浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似及答案
浙江省2022年中考数学真题分类汇编09图形的变换与视图及答案
浙江省2022年中考数学真题分类汇编09图形的变换与视图一、单选题1．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）A．B．C．D．2．如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（ ）A．B．C．D．3．如图所示几何
浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．354【答案】A【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图1，∵剪掉的是两个直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF，∴AB=EF=9，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之：x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454，故B不符合题意；BE=274+2=354，故D不符合题意；如图2同理可知△CFD∽△EFB，∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，∴n7+m=69=mn+2解之：m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解，∴DF=10，故C不符合题意；BF=7+8=15，故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E， ∵AD=2DE，∵BD∥CE，∴ABAC=ADAE=2，∵AB=3，∴BC=12AB=32.故答案为：C.【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．10【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m∴AF=FG=AB=5m，∠AFL+∠GFM=90°，∵GM⊥FL，AK⊥BJ，∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°，∴∠AFL=∠MGF，在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF（AAS）∴AL=FM，设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2，∴x2+（x+m）2=（5m）2，解之：x=m，x=-2m（舍去）；∴AL=FM=m，FL=2m，∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之：AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP，∴点P为AB的中点；∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF，∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之：CN=m，PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2，解之：CH=22.故答案为：C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N，利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m，可得到AF，FG，AB的长，利用AAS证明△AFL≌△MGF，可得到AL=FM，设AL=FM=x，可表示出FL的长；在Rt△AFL中，利用勾股定理可得到x=m，可得到AL=FM=m，FL=2m，利用锐角三角函数的定义，可表示出AP的长，利用勾股定理表示出PF的长，即可得到BP的长，可证得点P是AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示出CP的长；再证明△CPN∽△APF，利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN，PN的长，从而可得到AN的长；再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质，可求出CH的长.4．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，∴四边形BGEF为矩形，∴EG=BF，由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，∴BE=2DE=22，DA=AE=12DE=1，∴AB=BC=22+12=5，∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG，∴1×2=5·EG，∴EG=255，∴BF=255，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=BE2-BF2=（22）2-（255）2=655，∴CF=BF+BC=255+5=755，∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC=EF2+CF2=（655）2+（755）2=17.故答案为：D.【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=22，DA=AE=1，AB=BC=5，根据△AEB的面积，可列=12AE·BD=12AB·EG，代入数据求得EG=255，从而得BF=255，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=655，从而得CF=755，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵ADAB=13，∴DEBC=13，又∵DE=2，∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为：6.【分析】由相似预备定理，即“A”型相似得△ADE∽△ABC，再由相似性质得DEBC=13，即可求得BC的长.6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之：AB=9.88.故答案为：9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长，可得到AC∥DF，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格，再连接CD即可；(2)作A点关于BC的对称点D，再连接CD、DB即可；(3)先延长CB到D使CD=2CB，再延长CA到E点使CE=2CA，连接ED，则△EDC满足条件.四、解答题8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB， ∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；(2)先证明FG∥AD，得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC，∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM= 12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，又CF=CH，利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF，即得∠BCH=∠DCF，从而得∠HCA=∠FCA，由等腰三角形性质，即可得出AC⊥FH；（2）如图2，过点K作KM⊥AB于点M，易得MK∥BC，可证△AMK∽△ABC，即得AK：AC=MK：BC，再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC，可证△HMK∽△HBC，即得KH：CH=KM：CB，从而推出KH：CH=AK：AC，即可证明结论；（3）由（2）结论得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，由k为AC中点，得MH：BH=1：2，设MH=m，BH=2m，由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，KM=AM=MB=3m，AH=4m，从而得BC=AB=6m，FH=42m，再由勾股定理求得CH=CF=210m，且EH=12AH=22m；再证出△PFH∽△EHC，由相似性质得PF：EH=FH：HC，可表示出PF=4510m，从而得CP=CF-PF=6510m，进而列式计算即可求出CPPF比值.11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？【答案】（1）证明：如图1，∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA，进而证出FA=FG；（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，0 10，即2 90°，所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S．（2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边，再利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出S的值；②由∠FAN=∠ANB=90°，∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，证得△FAN∽△ANB，由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab，整理得ab+b2=a2，即得2S+S1=S2，，进而求证结论成立；（2）S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE，即得AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，则∠FEC=30°，从而得ba=FECE=32，推出b=32a，进而得到S=12ab=34a2，又S1=34b2，S2=34a2，则S2-S1=316a2，即可证明结论成立.