山西省太原市2022届高三下学期理数模拟试卷及答案
山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷一、单选题1．已知集合P={x∈N|x20)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）A．233B．2C．3D．25．若siα+2cosα=0，则si2α−si2α=（ ）A．−35B．0C
山西省太原市2022届高三下学期理数模拟试卷三一、单选题1．设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是（ ）A．5B．4C．3D．22．复数1−i1−2i的虚部为（ ）A．15B．35C．−15
简介：山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷一、单选题1．已知集合P={x∈N|x2<6}，Q={x|−1≤x<3}，则P∩Q=（ ）A．{−1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．(−1，2]【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为P={x∈N|x2<6}={0，1，2}，Q={x|−1≤x<3}，所以P∩Q={0，1，2}.故答案为：B【分析】求出集合P，利用交集定义能求出P∩Q.2．设2z−zi=3，则复数z在复平面内对应的点为（ ）A．(3，1)B．(3，−1)C．(2，1)D．(2，−1)【答案】C【知识点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由2z−zi=3得2z+zi=3，设z=x+yi(x，y∈R)，则z=x−yi，所以2(x−yi)+(x+yi)i=3，所以2x−y+(x−2y)i=3，所以2x−y=3x−2y=0，解得x=2y=1.所以复数z在复平面内对应的点为(2，1).故答案为：C【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，复数相等的条件，即可求解出答案.3．已知向量a=(3，1)，b=(1，−2)，且(a−b)∥(a+λb)，则实数λ=（ ）A．-1B．−38C．1D．94【答案】A【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由向量a=(3，1)，b=(1，−2)，得a−b=(2，3)，a+λb=(3+λ，1−2λ).因为(a−b)∥(a+λb)，所以2(1−2λ)=3(3+λ)，解得λ=−1.故答案为：A【分析】由题意，利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值.4．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）A．233B．2C．3D．2【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意得ca=2baa2+b2=c2，解得c2a2=43，即e=233.故答案为：A.【分析】由题意得ca=2baa2+b2=c2，求解可得c，a的关系，即可得到答案.5．若sinα+2cosα=0，则sin2α−sin2α=（ ）A．−35B．0C．1D．85【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为sinα+2cosα=0，所以tanα=−2，所以sin2α−sin2α=sin2α−2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α−2tanαtan2α+1=4−2×(−2)4+1=85.故答案为：D.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，再利用正弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得答案.6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD=π3，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（ ）A．13B．24C．64D．63【答案】C 【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB=CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB//AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为1，则SA=SC=2.因为∠AOD=π3，所以∠ADO=π3.在直角△DAC中，CD=2，得AC=3.所以cos∠SAC=(2)2+(3)2−(2)22×2×3=64，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为64.故答案为：C.【分析】先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可得答案.7．将函数f(x)=cos2x+sin2x图象上的点P(0，t)向右平移φ(φ>0)个单位长度得到点P′，若P′恰好在函数g(x)=cos2x−sin2x的图像上，则φ的最小值为（ ）A．π4B．π2C．2π3D．3π4【答案】D【知识点】余弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】由题意知，点P(0，t)在f(x)=cos2x+sin2x的图象上，所以t=cos0+sin0=1，所以P(0，1)，点P向右平移φ个单位长度得到点P′(φ，1).因为P′在函数g(x)=cos2x−sin2x=2cos(2x+π4)的图象上，所以2cos(2φ+π4)=1，解得2φ+π4=±π4+2kπ，k∈Z，所以φ=kπ，k∈Z，或φ=−π4+kπ，k∈Z.因为φ>0，所以φmin=3π4.故答案为：D.【分析】由余弦求出点P的坐标，再求出点P’的坐标，代入函数g(x)的解析式，根据余弦函数的性质化简即可求解出φ的最小值.8．若(x−1x−a)5的展开式中x3的系数为35，则正数a=（ ）A．2B．2C．5D．4【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】因为(x−1x−a)5展开式为：Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，即(x−1x−a)5=C50(−a)5(x−1x)0+C51(−a)4(x−1x)1+C52(−a)3(x−1x)2+C53(−a)2(x−1x)3+C54(−a)1(x−1x)4+C55(−a)0(x−1x)5，所以C53(−a)2(x−1x)3=C53(−a)2(x3−3x+3x−1×3)，C54(−a)1(x−1x)4=C54(−a)1(x4−4×2+6−4×2+1×4)，C55(−a)0(x−1x)5=C55(−a)0(x5−5×3+10x−10x+5×3−1×5)，所以含x3的系数为C53(−a)2+C55×(−a)0(−5)=35，又a为正数，所以a=2.故答案为：B.【分析】根据题意得Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，分析展开式含x3项仅有C53(−a)2(x−1x)3和C55(−a)0(x−1x)5，再展开求系数可得a的值.9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且在区间(1，+∞)上单调递增，则满足f(1−x)>f(x+3)的x的取值范围为（ ）A．(−1，+∞)B．(−∞，−1)C．(−1，1)D．(−∞，1)【答案】B【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以在(−∞，1)上单调递减，因为f(1−x)>f(x+3)，|(1−x)−1|>|(x+3)−1|，即|−x|>|x+2|，平方后解得x<−1.所以x的取值范围为(−∞，−1).故答案为：B.【分析】先求出函数f(x)的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得x的取值范围. 10．某车间加工某种机器的零件数x（单位：个）与加工这些零件所花费的时间y（单位：min）之间的对应数据如下表所示：x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程y=bx+54.9，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．5.8minB．6minC．6.7minD．8min【答案】C【知识点】线性回归方程【解析】【解答】由表中的数据，得x=10+20+30+40+505=30，y=62+68+75+81+895=75，将x，y代入y=bx+54.9，得b=0.67，所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70b+54.9−(60b+54.9)=10b=6.7min.故答案为：C.【分析】由表中的数据得x，y，可得样本中心进而可得回归直线方程，进而求出答案.11．已知实数a，b满足ea+eb=ea+b，给出下列结论：①ab<0；②a+b>1；③ea+eb≥4；④bea>1.则所有正确结论的序号为（ ）A．①③B．②③C．①②④D．②③④【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；基本不等式【解析】【解答】由ea+eb=ea+b得1ea+1eb=1，又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，所以a>0，b>0，ab>0，故①错误；因为ea+eb=ea+b≥2eaeb=2ea+b，所以ea+b≥2，当且仅当ea=eb，即a=b时取等号；即ea+eb=ea+b≥4，则a+b≥ln4>1，故②，③正确；因为1ea+1eb=1，所以ea=ebeb−1，所以bea−1=bebeb−1−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，则f′(b)=beb>0，所以f(b)在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(b)>f(0)=0，即beb−eb+1>0.又eb−1>0，所以bea−1>0，即bea>1，故④正确.故答案为：D.【分析】由题意可知1ea+1eb=1，根据指数幂的性质可知又又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，即可判断①；对ea+eb=ea+b使用基本不等式可知ea+eb=ea+b≥4，两边取对数即可判断②，③；根据题意可知ea=ebeb−1，所以bea−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，再根据导数在函数最值中应用，可知f(b)>f(0)=0可得beb−eb+1>0，由此即可判断④.12．已知数列{an}满足a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，记{an}的前n项和为Sn，{(−1)nS4n+1}的前n项和为Tn，则T51=（ ）A．-5409B．-5357C．5409D．5357【答案】B【知识点】数列的求和【解析】【解答】因为a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，所以当n为奇数时，an+2=an，a1=1，即当n为奇数时，an=1；当n为偶数时，an+2+an=2n.所以S4n+1=a1+a3+a5+⋯+a4n+1+[(a2+a4)+(a6+a8)+⋯+(a4n−2+a4n)]=(2n+1)×1+2×n(2+4n−2)2=(2n+1)2−2n所以(−1)nS4n+1=(−1)n[(2n+1)2−2n]=(−1)n(2n+1)2−(−1)n×2n，所以T51=−32+52−72+92−⋯+(2×50+1)2−(2×51+1)2−2×(−1+2−3+4−⋯+50−51)=−9+(5−7)×(5+7)+(9−11)×(9+11)+⋯+(101−103)×(101+103)−2×(−26)=−9−2×(5+7+9+11+⋯+101+103)+52=−9−2×5+1032×50+52=−5357.故答案为：B.【分析】根据题意，求出n为奇数和n为偶数时an的关系式，依次代入选项的n计算即可得答案.二、填空题13．设x，y满足约束条件3x−2y+4⩾0，x−3y−3⩽0，2x+3y−6⩽0，则z=5x+y的最大值为 .【答案】15【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下：要使z=5x+y最大，只需其表示的直线在坐标轴上的截距最大即可，由图知：当直线过2x+3y−6=0与x−3y−3=0的交点(3，0)时，z最大为5×3+0=15.故答案为：15 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.14．若直线x−y−b=0是曲线y=2x的一条切线，则实数b= .【答案】-1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为y=2x，所以y′=x−12，令x−12=1，得x=1，所以切点为(1，2)，代入x−y−b=0，得b=−1.故答案为：-1.【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于1求得切点横坐标，进一步得到切点坐标，代入切线方程求解出b的值.15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴上方），过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|=3|NF|，则直线AB的斜率为 .【答案】3【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质【解析】【解答】如图，由题意得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，所以∠AMF=∠AFM=∠MFO，∠BNF=∠BFN=∠NFO，因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π，所以∠MFO+∠NFO=π2，所以MF⊥NF，又|MF|=3|NF|，所以∠NMF=π6，所以∠MFO=∠AFM=π3，故∠AFx=π3，所以直线AB的斜率为tanπ3=3.