’+AC=4+1+2+1+23=（8+23）cm.故答案为：（8+23）.【分析】根据平移性质求得BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，再由30°角所对直角边等于斜边一半可求得AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，再把四边形AB’C’C的所有边相加计算即可求解.15．一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC=12cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．【答案】33-3【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，设EF与BC交于点M，.O是边BC(DF)的中点，BC=12cm，∴OB=OC=OD=OF=6cm，∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，∴∠BOD=∠FOM=60°，∴∠F=30°，∴∠FMO=90°，∴OM=12OF=3cm，∴CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，∴∠C=45°，∴CM=GM=3cm，.FG=FM-GM=(33-3)cm.故答案为：(33-3).【分析】设EF与BC交于点M，根据旋转的性质求出∠FMO=90°，可得OM=12OF=3cm，利用含30度角的直角三角形的性质求出CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，然后证明△CMG的等腰直角三角形，得出CM=GM=3cm，从而解决问题.\n三、解答题16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°，∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=3【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得MA=MC，利用等边对等角可求出∠MCA的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠CMA的度数，利用三角形的外角的性质可证得∠CEM=∠A+∠ACE，代入计算求出∠CEM的度数，从而可证得∠CME=∠CEM，利用等角对等边，可证得结论.（2）利用直角三角形的性质可求出CE，CM的长；再利用解直角三角形求出FC的长.17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD=∠EDB．（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB．（2）解：CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC−AD=AB−AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.18．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∠EAC＝12∠BAC＝25°，∵P与E重合，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°．（2）解：①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°．\n②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据α＝∠ACB－∠ACD，代入计算求出其结果.（2）分情况讨论：当点P在线段BE上时，根据∠ADC＝∠ACD＝90°－α，利用三角形的内角和定理可证得∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，据此可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，可得到∠ADC＝∠ACD＝90°－α；再证明∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系.19．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt△CDF中，CF2+CD2=DF2，即x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=163(cm).【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】(1)利用ASA证明两个三角形全等即可；(2)过点E作EG⊥BC于G，在Rt△EGF中，利用勾股定理求出FG的长，设CF=x，在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程求解即可.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形一、单选题1．如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，∴∠1=∠4=90°，故答案为：C.【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.2．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；故答案为：B.【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.3．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面展开﹣最短路径问题【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，∵两点之间，线段最短，∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.故答案为：C.【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.4．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）A．SSSB．SASC．AASD．HL【答案】B【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）.故答案为：B.【分析】根据图中边角的位置关系，即”SAS“判定△ABO≌△DCO，即可得出正确答案.5．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°， ∴∠A=30°.故答案为：C.【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；B、∵PB=PC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；C、∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.7．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）A．42B．6C．210D．35【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，∵∠ABN=90°，BM=4，BN=2，∴MN=42+22=25又∵AM=2，∠A=90°，∴Rt△AMP≌Rt△DMN（HL），∴AP=BM=4，即P在格点上，又∵∠PMA+∠DMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，即∠MPN=45°，∴PN=2MN=210，且此时PN的长最大.故答案为：C.【分析】以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，由勾股定理求得MN的长，利用“HL”定理证出Rt△AMP≌Rt△DMN，得AP=BM=4，即P在格点上，即可证得构造的△PMN为等腰直角三角形，此时的PN的长最大，利用等腰直角三角形性质即可求出PN的长.8．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1=（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；∵AC∥EF，∴∠1=∠A=60°.故答案为：C. 【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.9．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )A．B．C．D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；作图-角的平分线【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项.据此逐项分析判断即可得出正确答案.二、填空题10．正八边形一个内角的度数是 .【答案】135°【知识点】正多边形的性质；邻补角【解析】【解答】解：正八边形的一个外角度数=360÷8=45°，∴正八边形的一个内角度数=180°-45°=135°.故答案为：135°.【分析】先由360°÷8求出正八边形的一个外角度数，再由内角和外角互为邻补角，即可求出其内角度数.11．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．