上海市奉贤区2022届高三数学一模试卷及答案
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高三数学一模试卷一、填空题1．已知集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3}，则a= .2．计算lim→∞7+45−3= .3．已知圆的参数方程为x=2cosθy=2siθ（θ为参数），则此圆的半径是 .4．函数y=
简介：高三数学二模试卷一、填空题1．设集合A＝｛x｜－12＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为B={x|−1≤x≤1}，A={x|−12 0f(x)，x<0是奇函数，则f(−3)= ．【答案】-3【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，g(−3)=f(−3)=−g(3)=−(2×3−3)=−3.故答案为：-3【分析】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，由g(x)为奇函数，即可求解。3．若线性方程组的增广矩阵为(23c101c2)、解为x=3y=5，则c1−c2= ．【答案】16【知识点】二阶矩阵【解析】【解答】由题意得：c1=2x+3y=2×3+3×5=21，c2=0⋅x+y=5，c1−c2=21−5=16。【分析】利用线性方程组的增广矩阵求解方法，进而结合已知条件求出c1，c2的值，从而求出c1−c2的值。4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 【答案】{π6，5π6}【知识点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=12；∴x=π6或5π6；故答案为：{π6，5π6}．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．5．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．【答案】16【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】记正三棱锥为P−ABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则AH=23×(32×2)=63，在RtΔAPH中，PH=AP2−AH2=33，所以VP−ABC=13SΔABC⋅PH=13×32×33=16.【分析】根据题意由射影的定义结合三棱锥的几何性质，计算出距离的取值，并代入到体积公式由此计算出结果。6．若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2= .【答案】5.2【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】由题意知：2+3+7+8+a5=5，所以a=5，而s2=1ni=1n(xi−x)2，∴s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=5.2故答案为：5.2【分析】由平均数求得a，再由方差公式即可求解。7．已知点P(x，y)在不等式组x−2≤0，y−1≤0，x+2y−2≥0，表示的平面区域上运动，则z=x−y的取值范围是 【答案】[-1，2]【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】如图令z=0，则y=x为目标函数的一条等值线将等值线延y轴正半轴方向移到到点A(0，1)则点A(0，1)是目标函数取最小值得最优解将等值线延y轴负半轴方向移到到点B(2，0)则点B(2，0)是目标函数取最大值得最优解所以zmin=0−1=−1，zmax=2−0=2所以z∈[−1，2] 故答案为：[-1，2]【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。8．已知P是双曲线x24−y25=1上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|= ．【答案】4【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线x24−y25=1两渐近线的斜率为±52，设点P(x0，y0)，则l1、l2的方程分别为y−y0=52(x−x0)，y−y0=−52(x−x0)，所以M、N坐标为M(x0−255y0，0)，N(x0+255y0，0)，所以|OM|⋅|ON|=|x0−255y0|×|x0+255y0|=|x02−45y02|，又点P在双曲线上，则x024−y025=1，所以|OM|⋅|ON|=4．故答案为：4【分析】设点P(x0，y0)，由渐近线斜率，可得l1、l2的方程，进而得到M、N两点坐标，即可得|OM|⋅|ON|=|x02−45y02|，再由点P在双曲线上，即可求解。9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=6，b=3+1，C=450，则A= ．【答案】60°【知识点】余弦定理【解析】【解答】由余弦定理得c=a2+b2−2abcosC=2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，因为A∈(0，π)，所以A=600．故答案为：60°【分析】先由余弦定理求c，再由余弦定理求得cosA，即可求解。10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p= 【答案】15【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】由题意可得：110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，整理可得：1−110p=4950，解得：p=15，故答案为：15.【分析】由题意A故障，B不发生故障或A不发生故障，B故障或A，B都不发生故障可得110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，即可求解。11．已知直线x+2y+5=0与直线x−dy+115=0互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d，且a7a8=35，a4+a10<0，令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，则Sm的值为 ．【答案】52【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】由题意知，d≠0，因为两直线平行，所以11=2−d≠5115，解得d=−2，由两平行直线间距离公式得m=|115−5|1+22=10，由a7⋅a8=a7⋅(a7−2)=35，解得a7=−5或a7=7.又a4+a10=2a7<0，所以a7=−5，即a7=a1+6d=−5，解得a1=7，所以.所以S10=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52．故答案为：52.【分析】由两直线平行，易得d及m，再由已知条件a7a8=35，a4+a10<0可求得通项公式an=−2n+9，即可求解。12．已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC，则1α+2β的最小值为 ．【答案】6+42【知识点】基本不等式；向量的共线定理【解析】【解答】由于M是DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC=2αAD+2βAE，所以α，β>0且，2α+2β=1 以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+42，当且仅当α=2−12，β=2−22时取等号，所以1α+2β的最小值为6+42．故答案为：6+42【分析】由D，E，M三点共线可得2α+2β=1，再由1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)，结合基本不等式即可求解。二、单选题13．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a−c>b−d”的（ ）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】已知c>d，若“a−c>b−d”成立，则利用不等式的可加性得到a−c+c>b−d+d成立，即“a>b”成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的必要条件；反之“a>b”成立时不一定有“a−c>b−d”成立，例如：a=1，b=0，c=5，d=1，满足c>d，a>b，而a−c=−4，b−d=−1，a−c b−d”不成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的不充分条件.综上，“a>b”是“a−c>b−d”的必要不充分条件，故答案为：C.【分析】由“a−c>b−d”结合不等式的可加性可证a>b，反之不成立，即可解题。14．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线【答案】B【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B符合题意；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，显然直线l不垂直于平面α，而平面α内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确.故答案为：B【分析】由空间线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可。15．关于函数f(x)=(2x−12x)⋅x13和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）A．