故答案为：3.【分析】由题意画出图像，根据抛物线定义及几何关系计算即可求出直线AB的斜率.16．三棱锥S−BCD的平面展开图如图所示，已知AD⊥BD，BC⊥BD，AB=CF=4，AD=BC=2，若三棱锥S−BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 .【答案】52π3【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知得，三棱锥S−BCD中，SB=SC=4，SD=BC=2，BD=23，且SD与平面BCD所成的角为60∘，构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为23，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球.设O1，O2分别为三棱柱上､下底面三角形的中心，则O为O1O2的中点，因为OO1=3，CO1=233，所以球O的半径R=OO12+CO12=3+43=133，所以球O的表面积为4πR2=4π×133=52π3.故答案为：52π3.【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为2，高为23的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径，再根据球的表面积公式即可求出答案.三、解答题17．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sinA−3cosA)=asinB.（1）求A；（2）若a=2，点D为BC的中点，求AD的最大值.【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得asinB=bsinA.因为b(2sinA−3cosA)=asinB，所以b(2sinA−3cosA)=bsinA.又b≠0，所以sinA−3cosA=0，所以tanA=3.因为△ABC中，0 −a.【答案】（1）解：函数f(x)=xlnx−ax=lnx−ax，定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x+ax2=x+ax2，（i）当a⩾0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；（ii）当a<0时，−a>0，x∈(0，−a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(−a，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当a⩾0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，−a)，单调递增区间为(−a，+∞).（2）证明：由（1）知，当a=−1时，f(x)=lnx+1x，且f(x)⩾f(1)=1，所以xlnx+1⩾x，因为f(x)=xlnx−ax，所以不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，则g′(x)=1−e−x=ex−1ex>0在x>0时恒成立，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0，又xlnx+1⩾x，所以xlnx+e−x⩾x−1+e−x>0，故xlnx+e−x>0，即xf(x)+e−x>−a.【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出f'(x)，分a≥0、a<0讨论可得f(x)的单调区间；(2)f(x)=lnx+1x，由f(x)⩾f(1)=1得xlnx+1⩾x，不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，利用g(x)的单调性可证得xf(x)+e−x>−a.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(2，22b).（1）求椭圆C的方程；（2）点A关于原点O的对称点为点B，与直线AB平行的直线l与C交于点M，N，直线AM与BN交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）解：由题意得ca=324a2+b22b2=1a2=b2+c2，解得a2=8b2=2，所以椭圆C的方程是x28+y22=1.（2）解：点P是在定直线y=−12x上，理由如下，由（1）知A(2，1)，B(−2，−1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y=12x+m，m≠0，将l的方程与x28+y22=1联立消y，得x2+2mx+2m2−4=0，则Δ=4m2−4(2m2−4)>0，得−2 −73，∴−73 4a−2−a≥02(a−2)−a≥0，不等式组解集为∅；综上所述：实数a的取值范围为(−∞，1].【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将a=−1代入f(x)中，然后利用零点分段法解不等式f(x)<8即可得不等式的解集；(2)由f(x)≥0得|2x−a|≥a(2−x)，分2x−a≥0和2x−a<0两种情况解不等式可得实数a的取值范围.
简介：山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷一、单选题1．已知集合P={x∈N|x2<6}，Q={x|−1≤x<3}，则P∩Q=（ ）A．{−1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．(−1，2]【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为P={x∈N|x2<6}={0，1，2}，Q={x|−1≤x<3}，所以P∩Q={0，1，2}.故答案为：B【分析】求出集合P，利用交集定义能求出P∩Q.2．设2z−zi=3，则复数z在复平面内对应的点为（ ）A．(3，1)B．(3，−1)C．(2，1)D．(2，−1)【答案】C【知识点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由2z−zi=3得2z+zi=3，设z=x+yi(x，y∈R)，则z=x−yi，所以2(x−yi)+(x+yi)i=3，所以2x−y+(x−2y)i=3，所以2x−y=3x−2y=0，解得x=2y=1.所以复数z在复平面内对应的点为(2，1).故答案为：C【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，复数相等的条件，即可求解出答案.3．已知向量a=(3，1)，b=(1，−2)，且(a−b)∥(a+λb)，则实数λ=（ ）A．-1B．−38C．1D．94【答案】A【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由向量a=(3，1)，b=(1，−2)，得a−b=(2，3)，a+λb=(3+λ，1−2λ).因为(a−b)∥(a+λb)，所以2(1−2λ)=3(3+λ)，解得λ=−1.故答案为：A【分析】由题意，利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值.4．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）A．233B．2C．3D．2【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意得ca=2baa2+b2=c2，解得c2a2=43，即e=233.故答案为：A.【分析】由题意得ca=2baa2+b2=c2，求解可得c，a的关系，即可得到答案.5．若sinα+2cosα=0，则sin2α−sin2α=（ ）A．−35B．0C．1D．85【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为sinα+2cosα=0，所以tanα=−2，所以sin2α−sin2α=sin2α−2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α−2tanαtan2α+1=4−2×(−2)4+1=85.故答案为：D.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，再利用正弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得答案.6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD=π3，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（ ）A．13B．24C．64D．63【答案】C 【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB=CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB//AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为1，则SA=SC=2.因为∠AOD=π3，所以∠ADO=π3.在直角△DAC中，CD=2，得AC=3.所以cos∠SAC=(2)2+(3)2−(2)22×2×3=64，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为64.故答案为：C.【分析】先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可得答案.7．将函数f(x)=cos2x+sin2x图象上的点P(0，t)向右平移φ(φ>0)个单位长度得到点P′，若P′恰好在函数g(x)=cos2x−sin2x的图像上，则φ的最小值为（ ）A．π4B．π2C．2π3D．3π4【答案】D【知识点】余弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】由题意知，点P(0，t)在f(x)=cos2x+sin2x的图象上，所以t=cos0+sin0=1，所以P(0，1)，点P向右平移φ个单位长度得到点P′(φ，1).因为P′在函数g(x)=cos2x−sin2x=2cos(2x+π4)的图象上，所以2cos(2φ+π4)=1，解得2φ+π4=±π4+2kπ，k∈Z，所以φ=kπ，k∈Z，或φ=−π4+kπ，k∈Z.因为φ>0，所以φmin=3π4.故答案为：D.【分析】由余弦求出点P的坐标，再求出点P’的坐标，代入函数g(x)的解析式，根据余弦函数的性质化简即可求解出φ的最小值.8．若(x−1x−a)5的展开式中x3的系数为35，则正数a=（ ）A．2B．2C．5D．4【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】因为(x−1x−a)5展开式为：Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，即(x−1x−a)5=C50(−a)5(x−1x)0+C51(−a)4(x−1x)1+C52(−a)3(x−1x)2+C53(−a)2(x−1x)3+C54(−a)1(x−1x)4+C55(−a)0(x−1x)5，所以C53(−a)2(x−1x)3=C53(−a)2(x3−3x+3x−1×3)，C54(−a)1(x−1x)4=C54(−a)1(x4−4×2+6−4×2+1×4)，C55(−a)0(x−1x)5=C55(−a)0(x5−5×3+10x−10x+5×3−1×5)，所以含x3的系数为C53(−a)2+C55×(−a)0(−5)=35，又a为正数，所以a=2.故答案为：B.【分析】根据题意得Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，分析展开式含x3项仅有C53(−a)2(x−1x)3和C55(−a)0(x−1x)5，再展开求系数可得a的值.9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且在区间(1，+∞)上单调递增，则满足f(1−x)>f(x+3)的x的取值范围为（ ）A．(−1，+∞)B．(−∞，−1)C．(−1，1)D．(−∞，1)【答案】B【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以在(−∞，1)上单调递减，因为f(1−x)>f(x+3)，|(1−x)−1|>|(x+3)−1|，即|−x|>|x+2|，平方后解得x<−1.所以x的取值范围为(−∞，−1).故答案为：B.【分析】先求出函数f(x)的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得x的取值范围. 10．某车间加工某种机器的零件数x（单位：个）与加工这些零件所花费的时间y（单位：min）之间的对应数据如下表所示：x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程y=bx+54.9，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．5.8minB．6minC．6.7minD．8min【答案】C【知识点】线性回归方程【解析】【解答】由表中的数据，得x=10+20+30+40+505=30，y=62+68+75+81+895=75，将x，y代入y=bx+54.9，得b=0.67，所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70b+54.9−(60b+54.9)=10b=6.7min.故答案为：C.【分析】由表中的数据得x，y，可得样本中心进而可得回归直线方程，进而求出答案.11．已知实数a，b满足ea+eb=ea+b，给出下列结论：①ab<0；②a+b>1；③ea+eb≥4；④bea>1.则所有正确结论的序号为（ ）A．①③B．②③C．①②④D．②③④【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；基本不等式【解析】【解答】由ea+eb=ea+b得1ea+1eb=1，又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，所以a>0，b>0，ab>0，故①错误；因为ea+eb=ea+b≥2eaeb=2ea+b，所以ea+b≥2，当且仅当ea=eb，即a=b时取等号；即ea+eb=ea+b≥4，则a+b≥ln4>1，故②，③正确；因为1ea+1eb=1，所以ea=ebeb−1，所以bea−1=bebeb−1−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，则f′(b)=beb>0，所以f(b)在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(b)>f(0)=0，即beb−eb+1>0.