山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷解析版
山西省太原市2022届高三下学期理数模拟试卷三一、单选题1．设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是（ ）A．5B．4C．3D．2【答案】B【知识点】子集与真子集【解析】【解答】A，B是全集I=
山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1．已知集合A={x|y=11−2x}，B={y|y=−|x−3|−2}，则A∪B=（ ）A．∅B．(−∞，−2]C．(−∞，0)D．(−∞，0]【答案】C【知识点】并
简介：山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1．已知集合A={x|y=11−2x}，B={y|y=−|x−3|−2}，则A∪B=（ ）A．∅B．(−∞，−2]C．(−∞，0)D．(−∞，0]2．已知复数z=2+i，在复平面内z(1−i)对应点的坐标为（ ）A．(3，1)B．(−3，1)C．(3，−1)D．(−3，−1)3．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为（ ）A．62B．9C．3D．324．已知等比数列{an}的公比为q，且a5=1，则下列选项不正确的是（ ）A．a3+a7≥2B．a4+a6≥2C．a7−2a6+1≥0D．1a1+1a9=a1+a95．已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1，F2，P是双曲线上一点，|PF1|=7，则|PF2|=（ ）A．1或13B．1C．13D．96．3cos10°+1sin550°等于（ ）A．-2B．2C．-4D．47．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是（ ）A．X甲 X乙，甲比乙稳定D．X甲>X乙，乙比甲稳定8．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=2，若以MF为直径的圆过点(0，1)，则C的焦点到其准线的距离为 .15．已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1，若函数f(x)在(2a−2，2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .16．定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−1.5]=−2，[2]=2，当x∈[0，n)时，f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为an，则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB+3sinB=2.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.18． 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P(X=1)；（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．19．已知函数f(x)=ex+aln(−x)+1，f′(x)是其导函数，其中a∈R．（1）若f(x)在(−∞，0)上单调递减，求a的取值范围；（2）若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(−∞，0)恒成立，求a的取值范围．20．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=62．（1）求证：BO//平面PAC；并计算BO与平面PAC之间的距离．（2）设平面PAO∩平面PBC=l，若点M在线段PC上运动，当直线l与平面ABM所成角取最大值时，求二面角A−BM−O的正弦值．21．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1，F2，左､右顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，MF1//NF2，MF2与NF1的交点为P，试问|PF1|+|PF2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(−2，1)，半径长为33．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点P(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知f(x)=|2x−1|−|x+1|．（1）求f(x)>x的解集；（2）若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空，求m的取值范围．答案解析部分 1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】−x2+2x−1（答案不唯一）14．【答案】215．【答案】−34≤a<3216．【答案】2021101117．【答案】（1）解：由cosB+3sinB=2，即2(12cosB+32sinB)=2，所以sin(B+π6)=1.又B∈(0，π)，所以B+π6∈(π6，7π6)，所以B=π3.（2）解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32tanC+12.由于△ABC为锐角三角形，故0 33，所以2tanC>233，0<12tanC<32，所以12<32tanC+12<2，即12 0，当−1 0时，x<−1时，h′(x)<0，−1 0，所以函数h(x)在(−∞，−1)上递减，在(−1，0)上递增， 所以h(x)min=h(−1)=a+1>0，不符合题意；当a<0时，x<−1时，h′(x)>0，−1 =14+23(2−11−λ)2≤12，即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0，2，0)，M(0，0，64)，所以OB=(−32，12，0)，BM=(32，0，64)设平面OBM的法向量为n2=(x2，y2，z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1，3，−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22，即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.21．【答案】（1）解：椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1(0，c)，F2(0，−c)，左､右顶点分别为A1(−b，0)，A2(b，0)，因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形，所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8，解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8，所以椭圆的标准方程为：y28+x24=1；（2）解：因为MF1∥NF2，所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以|NF2|+|F1N|=2a=42，因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)，同理可得：|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)，所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|，设MF1，NF2的方程分别为：y=kx+1，y=kx−1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1，x2<0)，则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0，所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2，因此 |MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2，同理可得：|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2，因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2，|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2)，所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32，所以|PF1|+|PF2|为定值，定值为32.22．