若−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，且函数值为正数，故函数f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，得到f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数，再由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，进而逐项判断即可。16．设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0,c>b>0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论：①对于一切x∈(−∞,1)都有f(x)>0；②存在x>0使xax、bx、cx不能构成一个三角形的三边长；③△ABC为钝角三角形，存在x∈(1,2)，使f(x)=0，其中正确的个数为（ ）个A．3B．2C．1D．0【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【解析】【解答】①令g(x)=f(x)cx=(ac)x+(bc)x−1∵c>a>0,c>b>0∴0 g(1)=a+b−cc根据三角形三边关系可知：a+b−c>0∴g(x)>0又cx>0∴x∈(−∞,1)时，都有f(x)=cx⋅g(x)>0，可知①正确；②取x=3，a=2，b=3，c=4则xax+bx=24+27=51 0∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：A【分析】构造函数g(x)=f(x)cx，根据函数单调性可知g(x)>g(1)，根据三角形三边关系可知g(1)>0，可推导出g(x)>0，从而可得f(x)>0，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知a2+b2−c2<0，可得g(2)<0，再结合g(1)>0，可知f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.三、解答题17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，AE=2EB.（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）求点C到平面D1DE的距离．【答案】（1）解：在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，则∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.因为AB=3，AE=2EB，所以EB=1，所以DE′=1，因为AD=DD1=1，所以AE′=D1E′=2，而AD1=2，所以△AD1E′为正三角形，∠D1AE′=π3，从而异面直线AD1与EC所成角的大小为π3.（2）解：设点C到平面DED1的距离为ℎ，S△DED1=12D1D⋅DE=12×1×5=52，S△DEC=12×3×1=32，由VC−DED1=VD1−DEC得13×52ℎ=13×32×1，所以ℎ=355【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，进而得到∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.进而可求解；（2）设点C到平面DED1的距离为ℎ，由由VC−DED1=VD1−DEC即可求解。18．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)=p⋅qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=Asin(π4x−π4)+B(以上三式中p，q，A，B均为非零常数，q>1.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若f(3)=8，f(7)=4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x=0表示1月份，x=1表示2月份，⋯⋯，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？【答案】（1）解：对于①，函数f(x)=p⋅qx是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数f(x)=px2+qx+1的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于③，当A>0时，函数f(x)=Asin(π4x−π4)+B在[0，3]上的图象是上升的，在[3，7]上的图象是下降的，在[7，11]上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.（2）解：依题意，A+B=8−A+B=4，解得A=2，B=6，则f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由2sin(π4x−π4)+6<5，即sin(π4x−π4)<−12，而x∈[0，10]，x∈N，解得x∈{0，6，7，8}，所以该水果在第1，7，8，9月份应该采取外销策略. 【知识点】三角函数模型的简单应用【解析】【分析】（1）由价格走势，逐个分析三个函数模型，即可解决问题；（2）由题意易得A、B，即可确定函数解析式f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由此可得不等式sin(π4x−π4)<−12，求解即可。19．已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；（2）若y=f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y=f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【答案】（1）解：由题意，−3x+13x+1+1≥3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x−1≤0，解得−1≤3x≤13所以x≤-1（2）解：已知定义域为R，所以f(0)=−1+a3+b=0⇒a=1又f(1)+f(−1)=0⇒b=3所以f(x)=1−3x3x+1+3f(x)=1−3x3x+1+3=13(1−3x3x+1)=13(−1+23x+1)对任意x1，x2∈R，x1 0，所以f(x1) 0，求数列{an}的前n项和Sn； （3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{an}是公比不为-1的等比数列.【答案】（1）解：由Sn=3an−2，得a1=1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3an−3an−1，即anan−1=32所以an=(32)n−1；（2）解：由Sn=an2+12an+116，得a1=a12+12a1+116，进而a1=14，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an2−an−12+12an−12an−1得(an+an−1)(an−an−1−12)=0，因为an>0，所以an−an−1=12，进而Sn=n4+n(n−1)4=n24（3）解：若数列{an}是公比为q的等比数列，①当q=1时，an=a1，Sn=na1由Sn=Aan2+Ban+C，得na1=Aa12+Ba1+C恒成立.所以a1=0，与数列{an}是等比数列矛盾；②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn−1，Sn=a1q−1qn−a1q−1，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，得A×a12q2×q2n+(B×a1q−a1q−1)×qn+C+a1q−1=0对于一切正整数n都成立所以A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0事实上，当A=0，B≠1或12或0，C≠0时，Sn=Ban+Ca1=C1−B≠0，n≥2时，an=Sn−Sn−1=Ban−Ban−1，得anan−1=BB−1≠0或-1所以数列{an}是以C1−B为首项，以BB−1为公比的等比数列【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定【解析】【分析】（1）由an=Sn−Sn−1，结合a1=1即可求解；（2）由an=Sn−Sn−1，可得an−an−1=12，即可求解；（3）讨论q=1，易得a1=0，矛盾；再讨论q≠±1且q≠0，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，结合通项公式可得A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0再进行验证即可。