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．354【答案】A【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图1，∵剪掉的是两个直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF，∴AB=EF=9，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之：x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454，故B不符合题意；BE=274+2=354，故D不符合题意；如图2同理可知△CFD∽△EFB，∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，∴n7+m=69=mn+2解之：m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解，∴DF=10，故C不符合题意；BF=7+8=15，故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E， ∵AD=2DE，∵BD∥CE，∴ABAC=ADAE=2，∵AB=3，∴BC=12AB=32.故答案为：C.【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．10【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m∴AF=FG=AB=5m，∠AFL+∠GFM=90°，∵GM⊥FL，AK⊥BJ，∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°，∴∠AFL=∠MGF，在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF（AAS）∴AL=FM，设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2，∴x2+（x+m）2=（5m）2，解之：x=m，x=-2m（舍去）；∴AL=FM=m，FL=2m，∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之：AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP，∴点P为AB的中点；∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF，∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之：CN=m，PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2，解之：CH=22.故答案为：C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N，利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m，可得到AF，FG，AB的长，利用AAS证明△AFL≌△MGF，可得到AL=FM，设AL=FM=x，可表示出FL的长；在Rt△AFL中，利用勾股定理可得到x=m，可得到AL=FM=m，FL=2m，利用锐角三角函数的定义，可表示出AP的长，利用勾股定理表示出PF的长，即可得到BP的长，可证得点P是AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示出CP的长；再证明△CPN∽△APF，利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN，PN的长，从而可得到AN的长；再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质，可求出CH的长.4．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，∴四边形BGEF为矩形，∴EG=BF，由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，∴BE=2DE=22，DA=AE=12DE=1，∴AB=BC=22+12=5，∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG，∴1×2=5·EG，∴EG=255，∴BF=255，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=BE2-BF2=（22）2-（255）2=655，∴CF=BF+BC=255+5=755，∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC=EF2+CF2=（655）2+（755）2=17.故答案为：D.【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=22，DA=AE=1，AB=BC=5，根据△AEB的面积，可列=12AE·BD=12AB·EG，代入数据求得EG=255，从而得BF=255，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=655，从而得CF=755，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵ADAB=13，∴DEBC=13，又∵DE=2，∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为：6.【分析】由相似预备定理，即“A”型相似得△ADE∽△ABC，再由相似性质得DEBC=13，即可求得BC的长.6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之：AB=9.88.故答案为：9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长，可得到AC∥DF，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格，再连接CD即可；(2)作A点关于BC的对称点D，再连接CD、DB即可；(3)先延长CB到D使CD=2CB，再延长CA到E点使CE=2CA，连接ED，则△EDC满足条件.四、解答题8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB， ∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；(2)先证明FG∥AD，得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC，∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM= 12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，又CF=CH，利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF，即得∠BCH=∠DCF，从而得∠HCA=∠FCA，由等腰三角形性质，即可得出AC⊥FH；（2）如图2，过点K作KM⊥AB于点M，易得MK∥BC，可证△AMK∽△ABC，即得AK：AC=MK：BC，再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC，可证△HMK∽△HBC，即得KH：CH=KM：CB，从而推出KH：CH=AK：AC，即可证明结论；（3）由（2）结论得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，由k为AC中点，得MH：BH=1：2，设MH=m，BH=2m，由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，KM=AM=MB=3m，AH=4m，从而得BC=AB=6m，FH=42m，再由勾股定理求得CH=CF=210m，且EH=12AH=22m；再证出△PFH∽△EHC，由相似性质得PF：EH=FH：HC，可表示出PF=4510m，从而得CP=CF-PF=6510m，进而列式计算即可求出CPPF比值.11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？【答案】（1）证明：如图1，∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA，进而证出FA=FG；（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，0 10，即2 90°，所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S．（2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边，再利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出S的值；②由∠FAN=∠ANB=90°，∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，证得△FAN∽△ANB，由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab，整理得ab+b2=a2，即得2S+S1=S2，，进而求证结论成立；（2）S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE，即得AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，则∠FEC=30°，从而得ba=FECE=32，推出b=32a，进而得到S=12ab=34a2，又S1=34b2，S2=34a2，则S2-S1=316a2，即可证明结论成立.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．