【答案】（1）解：⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα，α为参数；（2）解：设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4)，则由|6k|1+k2=33，解得：k=±3，所以两切线方程为y−1=±33(x−4)，化为极坐标方程为：ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+12323．【答案】（1）解：由题意得：f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x，∴x<−1时，−x+2>x，解得：x<−1−1≤x≤12时，−3x>x，解得：x<0，故−1≤x<0x>12时，x−2>x，无解综上，不等式的解集是{x|x<0}；（2）解：不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x．由（1）知，f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x，则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时，h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1
简介：山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1．已知集合A={x|y=11−2x}，B={y|y=−|x−3|−2}，则A∪B=（ ）A．∅B．(−∞，−2]C．(−∞，0)D．(−∞，0]2．已知复数z=2+i，在复平面内z(1−i)对应点的坐标为（ ）A．(3，1)B．(−3，1)C．(3，−1)D．(−3，−1)3．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为（ ）A．62B．9C．3D．324．已知等比数列{an}的公比为q，且a5=1，则下列选项不正确的是（ ）A．a3+a7≥2B．a4+a6≥2C．a7−2a6+1≥0D．1a1+1a9=a1+a95．已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1，F2，P是双曲线上一点，|PF1|=7，则|PF2|=（ ）A．1或13B．1C．13D．96．3cos10°+1sin550°等于（ ）A．-2B．2C．-4D．47．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是（ ）A．X甲 X乙，甲比乙稳定D．X甲>X乙，乙比甲稳定8．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=2，若以MF为直径的圆过点(0，1)，则C的焦点到其准线的距离为 .15．已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1，若函数f(x)在(2a−2，2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .16．定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−1.5]=−2，[2]=2，当x∈[0，n)时，f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为an，则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB+3sinB=2.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.18． 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P(X=1)；（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．19．已知函数f(x)=ex+aln(−x)+1，f′(x)是其导函数，其中a∈R．（1）若f(x)在(−∞，0)上单调递减，求a的取值范围；（2）若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(−∞，0)恒成立，求a的取值范围．20．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=62．（1）求证：BO//平面PAC；并计算BO与平面PAC之间的距离．（2）设平面PAO∩平面PBC=l，若点M在线段PC上运动，当直线l与平面ABM所成角取最大值时，求二面角A−BM−O的正弦值．21．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1，F2，左､右顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，MF1//NF2，MF2与NF1的交点为P，试问|PF1|+|PF2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(−2，1)，半径长为33．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点P(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知f(x)=|2x−1|−|x+1|．（1）求f(x)>x的解集；（2）若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空，求m的取值范围．答案解析部分 1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】−x2+2x−1（答案不唯一）14．【答案】215．【答案】−34≤a<3216．【答案】2021101117．【答案】（1）解：由cosB+3sinB=2，即2(12cosB+32sinB)=2，所以sin(B+π6)=1.又B∈(0，π)，所以B+π6∈(π6，7π6)，所以B=π3.（2）解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32tanC+12.由于△ABC为锐角三角形，故0 33，所以2tanC>233，0<12tanC<32，所以12<32tanC+12<2，即12 0，当−1 0时，x<−1时，h′(x)<0，−1 0，所以函数h(x)在(−∞，−1)上递减，在(−1，0)上递增， 所以h(x)min=h(−1)=a+1>0，不符合题意；当a<0时，x<−1时，h′(x)>0，−1 =14+23(2−11−λ)2≤12，即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0，2，0)，M(0，0，64)，所以OB=(−32，12，0)，BM=(32，0，64)设平面OBM的法向量为n2=(x2，y2，z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1，3，−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22，即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.21．