简介：高三数学二模试卷一、填空题1．设集合A＝｛x｜－12＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为B={x|−1≤x≤1}，A={x|−12 0f(x)，x<0是奇函数，则f(−3)= ．【答案】-3【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，g(−3)=f(−3)=−g(3)=−(2×3−3)=−3.故答案为：-3【分析】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，由g(x)为奇函数，即可求解。3．若线性方程组的增广矩阵为(23c101c2)、解为x=3y=5，则c1−c2= ．【答案】16【知识点】二阶矩阵【解析】【解答】由题意得：c1=2x+3y=2×3+3×5=21，c2=0⋅x+y=5，c1−c2=21−5=16。【分析】利用线性方程组的增广矩阵求解方法，进而结合已知条件求出c1，c2的值，从而求出c1−c2的值。4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 【答案】{π6，5π6}【知识点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=12；∴x=π6或5π6；故答案为：{π6，5π6}．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．5．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．【答案】16【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】记正三棱锥为P−ABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则AH=23×(32×2)=63，在RtΔAPH中，PH=AP2−AH2=33，所以VP−ABC=13SΔABC⋅PH=13×32×33=16.【分析】根据题意由射影的定义结合三棱锥的几何性质，计算出距离的取值，并代入到体积公式由此计算出结果。6．若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2= .【答案】5.2【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】由题意知：2+3+7+8+a5=5，所以a=5，而s2=1ni=1n(xi−x)2，∴s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=5.2故答案为：5.2【分析】由平均数求得a，再由方差公式即可求解。7．已知点P(x，y)在不等式组x−2≤0，y−1≤0，x+2y−2≥0，表示的平面区域上运动，则z=x−y的取值范围是 【答案】[-1，2]【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】如图令z=0，则y=x为目标函数的一条等值线将等值线延y轴正半轴方向移到到点A(0，1)则点A(0，1)是目标函数取最小值得最优解将等值线延y轴负半轴方向移到到点B(2，0)则点B(2，0)是目标函数取最大值得最优解所以zmin=0−1=−1，zmax=2−0=2所以z∈[−1，2] 故答案为：[-1，2]【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。8．已知P是双曲线x24−y25=1上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|= ．【答案】4【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线x24−y25=1两渐近线的斜率为±52，设点P(x0，y0)，则l1、l2的方程分别为y−y0=52(x−x0)，y−y0=−52(x−x0)，所以M、N坐标为M(x0−255y0，0)，N(x0+255y0，0)，所以|OM|⋅|ON|=|x0−255y0|×|x0+255y0|=|x02−45y02|，又点P在双曲线上，则x024−y025=1，所以|OM|⋅|ON|=4．故答案为：4【分析】设点P(x0，y0)，由渐近线斜率，可得l1、l2的方程，进而得到M、N两点坐标，即可得|OM|⋅|ON|=|x02−45y02|，再由点P在双曲线上，即可求解。9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=6，b=3+1，C=450，则A= ．【答案】60°【知识点】余弦定理【解析】【解答】由余弦定理得c=a2+b2−2abcosC=2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，因为A∈(0，π)，所以A=600．故答案为：60°【分析】先由余弦定理求c，再由余弦定理求得cosA，即可求解。10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p= 【答案】15【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】由题意可得：110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，整理可得：1−110p=4950，解得：p=15，故答案为：15.【分析】由题意A故障，B不发生故障或A不发生故障，B故障或A，B都不发生故障可得110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，即可求解。11．已知直线x+2y+5=0与直线x−dy+115=0互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d，且a7a8=35，a4+a10<0，令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，则Sm的值为 ．【答案】52【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】由题意知，d≠0，因为两直线平行，所以11=2−d≠5115，解得d=−2，由两平行直线间距离公式得m=|115−5|1+22=10，由a7⋅a8=a7⋅(a7−2)=35，解得a7=−5或a7=7.又a4+a10=2a7<0，所以a7=−5，即a7=a1+6d=−5，解得a1=7，所以.所以S10=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52．故答案为：52.【分析】由两直线平行，易得d及m，再由已知条件a7a8=35，a4+a10<0可求得通项公式an=−2n+9，即可求解。12．已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC，则1α+2β的最小值为 ．【答案】6+42【知识点】基本不等式；向量的共线定理【解析】【解答】由于M是DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC=2αAD+2βAE，所以α，β>0且，2α+2β=1 以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+42，当且仅当α=2−12，β=2−22时取等号，所以1α+2β的最小值为6+42．故答案为：6+42【分析】由D，E，M三点共线可得2α+2β=1，再由1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)，结合基本不等式即可求解。二、单选题13．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a−c>b−d”的（ ）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】已知c>d，若“a−c>b−d”成立，则利用不等式的可加性得到a−c+c>b−d+d成立，即“a>b”成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的必要条件；反之“a>b”成立时不一定有“a−c>b−d”成立，例如：a=1，b=0，c=5，d=1，满足c>d，a>b，而a−c=−4，b−d=−1，a−c b−d”不成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的不充分条件.综上，“a>b”是“a−c>b−d”的必要不充分条件，故答案为：C.【分析】由“a−c>b−d”结合不等式的可加性可证a>b，反之不成立，即可解题。14．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线【答案】B【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B符合题意；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，显然直线l不垂直于平面α，而平面α内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确.故答案为：B【分析】由空间线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可。15．关于函数f(x)=(2x−12x)⋅x13和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）A．若−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，且函数值为正数，故函数f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，得到f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数，再由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，进而逐项判断即可。16．设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0,c>b>0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论：①对于一切x∈(−∞,1)都有f(x)>0；②存在x>0使xax、bx、cx不能构成一个三角形的三边长；③△ABC为钝角三角形，存在x∈(1,2)，使f(x)=0，其中正确的个数为（ ）个A．3B．2C．1D．0【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【解析】【解答】①令g(x)=f(x)cx=(ac)x+(bc)x−1∵c>a>0,c>b>0∴0 g(1)=a+b−cc根据三角形三边关系可知：a+b−c>0∴g(x)>0又cx>0∴x∈(−∞,1)时，都有f(x)=cx⋅g(x)>0，可知①正确；②取x=3，a=2，b=3，c=4则xax+bx=24+27=51 0∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：A【分析】构造函数g(x)=f(x)cx，根据函数单调性可知g(x)>g(1)，根据三角形三边关系可知g(1)>0，可推导出g(x)>0，从而可得f(x)>0，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知a2+b2−c2<0，可得g(2)<0，再结合g(1)>0，可知f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.