又eb−1>0，所以bea−1>0，即bea>1，故④正确.故答案为：D.【分析】由题意可知1ea+1eb=1，根据指数幂的性质可知又又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，即可判断①；对ea+eb=ea+b使用基本不等式可知ea+eb=ea+b≥4，两边取对数即可判断②，③；根据题意可知ea=ebeb−1，所以bea−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，再根据导数在函数最值中应用，可知f(b)>f(0)=0可得beb−eb+1>0，由此即可判断④.12．已知数列{an}满足a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，记{an}的前n项和为Sn，{(−1)nS4n+1}的前n项和为Tn，则T51=（ ）A．-5409B．-5357C．5409D．5357【答案】B【知识点】数列的求和【解析】【解答】因为a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，所以当n为奇数时，an+2=an，a1=1，即当n为奇数时，an=1；当n为偶数时，an+2+an=2n.所以S4n+1=a1+a3+a5+⋯+a4n+1+[(a2+a4)+(a6+a8)+⋯+(a4n−2+a4n)]=(2n+1)×1+2×n(2+4n−2)2=(2n+1)2−2n所以(−1)nS4n+1=(−1)n[(2n+1)2−2n]=(−1)n(2n+1)2−(−1)n×2n，所以T51=−32+52−72+92−⋯+(2×50+1)2−(2×51+1)2−2×(−1+2−3+4−⋯+50−51)=−9+(5−7)×(5+7)+(9−11)×(9+11)+⋯+(101−103)×(101+103)−2×(−26)=−9−2×(5+7+9+11+⋯+101+103)+52=−9−2×5+1032×50+52=−5357.故答案为：B.【分析】根据题意，求出n为奇数和n为偶数时an的关系式，依次代入选项的n计算即可得答案.二、填空题13．设x，y满足约束条件3x−2y+4⩾0，x−3y−3⩽0，2x+3y−6⩽0，则z=5x+y的最大值为 .【答案】15【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下：要使z=5x+y最大，只需其表示的直线在坐标轴上的截距最大即可，由图知：当直线过2x+3y−6=0与x−3y−3=0的交点(3，0)时，z最大为5×3+0=15.故答案为：15 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.14．若直线x−y−b=0是曲线y=2x的一条切线，则实数b= .【答案】-1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为y=2x，所以y′=x−12，令x−12=1，得x=1，所以切点为(1，2)，代入x−y−b=0，得b=−1.故答案为：-1.【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于1求得切点横坐标，进一步得到切点坐标，代入切线方程求解出b的值.15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴上方），过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|=3|NF|，则直线AB的斜率为 .【答案】3【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质【解析】【解答】如图，由题意得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，所以∠AMF=∠AFM=∠MFO，∠BNF=∠BFN=∠NFO，因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π，所以∠MFO+∠NFO=π2，所以MF⊥NF，又|MF|=3|NF|，所以∠NMF=π6，所以∠MFO=∠AFM=π3，故∠AFx=π3，所以直线AB的斜率为tanπ3=3.故答案为：3.【分析】由题意画出图像，根据抛物线定义及几何关系计算即可求出直线AB的斜率.16．三棱锥S−BCD的平面展开图如图所示，已知AD⊥BD，BC⊥BD，AB=CF=4，AD=BC=2，若三棱锥S−BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 .【答案】52π3【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知得，三棱锥S−BCD中，SB=SC=4，SD=BC=2，BD=23，且SD与平面BCD所成的角为60∘，构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为23，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球.设O1，O2分别为三棱柱上､下底面三角形的中心，则O为O1O2的中点，因为OO1=3，CO1=233，所以球O的半径R=OO12+CO12=3+43=133，所以球O的表面积为4πR2=4π×133=52π3.故答案为：52π3.【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为2，高为23的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径，再根据球的表面积公式即可求出答案.三、解答题17．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sinA−3cosA)=asinB.（1）求A；（2）若a=2，点D为BC的中点，求AD的最大值.【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得asinB=bsinA.因为b(2sinA−3cosA)=asinB，所以b(2sinA−3cosA)=bsinA.又b≠0，所以sinA−3cosA=0，所以tanA=3.因为△ABC中，0 −a.【答案】（1）解：函数f(x)=xlnx−ax=lnx−ax，定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x+ax2=x+ax2，（i）当a⩾0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；（ii）当a<0时，−a>0，x∈(0，−a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(−a，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当a⩾0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，−a)，单调递增区间为(−a，+∞).（2）证明：由（1）知，当a=−1时，f(x)=lnx+1x，且f(x)⩾f(1)=1，所以xlnx+1⩾x，因为f(x)=xlnx−ax，所以不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，则g′(x)=1−e−x=ex−1ex>0在x>0时恒成立，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0，又xlnx+1⩾x，所以xlnx+e−x⩾x−1+e−x>0，故xlnx+e−x>0，即xf(x)+e−x>−a.【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出f'(x)，分a≥0、a<0讨论可得f(x)的单调区间；(2)f(x)=lnx+1x，由f(x)⩾f(1)=1得xlnx+1⩾x，不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，利用g(x)的单调性可证得xf(x)+e−x>−a.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(2，22b).（1）求椭圆C的方程；（2）点A关于原点O的对称点为点B，与直线AB平行的直线l与C交于点M，N，直线AM与BN交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）解：由题意得ca=324a2+b22b2=1a2=b2+c2，解得a2=8b2=2，所以椭圆C的方程是x28+y22=1.（2）解：点P是在定直线y=−12x上，理由如下，由（1）知A(2，1)，B(−2，−1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y=12x+m，m≠0，将l的方程与x28+y22=1联立消y，得x2+2mx+2m2−4=0，则Δ=4m2−4(2m2−4)>0，得−2 −73，∴−73 4a−2−a≥02(a−2)−a≥0，不等式组解集为∅；综上所述：实数a的取值范围为(−∞，1].【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将a=−1代入f(x)中，然后利用零点分段法解不等式f(x)<8即可得不等式的解集；(2)由f(x)≥0得|2x−a|≥a(2−x)，分2x−a≥0和2x−a<0两种情况解不等式可得实数a的取值范围.
简介：山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷一、单选题1．已知集合P={x∈N|x2<6}，Q={x|−1≤x<3}，则P∩Q=（ ）A．{−1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．(−1，2]【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为P={x∈N|x2<6}={0，1，2}，Q={x|−1≤x<3}，所以P∩Q={0，1，2}.故答案为：B【分析】求出集合P，利用交集定义能求出P∩Q.2．设2z−zi=3，则复数z在复平面内对应的点为（ ）A．(3，1)B．(3，−1)C．(2，1)D．(2，−1)【答案】C【知识点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由2z−zi=3得2z+zi=3，设z=x+yi(x，y∈R)，则z=x−yi，所以2(x−yi)+(x+yi)i=3，所以2x−y+(x−2y)i=3，所以2x−y=3x−2y=0，解得x=2y=1.所以复数z在复平面内对应的点为(2，1).故答案为：C【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，复数相等的条件，即可求解出答案.3．已知向量a=(3，1)，b=(1，−2)，且(a−b)∥(a+λb)，则实数λ=（ ）A．-1B．−38C．1D．94【答案】A【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由向量a=(3，1)，b=(1，−2)，得a−b=(2，3)，a+λb=(3+λ，1−2λ).因为(a−b)∥(a+λb)，所以2(1−2λ)=3(3+λ)，解得λ=−1.故答案为：A【分析】由题意，利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值.4．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）A．233B．2C．3D．2【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意得ca=2baa2+b2=c2，解得c2a2=43，即e=233.故答案为：A.【分析】由题意得ca=2baa2+b2=c2，求解可得c，a的关系，即可得到答案.5．若sinα+2cosα=0，则sin2α−sin2α=（ ）A．−35B．0C．1D．85【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为sinα+2cosα=0，所以tanα=−2，所以sin2α−sin2α=sin2α−2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α−2tanαtan2α+1=4−2×(−2)4+1=85.故答案为：D.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，再利用正弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得答案.6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD=π3，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（ ）A．13B．24C．64D．63【答案】C 【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB=CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB//AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为1，则SA=SC=2.因为∠AOD=π3，所以∠ADO=π3.在直角△DAC中，CD=2，得AC=3.所以cos∠SAC=(2)2+(3)2−(2)22×2×3=64，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为64.故答案为：C.【分析】先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可得答案.7．将函数f(x)=cos2x+sin2x图象上的点P(0，t)向右平移φ(φ>0)个单位长度得到点P′，若P′恰好在函数g(x)=cos2x−sin2x的图像上，则φ的最小值为（ ）A．