【答案】∠B=60°【知识点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，若∠B=60°，则△ABC为等边三角形.故答案为：∠B=60°（答案不唯一，也可以添加其他内角为60°）.【分析】根据等边三角形的判定定理，即含有60°角的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案，答案不唯一，符合判定定理即可.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【答案】233【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，又∵BC=3，DE=1，∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，∴BD=AB-AD=3-33=233.故答案为：233.【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.13．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．【答案】10°或100°【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图， 在△ABC中，∠ACB＝180°−40°−80°＝60°，由作图可知AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝60°−50°＝10°；由作图可知AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°−∠ABC−∠AD′C＝180°−40°−40°＝100°，∴∠BCD的度数是10°或100°.故答案为：10°或100°【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB−∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A’B’C’，连结CC’，则四边形AB’C’C的周长为 cm..【答案】（8+23）【知识点】含30°角的直角三角形；平移的性质【解析】【解答】解：∵△ABC沿AB方向平移1cm得到△A’B’C’，∴BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，∴四边形AB’C’C周长=AB+BB’+B’C’+CC’+AC=4+1+2+1+23=（8+23）cm.故答案为：（8+23）.【分析】根据平移性质求得BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，再由30°角所对直角边等于斜边一半可求得AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，再把四边形AB’C’C的所有边相加计算即可求解.15．一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC=12cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．【答案】33-3【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，设EF与BC交于点M，.O是边BC(DF)的中点，BC=12cm，∴OB=OC=OD=OF=6cm，∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，∴∠BOD=∠FOM=60°，∴∠F=30°，∴∠FMO=90°，∴OM=12OF=3cm，∴CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，∴∠C=45°，∴CM=GM=3cm，.FG=FM-GM=(33-3)cm.故答案为：(33-3).【分析】设EF与BC交于点M，根据旋转的性质求出∠FMO=90°，可得OM=12OF=3cm，利用含30度角的直角三角形的性质求出CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，然后证明△CMG的等腰直角三角形，得出CM=GM=3cm，从而解决问题. 三、解答题16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°，∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=3【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得MA=MC，利用等边对等角可求出∠MCA的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠CMA的度数，利用三角形的外角的性质可证得∠CEM=∠A+∠ACE，代入计算求出∠CEM的度数，从而可证得∠CME=∠CEM，利用等角对等边，可证得结论.（2）利用直角三角形的性质可求出CE，CM的长；再利用解直角三角形求出FC的长.17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD=∠EDB．（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB．（2）解：CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC−AD=AB−AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.18．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∠EAC＝12∠BAC＝25°，∵P与E重合，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°．（2）解：①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°． ②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据α＝∠ACB－∠ACD，代入计算求出其结果.（2）分情况讨论：当点P在线段BE上时，根据∠ADC＝∠ACD＝90°－α，利用三角形的内角和定理可证得∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，据此可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，可得到∠ADC＝∠ACD＝90°－α；再证明∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系.19．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt△CDF中，CF2+CD2=DF2，即x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=163(cm).【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】(1)利用ASA证明两个三角形全等即可；(2)过点E作EG⊥BC于G，在Rt△EGF中，利用勾股定理求出FG的长，设CF=x，在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程求解即可.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形一、单选题1．如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，∴∠1=∠4=90°，故答案为：C.【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.2．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；故答案为：B.【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.3．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面展开﹣最短路径问题【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，∵两点之间，线段最短，∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.故答案为：C.【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.4．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）A．SSSB．SASC．AASD．HL【答案】B【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）.故答案为：B.【分析】根据图中边角的位置关系，即”SAS“判定△ABO≌△DCO，即可得出正确答案.5．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°， ∴∠A=30°.故答案为：C.【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；B、∵PB=PC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；C、∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.7．