三、解答题17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，AE=2EB.（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）求点C到平面D1DE的距离．【答案】（1）解：在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，则∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.因为AB=3，AE=2EB，所以EB=1，所以DE′=1，因为AD=DD1=1，所以AE′=D1E′=2，而AD1=2，所以△AD1E′为正三角形，∠D1AE′=π3，从而异面直线AD1与EC所成角的大小为π3.（2）解：设点C到平面DED1的距离为ℎ，S△DED1=12D1D⋅DE=12×1×5=52，S△DEC=12×3×1=32，由VC−DED1=VD1−DEC得13×52ℎ=13×32×1，所以ℎ=355【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，进而得到∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.进而可求解；（2）设点C到平面DED1的距离为ℎ，由由VC−DED1=VD1−DEC即可求解。18．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)=p⋅qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=Asin(π4x−π4)+B(以上三式中p，q，A，B均为非零常数，q>1.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若f(3)=8，f(7)=4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x=0表示1月份，x=1表示2月份，⋯⋯，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？【答案】（1）解：对于①，函数f(x)=p⋅qx是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数f(x)=px2+qx+1的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于③，当A>0时，函数f(x)=Asin(π4x−π4)+B在[0，3]上的图象是上升的，在[3，7]上的图象是下降的，在[7，11]上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.（2）解：依题意，A+B=8−A+B=4，解得A=2，B=6，则f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由2sin(π4x−π4)+6<5，即sin(π4x−π4)<−12，而x∈[0，10]，x∈N，解得x∈{0，6，7，8}，所以该水果在第1，7，8，9月份应该采取外销策略. 【知识点】三角函数模型的简单应用【解析】【分析】（1）由价格走势，逐个分析三个函数模型，即可解决问题；（2）由题意易得A、B，即可确定函数解析式f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由此可得不等式sin(π4x−π4)<−12，求解即可。19．已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；（2）若y=f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y=f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【答案】（1）解：由题意，−3x+13x+1+1≥3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x−1≤0，解得−1≤3x≤13所以x≤-1（2）解：已知定义域为R，所以f(0)=−1+a3+b=0⇒a=1又f(1)+f(−1)=0⇒b=3所以f(x)=1−3x3x+1+3f(x)=1−3x3x+1+3=13(1−3x3x+1)=13(−1+23x+1)对任意x1，x2∈R，x1 0，所以f(x1) 0，求数列{an}的前n项和Sn； （3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{an}是公比不为-1的等比数列.【答案】（1）解：由Sn=3an−2，得a1=1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3an−3an−1，即anan−1=32所以an=(32)n−1；（2）解：由Sn=an2+12an+116，得a1=a12+12a1+116，进而a1=14，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an2−an−12+12an−12an−1得(an+an−1)(an−an−1−12)=0，因为an>0，所以an−an−1=12，进而Sn=n4+n(n−1)4=n24（3）解：若数列{an}是公比为q的等比数列，①当q=1时，an=a1，Sn=na1由Sn=Aan2+Ban+C，得na1=Aa12+Ba1+C恒成立.所以a1=0，与数列{an}是等比数列矛盾；②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn−1，Sn=a1q−1qn−a1q−1，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，得A×a12q2×q2n+(B×a1q−a1q−1)×qn+C+a1q−1=0对于一切正整数n都成立所以A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0事实上，当A=0，B≠1或12或0，C≠0时，Sn=Ban+Ca1=C1−B≠0，n≥2时，an=Sn−Sn−1=Ban−Ban−1，得anan−1=BB−1≠0或-1所以数列{an}是以C1−B为首项，以BB−1为公比的等比数列【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定【解析】【分析】（1）由an=Sn−Sn−1，结合a1=1即可求解；（2）由an=Sn−Sn−1，可得an−an−1=12，即可求解；（3）讨论q=1，易得a1=0，矛盾；再讨论q≠±1且q≠0，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，结合通项公式可得A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0再进行验证即可。
简介：高三数学二模试卷一、填空题1．设集合A＝｛x｜－12＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为B={x|−1≤x≤1}，A={x|−12 0f(x)，x<0是奇函数，则f(−3)= ．【答案】-3【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，g(−3)=f(−3)=−g(3)=−(2×3−3)=−3.故答案为：-3【分析】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，由g(x)为奇函数，即可求解。3．若线性方程组的增广矩阵为(23c101c2)、解为x=3y=5，则c1−c2= ．【答案】16【知识点】二阶矩阵【解析】【解答】由题意得：c1=2x+3y=2×3+3×5=21，c2=0⋅x+y=5，c1−c2=21−5=16。【分析】利用线性方程组的增广矩阵求解方法，进而结合已知条件求出c1，c2的值，从而求出c1−c2的值。4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 【答案】{π6，5π6}【知识点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=12；∴x=π6或5π6；故答案为：{π6，5π6}．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．5．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．【答案】16【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】记正三棱锥为P−ABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则AH=23×(32×2)=63，在RtΔAPH中，PH=AP2−AH2=33，所以VP−ABC=13SΔABC⋅PH=13×32×33=16.【分析】根据题意由射影的定义结合三棱锥的几何性质，计算出距离的取值，并代入到体积公式由此计算出结果。6．若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2= .【答案】5.2【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】由题意知：2+3+7+8+a5=5，所以a=5，而s2=1ni=1n(xi−x)2，∴s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=5.2故答案为：5.2【分析】由平均数求得a，再由方差公式即可求解。7．