354【答案】A【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图1，∵剪掉的是两个直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF，∴AB=EF=9，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之：x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454，故B不符合题意；BE=274+2=354，故D不符合题意；如图2同理可知△CFD∽△EFB，∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，∴n7+m=69=mn+2解之：m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解，∴DF=10，故C不符合题意；BF=7+8=15，故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E， ∵AD=2DE，∵BD∥CE，∴ABAC=ADAE=2，∵AB=3，∴BC=12AB=32.故答案为：C.【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．10【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m∴AF=FG=AB=5m，∠AFL+∠GFM=90°，∵GM⊥FL，AK⊥BJ，∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°，∴∠AFL=∠MGF，在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF（AAS）∴AL=FM，设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2，∴x2+（x+m）2=（5m）2，解之：x=m，x=-2m（舍去）；∴AL=FM=m，FL=2m，∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之：AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP，∴点P为AB的中点；∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF，∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之：CN=m，PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2，解之：CH=22.故答案为：C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N，利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m，可得到AF，FG，AB的长，利用AAS证明△AFL≌△MGF，可得到AL=FM，设AL=FM=x，可表示出FL的长；在Rt△AFL中，利用勾股定理可得到x=m，可得到AL=FM=m，FL=2m，利用锐角三角函数的定义，可表示出AP的长，利用勾股定理表示出PF的长，即可得到BP的长，可证得点P是AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示出CP的长；再证明△CPN∽△APF，利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN，PN的长，从而可得到AN的长；再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质，可求出CH的长.4．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，∴四边形BGEF为矩形，∴EG=BF，由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，∴BE=2DE=22，DA=AE=12DE=1，∴AB=BC=22+12=5，∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG，∴1×2=5·EG，∴EG=255，∴BF=255，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=BE2-BF2=（22）2-（255）2=655，∴CF=BF+BC=255+5=755，∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC=EF2+CF2=（655）2+（755）2=17.故答案为：D.【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=22，DA=AE=1，AB=BC=5，根据△AEB的面积，可列=12AE·BD=12AB·EG，代入数据求得EG=255，从而得BF=255，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=655，从而得CF=755，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵ADAB=13，∴DEBC=13，又∵DE=2，∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为：6.【分析】由相似预备定理，即“A”型相似得△ADE∽△ABC，再由相似性质得DEBC=13，即可求得BC的长.6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之：AB=9.88.故答案为：9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长，可得到AC∥DF，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格，再连接CD即可；(2)作A点关于BC的对称点D，再连接CD、DB即可；(3)先延长CB到D使CD=2CB，再延长CA到E点使CE=2CA，连接ED，则△EDC满足条件.四、解答题8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB， ∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；(2)先证明FG∥AD，得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC，∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM= 12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，又CF=CH，利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF，即得∠BCH=∠DCF，从而得∠HCA=∠FCA，由等腰三角形性质，即可得出AC⊥FH；（2）如图2，过点K作KM⊥AB于点M，易得MK∥BC，可证△AMK∽△ABC，即得AK：AC=MK：BC，再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC，可证△HMK∽△HBC，即得KH：CH=KM：CB，从而推出KH：CH=AK：AC，即可证明结论；（3）由（2）结论得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，由k为AC中点，得MH：BH=1：2，设MH=m，BH=2m，由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，KM=AM=MB=3m，AH=4m，从而得BC=AB=6m，FH=42m，再由勾股定理求得CH=CF=210m，且EH=12AH=22m；再证出△PFH∽△EHC，由相似性质得PF：EH=FH：HC，可表示出PF=4510m，从而得CP=CF-PF=6510m，进而列式计算即可求出CPPF比值.11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？【答案】（1）证明：如图1，∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA，进而证出FA=FG；（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，0 10，即2 90°，所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S．（2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边，再利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出S的值；②由∠FAN=∠ANB=90°，∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，证得△FAN∽△ANB，由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab，整理得ab+b2=a2，即得2S+S1=S2，，进而求证结论成立；（2）S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE，即得AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，则∠FEC=30°，从而得ba=FECE=32，推出b=32a，进而得到S=12ab=34a2，又S1=34b2，S2=34a2，则S2-S1=316a2，即可证明结论成立.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．