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）A．42B．6C．210D．35【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，∵∠ABN=90°，BM=4，BN=2，∴MN=42+22=25又∵AM=2，∠A=90°，∴Rt△AMP≌Rt△DMN（HL），∴AP=BM=4，即P在格点上，又∵∠PMA+∠DMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，即∠MPN=45°，∴PN=2MN=210，且此时PN的长最大.故答案为：C.【分析】以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，由勾股定理求得MN的长，利用“HL”定理证出Rt△AMP≌Rt△DMN，得AP=BM=4，即P在格点上，即可证得构造的△PMN为等腰直角三角形，此时的PN的长最大，利用等腰直角三角形性质即可求出PN的长.8．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1=（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；∵AC∥EF，∴∠1=∠A=60°.故答案为：C. 【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.9．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )A．B．C．D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；作图-角的平分线【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项.据此逐项分析判断即可得出正确答案.二、填空题10．正八边形一个内角的度数是 .【答案】135°【知识点】正多边形的性质；邻补角【解析】【解答】解：正八边形的一个外角度数=360÷8=45°，∴正八边形的一个内角度数=180°-45°=135°.故答案为：135°.【分析】先由360°÷8求出正八边形的一个外角度数，再由内角和外角互为邻补角，即可求出其内角度数.11．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．【答案】∠B=60°【知识点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，若∠B=60°，则△ABC为等边三角形.故答案为：∠B=60°（答案不唯一，也可以添加其他内角为60°）.【分析】根据等边三角形的判定定理，即含有60°角的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案，答案不唯一，符合判定定理即可.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【答案】233【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，又∵BC=3，DE=1，∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，∴BD=AB-AD=3-33=233.故答案为：233.【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.13．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．【答案】10°或100°【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图， 在△ABC中，∠ACB＝180°−40°−80°＝60°，由作图可知AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝60°−50°＝10°；由作图可知AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°−∠ABC−∠AD′C＝180°−40°−40°＝100°，∴∠BCD的度数是10°或100°.故答案为：10°或100°【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB−∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A’B’C’，连结CC’，则四边形AB’C’C的周长为 cm..【答案】（8+23）【知识点】含30°角的直角三角形；平移的性质【解析】【解答】解：∵△ABC沿AB方向平移1cm得到△A’B’C’，∴BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，∴四边形AB’C’C周长=AB+BB’+B’C’+CC’+AC=4+1+2+1+23=（8+23）cm.故答案为：（8+23）.【分析】根据平移性质求得BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，再由30°角所对直角边等于斜边一半可求得AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，再把四边形AB’C’C的所有边相加计算即可求解.15．一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC=12cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．【答案】33-3【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，设EF与BC交于点M，.O是边BC(DF)的中点，BC=12cm，∴OB=OC=OD=OF=6cm，∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，∴∠BOD=∠FOM=60°，∴∠F=30°，∴∠FMO=90°，∴OM=12OF=3cm，∴CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，∴∠C=45°，∴CM=GM=3cm，.FG=FM-GM=(33-3)cm.故答案为：(33-3).【分析】设EF与BC交于点M，根据旋转的性质求出∠FMO=90°，可得OM=12OF=3cm，利用含30度角的直角三角形的性质求出CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，然后证明△CMG的等腰直角三角形，得出CM=GM=3cm，从而解决问题. 三、解答题16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°，∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=3【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得MA=MC，利用等边对等角可求出∠MCA的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠CMA的度数，利用三角形的外角的性质可证得∠CEM=∠A+∠ACE，代入计算求出∠CEM的度数，从而可证得∠CME=∠CEM，利用等角对等边，可证得结论.（2）利用直角三角形的性质可求出CE，CM的长；再利用解直角三角形求出FC的长.17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD=∠EDB．（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB．（2）解：CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC−AD=AB−AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.18．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∠EAC＝12∠BAC＝25°，∵P与E重合，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°．（2）解：①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°． ②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据α＝∠ACB－∠ACD，代入计算求出其结果.（2）分情况讨论：当点P在线段BE上时，根据∠ADC＝∠ACD＝90°－α，利用三角形的内角和定理可证得∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，据此可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，可得到∠ADC＝∠ACD＝90°－α；再证明∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系.19．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt△CDF中，CF2+CD2=DF2，即x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=163(cm).