浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形及答案
浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其
浙江省2022年中考数学真题分类汇编11解直角三角形一、单选题1．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+siθ)C．siθ(1+si
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．3542．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．104．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．四、解答题8． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由． 答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】66．【答案】9.887．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；8．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．9．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD， ∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α ∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE ∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.10．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC， ∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.11．【答案】（1）证明：如图1， ∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤1212．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S． （2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．3542．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．104．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．四、解答题8． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由． 答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】66．【答案】9.887．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；8．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．9．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD， ∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α ∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE ∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.10．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC， ∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.11．【答案】（1）证明：如图1， ∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤1212．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S． （2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．3542．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．104．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．四、解答题8． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由． 答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】66．【答案】9.887．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；8．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．9．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD， ∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α ∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE ∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.10．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC， ∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.11．【答案】（1）证明：如图1， ∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤1212．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S． （2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．3542．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．104．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．四、解答题8． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由． 答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】66．【答案】9.887．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；8．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．9．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD， ∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α ∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE ∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.10．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC， ∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.11．【答案】（1）证明：如图1， ∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤1212．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S． （2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．3542．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．104．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．四、解答题8． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由． 答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】66．【答案】9.887．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；8．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．9．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD， ∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α ∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE ∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.10．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC， ∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.11．【答案】（1）证明：如图1， ∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤1212．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S． （2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.
简介：浙江省2022年中考数学真题分类汇编10图形的相似一、单选题1．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．252B．454C．10D．3542．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）A．23B．1C．32D．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2，则CH的长为（ ）A．5B．3+52C．22D．104．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为( )A．14B．15C．4D．17二、填空题5．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，ADAB=13，若DE=2，则BC的长是 ．6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= cm．三、作图题7．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形，（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．四、解答题8． 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14、（1）若AB=8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．9．如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，（1）求证：∠CAG=∠AGC：（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若EFCE=25，求DPCP的值；（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.10．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：KHCH=AKAC（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求CPPF的值．11．如图，在菱形ABCD中，AB=10.sinB=35，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？12．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1=9，S2=16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2-S1=2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由． 答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】66．【答案】9.887．【答案】（1）解：如图1，CD为所作；（2）解：如图2，（3）解：如，3，△EDC为所作；8．【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=14∵AB=8，∴AD=2（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．∵ADAB=14∴S1S=(ADAB)2=116∵S1=1，∴S=16．∵CECA=43同理可得S2=9，∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．9．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，∵AH是OO的切线，AH⊥AB，∵CD⊥AB，∴AG∥CD，∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD， ∴∠CAG=∠AGC.（2）解：由(1)得CA=CE，∵CD⊥AB∴AC=AD∴AC=AD，∠ACD=∠ADC∴AD=CE，∠FCD=∠D∴FG//AD∴△APD~△FPC∴DPCP=ADCF∵EFCE=25∴EF+CECE=75∴CECF=57∴DPCP=ADCF=CECF=57（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α.∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC=α.∵OC=OA，∴∠ACO=∠CA0=3α.∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°∴α=22.5°，∵∠OFC=∠AGF∴OF∥AG.∴∠AOF=∠OAG=90°，∴∠OFA=2α=45°，∴△AOF是等腰直角三角形，②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α ∵OC∥AF，∴∠FAE=∠OCA=α∴∠COE=∠FAE=2a.∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG∴∠G=∠AFG=∠E+∠FAE=3a解得α=22.5°，2a=45°.∴△COM是等腰直角三角形，则OCOM=2.可得OM=22，AM=22+1，∴AE=2AM=2+2.③当AC//OF时，如图3，连结OC，OF，设∠AGF=a.∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α∵AC‖OOF∴∠CFO=∠ACF=2α可得∠CAO=∠ACO=4α.解得α=18°，，∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°∴△OCE∽△FCO∴OC2=CE×CF即12=CE×(CE+1)，解得CE=AC=OE=5−12.∴AE=OA−OE=3−52④当AC//OF时，如图4，连结OC，OF，BF，设∠FAO=α.∵AC//OF∴∠CAF=∠OFA=α可得∠COF=∠BOF=2α.∴AC=CE∴∠E=∠CAE=∠EFB∴BF=BE.可证△OCF≅△OBF，∴CF=BF=BE ∴∠E=∠COF∴△COF~△CEO，∴OC2=CE×CF，解得BE=CF=5−12，∴AE=AB+BE=3+52综上所述，AE的长为2−2，2+2，3−52，3+52.10．【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：∵正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，∵CF=CH，∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），∴∠BCH=∠DCF，∴∠HCA=∠FCA，∴AC⊥FH.（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，∴MK∥BC，∴△AMK∽△ABC，∴AK：AC=MK：BC①，∵四边形AFPH为圆内接四边形，∴∠PHA=∠DFC，又∵∠DFC=∠BHC，∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，∴△HMK∽△HBC， ∴KH：CH=KM：CB②，由①和②得：KH：CH=AK：AC，即KHCH=AKAC.（3）解：如图3，由（2）结论可得：KHCH=AKAC，△HMK∽△HBC，∵k为AC中点，∴KHCH=AKAC=12，∴MH：BH=1：2，设MH=m，则BH=2m，∵KM=12BC=12AB，AM=MB=12AB，∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，∴BC=AB=6m，FH=42m，∴CH=CF=（2m）2+（6m）2=210m，EH=12AH=22m，∵∠FAH=90°，∴∠FPH=90°，又∵∠PFH=∠EHC，∴△PFH∽△EHC，∴PF：EH=FH：HC，即PF：22m=42m：210m，∴PF=4510m，∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m，∴CPPF=6510m4510m=32.11．【答案】（1）证明：如图1， ∵菱形ABCD，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵FG∥BC，∴∠FGA=∠BCA，∴∠BAC=∠FGA，∴FA=FG.（2）解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，∵在Rt△ABM中，AM=35AB=6，∴BM=AB2−AM2=102−62=8.∴FG=EF=AM=6，CM=BC−BM=2，∵OA=OC，OE∥AM，∴CE=ME=12CM=12×2=1，∴AF=ME=1，∴AG=AF+FG=1+6=7.②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.同理，FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=12CN=1，∴AG=FG-AF=6-1=5∴AG=7或5.（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0 10，即2 90°，∴△GHC与△BEF不相似.综上所述，s满足的条件为：s=1或s=3225或s=327或10≤s≤1212．【答案】（1）证明：①∵S1=9，S2=16，∴b=3，a=4，∵∠ACB=90°，∴S=12ab=12×3×4=6，②由题意，得∠FAN=∠ANB=90°，∵FH⊥AB，∴∠AFN=90°-∠FAH=∠NAB，∴△FAN∽△ANB，∴FAAN=ANNB，∴a+ba=ab，整理，得ab+b2=a2，∴2S+S1=S2，即S2-S1=2S． （2）解：S2-S1=14S，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等边三角形，∴AB=FB，∠ABC=60°-∠FBC=∠FBE，CB=EB，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴AC=FE=b，∠FEB=∠ACB=90°，∴∠FEC=30°，∵EF⊥CF，CE=BC=a，∴ba=FECE=cos30°=32，∴b=32a，∴S=12ab=34a2，由题意，得S1=34b2，S2=34a2，∴S2-S1=34a2-34b2=316a2，∴S2-S1=14S.