【答案】（1）解：椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1(0，c)，F2(0，−c)，左､右顶点分别为A1(−b，0)，A2(b，0)，因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形，所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8，解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8，所以椭圆的标准方程为：y28+x24=1；（2）解：因为MF1∥NF2，所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以|NF2|+|F1N|=2a=42，因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)，同理可得：|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)，所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|，设MF1，NF2的方程分别为：y=kx+1，y=kx−1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1，x2<0)，则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0，所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2，因此 |MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2，同理可得：|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2，因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2，|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2)，所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32，所以|PF1|+|PF2|为定值，定值为32.22．【答案】（1）解：⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα，α为参数；（2）解：设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4)，则由|6k|1+k2=33，解得：k=±3，所以两切线方程为y−1=±33(x−4)，化为极坐标方程为：ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+12323．【答案】（1）解：由题意得：f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x，∴x<−1时，−x+2>x，解得：x<−1−1≤x≤12时，−3x>x，解得：x<0，故−1≤x<0x>12时，x−2>x，无解综上，不等式的解集是{x|x<0}；（2）解：不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x．由（1）知，f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x，则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时，h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1
简介：山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1．已知集合A={x|y=11−2x}，B={y|y=−|x−3|−2}，则A∪B=（ ）A．∅B．(−∞，−2]C．(−∞，0)D．(−∞，0]2．已知复数z=2+i，在复平面内z(1−i)对应点的坐标为（ ）A．(3，1)B．(−3，1)C．(3，−1)D．(−3，−1)3．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为（ ）A．62B．9C．3D．324．已知等比数列{an}的公比为q，且a5=1，则下列选项不正确的是（ ）A．a3+a7≥2B．a4+a6≥2C．a7−2a6+1≥0D．1a1+1a9=a1+a95．已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1，F2，P是双曲线上一点，|PF1|=7，则|PF2|=（ ）A．1或13B．1C．13D．96．3cos10°+1sin550°等于（ ）A．-2B．2C．-4D．47．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是（ ）A．X甲 X乙，甲比乙稳定D．X甲>X乙，乙比甲稳定8．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=2，若以MF为直径的圆过点(0，1)，则C的焦点到其准线的距离为 .15．已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1，若函数f(x)在(2a−2，2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .16．定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−1.5]=−2，[2]=2，当x∈[0，n)时，f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为an，则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB+3sinB=2.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.18． 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P(X=1)；（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．19．已知函数f(x)=ex+aln(−x)+1，f′(x)是其导函数，其中a∈R．（1）若f(x)在(−∞，0)上单调递减，求a的取值范围；（2）若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(−∞，0)恒成立，求a的取值范围．20．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=62．（1）求证：BO//平面PAC；并计算BO与平面PAC之间的距离．（2）设平面PAO∩平面PBC=l，若点M在线段PC上运动，当直线l与平面ABM所成角取最大值时，求二面角A−BM−O的正弦值．21．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1，F2，左､右顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，MF1//NF2，MF2与NF1的交点为P，试问|PF1|+|PF2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(−2，1)，半径长为33．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点P(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知f(x)=|2x−1|−|x+1|．（1）求f(x)>x的解集；（2）若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空，求m的取值范围．答案解析部分 1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】−x2+2x−1（答案不唯一）14．【答案】215．【答案】−34≤a<3216．【答案】2021101117．【答案】（1）解：由cosB+3sinB=2，即2(12cosB+32sinB)=2，所以sin(B+π6)=1.又B∈(0，π)，所以B+π6∈(π6，7π6)，所以B=π3.（2）解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32tanC+12.