【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】(1)利用ASA证明两个三角形全等即可；(2)过点E作EG⊥BC于G，在Rt△EGF中，利用勾股定理求出FG的长，设CF=x，在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程求解即可.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形一、单选题1．如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，∴∠1=∠4=90°，故答案为：C.【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.2．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；故答案为：B.【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.3．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面展开﹣最短路径问题【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，∵两点之间，线段最短，∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.故答案为：C.【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.4．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）A．SSSB．SASC．AASD．HL【答案】B【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）.故答案为：B.【分析】根据图中边角的位置关系，即”SAS“判定△ABO≌△DCO，即可得出正确答案.5．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°， ∴∠A=30°.故答案为：C.【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；B、∵PB=PC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；C、∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.7．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）A．42B．6C．210D．35【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，∵∠ABN=90°，BM=4，BN=2，∴MN=42+22=25又∵AM=2，∠A=90°，∴Rt△AMP≌Rt△DMN（HL），∴AP=BM=4，即P在格点上，又∵∠PMA+∠DMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，即∠MPN=45°，∴PN=2MN=210，且此时PN的长最大.故答案为：C.【分析】以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，由勾股定理求得MN的长，利用“HL”定理证出Rt△AMP≌Rt△DMN，得AP=BM=4，即P在格点上，即可证得构造的△PMN为等腰直角三角形，此时的PN的长最大，利用等腰直角三角形性质即可求出PN的长.8．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1=（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；∵AC∥EF，∴∠1=∠A=60°.故答案为：C. 【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.9．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )A．B．C．D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；作图-角的平分线【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项.据此逐项分析判断即可得出正确答案.二、填空题10．正八边形一个内角的度数是 .【答案】135°【知识点】正多边形的性质；邻补角【解析】【解答】解：正八边形的一个外角度数=360÷8=45°，∴正八边形的一个内角度数=180°-45°=135°.故答案为：135°.【分析】先由360°÷8求出正八边形的一个外角度数，再由内角和外角互为邻补角，即可求出其内角度数.11．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．【答案】∠B=60°【知识点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，若∠B=60°，则△ABC为等边三角形.故答案为：∠B=60°（答案不唯一，也可以添加其他内角为60°）.【分析】根据等边三角形的判定定理，即含有60°角的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案，答案不唯一，符合判定定理即可.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【答案】233【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，又∵BC=3，DE=1，∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，∴BD=AB-AD=3-33=233.故答案为：233.【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.13．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．【答案】10°或100°【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图， 在△ABC中，∠ACB＝180°−40°−80°＝60°，由作图可知AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝60°−50°＝10°；由作图可知AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°−∠ABC−∠AD′C＝180°−40°−40°＝100°，∴∠BCD的度数是10°或100°.故答案为：10°或100°【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB−∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A’B’C’，连结CC’，则四边形AB’C’C的周长为 cm..【答案】（8+23）【知识点】含30°角的直角三角形；平移的性质【解析】【解答】解：∵△ABC沿AB方向平移1cm得到△A’B’C’，∴BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，∴四边形AB’C’C周长=AB+BB’+B’C’+CC’+AC=4+1+2+1+23=（8+23）cm.故答案为：（8+23）.【分析】根据平移性质求得BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，再由30°角所对直角边等于斜边一半可求得AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，再把四边形AB’C’C的所有边相加计算即可求解.15．一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC=12cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．【答案】33-3【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，设EF与BC交于点M，.O是边BC(DF)的中点，BC=12cm，∴OB=OC=OD=OF=6cm，∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，∴∠BOD=∠FOM=60°，∴∠F=30°，∴∠FMO=90°，∴OM=12OF=3cm，∴CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，∴∠C=45°，∴CM=GM=3cm，.FG=FM-GM=(33-3)cm.故答案为：(33-3).【分析】设EF与BC交于点M，根据旋转的性质求出∠FMO=90°，可得OM=12OF=3cm，利用含30度角的直角三角形的性质求出CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，然后证明△CMG的等腰直角三角形，得出CM=GM=3cm，从而解决问题. 