π4B．π2C．2π3D．3π4【答案】D【知识点】余弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】由题意知，点P(0，t)在f(x)=cos2x+sin2x的图象上，所以t=cos0+sin0=1，所以P(0，1)，点P向右平移φ个单位长度得到点P′(φ，1).因为P′在函数g(x)=cos2x−sin2x=2cos(2x+π4)的图象上，所以2cos(2φ+π4)=1，解得2φ+π4=±π4+2kπ，k∈Z，所以φ=kπ，k∈Z，或φ=−π4+kπ，k∈Z.因为φ>0，所以φmin=3π4.故答案为：D.【分析】由余弦求出点P的坐标，再求出点P’的坐标，代入函数g(x)的解析式，根据余弦函数的性质化简即可求解出φ的最小值.8．若(x−1x−a)5的展开式中x3的系数为35，则正数a=（ ）A．2B．2C．5D．4【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】因为(x−1x−a)5展开式为：Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，即(x−1x−a)5=C50(−a)5(x−1x)0+C51(−a)4(x−1x)1+C52(−a)3(x−1x)2+C53(−a)2(x−1x)3+C54(−a)1(x−1x)4+C55(−a)0(x−1x)5，所以C53(−a)2(x−1x)3=C53(−a)2(x3−3x+3x−1×3)，C54(−a)1(x−1x)4=C54(−a)1(x4−4×2+6−4×2+1×4)，C55(−a)0(x−1x)5=C55(−a)0(x5−5×3+10x−10x+5×3−1×5)，所以含x3的系数为C53(−a)2+C55×(−a)0(−5)=35，又a为正数，所以a=2.故答案为：B.【分析】根据题意得Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，分析展开式含x3项仅有C53(−a)2(x−1x)3和C55(−a)0(x−1x)5，再展开求系数可得a的值.9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且在区间(1，+∞)上单调递增，则满足f(1−x)>f(x+3)的x的取值范围为（ ）A．(−1，+∞)B．(−∞，−1)C．(−1，1)D．(−∞，1)【答案】B【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以在(−∞，1)上单调递减，因为f(1−x)>f(x+3)，|(1−x)−1|>|(x+3)−1|，即|−x|>|x+2|，平方后解得x<−1.所以x的取值范围为(−∞，−1).故答案为：B.【分析】先求出函数f(x)的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得x的取值范围. 10．某车间加工某种机器的零件数x（单位：个）与加工这些零件所花费的时间y（单位：min）之间的对应数据如下表所示：x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程y=bx+54.9，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．5.8minB．6minC．6.7minD．8min【答案】C【知识点】线性回归方程【解析】【解答】由表中的数据，得x=10+20+30+40+505=30，y=62+68+75+81+895=75，将x，y代入y=bx+54.9，得b=0.67，所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70b+54.9−(60b+54.9)=10b=6.7min.故答案为：C.【分析】由表中的数据得x，y，可得样本中心进而可得回归直线方程，进而求出答案.11．已知实数a，b满足ea+eb=ea+b，给出下列结论：①ab<0；②a+b>1；③ea+eb≥4；④bea>1.则所有正确结论的序号为（ ）A．①③B．②③C．①②④D．②③④【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；基本不等式【解析】【解答】由ea+eb=ea+b得1ea+1eb=1，又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，所以a>0，b>0，ab>0，故①错误；因为ea+eb=ea+b≥2eaeb=2ea+b，所以ea+b≥2，当且仅当ea=eb，即a=b时取等号；即ea+eb=ea+b≥4，则a+b≥ln4>1，故②，③正确；因为1ea+1eb=1，所以ea=ebeb−1，所以bea−1=bebeb−1−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，则f′(b)=beb>0，所以f(b)在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(b)>f(0)=0，即beb−eb+1>0.又eb−1>0，所以bea−1>0，即bea>1，故④正确.故答案为：D.【分析】由题意可知1ea+1eb=1，根据指数幂的性质可知又又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，即可判断①；对ea+eb=ea+b使用基本不等式可知ea+eb=ea+b≥4，两边取对数即可判断②，③；根据题意可知ea=ebeb−1，所以bea−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，再根据导数在函数最值中应用，可知f(b)>f(0)=0可得beb−eb+1>0，由此即可判断④.12．已知数列{an}满足a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，记{an}的前n项和为Sn，{(−1)nS4n+1}的前n项和为Tn，则T51=（ ）A．-5409B．-5357C．5409D．5357【答案】B【知识点】数列的求和【解析】【解答】因为a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，所以当n为奇数时，an+2=an，a1=1，即当n为奇数时，an=1；当n为偶数时，an+2+an=2n.所以S4n+1=a1+a3+a5+⋯+a4n+1+[(a2+a4)+(a6+a8)+⋯+(a4n−2+a4n)]=(2n+1)×1+2×n(2+4n−2)2=(2n+1)2−2n所以(−1)nS4n+1=(−1)n[(2n+1)2−2n]=(−1)n(2n+1)2−(−1)n×2n，所以T51=−32+52−72+92−⋯+(2×50+1)2−(2×51+1)2−2×(−1+2−3+4−⋯+50−51)=−9+(5−7)×(5+7)+(9−11)×(9+11)+⋯+(101−103)×(101+103)−2×(−26)=−9−2×(5+7+9+11+⋯+101+103)+52=−9−2×5+1032×50+52=−5357.故答案为：B.【分析】根据题意，求出n为奇数和n为偶数时an的关系式，依次代入选项的n计算即可得答案.二、填空题13．设x，y满足约束条件3x−2y+4⩾0，x−3y−3⩽0，2x+3y−6⩽0，则z=5x+y的最大值为 .【答案】15【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下：要使z=5x+y最大，只需其表示的直线在坐标轴上的截距最大即可，由图知：当直线过2x+3y−6=0与x−3y−3=0的交点(3，0)时，z最大为5×3+0=15.故答案为：15 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.14．若直线x−y−b=0是曲线y=2x的一条切线，则实数b= .【答案】-1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为y=2x，所以y′=x−12，令x−12=1，得x=1，所以切点为(1，2)，代入x−y−b=0，得b=−1.故答案为：-1.【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于1求得切点横坐标，进一步得到切点坐标，代入切线方程求解出b的值.15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴上方），过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|=3|NF|，则直线AB的斜率为 .【答案】3【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质【解析】【解答】如图，由题意得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，所以∠AMF=∠AFM=∠MFO，∠BNF=∠BFN=∠NFO，因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π，所以∠MFO+∠NFO=π2，所以MF⊥NF，又|MF|=3|NF|，所以∠NMF=π6，所以∠MFO=∠AFM=π3，故∠AFx=π3，所以直线AB的斜率为tanπ3=3.故答案为：3.【分析】由题意画出图像，根据抛物线定义及几何关系计算即可求出直线AB的斜率.16．三棱锥S−BCD的平面展开图如图所示，已知AD⊥BD，BC⊥BD，AB=CF=4，AD=BC=2，若三棱锥S−BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 .【答案】52π3【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知得，三棱锥S−BCD中，SB=SC=4，SD=BC=2，BD=23，且SD与平面BCD所成的角为60∘，构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为23，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球.设O1，O2分别为三棱柱上､下底面三角形的中心，则O为O1O2的中点，因为OO1=3，CO1=233，所以球O的半径R=OO12+CO12=3+43=133，所以球O的表面积为4πR2=4π×133=52π3.故答案为：52π3.【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为2，高为23的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径，再根据球的表面积公式即可求出答案.三、解答题17．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sinA−3cosA)=asinB.（1）求A；（2）若a=2，点D为BC的中点，求AD的最大值.【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得asinB=bsinA.因为b(2sinA−3cosA)=asinB，所以b(2sinA−3cosA)=bsinA.又b≠0，所以sinA−3cosA=0，所以tanA=3.因为△ABC中，0 −a.【答案】（1）解：函数f(x)=xlnx−ax=lnx−ax，定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x+ax2=x+ax2，（i）当a⩾0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；（ii）当a<0时，−a>0，x∈(0，−a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(−a，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当a⩾0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，−a)，单调递增区间为(−a，+∞).（2）证明：由（1）知，当a=−1时，f(x)=lnx+1x，且f(x)⩾f(1)=1，所以xlnx+1⩾x，因为f(x)=xlnx−ax，所以不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，则g′(x)=1−e−x=ex−1ex>0在x>0时恒成立，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0，又xlnx+1⩾x，所以xlnx+e−x⩾x−1+e−x>0，故xlnx+e−x>0，即xf(x)+e−x>−a.【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出f'(x)，分a≥0、a<0讨论可得f(x)的单调区间；(2)f(x)=lnx+1x，由f(x)⩾f(1)=1得xlnx+1⩾x，不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，利用g(x)的单调性可证得xf(x)+e−x>−a.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(2，22b).（1）求椭圆C的方程；（2）点A关于原点O的对称点为点B，与直线AB平行的直线l与C交于点M，N，直线AM与BN交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）解：由题意得ca=324a2+b22b2=1a2=b2+c2，解得a2=8b2=2，所以椭圆C的方程是x28+y22=1.（2）解：点P是在定直线y=−12x上，理由如下，由（1）知A(2，1)，B(−2，−1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y=12x+m，m≠0，将l的方程与x28+y22=1联立消y，得x2+2mx+2m2−4=0，则Δ=4m2−4(2m2−4)>0，得−2 −73，∴−73 4a−2−a≥02(a−2)−a≥0，不等式组解集为∅；综上所述：实数a的取值范围为(−∞，1].【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将a=−1代入f(x)中，然后利用零点分段法解不等式f(x)<8即可得不等式的解集；(2)由f(x)≥0得|2x−a|≥a(2−x)，分2x−a≥0和2x−a<0两种情况解不等式可得实数a的取值范围.