354【答案】A【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图1，∵剪掉的是两个直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF，∴AB=EF=9，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之：x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454，故B不符合题意；BE=274+2=354，故D不符合题意；如图2同理可知△CFD∽△EFB，∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，∴n7+m=69=mn+2解之：m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解，∴DF=10，故C不符合题意；BF=7+8=15，故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E， ∵AD=2DE，∵BD∥CE，∴ABAC=ADAE=2，∵AB=3，∴BC=12AB=32.故答案为：C.【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．10【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m∴AF=FG=AB=5m，∠AFL+∠GFM=90°，∵GM⊥FL，AK⊥BJ，∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°，∴∠AFL=∠MGF，在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF（AAS）∴AL=FM，设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2，∴x2+（x+m）2=（5m）2，解之：x=m，x=-2m（舍去）；∴AL=FM=m，FL=2m，∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之：AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP，∴点P为AB的中点；∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF，∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之：CN=m，PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2，解之：CH=22.故答案为：C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N，利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m，可得到AF，FG，AB的长，利用AAS证明△AFL≌△MGF，可得到AL=FM，设AL=FM=x，可表示出FL的长；在Rt△AFL中，利用勾股定理可得到x=m，可得到AL=FM=m，FL=2m，利用锐角三角函数的定义，可表示出AP的长，利用勾股定理表示出PF的长，即可得到BP的长，可证得点P是AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示出CP的长；再证明△CPN∽△APF，利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN，PN的长，从而可得到AN的长；再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质，可求出CH的长.4．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，∴四边形BGEF为矩形，∴EG=BF，由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，∴BE=2DE=22，DA=AE=12DE=1，∴AB=BC=22+12=5，∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG，∴1×2=5·EG，∴EG=255，∴BF=255，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=BE2-BF2=（22）2-（255）2=655，∴CF=BF+BC=255+5=755，∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC=EF2+CF2=（655）2+（755）2=17.故答案为：D.【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=22，DA=AE=1，AB=BC=5，根据△AEB的面积，可列=12AE·BD=12AB·EG，代入数据求得EG=255，从而得BF=255，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=655，从而得CF=755，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵ADAB=13，∴DEBC=13，又∵DE=2，∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为：6.【分析】由相似预备定理，即“A”型相似得△ADE∽△ABC，再由相似性质得DEBC=13，即可求得BC的长.6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之：AB=9.88.故答案为：9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长，可得到AC∥DF，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格，再连接CD即可；(2)作A点关于BC的对称点D，再连接CD、DB即可；(3)先延长CB到D使CD=2CB，再延长CA到E点使CE=2CA，连接ED，则△EDC满足条件.四、解答题8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB， ∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；(2)先证明FG∥AD，得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC，∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM= 12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，又CF=CH，利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF，即得∠BCH=∠DCF，从而得∠HCA=∠FCA，由等腰三角形性质，即可得出AC⊥FH；（2）如图2，过点K作KM⊥AB于点M，易得MK∥BC，可证△AMK∽△ABC，即得AK：AC=MK：BC，再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC，可证△HMK∽△HBC，即得KH：CH=KM：CB，从而推出KH：CH=AK：AC，即可证明结论；（3）由（2）结论得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，由k为AC中点，得MH：BH=1：2，设MH=m，BH=2m，由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，KM=AM=MB=3m，AH=4m，从而得BC=AB=6m，FH=42m，再由勾股定理求得CH=CF=210m，且EH=12AH=22m；再证出△PFH∽△EHC，由相似性质得PF：EH=FH：HC，可表示出PF=4510m，从而得CP=CF-PF=6510m，进而列式计算即可求出CPPF比值.11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？【答案】（1）证明：如图1，∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA，进而证出FA=FG；（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，0 10，即2 90°，所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S．（2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边，再利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出S的值；②由∠FAN=∠ANB=90°，∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，证得△FAN∽△ANB，由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab，整理得ab+b2=a2，即得2S+S1=S2，，进而求证结论成立；（2）S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE，即得AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，则∠FEC=30°，从而得ba=FECE=32，推出b=32a，进而得到S=12ab=34a2，又S1=34b2，S2=34a2，则S2-S1=316a2，即可证明结论成立.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．354【答案】A【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图1，∵剪掉的是两个直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF，∴AB=EF=9，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之：x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454，故B不符合题意；BE=274+2=354，故D不符合题意；如图2同理可知△CFD∽△EFB，∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，∴n7+m=69=mn+2解之：m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解，∴DF=10，故C不符合题意；BF=7+8=15，故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E， ∵AD=2DE，∵BD∥CE，∴ABAC=ADAE=2，∵AB=3，∴BC=12AB=32.