由于△ABC为锐角三角形，故0 33，所以2tanC>233，0<12tanC<32，所以12<32tanC+12<2，即12 0，当−1 0时，x<−1时，h′(x)<0，−1 0，所以函数h(x)在(−∞，−1)上递减，在(−1，0)上递增， 所以h(x)min=h(−1)=a+1>0，不符合题意；当a<0时，x<−1时，h′(x)>0，−1 =14+23(2−11−λ)2≤12，即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0，2，0)，M(0，0，64)，所以OB=(−32，12，0)，BM=(32，0，64)设平面OBM的法向量为n2=(x2，y2，z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1，3，−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22，即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.21．【答案】（1）解：椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1(0，c)，F2(0，−c)，左､右顶点分别为A1(−b，0)，A2(b，0)，因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形，所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8，解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8，所以椭圆的标准方程为：y28+x24=1；（2）解：因为MF1∥NF2，所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以|NF2|+|F1N|=2a=42，因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)，同理可得：|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)，所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|，设MF1，NF2的方程分别为：y=kx+1，y=kx−1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1，x2<0)，则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0，所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2，因此 |MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2，同理可得：|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2，因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2，|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2)，所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32，所以|PF1|+|PF2|为定值，定值为32.22．【答案】（1）解：⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα，α为参数；（2）解：设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4)，则由|6k|1+k2=33，解得：k=±3，所以两切线方程为y−1=±33(x−4)，化为极坐标方程为：ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+12323．【答案】（1）解：由题意得：f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x，∴x<−1时，−x+2>x，解得：x<−1−1≤x≤12时，−3x>x，解得：x<0，故−1≤x<0x>12时，x−2>x，无解综上，不等式的解集是{x|x<0}；（2）解：不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x．由（1）知，f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x，则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时，h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1
简介：山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1．已知集合A={x|y=11−2x}，B={y|y=−|x−3|−2}，则A∪B=（ ）A．∅B．(−∞，−2]C．(−∞，0)D．(−∞，0]2．已知复数z=2+i，在复平面内z(1−i)对应点的坐标为（ ）A．(3，1)B．(−3，1)C．(3，−1)D．(−3，−1)3．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为（ ）A．62B．9C．3D．324．已知等比数列{an}的公比为q，且a5=1，则下列选项不正确的是（ ）A．a3+a7≥2B．a4+a6≥2C．a7−2a6+1≥0D．1a1+1a9=a1+a95．已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1，F2，P是双曲线上一点，|PF1|=7，则|PF2|=（ ）A．1或13B．1C．13D．96．3cos10°+1sin550°等于（ ）A．-2B．2C．-4D．47．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是（ ）A．X甲 X乙，甲比乙稳定D．X甲>X乙，乙比甲稳定8．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=2，若以MF为直径的圆过点(0，1)，则C的焦点到其准线的距离为 .15．已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1，若函数f(x)在(2a−2，2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .16．定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−1.5]=−2，[2]=2，当x∈[0，n)时，f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为an，则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB+3sinB=2.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.18． 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P(X=1)；（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．19．已知函数f(x)=ex+aln(−x)+1，f′(x)是其导函数，其中a∈R．（1）若f(x)在(−∞，0)上单调递减，求a的取值范围；（2）若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(−∞，0)恒成立，求a的取值范围．20．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=62．（1）求证：BO//平面PAC；并计算BO与平面PAC之间的距离．（2）设平面PAO∩平面PBC=l，若点M在线段PC上运动，当直线l与平面ABM所成角取最大值时，求二面角A−BM−O的正弦值．21．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1，F2，左､右顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，MF1//NF2，MF2与NF1的交点为P，试问|PF1|+|PF2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(−2，1)，半径长为33．