简介：山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷一、单选题1．已知集合P={x∈N|x2<6}，Q={x|−1≤x<3}，则P∩Q=（ ）A．{−1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．(−1，2]【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为P={x∈N|x2<6}={0，1，2}，Q={x|−1≤x<3}，所以P∩Q={0，1，2}.故答案为：B【分析】求出集合P，利用交集定义能求出P∩Q.2．设2z−zi=3，则复数z在复平面内对应的点为（ ）A．(3，1)B．(3，−1)C．(2，1)D．(2，−1)【答案】C【知识点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由2z−zi=3得2z+zi=3，设z=x+yi(x，y∈R)，则z=x−yi，所以2(x−yi)+(x+yi)i=3，所以2x−y+(x−2y)i=3，所以2x−y=3x−2y=0，解得x=2y=1.所以复数z在复平面内对应的点为(2，1).故答案为：C【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，复数相等的条件，即可求解出答案.3．已知向量a=(3，1)，b=(1，−2)，且(a−b)∥(a+λb)，则实数λ=（ ）A．-1B．−38C．1D．94【答案】A【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由向量a=(3，1)，b=(1，−2)，得a−b=(2，3)，a+λb=(3+λ，1−2λ).因为(a−b)∥(a+λb)，所以2(1−2λ)=3(3+λ)，解得λ=−1.故答案为：A【分析】由题意，利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值.4．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）A．233B．2C．3D．2【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意得ca=2baa2+b2=c2，解得c2a2=43，即e=233.故答案为：A.【分析】由题意得ca=2baa2+b2=c2，求解可得c，a的关系，即可得到答案.5．若sinα+2cosα=0，则sin2α−sin2α=（ ）A．−35B．0C．1D．85【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为sinα+2cosα=0，所以tanα=−2，所以sin2α−sin2α=sin2α−2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α−2tanαtan2α+1=4−2×(−2)4+1=85.故答案为：D.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，再利用正弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得答案.6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD=π3，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（ ）A．13B．24C．64D．63【答案】C 【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB=CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB//AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为1，则SA=SC=2.因为∠AOD=π3，所以∠ADO=π3.在直角△DAC中，CD=2，得AC=3.所以cos∠SAC=(2)2+(3)2−(2)22×2×3=64，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为64.故答案为：C.【分析】先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可得答案.7．将函数f(x)=cos2x+sin2x图象上的点P(0，t)向右平移φ(φ>0)个单位长度得到点P′，若P′恰好在函数g(x)=cos2x−sin2x的图像上，则φ的最小值为（ ）A．π4B．π2C．2π3D．3π4【答案】D【知识点】余弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】由题意知，点P(0，t)在f(x)=cos2x+sin2x的图象上，所以t=cos0+sin0=1，所以P(0，1)，点P向右平移φ个单位长度得到点P′(φ，1).因为P′在函数g(x)=cos2x−sin2x=2cos(2x+π4)的图象上，所以2cos(2φ+π4)=1，解得2φ+π4=±π4+2kπ，k∈Z，所以φ=kπ，k∈Z，或φ=−π4+kπ，k∈Z.因为φ>0，所以φmin=3π4.故答案为：D.【分析】由余弦求出点P的坐标，再求出点P’的坐标，代入函数g(x)的解析式，根据余弦函数的性质化简即可求解出φ的最小值.8．若(x−1x−a)5的展开式中x3的系数为35，则正数a=（ ）A．2B．2C．5D．4【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】因为(x−1x−a)5展开式为：Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，即(x−1x−a)5=C50(−a)5(x−1x)0+C51(−a)4(x−1x)1+C52(−a)3(x−1x)2+C53(−a)2(x−1x)3+C54(−a)1(x−1x)4+C55(−a)0(x−1x)5，所以C53(−a)2(x−1x)3=C53(−a)2(x3−3x+3x−1×3)，C54(−a)1(x−1x)4=C54(−a)1(x4−4×2+6−4×2+1×4)，C55(−a)0(x−1x)5=C55(−a)0(x5−5×3+10x−10x+5×3−1×5)，所以含x3的系数为C53(−a)2+C55×(−a)0(−5)=35，又a为正数，所以a=2.故答案为：B.【分析】根据题意得Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，分析展开式含x3项仅有C53(−a)2(x−1x)3和C55(−a)0(x−1x)5，再展开求系数可得a的值.9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且在区间(1，+∞)上单调递增，则满足f(1−x)>f(x+3)的x的取值范围为（ ）A．(−1，+∞)B．(−∞，−1)C．(−1，1)D．(−∞，1)【答案】B【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以在(−∞，1)上单调递减，因为f(1−x)>f(x+3)，|(1−x)−1|>|(x+3)−1|，即|−x|>|x+2|，平方后解得x<−1.所以x的取值范围为(−∞，−1).故答案为：B.【分析】先求出函数f(x)的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得x的取值范围. 10．某车间加工某种机器的零件数x（单位：个）与加工这些零件所花费的时间y（单位：min）之间的对应数据如下表所示：x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程y=bx+54.9，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．5.8minB．6minC．6.7minD．8min【答案】C【知识点】线性回归方程【解析】【解答】由表中的数据，得x=10+20+30+40+505=30，y=62+68+75+81+895=75，将x，y代入y=bx+54.9，得b=0.67，所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70b+54.9−(60b+54.9)=10b=6.7min.故答案为：C.【分析】由表中的数据得x，y，可得样本中心进而可得回归直线方程，进而求出答案.11．已知实数a，b满足ea+eb=ea+b，给出下列结论：①ab<0；②a+b>1；③ea+eb≥4；④bea>1.则所有正确结论的序号为（ ）A．①③B．②③C．①②④D．②③④【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；基本不等式【解析】【解答】由ea+eb=ea+b得1ea+1eb=1，又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，所以a>0，b>0，ab>0，故①错误；因为ea+eb=ea+b≥2eaeb=2ea+b，所以ea+b≥2，当且仅当ea=eb，即a=b时取等号；即ea+eb=ea+b≥4，则a+b≥ln4>1，故②，③正确；因为1ea+1eb=1，所以ea=ebeb−1，所以bea−1=bebeb−1−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，则f′(b)=beb>0，所以f(b)在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(b)>f(0)=0，即beb−eb+1>0.又eb−1>0，所以bea−1>0，即bea>1，故④正确.故答案为：D.【分析】由题意可知1ea+1eb=1，根据指数幂的性质可知又又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，即可判断①；对ea+eb=ea+b使用基本不等式可知ea+eb=ea+b≥4，两边取对数即可判断②，③；根据题意可知ea=ebeb−1，所以bea−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，再根据导数在函数最值中应用，可知f(b)>f(0)=0可得beb−eb+1>0，由此即可判断④.12．已知数列{an}满足a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，记{an}的前n项和为Sn，{(−1)nS4n+1}的前n项和为Tn，则T51=（ ）A．-5409B．-5357C．5409D．5357【答案】B【知识点】数列的求和【解析】【解答】因为a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，所以当n为奇数时，an+2=an，a1=1，即当n为奇数时，an=1；当n为偶数时，an+2+an=2n.所以S4n+1=a1+a3+a5+⋯+a4n+1+[(a2+a4)+(a6+a8)+⋯+(a4n−2+a4n)]=(2n+1)×1+2×n(2+4n−2)2=(2n+1)2−2n所以(−1)nS4n+1=(−1)n[(2n+1)2−2n]=(−1)n(2n+1)2−(−1)n×2n，所以T51=−32+52−72+92−⋯+(2×50+1)2−(2×51+1)2−2×(−1+2−3+4−⋯+50−51)=−9+(5−7)×(5+7)+(9−11)×(9+11)+⋯+(101−103)×(101+103)−2×(−26)=−9−2×(5+7+9+11+⋯+101+103)+52=−9−2×5+1032×50+52=−5357.故答案为：B.【分析】根据题意，求出n为奇数和n为偶数时an的关系式，依次代入选项的n计算即可得答案.二、填空题13．设x，y满足约束条件3x−2y+4⩾0，x−3y−3⩽0，2x+3y−6⩽0，则z=5x+y的最大值为 .【答案】15【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下：要使z=5x+y最大，只需其表示的直线在坐标轴上的截距最大即可，由图知：当直线过2x+3y−6=0与x−3y−3=0的交点(3，0)时，z最大为5×3+0=15.故答案为：15 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.14．若直线x−y−b=0是曲线y=2x的一条切线，则实数b= .【答案】-1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为y=2x，所以y′=x−12，令x−12=1，得x=1，所以切点为(1，2)，代入x−y−b=0，得b=−1.故答案为：-1.【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于1求得切点横坐标，进一步得到切点坐标，代入切线方程求解出b的值.15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴上方），过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|=3|NF|，则直线AB的斜率为 .【答案】3【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质【解析】【解答】如图，由题意得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，所以∠AMF=∠AFM=∠MFO，∠BNF=∠BFN=∠NFO，因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π，所以∠MFO+∠NFO=π2，所以MF⊥NF，又|MF|=3|NF|，所以∠NMF=π6，所以∠MFO=∠AFM=π3，故∠AFx=π3，所以直线AB的斜率为tanπ3=3.故答案为：3.【分析】由题意画出图像，根据抛物线定义及几何关系计算即可求出直线AB的斜率.16．三棱锥S−BCD的平面展开图如图所示，已知AD⊥BD，BC⊥BD，AB=CF=4，AD=BC=2，若三棱锥S−BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 .