已知点P(x，y)在不等式组x−2≤0，y−1≤0，x+2y−2≥0，表示的平面区域上运动，则z=x−y的取值范围是 【答案】[-1，2]【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】如图令z=0，则y=x为目标函数的一条等值线将等值线延y轴正半轴方向移到到点A(0，1)则点A(0，1)是目标函数取最小值得最优解将等值线延y轴负半轴方向移到到点B(2，0)则点B(2，0)是目标函数取最大值得最优解所以zmin=0−1=−1，zmax=2−0=2所以z∈[−1，2] 故答案为：[-1，2]【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。8．已知P是双曲线x24−y25=1上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|= ．【答案】4【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线x24−y25=1两渐近线的斜率为±52，设点P(x0，y0)，则l1、l2的方程分别为y−y0=52(x−x0)，y−y0=−52(x−x0)，所以M、N坐标为M(x0−255y0，0)，N(x0+255y0，0)，所以|OM|⋅|ON|=|x0−255y0|×|x0+255y0|=|x02−45y02|，又点P在双曲线上，则x024−y025=1，所以|OM|⋅|ON|=4．故答案为：4【分析】设点P(x0，y0)，由渐近线斜率，可得l1、l2的方程，进而得到M、N两点坐标，即可得|OM|⋅|ON|=|x02−45y02|，再由点P在双曲线上，即可求解。9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=6，b=3+1，C=450，则A= ．【答案】60°【知识点】余弦定理【解析】【解答】由余弦定理得c=a2+b2−2abcosC=2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，因为A∈(0，π)，所以A=600．故答案为：60°【分析】先由余弦定理求c，再由余弦定理求得cosA，即可求解。10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p= 【答案】15【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】由题意可得：110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，整理可得：1−110p=4950，解得：p=15，故答案为：15.【分析】由题意A故障，B不发生故障或A不发生故障，B故障或A，B都不发生故障可得110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，即可求解。11．已知直线x+2y+5=0与直线x−dy+115=0互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d，且a7a8=35，a4+a10<0，令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，则Sm的值为 ．【答案】52【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】由题意知，d≠0，因为两直线平行，所以11=2−d≠5115，解得d=−2，由两平行直线间距离公式得m=|115−5|1+22=10，由a7⋅a8=a7⋅(a7−2)=35，解得a7=−5或a7=7.又a4+a10=2a7<0，所以a7=−5，即a7=a1+6d=−5，解得a1=7，所以.所以S10=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52．故答案为：52.【分析】由两直线平行，易得d及m，再由已知条件a7a8=35，a4+a10<0可求得通项公式an=−2n+9，即可求解。12．已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC，则1α+2β的最小值为 ．【答案】6+42【知识点】基本不等式；向量的共线定理【解析】【解答】由于M是DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC=2αAD+2βAE，所以α，β>0且，2α+2β=1 以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+42，当且仅当α=2−12，β=2−22时取等号，所以1α+2β的最小值为6+42．故答案为：6+42【分析】由D，E，M三点共线可得2α+2β=1，再由1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)，结合基本不等式即可求解。二、单选题13．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a−c>b−d”的（ ）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】已知c>d，若“a−c>b−d”成立，则利用不等式的可加性得到a−c+c>b−d+d成立，即“a>b”成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的必要条件；反之“a>b”成立时不一定有“a−c>b−d”成立，例如：a=1，b=0，c=5，d=1，满足c>d，a>b，而a−c=−4，b−d=−1，a−c b−d”不成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的不充分条件.综上，“a>b”是“a−c>b−d”的必要不充分条件，故答案为：C.【分析】由“a−c>b−d”结合不等式的可加性可证a>b，反之不成立，即可解题。14．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线【答案】B【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B符合题意；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，显然直线l不垂直于平面α，而平面α内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确.故答案为：B【分析】由空间线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可。15．关于函数f(x)=(2x−12x)⋅x13和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）A．若−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，且函数值为正数，故函数f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，得到f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数，再由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，进而逐项判断即可。16．设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0,c>b>0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论：①对于一切x∈(−∞,1)都有f(x)>0；②存在x>0使xax、bx、cx不能构成一个三角形的三边长；③△ABC为钝角三角形，存在x∈(1,2)，使f(x)=0，其中正确的个数为（ ）个A．3B．2C．1D．0【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【解析】【解答】①令g(x)=f(x)cx=(ac)x+(bc)x−1∵c>a>0,c>b>0∴0 g(1)=a+b−cc根据三角形三边关系可知：a+b−c>0∴g(x)>0又cx>0∴x∈(−∞,1)时，都有f(x)=cx⋅g(x)>0，可知①正确；②取x=3，a=2，b=3，c=4则xax+bx=24+27=51 0∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：A【分析】构造函数g(x)=f(x)cx，根据函数单调性可知g(x)>g(1)，根据三角形三边关系可知g(1)>0，可推导出g(x)>0，从而可得f(x)>0，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知a2+b2−c2<0，可得g(2)<0，再结合g(1)>0，可知f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.三、解答题17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，AE=2EB.（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）求点C到平面D1DE的距离．【答案】（1）解：在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，则∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.因为AB=3，AE=2EB，所以EB=1，所以DE′=1，因为AD=DD1=1，所以AE′=D1E′=2，而AD1=2，所以△AD1E′为正三角形，∠D1AE′=π3，从而异面直线AD1与EC所成角的大小为π3.（2）解：设点C到平面DED1的距离为ℎ，S△DED1=12D1D⋅DE=12×1×5=52，S△DEC=12×3×1=32，由VC−DED1=VD1−DEC得13×52ℎ=13×32×1，所以ℎ=355【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，进而得到∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.进而可求解；（2）设点C到平面DED1的距离为ℎ，由由VC−DED1=VD1−DEC即可求解。18．