故答案为：C.【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．10【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m∴AF=FG=AB=5m，∠AFL+∠GFM=90°，∵GM⊥FL，AK⊥BJ，∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°，∴∠AFL=∠MGF，在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF（AAS）∴AL=FM，设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2，∴x2+（x+m）2=（5m）2，解之：x=m，x=-2m（舍去）；∴AL=FM=m，FL=2m，∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之：AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP，∴点P为AB的中点；∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF，∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之：CN=m，PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2，解之：CH=22.故答案为：C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N，利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m，可得到AF，FG，AB的长，利用AAS证明△AFL≌△MGF，可得到AL=FM，设AL=FM=x，可表示出FL的长；在Rt△AFL中，利用勾股定理可得到x=m，可得到AL=FM=m，FL=2m，利用锐角三角函数的定义，可表示出AP的长，利用勾股定理表示出PF的长，即可得到BP的长，可证得点P是AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示出CP的长；再证明△CPN∽△APF，利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN，PN的长，从而可得到AN的长；再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质，可求出CH的长.4．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，∴四边形BGEF为矩形，∴EG=BF，由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，∴BE=2DE=22，DA=AE=12DE=1，∴AB=BC=22+12=5，∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG，∴1×2=5·EG，∴EG=255，∴BF=255，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=BE2-BF2=（22）2-（255）2=655，∴CF=BF+BC=255+5=755，∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC=EF2+CF2=（655）2+（755）2=17.故答案为：D.【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=22，DA=AE=1，AB=BC=5，根据△AEB的面积，可列=12AE·BD=12AB·EG，代入数据求得EG=255，从而得BF=255，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=655，从而得CF=755，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵ADAB=13，∴DEBC=13，又∵DE=2，∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为：6.【分析】由相似预备定理，即“A”型相似得△ADE∽△ABC，再由相似性质得DEBC=13，即可求得BC的长.6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之：AB=9.88.故答案为：9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长，可得到AC∥DF，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格，再连接CD即可；(2)作A点关于BC的对称点D，再连接CD、DB即可；(3)先延长CB到D使CD=2CB，再延长CA到E点使CE=2CA，连接ED，则△EDC满足条件.四、解答题8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB， ∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；(2)先证明FG∥AD，得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC，∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM= 12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，又CF=CH，利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF，即得∠BCH=∠DCF，从而得∠HCA=∠FCA，由等腰三角形性质，即可得出AC⊥FH；（2）如图2，过点K作KM⊥AB于点M，易得MK∥BC，可证△AMK∽△ABC，即得AK：AC=MK：BC，再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC，可证△HMK∽△HBC，即得KH：CH=KM：CB，从而推出KH：CH=AK：AC，即可证明结论；（3）由（2）结论得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，由k为AC中点，得MH：BH=1：2，设MH=m，BH=2m，由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，KM=AM=MB=3m，AH=4m，从而得BC=AB=6m，FH=42m，再由勾股定理求得CH=CF=210m，且EH=12AH=22m；再证出△PFH∽△EHC，由相似性质得PF：EH=FH：HC，可表示出PF=4510m，从而得CP=CF-PF=6510m，进而列式计算即可求出CPPF比值.11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？【答案】（1）证明：如图1，∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA，进而证出FA=FG；（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，0 10，即2 90°，所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S．（2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边，再利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出S的值；②由∠FAN=∠ANB=90°，∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，证得△FAN∽△ANB，由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab，整理得ab+b2=a2，即得2S+S1=S2，，进而求证结论成立；（2）S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE，即得AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，则∠FEC=30°，从而得ba=FECE=32，推出b=32a，进而得到S=12ab=34a2，又S1=34b2，S2=34a2，则S2-S1=316a2，即可证明结论成立.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．354【答案】A【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图1，∵剪掉的是两个直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴DFCE=FEBC=DEBE∵矩形ABEF，∴AB=EF=9，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y∴xy=97=6+yx+2解之：x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解∴DE=6+214=454，故B不符合题意；BE=274+2=354，故D不符合题意；如图2同理可知△CFD∽△EFB，∴DFBF=DCEF=CFBE设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，∴n7+m=69=mn+2解之：m=8n=10经检验m=8n=10是原方程组的解，∴DF=10，故C不符合题意；BF=7+8=15，故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．2【答案】C【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E， ∵AD=2DE，∵BD∥CE，∴ABAC=ADAE=2，∵AB=3，∴BC=12AB=32.