【答案】52π3【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知得，三棱锥S−BCD中，SB=SC=4，SD=BC=2，BD=23，且SD与平面BCD所成的角为60∘，构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为23，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球.设O1，O2分别为三棱柱上､下底面三角形的中心，则O为O1O2的中点，因为OO1=3，CO1=233，所以球O的半径R=OO12+CO12=3+43=133，所以球O的表面积为4πR2=4π×133=52π3.故答案为：52π3.【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为2，高为23的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径，再根据球的表面积公式即可求出答案.三、解答题17．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sinA−3cosA)=asinB.（1）求A；（2）若a=2，点D为BC的中点，求AD的最大值.【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得asinB=bsinA.因为b(2sinA−3cosA)=asinB，所以b(2sinA−3cosA)=bsinA.又b≠0，所以sinA−3cosA=0，所以tanA=3.因为△ABC中，0 −a.【答案】（1）解：函数f(x)=xlnx−ax=lnx−ax，定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x+ax2=x+ax2，（i）当a⩾0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；（ii）当a<0时，−a>0，x∈(0，−a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(−a，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当a⩾0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，−a)，单调递增区间为(−a，+∞).（2）证明：由（1）知，当a=−1时，f(x)=lnx+1x，且f(x)⩾f(1)=1，所以xlnx+1⩾x，因为f(x)=xlnx−ax，所以不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，则g′(x)=1−e−x=ex−1ex>0在x>0时恒成立，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0，又xlnx+1⩾x，所以xlnx+e−x⩾x−1+e−x>0，故xlnx+e−x>0，即xf(x)+e−x>−a.【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出f'(x)，分a≥0、a<0讨论可得f(x)的单调区间；(2)f(x)=lnx+1x，由f(x)⩾f(1)=1得xlnx+1⩾x，不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，利用g(x)的单调性可证得xf(x)+e−x>−a.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(2，22b).（1）求椭圆C的方程；（2）点A关于原点O的对称点为点B，与直线AB平行的直线l与C交于点M，N，直线AM与BN交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）解：由题意得ca=324a2+b22b2=1a2=b2+c2，解得a2=8b2=2，所以椭圆C的方程是x28+y22=1.（2）解：点P是在定直线y=−12x上，理由如下，由（1）知A(2，1)，B(−2，−1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y=12x+m，m≠0，将l的方程与x28+y22=1联立消y，得x2+2mx+2m2−4=0，则Δ=4m2−4(2m2−4)>0，得−2 −73，∴−73 4a−2−a≥02(a−2)−a≥0，不等式组解集为∅；综上所述：实数a的取值范围为(−∞，1].【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将a=−1代入f(x)中，然后利用零点分段法解不等式f(x)<8即可得不等式的解集；(2)由f(x)≥0得|2x−a|≥a(2−x)，分2x−a≥0和2x−a<0两种情况解不等式可得实数a的取值范围.
简介：山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷一、单选题1．已知集合P={x∈N|x2<6}，Q={x|−1≤x<3}，则P∩Q=（ ）A．{−1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．(−1，2]【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为P={x∈N|x2<6}={0，1，2}，Q={x|−1≤x<3}，所以P∩Q={0，1，2}.故答案为：B【分析】求出集合P，利用交集定义能求出P∩Q.2．设2z−zi=3，则复数z在复平面内对应的点为（ ）A．(3，1)B．(3，−1)C．(2，1)D．(2，−1)【答案】C【知识点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由2z−zi=3得2z+zi=3，设z=x+yi(x，y∈R)，则z=x−yi，所以2(x−yi)+(x+yi)i=3，所以2x−y+(x−2y)i=3，所以2x−y=3x−2y=0，解得x=2y=1.所以复数z在复平面内对应的点为(2，1).故答案为：C【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，复数相等的条件，即可求解出答案.3．已知向量a=(3，1)，b=(1，−2)，且(a−b)∥(a+λb)，则实数λ=（ ）A．-1B．−38C．1D．94【答案】A【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由向量a=(3，1)，b=(1，−2)，得a−b=(2，3)，a+λb=(3+λ，1−2λ).因为(a−b)∥(a+λb)，所以2(1−2λ)=3(3+λ)，解得λ=−1.故答案为：A【分析】由题意，利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值.4．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）A．233B．2C．3D．2【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意得ca=2baa2+b2=c2，解得c2a2=43，即e=233.故答案为：A.【分析】由题意得ca=2baa2+b2=c2，求解可得c，a的关系，即可得到答案.5．若sinα+2cosα=0，则sin2α−sin2α=（ ）A．−35B．0C．1D．85【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为sinα+2cosα=0，所以tanα=−2，所以sin2α−sin2α=sin2α−2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α−2tanαtan2α+1=4−2×(−2)4+1=85.故答案为：D.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，再利用正弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得答案.6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD=π3，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（ ）A．13B．24C．64D．63【答案】C 【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB=CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB//AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为1，则SA=SC=2.因为∠AOD=π3，所以∠ADO=π3.在直角△DAC中，CD=2，得AC=3.所以cos∠SAC=(2)2+(3)2−(2)22×2×3=64，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为64.故答案为：C.【分析】先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可得答案.7．将函数f(x)=cos2x+sin2x图象上的点P(0，t)向右平移φ(φ>0)个单位长度得到点P′，若P′恰好在函数g(x)=cos2x−sin2x的图像上，则φ的最小值为（ ）A．π4B．π2C．2π3D．3π4【答案】D【知识点】余弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】由题意知，点P(0，t)在f(x)=cos2x+sin2x的图象上，所以t=cos0+sin0=1，所以P(0，1)，点P向右平移φ个单位长度得到点P′(φ，1).因为P′在函数g(x)=cos2x−sin2x=2cos(2x+π4)的图象上，所以2cos(2φ+π4)=1，解得2φ+π4=±π4+2kπ，k∈Z，所以φ=kπ，k∈Z，或φ=−π4+kπ，k∈Z.因为φ>0，所以φmin=3π4.故答案为：D.【分析】由余弦求出点P的坐标，再求出点P’的坐标，代入函数g(x)的解析式，根据余弦函数的性质化简即可求解出φ的最小值.8．若(x−1x−a)5的展开式中x3的系数为35，则正数a=（ ）A．2B．2C．5D．4【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】因为(x−1x−a)5展开式为：Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，即(x−1x−a)5=C50(−a)5(x−1x)0+C51(−a)4(x−1x)1+C52(−a)3(x−1x)2+C53(−a)2(x−1x)3+C54(−a)1(x−1x)4+C55(−a)0(x−1x)5，所以C53(−a)2(x−1x)3=C53(−a)2(x3−3x+3x−1×3)，C54(−a)1(x−1x)4=C54(−a)1(x4−4×2+6−4×2+1×4)，C55(−a)0(x−1x)5=C55(−a)0(x5−5×3+10x−10x+5×3−1×5)，所以含x3的系数为C53(−a)2+C55×(−a)0(−5)=35，又a为正数，所以a=2.故答案为：B.【分析】根据题意得Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，分析展开式含x3项仅有C53(−a)2(x−1x)3和C55(−a)0(x−1x)5，再展开求系数可得a的值.9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且在区间(1，+∞)上单调递增，则满足f(1−x)>f(x+3)的x的取值范围为（ ）A．(−1，+∞)B．(−∞，−1)C．(−1，1)D．(−∞，1)【答案】B【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以在(−∞，1)上单调递减，因为f(1−x)>f(x+3)，|(1−x)−1|>|(x+3)−1|，即|−x|>|x+2|，平方后解得x<−1.所以x的取值范围为(−∞，−1).故答案为：B.【分析】先求出函数f(x)的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得x的取值范围. 10．某车间加工某种机器的零件数x（单位：个）与加工这些零件所花费的时间y（单位：min）之间的对应数据如下表所示：x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程y=bx+54.9，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．5.8minB．6minC．6.7minD．8min【答案】C【知识点】线性回归方程【解析】【解答】由表中的数据，得x=10+20+30+40+505=30，y=62+68+75+81+895=75，将x，y代入y=bx+54.9，得b=0.67，所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70b+54.9−(60b+54.9)=10b=6.7min.故答案为：C.【分析】由表中的数据得x，y，可得样本中心进而可得回归直线方程，进而求出答案.11．已知实数a，b满足ea+eb=ea+b，给出下列结论：①ab<0；②a+b>1；③ea+eb≥4；④bea>1.则所有正确结论的序号为（ ）A．①③B．②③C．①②④D．②③④【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；基本不等式【解析】【解答】由ea+eb=ea+b得1ea+1eb=1，又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，所以a>0，b>0，ab>0，故①错误；因为ea+eb=ea+b≥2eaeb=2ea+b，所以ea+b≥2，当且仅当ea=eb，即a=b时取等号；即ea+eb=ea+b≥4，则a+b≥ln4>1，故②，③正确；因为1ea+1eb=1，所以ea=ebeb−1，所以bea−1=bebeb−1−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，则f′(b)=beb>0，所以f(b)在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(b)>f(0)=0，即beb−eb+1>0.