三、解答题16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°，∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=3【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得MA=MC，利用等边对等角可求出∠MCA的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠CMA的度数，利用三角形的外角的性质可证得∠CEM=∠A+∠ACE，代入计算求出∠CEM的度数，从而可证得∠CME=∠CEM，利用等角对等边，可证得结论.（2）利用直角三角形的性质可求出CE，CM的长；再利用解直角三角形求出FC的长.17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD=∠EDB．（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB．（2）解：CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC−AD=AB−AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.18．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∠EAC＝12∠BAC＝25°，∵P与E重合，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°．（2）解：①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°． ②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据α＝∠ACB－∠ACD，代入计算求出其结果.（2）分情况讨论：当点P在线段BE上时，根据∠ADC＝∠ACD＝90°－α，利用三角形的内角和定理可证得∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，据此可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，可得到∠ADC＝∠ACD＝90°－α；再证明∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系.19．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt△CDF中，CF2+CD2=DF2，即x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=163(cm).【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】(1)利用ASA证明两个三角形全等即可；(2)过点E作EG⊥BC于G，在Rt△EGF中，利用勾股定理求出FG的长，设CF=x，在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程求解即可.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形一、单选题1．如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，∴∠1=∠4=90°，故答案为：C.【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.2．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；故答案为：B.【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.3．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面展开﹣最短路径问题【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，∵两点之间，线段最短，∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.故答案为：C.【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.4．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）A．SSSB．SASC．AASD．HL【答案】B【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）.故答案为：B.【分析】根据图中边角的位置关系，即”SAS“判定△ABO≌△DCO，即可得出正确答案.5．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°， ∴∠A=30°.故答案为：C.【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；B、∵PB=PC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；C、∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.7．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）A．42B．6C．210D．35【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，∵∠ABN=90°，BM=4，BN=2，∴MN=42+22=25又∵AM=2，∠A=90°，∴Rt△AMP≌Rt△DMN（HL），∴AP=BM=4，即P在格点上，又∵∠PMA+∠DMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，即∠MPN=45°，∴PN=2MN=210，且此时PN的长最大.故答案为：C.【分析】以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，由勾股定理求得MN的长，利用“HL”定理证出Rt△AMP≌Rt△DMN，得AP=BM=4，即P在格点上，即可证得构造的△PMN为等腰直角三角形，此时的PN的长最大，利用等腰直角三角形性质即可求出PN的长.8．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1=（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；∵AC∥EF，∴∠1=∠A=60°.故答案为：C. 【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.9．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )A．B．C．D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；作图-角的平分线【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项.据此逐项分析判断即可得出正确答案.二、填空题10．正八边形一个内角的度数是 .【答案】135°【知识点】正多边形的性质；邻补角【解析】【解答】解：正八边形的一个外角度数=360÷8=45°，∴正八边形的一个内角度数=180°-45°=135°.故答案为：135°.【分析】先由360°÷8求出正八边形的一个外角度数，再由内角和外角互为邻补角，即可求出其内角度数.11．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．【答案】∠B=60°【知识点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，若∠B=60°，则△ABC为等边三角形.故答案为：∠B=60°（答案不唯一，也可以添加其他内角为60°）.【分析】根据等边三角形的判定定理，即含有60°角的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案，答案不唯一，符合判定定理即可.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【答案】233【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，又∵BC=3，DE=1，∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，∴BD=AB-AD=3-33=233.故答案为：233.【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.13．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．【答案】10°或100°【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图， 在△ABC中，∠ACB＝180°−40°−80°＝60°，由作图可知AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝60°−50°＝10°；由作图可知AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°−∠ABC−∠AD′C＝180°−40°−40°＝100°，∴∠BCD的度数是10°或100°.故答案为：10°或100°【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB−∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A’B’C’，连结CC’，则四边形AB’C’C的周长为 cm..