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点P(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知f(x)=|2x−1|−|x+1|．（1）求f(x)>x的解集；（2）若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空，求m的取值范围．答案解析部分 1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】−x2+2x−1（答案不唯一）14．【答案】215．【答案】−34≤a<3216．【答案】2021101117．【答案】（1）解：由cosB+3sinB=2，即2(12cosB+32sinB)=2，所以sin(B+π6)=1.又B∈(0，π)，所以B+π6∈(π6，7π6)，所以B=π3.（2）解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32tanC+12.由于△ABC为锐角三角形，故0 33，所以2tanC>233，0<12tanC<32，所以12<32tanC+12<2，即12 0，当−1 0时，x<−1时，h′(x)<0，−1 0，所以函数h(x)在(−∞，−1)上递减，在(−1，0)上递增， 所以h(x)min=h(−1)=a+1>0，不符合题意；当a<0时，x<−1时，h′(x)>0，−1 =14+23(2−11−λ)2≤12，即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0，2，0)，M(0，0，64)，所以OB=(−32，12，0)，BM=(32，0，64)设平面OBM的法向量为n2=(x2，y2，z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1，3，−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22，即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.21．【答案】（1）解：椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1(0，c)，F2(0，−c)，左､右顶点分别为A1(−b，0)，A2(b，0)，因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形，所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8，解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8，所以椭圆的标准方程为：y28+x24=1；（2）解：因为MF1∥NF2，所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以|NF2|+|F1N|=2a=42，因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)，同理可得：|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)，所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|，设MF1，NF2的方程分别为：y=kx+1，y=kx−1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1，x2<0)，则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0，所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2，因此 |MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2，同理可得：|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2，因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2，|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2)，所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32，所以|PF1|+|PF2|为定值，定值为32.22．【答案】（1）解：⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα，α为参数；（2）解：设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4)，则由|6k|1+k2=33，解得：k=±3，所以两切线方程为y−1=±33(x−4)，化为极坐标方程为：ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+12323．【答案】（1）解：由题意得：f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x，∴x<−1时，−x+2>x，解得：x<−1−1≤x≤12时，−3x>x，解得：x<0，故−1≤x<0x>12时，x−2>x，无解综上，不等式的解集是{x|x<0}；（2）解：不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x．由（1）知，f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x，则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时，h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1
简介：山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1．已知集合A={x|y=11−2x}，B={y|y=−|x−3|−2}，则A∪B=（ ）A．∅B．(−∞，−2]C．(−∞，0)D．(−∞，0]2．已知复数z=2+i，在复平面内z(1−i)对应点的坐标为（ ）A．(3，1)B．(−3，1)C．(3，−1)D．(−3，−1)3．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为（ ）A．62B．9C．3D．324．已知等比数列{an}的公比为q，且a5=1，则下列选项不正确的是（ ）A．a3+a7≥2B．a4+a6≥2C．a7−2a6+1≥0D．1a1+1a9=a1+a95．已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1，F2，P是双曲线上一点，|PF1|=7，则|PF2|=（ ）A．1或13B．1C．13D．96．3cos10°+1sin550°等于（ ）A．-2B．2C．-4D．47．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是（ ）A．X甲 X乙，甲比乙稳定D．X甲>X乙，乙比甲稳定8．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=2，若以MF为直径的圆过点(0，1)，则C的焦点到其准线的距离为 .15．已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1，若函数f(x)在(2a−2，2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .16．定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−1.5]=−2，[2]=2，当x∈[0，n)时，f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为an，则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB+3sinB=2.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.18． 