故答案为：C.【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．10【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m∴AF=FG=AB=5m，∠AFL+∠GFM=90°，∵GM⊥FL，AK⊥BJ，∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°，∴∠AFL=∠MGF，在△AFL和△MGF中∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG∴△AFL≌△MGF（AAS）∴AL=FM，设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m在Rt△AFL中AL2+FL2=AF2，∴x2+（x+m）2=（5m）2，解之：x=m，x=-2m（舍去）；∴AL=FM=m，FL=2m，∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m解之：AP=52m∴FP=5m22+5m2=52mBP=AB=AP=5m-52m=52m∴BP=AP，∴点P为AB的中点；∴CP=12AB=5m2∵CN∥AF∴△CPN∽△APF，∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2解之：CN=m，PN=12CN=12m∴AN=AP+PN=5+12m∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴ △AEC∽△BCH∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2，解之：CH=22.故答案为：C.【分析】过点C作CN⊥AB于点N，利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m，可得到AF，FG，AB的长，利用AAS证明△AFL≌△MGF，可得到AL=FM，设AL=FM=x，可表示出FL的长；在Rt△AFL中，利用勾股定理可得到x=m，可得到AL=FM=m，FL=2m，利用锐角三角函数的定义，可表示出AP的长，利用勾股定理表示出PF的长，即可得到BP的长，可证得点P是AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示出CP的长；再证明△CPN∽△APF，利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN，PN的长，从而可得到AN的长；再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质，可求出CH的长.4．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，∴四边形BGEF为矩形，∴EG=BF，由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，∴BE=2DE=22，DA=AE=12DE=1，∴AB=BC=22+12=5，∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG，∴1×2=5·EG，∴EG=255，∴BF=255，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=BE2-BF2=（22）2-（255）2=655，∴CF=BF+BC=255+5=755，∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC=EF2+CF2=（655）2+（755）2=17.故答案为：D.【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=22，DA=AE=1，AB=BC=5，根据△AEB的面积，可列=12AE·BD=12AB·EG，代入数据求得EG=255，从而得BF=255，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=655，从而得CF=755，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．【答案】6【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵ADAB=13，∴DEBC=13，又∵DE=2，∴BC=3DE=3×2=6. 故答案为：6.【分析】由相似预备定理，即“A”型相似得△ADE∽△ABC，再由相似性质得DEBC=13，即可求得BC的长.6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．【答案】9.88【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF即AB2.47=8.722.18解之：AB=9.88.故答案为：9.88.【分析】利用同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长，可得到AC∥DF，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣相似变换【解析】【分析】(1)把点B、A向右平移向右平移一格，再连接CD即可；(2)作A点关于BC的对称点D，再连接CD、DB即可；(3)先延长CB到D使CD=2CB，再延长CA到E点使CE=2CA，连接ED，则△EDC满足条件.四、解答题8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得DE∥BC，由此可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.（2）设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S的值；同理可求出S2的值，然后根据平行四边形BFED的面积=S-S1-S2，代入计算可求解.9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB， ∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE ∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；(2)先证明FG∥AD，得出△APD~△FPC，由相似比的性质得出DPCP=ADCF，然后根据比例的性质转化，可得结论；(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC，∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM= 12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）线段AC与FH垂直.由正方形性质可得∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，又CF=CH，利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF，即得∠BCH=∠DCF，从而得∠HCA=∠FCA，由等腰三角形性质，即可得出AC⊥FH；（2）如图2，过点K作KM⊥AB于点M，易得MK∥BC，可证△AMK∽△ABC，即得AK：AC=MK：BC，再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC，可证△HMK∽△HBC，即得KH：CH=KM：CB，从而推出KH：CH=AK：AC，即可证明结论；（3）由（2）结论得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，由k为AC中点，得MH：BH=1：2，设MH=m，BH=2m，由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，KM=AM=MB=3m，AH=4m，从而得BC=AB=6m，FH=42m，再由勾股定理求得CH=CF=210m，且EH=12AH=22m；再证出△PFH∽△EHC，由相似性质得PF：EH=FH：HC，可表示出PF=4510m，从而得CP=CF-PF=6510m，进而列式计算即可求出CPPF比值.11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？【答案】（1）证明：如图1，∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5 ∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤12【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA，进而证出FA=FG；（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，0 10，即2 90°，所以△GHC与△BEF不相似.综上可得出满足的条件.12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S．（2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）①由正方形的面积分别求出Rt△ACB的两条直角边，再利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出S的值；②由∠FAN=∠ANB=90°，∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，证得△FAN∽△ANB，由相似三角形对应比成比例可得a+ba=ab，整理得ab+b2=a2，即得2S+S1=S2，，进而求证结论成立；（2）S2-S1=14S.由等边三角形性质得AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，利用“SAS”定理证出△ABC≌△FBE，即得AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，则∠FEC=30°，从而得ba=FECE=32，推出b=32a，进而得到S=12ab=34a2，又S1=34b2，S2=34a2，则S2-S1=316a2，即可证明结论成立.