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)=p⋅qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=Asin(π4x−π4)+B(以上三式中p，q，A，B均为非零常数，q>1.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若f(3)=8，f(7)=4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x=0表示1月份，x=1表示2月份，⋯⋯，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？【答案】（1）解：对于①，函数f(x)=p⋅qx是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数f(x)=px2+qx+1的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于③，当A>0时，函数f(x)=Asin(π4x−π4)+B在[0，3]上的图象是上升的，在[3，7]上的图象是下降的，在[7，11]上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.（2）解：依题意，A+B=8−A+B=4，解得A=2，B=6，则f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由2sin(π4x−π4)+6<5，即sin(π4x−π4)<−12，而x∈[0，10]，x∈N，解得x∈{0，6，7，8}，所以该水果在第1，7，8，9月份应该采取外销策略. 【知识点】三角函数模型的简单应用【解析】【分析】（1）由价格走势，逐个分析三个函数模型，即可解决问题；（2）由题意易得A、B，即可确定函数解析式f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由此可得不等式sin(π4x−π4)<−12，求解即可。19．已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；（2）若y=f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y=f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【答案】（1）解：由题意，−3x+13x+1+1≥3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x−1≤0，解得−1≤3x≤13所以x≤-1（2）解：已知定义域为R，所以f(0)=−1+a3+b=0⇒a=1又f(1)+f(−1)=0⇒b=3所以f(x)=1−3x3x+1+3f(x)=1−3x3x+1+3=13(1−3x3x+1)=13(−1+23x+1)对任意x1，x2∈R，x1 0，所以f(x1) 0，求数列{an}的前n项和Sn； （3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{an}是公比不为-1的等比数列.【答案】（1）解：由Sn=3an−2，得a1=1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3an−3an−1，即anan−1=32所以an=(32)n−1；（2）解：由Sn=an2+12an+116，得a1=a12+12a1+116，进而a1=14，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an2−an−12+12an−12an−1得(an+an−1)(an−an−1−12)=0，因为an>0，所以an−an−1=12，进而Sn=n4+n(n−1)4=n24（3）解：若数列{an}是公比为q的等比数列，①当q=1时，an=a1，Sn=na1由Sn=Aan2+Ban+C，得na1=Aa12+Ba1+C恒成立.所以a1=0，与数列{an}是等比数列矛盾；②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn−1，Sn=a1q−1qn−a1q−1，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，得A×a12q2×q2n+(B×a1q−a1q−1)×qn+C+a1q−1=0对于一切正整数n都成立所以A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0事实上，当A=0，B≠1或12或0，C≠0时，Sn=Ban+Ca1=C1−B≠0，n≥2时，an=Sn−Sn−1=Ban−Ban−1，得anan−1=BB−1≠0或-1所以数列{an}是以C1−B为首项，以BB−1为公比的等比数列【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定【解析】【分析】（1）由an=Sn−Sn−1，结合a1=1即可求解；（2）由an=Sn−Sn−1，可得an−an−1=12，即可求解；（3）讨论q=1，易得a1=0，矛盾；再讨论q≠±1且q≠0，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，结合通项公式可得A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0再进行验证即可。
简介：高三数学二模试卷一、填空题1．设集合A＝｛x｜－12＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为B={x|−1≤x≤1}，A={x|−12 0f(x)，x<0是奇函数，则f(−3)= ．【答案】-3【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，g(−3)=f(−3)=−g(3)=−(2×3−3)=−3.故答案为：-3【分析】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，由g(x)为奇函数，即可求解。3．若线性方程组的增广矩阵为(23c101c2)、解为x=3y=5，则c1−c2= ．【答案】16【知识点】二阶矩阵【解析】【解答】由题意得：c1=2x+3y=2×3+3×5=21，c2=0⋅x+y=5，c1−c2=21−5=16。【分析】利用线性方程组的增广矩阵求解方法，进而结合已知条件求出c1，c2的值，从而求出c1−c2的值。4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 【答案】{π6，5π6}【知识点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=12；∴x=π6或5π6；故答案为：{π6，5π6}．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．5．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．【答案】16【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】记正三棱锥为P−ABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则AH=23×(32×2)=63，在RtΔAPH中，PH=AP2−AH2=33，所以VP−ABC=13SΔABC⋅PH=13×32×33=16.【分析】根据题意由射影的定义结合三棱锥的几何性质，计算出距离的取值，并代入到体积公式由此计算出结果。6．若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2= .【答案】5.2【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】由题意知：2+3+7+8+a5=5，所以a=5，而s2=1ni=1n(xi−x)2，∴s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=5.2故答案为：5.2【分析】由平均数求得a，再由方差公式即可求解。7．已知点P(x，y)在不等式组x−2≤0，y−1≤0，x+2y−2≥0，表示的平面区域上运动，则z=x−y的取值范围是 【答案】[-1，2]【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】如图令z=0，则y=x为目标函数的一条等值线将等值线延y轴正半轴方向移到到点A(0，1)则点A(0，1)是目标函数取最小值得最优解将等值线延y轴负半轴方向移到到点B(2，0)则点B(2，0)是目标函数取最大值得最优解所以zmin=0−1=−1，zmax=2−0=2所以z∈[−1，2] 故答案为：[-1，2]【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。8．已知P是双曲线x24−y25=1上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|= ．【答案】4【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线x24−y25=1两渐近线的斜率为±52，设点P(x0，y0)，则l1、l2的方程分别为y−y0=52(x−x0)，y−y0=−52(x−x0)，所以M、N坐标为M(x0−255y0，0)，N(x0+255y0，0)，所以|OM|⋅|ON|=|x0−255y0|×|x0+255y0|=|x02−45y02|，又点P在双曲线上，则x024−y025=1，所以|OM|⋅|ON|=4．故答案为：4【分析】设点P(x0，y0)，由渐近线斜率，可得l1、l2的方程，进而得到M、N两点坐标，即可得|OM|⋅|ON|=|x02−45y02|，再由点P在双曲线上，即可求解。9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=6，b=3+1，C=450，则A= ．