【答案】（8+23）【知识点】含30°角的直角三角形；平移的性质【解析】【解答】解：∵△ABC沿AB方向平移1cm得到△A’B’C’，∴BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，∴四边形AB’C’C周长=AB+BB’+B’C’+CC’+AC=4+1+2+1+23=（8+23）cm.故答案为：（8+23）.【分析】根据平移性质求得BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，再由30°角所对直角边等于斜边一半可求得AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，再把四边形AB’C’C的所有边相加计算即可求解.15．一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC=12cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．【答案】33-3【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，设EF与BC交于点M，.O是边BC(DF)的中点，BC=12cm，∴OB=OC=OD=OF=6cm，∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，∴∠BOD=∠FOM=60°，∴∠F=30°，∴∠FMO=90°，∴OM=12OF=3cm，∴CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，∴∠C=45°，∴CM=GM=3cm，.FG=FM-GM=(33-3)cm.故答案为：(33-3).【分析】设EF与BC交于点M，根据旋转的性质求出∠FMO=90°，可得OM=12OF=3cm，利用含30度角的直角三角形的性质求出CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，然后证明△CMG的等腰直角三角形，得出CM=GM=3cm，从而解决问题. 三、解答题16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°，∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=3【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得MA=MC，利用等边对等角可求出∠MCA的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠CMA的度数，利用三角形的外角的性质可证得∠CEM=∠A+∠ACE，代入计算求出∠CEM的度数，从而可证得∠CME=∠CEM，利用等角对等边，可证得结论.（2）利用直角三角形的性质可求出CE，CM的长；再利用解直角三角形求出FC的长.17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD=∠EDB．（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB．（2）解：CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC−AD=AB−AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.18．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∠EAC＝12∠BAC＝25°，∵P与E重合，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°．（2）解：①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°． ②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据α＝∠ACB－∠ACD，代入计算求出其结果.（2）分情况讨论：当点P在线段BE上时，根据∠ADC＝∠ACD＝90°－α，利用三角形的内角和定理可证得∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，据此可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，可得到∠ADC＝∠ACD＝90°－α；再证明∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系.19．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt△CDF中，CF2+CD2=DF2，即x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=163(cm).【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】(1)利用ASA证明两个三角形全等即可；(2)过点E作EG⊥BC于G，在Rt△EGF中，利用勾股定理求出FG的长，设CF=x，在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程求解即可.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编06图形基础与三角形一、单选题1．如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°【答案】C【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵两条铁轨平行，∴∠1=∠4=90°，故答案为：C.【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为∠4=90°.2．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；故答案为：B.【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.3．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面展开﹣最短路径问题【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，∵两点之间，线段最短，∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.故答案为：C.【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.4．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）A．SSSB．SASC．AASD．HL【答案】B【知识点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△ABO≌△DCO（SAS）.故答案为：B.【分析】根据图中边角的位置关系，即”SAS“判定△ABO≌△DCO，即可得出正确答案.5．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG，∵∠AEG=∠AEC-∠CEG=50°-20°=30°， ∴∠A=30°.故答案为：C.【分析】过点E作EG∥CD，利用在同一个平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥EG，利用平行线的性质可推出∠C=∠CEG=20°，∠A=∠AEG；然后利用∠AEG=∠AEC-∠CEG，代入计算求出∠A的度数.6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PCB．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PCD．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故A不符合题意；B、∵PB=PC，AD⊥BC，∴AP垂直平分BC，∴AB=AC，此命题是真命题，故B-不符合题意；C、∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，∴AP垂直平分BC，∴PB=PC，此命题是真命题，故C不符合题意；由PB=PC，∠1=∠2，不能证明AB=AC，此命题是假命题，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可对A，B，C作出判断；据此可得到是假命题的选项.7．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）A．42B．6C．210D．35【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，∵∠ABN=90°，BM=4，BN=2，∴MN=42+22=25又∵AM=2，∠A=90°，∴Rt△AMP≌Rt△DMN（HL），∴AP=BM=4，即P在格点上，又∵∠PMA+∠DMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，即∠MPN=45°，∴PN=2MN=210，且此时PN的长最大.故答案为：C.