又eb−1>0，所以bea−1>0，即bea>1，故④正确.故答案为：D.【分析】由题意可知1ea+1eb=1，根据指数幂的性质可知又又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，即可判断①；对ea+eb=ea+b使用基本不等式可知ea+eb=ea+b≥4，两边取对数即可判断②，③；根据题意可知ea=ebeb−1，所以bea−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，再根据导数在函数最值中应用，可知f(b)>f(0)=0可得beb−eb+1>0，由此即可判断④.12．已知数列{an}满足a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，记{an}的前n项和为Sn，{(−1)nS4n+1}的前n项和为Tn，则T51=（ ）A．-5409B．-5357C．5409D．5357【答案】B【知识点】数列的求和【解析】【解答】因为a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，所以当n为奇数时，an+2=an，a1=1，即当n为奇数时，an=1；当n为偶数时，an+2+an=2n.所以S4n+1=a1+a3+a5+⋯+a4n+1+[(a2+a4)+(a6+a8)+⋯+(a4n−2+a4n)]=(2n+1)×1+2×n(2+4n−2)2=(2n+1)2−2n所以(−1)nS4n+1=(−1)n[(2n+1)2−2n]=(−1)n(2n+1)2−(−1)n×2n，所以T51=−32+52−72+92−⋯+(2×50+1)2−(2×51+1)2−2×(−1+2−3+4−⋯+50−51)=−9+(5−7)×(5+7)+(9−11)×(9+11)+⋯+(101−103)×(101+103)−2×(−26)=−9−2×(5+7+9+11+⋯+101+103)+52=−9−2×5+1032×50+52=−5357.故答案为：B.【分析】根据题意，求出n为奇数和n为偶数时an的关系式，依次代入选项的n计算即可得答案.二、填空题13．设x，y满足约束条件3x−2y+4⩾0，x−3y−3⩽0，2x+3y−6⩽0，则z=5x+y的最大值为 .【答案】15【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下：要使z=5x+y最大，只需其表示的直线在坐标轴上的截距最大即可，由图知：当直线过2x+3y−6=0与x−3y−3=0的交点(3，0)时，z最大为5×3+0=15.故答案为：15 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.14．若直线x−y−b=0是曲线y=2x的一条切线，则实数b= .【答案】-1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为y=2x，所以y′=x−12，令x−12=1，得x=1，所以切点为(1，2)，代入x−y−b=0，得b=−1.故答案为：-1.【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于1求得切点横坐标，进一步得到切点坐标，代入切线方程求解出b的值.15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴上方），过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|=3|NF|，则直线AB的斜率为 .【答案】3【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质【解析】【解答】如图，由题意得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，所以∠AMF=∠AFM=∠MFO，∠BNF=∠BFN=∠NFO，因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π，所以∠MFO+∠NFO=π2，所以MF⊥NF，又|MF|=3|NF|，所以∠NMF=π6，所以∠MFO=∠AFM=π3，故∠AFx=π3，所以直线AB的斜率为tanπ3=3.故答案为：3.【分析】由题意画出图像，根据抛物线定义及几何关系计算即可求出直线AB的斜率.16．三棱锥S−BCD的平面展开图如图所示，已知AD⊥BD，BC⊥BD，AB=CF=4，AD=BC=2，若三棱锥S−BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 .【答案】52π3【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知得，三棱锥S−BCD中，SB=SC=4，SD=BC=2，BD=23，且SD与平面BCD所成的角为60∘，构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为23，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球.设O1，O2分别为三棱柱上､下底面三角形的中心，则O为O1O2的中点，因为OO1=3，CO1=233，所以球O的半径R=OO12+CO12=3+43=133，所以球O的表面积为4πR2=4π×133=52π3.故答案为：52π3.【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为2，高为23的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径，再根据球的表面积公式即可求出答案.三、解答题17．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sinA−3cosA)=asinB.（1）求A；（2）若a=2，点D为BC的中点，求AD的最大值.【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得asinB=bsinA.因为b(2sinA−3cosA)=asinB，所以b(2sinA−3cosA)=bsinA.又b≠0，所以sinA−3cosA=0，所以tanA=3.因为△ABC中，0 −a.【答案】（1）解：函数f(x)=xlnx−ax=lnx−ax，定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x+ax2=x+ax2，（i）当a⩾0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；（ii）当a<0时，−a>0，x∈(0，−a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(−a，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当a⩾0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，−a)，单调递增区间为(−a，+∞).（2）证明：由（1）知，当a=−1时，f(x)=lnx+1x，且f(x)⩾f(1)=1，所以xlnx+1⩾x，因为f(x)=xlnx−ax，所以不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，则g′(x)=1−e−x=ex−1ex>0在x>0时恒成立，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0，又xlnx+1⩾x，所以xlnx+e−x⩾x−1+e−x>0，故xlnx+e−x>0，即xf(x)+e−x>−a.【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出f'(x)，分a≥0、a<0讨论可得f(x)的单调区间；(2)f(x)=lnx+1x，由f(x)⩾f(1)=1得xlnx+1⩾x，不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，利用g(x)的单调性可证得xf(x)+e−x>−a.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(2，22b).（1）求椭圆C的方程；（2）点A关于原点O的对称点为点B，与直线AB平行的直线l与C交于点M，N，直线AM与BN交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）解：由题意得ca=324a2+b22b2=1a2=b2+c2，解得a2=8b2=2，所以椭圆C的方程是x28+y22=1.（2）解：点P是在定直线y=−12x上，理由如下，由（1）知A(2，1)，B(−2，−1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y=12x+m，m≠0，将l的方程与x28+y22=1联立消y，得x2+2mx+2m2−4=0，则Δ=4m2−4(2m2−4)>0，得−2 −73，∴−73 4a−2−a≥02(a−2)−a≥0，不等式组解集为∅；综上所述：实数a的取值范围为(−∞，1].【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将a=−1代入f(x)中，然后利用零点分段法解不等式f(x)<8即可得不等式的解集；(2)由f(x)≥0得|2x−a|≥a(2−x)，分2x−a≥0和2x−a<0两种情况解不等式可得实数a的取值范围.
简介：山西省吕梁市2022届高三理数三模试卷一、单选题1．已知集合P={x∈N|x2<6}，Q={x|−1≤x<3}，则P∩Q=（ ）A．{−1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．(−1，2]【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为P={x∈N|x2<6}={0，1，2}，Q={x|−1≤x<3}，所以P∩Q={0，1，2}.故答案为：B【分析】求出集合P，利用交集定义能求出P∩Q.2．设2z−zi=3，则复数z在复平面内对应的点为（ ）A．(3，1)B．(3，−1)C．(2，1)D．(2，−1)【答案】C【知识点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由2z−zi=3得2z+zi=3，设z=x+yi(x，y∈R)，则z=x−yi，所以2(x−yi)+(x+yi)i=3，所以2x−y+(x−2y)i=3，所以2x−y=3x−2y=0，解得x=2y=1.所以复数z在复平面内对应的点为(2，1).故答案为：C【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，复数相等的条件，即可求解出答案.3．已知向量a=(3，1)，b=(1，−2)，且(a−b)∥(a+λb)，则实数λ=（ ）A．-1B．−38C．1D．94【答案】A【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由向量a=(3，1)，b=(1，−2)，得a−b=(2，3)，a+λb=(3+λ，1−2λ).因为(a−b)∥(a+λb)，所以2(1−2λ)=3(3+λ)，解得λ=−1.故答案为：A【分析】由题意，利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值.4．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（ ）A．233B．2C．3D．2【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意得ca=2baa2+b2=c2，解得c2a2=43，即e=233.故答案为：A.【分析】由题意得ca=2baa2+b2=c2，求解可得c，a的关系，即可得到答案.5．若sinα+2cosα=0，则sin2α−sin2α=（ ）A．−35B．0C．1D．85【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为sinα+2cosα=0，所以tanα=−2，所以sin2α−sin2α=sin2α−2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α−2tanαtan2α+1=4−2×(−2)4+1=85.故答案为：D.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，再利用正弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得答案.6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD=π3，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（ ）A．13B．24C．64D．63【答案】C 【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB=CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB//AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为1，则SA=SC=2.因为∠AOD=π3，所以∠ADO=π3.在直角△DAC中，CD=2，得AC=3.所以cos∠SAC=(2)2+(3)2−(2)22×2×3=64，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为64.故答案为：C.【分析】先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可得答案.7．将函数f(x)=cos2x+sin2x图象上的点P(0，t)向右平移φ(φ>0)个单位长度得到点P′，若P′恰好在函数g(x)=cos2x−sin2x的图像上，则φ的最小值为（ ）A．π4B．π2C．