【答案】60°【知识点】余弦定理【解析】【解答】由余弦定理得c=a2+b2−2abcosC=2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，因为A∈(0，π)，所以A=600．故答案为：60°【分析】先由余弦定理求c，再由余弦定理求得cosA，即可求解。10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p= 【答案】15【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】由题意可得：110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，整理可得：1−110p=4950，解得：p=15，故答案为：15.【分析】由题意A故障，B不发生故障或A不发生故障，B故障或A，B都不发生故障可得110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，即可求解。11．已知直线x+2y+5=0与直线x−dy+115=0互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d，且a7a8=35，a4+a10<0，令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，则Sm的值为 ．【答案】52【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】由题意知，d≠0，因为两直线平行，所以11=2−d≠5115，解得d=−2，由两平行直线间距离公式得m=|115−5|1+22=10，由a7⋅a8=a7⋅(a7−2)=35，解得a7=−5或a7=7.又a4+a10=2a7<0，所以a7=−5，即a7=a1+6d=−5，解得a1=7，所以.所以S10=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52．故答案为：52.【分析】由两直线平行，易得d及m，再由已知条件a7a8=35，a4+a10<0可求得通项公式an=−2n+9，即可求解。12．已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC，则1α+2β的最小值为 ．【答案】6+42【知识点】基本不等式；向量的共线定理【解析】【解答】由于M是DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC=2αAD+2βAE，所以α，β>0且，2α+2β=1 以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+42，当且仅当α=2−12，β=2−22时取等号，所以1α+2β的最小值为6+42．故答案为：6+42【分析】由D，E，M三点共线可得2α+2β=1，再由1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)，结合基本不等式即可求解。二、单选题13．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a−c>b−d”的（ ）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】已知c>d，若“a−c>b−d”成立，则利用不等式的可加性得到a−c+c>b−d+d成立，即“a>b”成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的必要条件；反之“a>b”成立时不一定有“a−c>b−d”成立，例如：a=1，b=0，c=5，d=1，满足c>d，a>b，而a−c=−4，b−d=−1，a−c b−d”不成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的不充分条件.综上，“a>b”是“a−c>b−d”的必要不充分条件，故答案为：C.【分析】由“a−c>b−d”结合不等式的可加性可证a>b，反之不成立，即可解题。14．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线【答案】B【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B符合题意；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，显然直线l不垂直于平面α，而平面α内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确.故答案为：B【分析】由空间线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可。15．关于函数f(x)=(2x−12x)⋅x13和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）A．若−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，且函数值为正数，故函数f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，得到f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数，再由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，进而逐项判断即可。16．设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0,c>b>0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论：①对于一切x∈(−∞,1)都有f(x)>0；②存在x>0使xax、bx、cx不能构成一个三角形的三边长；③△ABC为钝角三角形，存在x∈(1,2)，使f(x)=0，其中正确的个数为（ ）个A．3B．2C．1D．0【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【解析】【解答】①令g(x)=f(x)cx=(ac)x+(bc)x−1∵c>a>0,c>b>0∴0 g(1)=a+b−cc根据三角形三边关系可知：a+b−c>0∴g(x)>0又cx>0∴x∈(−∞,1)时，都有f(x)=cx⋅g(x)>0，可知①正确；②取x=3，a=2，b=3，c=4则xax+bx=24+27=51 0∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：A【分析】构造函数g(x)=f(x)cx，根据函数单调性可知g(x)>g(1)，根据三角形三边关系可知g(1)>0，可推导出g(x)>0，从而可得f(x)>0，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知a2+b2−c2<0，可得g(2)<0，再结合g(1)>0，可知f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.三、解答题17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，AE=2EB.（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）求点C到平面D1DE的距离．【答案】（1）解：在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，则∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.因为AB=3，AE=2EB，所以EB=1，所以DE′=1，因为AD=DD1=1，所以AE′=D1E′=2，而AD1=2，所以△AD1E′为正三角形，∠D1AE′=π3，从而异面直线AD1与EC所成角的大小为π3.（2）解：设点C到平面DED1的距离为ℎ，S△DED1=12D1D⋅DE=12×1×5=52，S△DEC=12×3×1=32，由VC−DED1=VD1−DEC得13×52ℎ=13×32×1，所以ℎ=355【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，进而得到∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.进而可求解；（2）设点C到平面DED1的距离为ℎ，由由VC−DED1=VD1−DEC即可求解。18．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)=p⋅qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=Asin(π4x−π4)+B(以上三式中p，q，A，B均为非零常数，q>1.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若f(3)=8，f(7)=4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x=0表示1月份，x=1表示2月份，⋯⋯，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？【答案】（1）解：对于①，函数f(x)=p⋅qx是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数f(x)=px2+qx+1的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于③，当A>0时，函数f(x)=Asin(π4x−π4)+B在[0，3]上的图象是上升的，在[3，7]上的图象是下降的，在[7，11]上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.（2）解：依题意，A+B=8−A+B=4，解得A=2，B=6，则f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由2sin(π4x−π4)+6<5，即sin(π4x−π4)<−12，而x∈[0，10]，x∈N，解得x∈{0，6，7，8}，所以该水果在第1，7，8，9月份应该采取外销策略. 