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P(X=1)；（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．19．已知函数f(x)=ex+aln(−x)+1，f′(x)是其导函数，其中a∈R．（1）若f(x)在(−∞，0)上单调递减，求a的取值范围；（2）若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(−∞，0)恒成立，求a的取值范围．20．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=62．（1）求证：BO//平面PAC；并计算BO与平面PAC之间的距离．（2）设平面PAO∩平面PBC=l，若点M在线段PC上运动，当直线l与平面ABM所成角取最大值时，求二面角A−BM−O的正弦值．21．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1，F2，左､右顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，MF1//NF2，MF2与NF1的交点为P，试问|PF1|+|PF2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(−2，1)，半径长为33．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点P(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知f(x)=|2x−1|−|x+1|．（1）求f(x)>x的解集；（2）若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空，求m的取值范围．答案解析部分 1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】−x2+2x−1（答案不唯一）14．【答案】215．【答案】−34≤a<3216．【答案】2021101117．【答案】（1）解：由cosB+3sinB=2，即2(12cosB+32sinB)=2，所以sin(B+π6)=1.又B∈(0，π)，所以B+π6∈(π6，7π6)，所以B=π3.（2）解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32tanC+12.由于△ABC为锐角三角形，故0 33，所以2tanC>233，0<12tanC<32，所以12<32tanC+12<2，即12 0，当−1 0时，x<−1时，h′(x)<0，−1 0，所以函数h(x)在(−∞，−1)上递减，在(−1，0)上递增， 所以h(x)min=h(−1)=a+1>0，不符合题意；当a<0时，x<−1时，h′(x)>0，−1 =14+23(2−11−λ)2≤12，即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0，2，0)，M(0，0，64)，所以OB=(−32，12，0)，BM=(32，0，64)设平面OBM的法向量为n2=(x2，y2，z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1，3，−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22，即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.21．【答案】（1）解：椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1(0，c)，F2(0，−c)，左､右顶点分别为A1(−b，0)，A2(b，0)，因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形，所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8，解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8，所以椭圆的标准方程为：y28+x24=1；（2）解：因为MF1∥NF2，所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以|NF2|+|F1N|=2a=42，因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)，同理可得：|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)，所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|，设MF1，NF2的方程分别为：y=kx+1，y=kx−1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1，x2<0)，则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0，所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2，因此 |MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2，同理可得：|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2，因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2，|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2)，所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32，所以|PF1|+|PF2|为定值，定值为32.22．【答案】（1）解：⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα，α为参数；（2）解：设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4)，则由|6k|1+k2=33，解得：k=±3，所以两切线方程为y−1=±33(x−4)，化为极坐标方程为：ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+12323．【答案】（1）解：由题意得：f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x，∴x<−1时，−x+2>x，解得：x<−1−1≤x≤12时，−3x>x，解得：x<0，故−1≤x<0x>12时，x−2>x，无解综上，不等式的解集是{x|x<0}；（2）解：不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x．由（1）知，f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x，则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时，h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1