2π3D．3π4【答案】D【知识点】余弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】由题意知，点P(0，t)在f(x)=cos2x+sin2x的图象上，所以t=cos0+sin0=1，所以P(0，1)，点P向右平移φ个单位长度得到点P′(φ，1).因为P′在函数g(x)=cos2x−sin2x=2cos(2x+π4)的图象上，所以2cos(2φ+π4)=1，解得2φ+π4=±π4+2kπ，k∈Z，所以φ=kπ，k∈Z，或φ=−π4+kπ，k∈Z.因为φ>0，所以φmin=3π4.故答案为：D.【分析】由余弦求出点P的坐标，再求出点P’的坐标，代入函数g(x)的解析式，根据余弦函数的性质化简即可求解出φ的最小值.8．若(x−1x−a)5的展开式中x3的系数为35，则正数a=（ ）A．2B．2C．5D．4【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】因为(x−1x−a)5展开式为：Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，即(x−1x−a)5=C50(−a)5(x−1x)0+C51(−a)4(x−1x)1+C52(−a)3(x−1x)2+C53(−a)2(x−1x)3+C54(−a)1(x−1x)4+C55(−a)0(x−1x)5，所以C53(−a)2(x−1x)3=C53(−a)2(x3−3x+3x−1×3)，C54(−a)1(x−1x)4=C54(−a)1(x4−4×2+6−4×2+1×4)，C55(−a)0(x−1x)5=C55(−a)0(x5−5×3+10x−10x+5×3−1×5)，所以含x3的系数为C53(−a)2+C55×(−a)0(−5)=35，又a为正数，所以a=2.故答案为：B.【分析】根据题意得Tr+1=C5r(−a)5−r(x−1x)r，分析展开式含x3项仅有C53(−a)2(x−1x)3和C55(−a)0(x−1x)5，再展开求系数可得a的值.9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且在区间(1，+∞)上单调递增，则满足f(1−x)>f(x+3)的x的取值范围为（ ）A．(−1，+∞)B．(−∞，−1)C．(−1，1)D．(−∞，1)【答案】B【知识点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】因为函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以在(−∞，1)上单调递减，因为f(1−x)>f(x+3)，|(1−x)−1|>|(x+3)−1|，即|−x|>|x+2|，平方后解得x<−1.所以x的取值范围为(−∞，−1).故答案为：B.【分析】先求出函数f(x)的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得x的取值范围. 10．某车间加工某种机器的零件数x（单位：个）与加工这些零件所花费的时间y（单位：min）之间的对应数据如下表所示：x/个1020304050y/min6268758189由表中的数据可得回归直线方程y=bx+54.9，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．5.8minB．6minC．6.7minD．8min【答案】C【知识点】线性回归方程【解析】【解答】由表中的数据，得x=10+20+30+40+505=30，y=62+68+75+81+895=75，将x，y代入y=bx+54.9，得b=0.67，所以加工70个零件比加工60个零件大约多用70b+54.9−(60b+54.9)=10b=6.7min.故答案为：C.【分析】由表中的数据得x，y，可得样本中心进而可得回归直线方程，进而求出答案.11．已知实数a，b满足ea+eb=ea+b，给出下列结论：①ab<0；②a+b>1；③ea+eb≥4；④bea>1.则所有正确结论的序号为（ ）A．①③B．②③C．①②④D．②③④【答案】D【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；基本不等式【解析】【解答】由ea+eb=ea+b得1ea+1eb=1，又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，所以a>0，b>0，ab>0，故①错误；因为ea+eb=ea+b≥2eaeb=2ea+b，所以ea+b≥2，当且仅当ea=eb，即a=b时取等号；即ea+eb=ea+b≥4，则a+b≥ln4>1，故②，③正确；因为1ea+1eb=1，所以ea=ebeb−1，所以bea−1=bebeb−1−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，则f′(b)=beb>0，所以f(b)在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(b)>f(0)=0，即beb−eb+1>0.又eb−1>0，所以bea−1>0，即bea>1，故④正确.故答案为：D.【分析】由题意可知1ea+1eb=1，根据指数幂的性质可知又又ea>0，eb>0，所以ea>1，eb>1，即可判断①；对ea+eb=ea+b使用基本不等式可知ea+eb=ea+b≥4，两边取对数即可判断②，③；根据题意可知ea=ebeb−1，所以bea−1=beb−eb+1eb−1，令f(b)=beb−eb+1，b>0，再根据导数在函数最值中应用，可知f(b)>f(0)=0可得beb−eb+1>0，由此即可判断④.12．已知数列{an}满足a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，记{an}的前n项和为Sn，{(−1)nS4n+1}的前n项和为Tn，则T51=（ ）A．-5409B．-5357C．5409D．5357【答案】B【知识点】数列的求和【解析】【解答】因为a1=1，an+2=(−1)n+1(an−n)+n，所以当n为奇数时，an+2=an，a1=1，即当n为奇数时，an=1；当n为偶数时，an+2+an=2n.所以S4n+1=a1+a3+a5+⋯+a4n+1+[(a2+a4)+(a6+a8)+⋯+(a4n−2+a4n)]=(2n+1)×1+2×n(2+4n−2)2=(2n+1)2−2n所以(−1)nS4n+1=(−1)n[(2n+1)2−2n]=(−1)n(2n+1)2−(−1)n×2n，所以T51=−32+52−72+92−⋯+(2×50+1)2−(2×51+1)2−2×(−1+2−3+4−⋯+50−51)=−9+(5−7)×(5+7)+(9−11)×(9+11)+⋯+(101−103)×(101+103)−2×(−26)=−9−2×(5+7+9+11+⋯+101+103)+52=−9−2×5+1032×50+52=−5357.故答案为：B.【分析】根据题意，求出n为奇数和n为偶数时an的关系式，依次代入选项的n计算即可得答案.二、填空题13．设x，y满足约束条件3x−2y+4⩾0，x−3y−3⩽0，2x+3y−6⩽0，则z=5x+y的最大值为 .【答案】15【知识点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下：要使z=5x+y最大，只需其表示的直线在坐标轴上的截距最大即可，由图知：当直线过2x+3y−6=0与x−3y−3=0的交点(3，0)时，z最大为5×3+0=15.故答案为：15 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.14．若直线x−y−b=0是曲线y=2x的一条切线，则实数b= .【答案】-1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为y=2x，所以y′=x−12，令x−12=1，得x=1，所以切点为(1，2)，代入x−y−b=0，得b=−1.故答案为：-1.【分析】求出原函数的导函数，由导函数值等于1求得切点横坐标，进一步得到切点坐标，代入切线方程求解出b的值.15．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴上方），过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|=3|NF|，则直线AB的斜率为 .【答案】3【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质【解析】【解答】如图，由题意得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，所以∠AMF=∠AFM=∠MFO，∠BNF=∠BFN=∠NFO，因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π，所以∠MFO+∠NFO=π2，所以MF⊥NF，又|MF|=3|NF|，所以∠NMF=π6，所以∠MFO=∠AFM=π3，故∠AFx=π3，所以直线AB的斜率为tanπ3=3.故答案为：3.【分析】由题意画出图像，根据抛物线定义及几何关系计算即可求出直线AB的斜率.16．三棱锥S−BCD的平面展开图如图所示，已知AD⊥BD，BC⊥BD，AB=CF=4，AD=BC=2，若三棱锥S−BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 .【答案】52π3【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由已知得，三棱锥S−BCD中，SB=SC=4，SD=BC=2，BD=23，且SD与平面BCD所成的角为60∘，构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为23，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球.设O1，O2分别为三棱柱上､下底面三角形的中心，则O为O1O2的中点，因为OO1=3，CO1=233，所以球O的半径R=OO12+CO12=3+43=133，所以球O的表面积为4πR2=4π×133=52π3.故答案为：52π3.【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为2，高为23的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S−BCD的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径，再根据球的表面积公式即可求出答案.三、解答题17．在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sinA−3cosA)=asinB.（1）求A；（2）若a=2，点D为BC的中点，求AD的最大值.【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得asinB=bsinA.因为b(2sinA−3cosA)=asinB，所以b(2sinA−3cosA)=bsinA.又b≠0，所以sinA−3cosA=0，所以tanA=3.因为△ABC中，0 −a.【答案】（1）解：函数f(x)=xlnx−ax=lnx−ax，定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x+ax2=x+ax2，（i）当a⩾0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；（ii）当a<0时，−a>0，x∈(0，−a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(−a，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当a⩾0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，−a)，单调递增区间为(−a，+∞).（2）证明：由（1）知，当a=−1时，f(x)=lnx+1x，且f(x)⩾f(1)=1，所以xlnx+1⩾x，因为f(x)=xlnx−ax，所以不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，则g′(x)=1−e−x=ex−1ex>0在x>0时恒成立，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0，又xlnx+1⩾x，所以xlnx+e−x⩾x−1+e−x>0，故xlnx+e−x>0，即xf(x)+e−x>−a.【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出f'(x)，分a≥0、a<0讨论可得f(x)的单调区间；(2)f(x)=lnx+1x，由f(x)⩾f(1)=1得xlnx+1⩾x，不等式xf(x)+e−x>−a等价于xlnx+e−x>0，令g(x)=x+e−x−1，利用g(x)的单调性可证得xf(x)+e−x>−a.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(2，22b).（1）求椭圆C的方程；（2）点A关于原点O的对称点为点B，与直线AB平行的直线l与C交于点M，N，直线AM与BN交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）解：由题意得ca=324a2+b22b2=1a2=b2+c2，解得a2=8b2=2，所以椭圆C的方程是x28+y22=1.（2）解：点P是在定直线y=−12x上，理由如下，由（1）知A(2，1)，B(−2，−1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y=12x+m，m≠0，将l的方程与x28+y22=1联立消y，得x2+2mx+2m2−4=0，则Δ=4m2−4(2m2−4)>0，得−2 −73，∴−73 4a−2−a≥02(a−2)−a≥0，不等式组解集为∅；综上所述：实数a的取值范围为(−∞，1].【知识点】绝对值不等式的解法【解析】【分析】(1)将a=−1代入f(x)中，然后利用零点分段法解不等式f(x)<8即可得不等式的解集；(2)由f(x)≥0得|2x−a|≥a(2−x)，分2x−a≥0和2x−a<0两种情况解不等式可得实数a的取值范围.