【分析】以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，由勾股定理求得MN的长，利用“HL”定理证出Rt△AMP≌Rt△DMN，得AP=BM=4，即P在格点上，即可证得构造的△PMN为等腰直角三角形，此时的PN的长最大，利用等腰直角三角形性质即可求出PN的长.8．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1=（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；∵AC∥EF，∴∠1=∠A=60°.故答案为：C. 【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.9．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )A．B．C．D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；作图-角的平分线【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项.据此逐项分析判断即可得出正确答案.二、填空题10．正八边形一个内角的度数是 .【答案】135°【知识点】正多边形的性质；邻补角【解析】【解答】解：正八边形的一个外角度数=360÷8=45°，∴正八边形的一个内角度数=180°-45°=135°.故答案为：135°.【分析】先由360°÷8求出正八边形的一个外角度数，再由内角和外角互为邻补角，即可求出其内角度数.11．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．【答案】∠B=60°【知识点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，若∠B=60°，则△ABC为等边三角形.故答案为：∠B=60°（答案不唯一，也可以添加其他内角为60°）.【分析】根据等边三角形的判定定理，即含有60°角的等腰三角形为等边三角形，即可得出答案，答案不唯一，符合判定定理即可.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【答案】233【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，又∵BC=3，DE=1，∴AB=13BC=3，AD=13DE=33，∴BD=AB-AD=3-33=233.故答案为：233.【分析】由平行线性质及∠ABC=90°，∠A=60°得∠ACB=∠AED=30°，∠ADE=90°，再由含30°角所对直角边等于斜边一半推得AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出BD的长即可.13．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．【答案】10°或100°【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图， 在△ABC中，∠ACB＝180°−40°−80°＝60°，由作图可知AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD＝60°−50°＝10°；由作图可知AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°−∠ABC−∠AD′C＝180°−40°−40°＝100°，∴∠BCD的度数是10°或100°.故答案为：10°或100°【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB−∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A’B’C’，连结CC’，则四边形AB’C’C的周长为 cm..【答案】（8+23）【知识点】含30°角的直角三角形；平移的性质【解析】【解答】解：∵△ABC沿AB方向平移1cm得到△A’B’C’，∴BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，∴四边形AB’C’C周长=AB+BB’+B’C’+CC’+AC=4+1+2+1+23=（8+23）cm.故答案为：（8+23）.【分析】根据平移性质求得BC=B’C’=2cm，AA’=BB’=CC’=1cm，再由30°角所对直角边等于斜边一半可求得AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，再把四边形AB’C’C的所有边相加计算即可求解.15．一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC=12cm.如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．【答案】33-3【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，设EF与BC交于点M，.O是边BC(DF)的中点，BC=12cm，∴OB=OC=OD=OF=6cm，∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，∴∠BOD=∠FOM=60°，∴∠F=30°，∴∠FMO=90°，∴OM=12OF=3cm，∴CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，∴∠C=45°，∴CM=GM=3cm，.FG=FM-GM=(33-3)cm.故答案为：(33-3).【分析】设EF与BC交于点M，根据旋转的性质求出∠FMO=90°，可得OM=12OF=3cm，利用含30度角的直角三角形的性质求出CM=OC-OM=3cm，FM=3OM=33cm，然后证明△CMG的等腰直角三角形，得出CM=GM=3cm，从而解决问题. 三、解答题16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM.（2）若AB=4，求线段FC的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，∴MA=MC，∴∠MCA=∠A=50°，∴∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°，∵∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM．（2）解：由题意，得CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∴FC=CE·cos30°=3【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得MA=MC，利用等边对等角可求出∠MCA的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠CMA的度数，利用三角形的外角的性质可证得∠CEM=∠A+∠ACE，代入计算求出∠CEM的度数，从而可证得∠CME=∠CEM，利用等角对等边，可证得结论.（2）利用直角三角形的性质可求出CE，CM的长；再利用解直角三角形求出FC的长.17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD=∠EDB．（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB．（2）解：CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC−AD=AB−AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.18．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∠EAC＝12∠BAC＝25°，∵P与E重合，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°．（2）解：①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°． ②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，又∵∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据α＝∠ACB－∠ACD，代入计算求出其结果.（2）分情况讨论：当点P在线段BE上时，根据∠ADC＝∠ACD＝90°－α，利用三角形的内角和定理可证得∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，据此可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，可得到∠ADC＝∠ACD＝90°－α；再证明∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，可得到关于α和β的方程，即可得到α与β的数量关系.19．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt△CDF中，CF2+CD2=DF2，即x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=163(cm).【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】(1)利用ASA证明两个三角形全等即可；(2)过点E作EG⊥BC于G，在Rt△EGF中，利用勾股定理求出FG的长，设CF=x，在Rt△CDF中，根据勾股定理建立方程求解即可.