简介：山西省运城市高中联合体2022届高三下学期理数第四次模拟试卷一、单选题1．已知集合A={x|y=11−2x}，B={y|y=−|x−3|−2}，则A∪B=（ ）A．∅B．(−∞，−2]C．(−∞，0)D．(−∞，0]2．已知复数z=2+i，在复平面内z(1−i)对应点的坐标为（ ）A．(3，1)B．(−3，1)C．(3，−1)D．(−3，−1)3．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为（ ）A．62B．9C．3D．324．已知等比数列{an}的公比为q，且a5=1，则下列选项不正确的是（ ）A．a3+a7≥2B．a4+a6≥2C．a7−2a6+1≥0D．1a1+1a9=a1+a95．已知双曲线x29−y216=1的左右焦点F1，F2，P是双曲线上一点，|PF1|=7，则|PF2|=（ ）A．1或13B．1C．13D．96．3cos10°+1sin550°等于（ ）A．-2B．2C．-4D．47．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为X甲、X乙则下列结论正确的是（ ）A．X甲 X乙，甲比乙稳定D．X甲>X乙，乙比甲稳定8．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=2，若以MF为直径的圆过点(0，1)，则C的焦点到其准线的距离为 .15．已知函数f(x)=13×3+12×2−2x+1，若函数f(x)在(2a−2，2a+3)上存在最小值.则实数a的取值范围是 .16．定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−1.5]=−2，[2]=2，当x∈[0，n)时，f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为an，则1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋅⋅⋅+1a2022−1的值为 .三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB+3sinB=2.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.18． 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求P(X=1)；（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．19．已知函数f(x)=ex+aln(−x)+1，f′(x)是其导函数，其中a∈R．（1）若f(x)在(−∞，0)上单调递减，求a的取值范围；（2）若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(−∞，0)恒成立，求a的取值范围．20．如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=62．（1）求证：BO//平面PAC；并计算BO与平面PAC之间的距离．（2）设平面PAO∩平面PBC=l，若点M在线段PC上运动，当直线l与平面ABM所成角取最大值时，求二面角A−BM−O的正弦值．21．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1，F2，左､右顶点分别为A1，A2，且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，MF1//NF2，MF2与NF1的交点为P，试问|PF1|+|PF2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(−2，1)，半径长为33．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点P(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知f(x)=|2x−1|−|x+1|．（1）求f(x)>x的解集；（2）若不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空，求m的取值范围．答案解析部分 1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】−x2+2x−1（答案不唯一）14．【答案】215．【答案】−34≤a<3216．【答案】2021101117．【答案】（1）解：由cosB+3sinB=2，即2(12cosB+32sinB)=2，所以sin(B+π6)=1.又B∈(0，π)，所以B+π6∈(π6，7π6)，所以B=π3.（2）解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32tanC+12.由于△ABC为锐角三角形，故0 33，所以2tanC>233，0<12tanC<32，所以12<32tanC+12<2，即12 0，当−1 0时，x<−1时，h′(x)<0，−1 0，所以函数h(x)在(−∞，−1)上递减，在(−1，0)上递增， 所以h(x)min=h(−1)=a+1>0，不符合题意；当a<0时，x<−1时，h′(x)>0，−1 =14+23(2−11−λ)2≤12，即当λ=12时直线l与平面ABM所成角取最大值.此时n1=(0，2，0)，M(0，0，64)，所以OB=(−32，12，0)，BM=(32，0，64)设平面OBM的法向量为n2=(x2，y2，z2).则−32×2+12y2=032×2+64z2=0⇒y2=3x2z2=−2×2令x2=1则n2=(1，3，−2).所以cos =n1⋅n2|n1||n2|=232×6=22，即sin =22则二面角A−BM−O的正弦值sinθ=22.21．【答案】（1）解：椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上､下焦点分别为F1(0，c)，F2(0，−c)，左､右顶点分别为A1(−b，0)，A2(b，0)，因为四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形，所以有b=c且4×12⋅b⋅c=8，解得b=c=2⇒a2=b2+c2=8，所以椭圆的标准方程为：y28+x24=1；（2）解：因为MF1∥NF2，所以|NF2||F1M|=|PN||PF1|⇒|NF2||F1M|+1=|PN||PF1|+1⇒|NF2|+|F1M||F1M|=|PN|+|PF1||PF1|⇒|PF1|=|NF1||NF2|+|F1M|⋅|F1M|，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以|NF2|+|F1N|=2a=42，因此|PF1|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)，同理可得：|PF2|=|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)，所以|PF1|+|PF2|=|F1M||NF2|+|F1M|⋅(42−|NF2|)+|F2N||NF2|+|F1M|⋅(42−|MF1|)=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|，设MF1，NF2的方程分别为：y=kx+1，y=kx−1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1，x2<0)，则y28+x24=1y=kx+2⇒(k2+2)x2+4kx−4=0，所以x1=−4k−16k2+16(k2+2)2(k2+2)=−2k−22k2+2k2+2，因此 |MF1|=x12+(y1−2)2=x12+(kx1+2−2)2=|x1|⋅1+k2=2k1+k2+22(k2+1)k2+2，同理可得：|NF2|=22(k2+1)−2k1+k2k2+2，因此|MF1|+|NF2|=42(k2+1)k2+2，|MF1|⋅|NF2|=[22(k2+1)]2−4k2(1+k2)(k2+2)2=4(1+k2)(k2+2)，所以|PF1|+|PF2|=42−2|F1M|⋅|F2N||NF2|+|F1M|=42−2⋅4(1+k2)k2+242(k2+1)k2+2=42−2=32，所以|PF1|+|PF2|为定值，定值为32.22．【答案】（1）解：⊙C的一个参数方程为x=−2+33cosαy=1+33sinα，α为参数；（2）解：设⊙C的切线方程为y−1=k(x−4)，则由|6k|1+k2=33，解得：k=±3，所以两切线方程为y−1=±33(x−4)，化为极坐标方程为：ρsinθ=33ρcosθ+1−123和ρsinθ=−33ρcosθ+1+12323．【答案】（1）解：由题意得：f(x)=|2x−1|−|x+1|=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)∵f(x)>x，∴x<−1时，−x+2>x，解得：x<−1−1≤x≤12时，−3x>x，解得：x<0，故−1≤x<0x>12时，x−2>x，无解综上，不等式的解集是{x|x<0}；（2）解：不等式f(x)≥x2−x+m⇔m≤f(x)−x2+x．由（1）知，f(x)=−x+2(x<−1)−3x(−1≤x≤12)x−2(x>12)设h(x)=f(x)−x2+x，则h(x)=−x2+2x−2(x>12)−x2−2x(−1≤x≤12)−x2+2(x<−1)∴当−1≤x≤12时，h(x)max=1∴不等式f(x)≥x2−x+m在R上解集非空∴m≤1