【知识点】三角函数模型的简单应用【解析】【分析】（1）由价格走势，逐个分析三个函数模型，即可解决问题；（2）由题意易得A、B，即可确定函数解析式f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由此可得不等式sin(π4x−π4)<−12，求解即可。19．已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；（2）若y=f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y=f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【答案】（1）解：由题意，−3x+13x+1+1≥3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x−1≤0，解得−1≤3x≤13所以x≤-1（2）解：已知定义域为R，所以f(0)=−1+a3+b=0⇒a=1又f(1)+f(−1)=0⇒b=3所以f(x)=1−3x3x+1+3f(x)=1−3x3x+1+3=13(1−3x3x+1)=13(−1+23x+1)对任意x1，x2∈R，x1 0，所以f(x1) 0，求数列{an}的前n项和Sn； （3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{an}是公比不为-1的等比数列.【答案】（1）解：由Sn=3an−2，得a1=1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3an−3an−1，即anan−1=32所以an=(32)n−1；（2）解：由Sn=an2+12an+116，得a1=a12+12a1+116，进而a1=14，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an2−an−12+12an−12an−1得(an+an−1)(an−an−1−12)=0，因为an>0，所以an−an−1=12，进而Sn=n4+n(n−1)4=n24（3）解：若数列{an}是公比为q的等比数列，①当q=1时，an=a1，Sn=na1由Sn=Aan2+Ban+C，得na1=Aa12+Ba1+C恒成立.所以a1=0，与数列{an}是等比数列矛盾；②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn−1，Sn=a1q−1qn−a1q−1，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，得A×a12q2×q2n+(B×a1q−a1q−1)×qn+C+a1q−1=0对于一切正整数n都成立所以A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0事实上，当A=0，B≠1或12或0，C≠0时，Sn=Ban+Ca1=C1−B≠0，n≥2时，an=Sn−Sn−1=Ban−Ban−1，得anan−1=BB−1≠0或-1所以数列{an}是以C1−B为首项，以BB−1为公比的等比数列【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定【解析】【分析】（1）由an=Sn−Sn−1，结合a1=1即可求解；（2）由an=Sn−Sn−1，可得an−an−1=12，即可求解；（3）讨论q=1，易得a1=0，矛盾；再讨论q≠±1且q≠0，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，结合通项公式可得A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0再进行验证即可。
简介：高三数学二模试卷一、填空题1．设集合A＝｛x｜－12＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为B={x|−1≤x≤1}，A={x|−12 0f(x)，x<0是奇函数，则f(−3)= ．【答案】-3【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，g(−3)=f(−3)=−g(3)=−(2×3−3)=−3.故答案为：-3【分析】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，由g(x)为奇函数，即可求解。3．若线性方程组的增广矩阵为(23c101c2)、解为x=3y=5，则c1−c2= ．【答案】16【知识点】二阶矩阵【解析】【解答】由题意得：c1=2x+3y=2×3+3×5=21，c2=0⋅x+y=5，c1−c2=21−5=16。【分析】利用线性方程组的增广矩阵求解方法，进而结合已知条件求出c1，c2的值，从而求出c1−c2的值。4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 【答案】{π6，5π6}【知识点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=12；∴x=π6或5π6；故答案为：{π6，5π6}．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．5．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．【答案】16【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】记正三棱锥为P−ABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则AH=23×(32×2)=63，在RtΔAPH中，PH=AP2−AH2=33，所以VP−ABC=13SΔABC⋅PH=13×32×33=16.【分析】根据题意由射影的定义结合三棱锥的几何性质，计算出距离的取值，并代入到体积公式由此计算出结果。6．若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2= .【答案】5.2【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】由题意知：2+3+7+8+a5=5，所以a=5，而s2=1ni=1n(xi−x)2，∴s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=5.2故答案为：5.2【分析】由平均数求得a，再由方差公式即可求解。7．已知点P(x，y)在不等式组x−2≤0，y−1≤0，x+2y−2≥0，表示的平面区域上运动，则z=x−y的取值范围是 【答案】[-1，2]【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】如图令z=0，则y=x为目标函数的一条等值线将等值线延y轴正半轴方向移到到点A(0，1)则点A(0，1)是目标函数取最小值得最优解将等值线延y轴负半轴方向移到到点B(2，0)则点B(2，0)是目标函数取最大值得最优解所以zmin=0−1=−1，zmax=2−0=2所以z∈[−1，2] 故答案为：[-1，2]【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。8．已知P是双曲线x24−y25=1上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|= ．【答案】4【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线x24−y25=1两渐近线的斜率为±52，设点P(x0，y0)，则l1、l2的方程分别为y−y0=52(x−x0)，y−y0=−52(x−x0)，所以M、N坐标为M(x0−255y0，0)，N(x0+255y0，0)，所以|OM|⋅|ON|=|x0−255y0|×|x0+255y0|=|x02−45y02|，又点P在双曲线上，则x024−y025=1，所以|OM|⋅|ON|=4．故答案为：4【分析】设点P(x0，y0)，由渐近线斜率，可得l1、l2的方程，进而得到M、N两点坐标，即可得|OM|⋅|ON|=|x02−45y02|，再由点P在双曲线上，即可求解。9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=6，b=3+1，C=450，则A= ．【答案】60°【知识点】余弦定理【解析】【解答】由余弦定理得c=a2+b2−2abcosC=2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，因为A∈(0，π)，所以A=600．故答案为：60°【分析】先由余弦定理求c，再由余弦定理求得cosA，即可求解。10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p= 【答案】15【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】由题意可得：110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，整理可得：1−110p=4950，解得：p=15，故答案为：15.【分析】由题意A故障，B不发生故障或A不发生故障，B故障或A，B都不发生故障可得110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，即可求解。11．已知直线x+2y+5=0与直线x−dy+115=0互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d，且a7a8=35，a4+a10<0，令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，则Sm的值为 ．【答案】52【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】由题意知，d≠0，因为两直线平行，所以11=2−d≠5115，解得d=−2，由两平行直线间距离公式得m=|115−5|1+22=10，由a7⋅a8=a7⋅(a7−2)=35，解得a7=−5或a7=7.又a4+a10=2a7<0，所以a7=−5，即a7=a1+6d=−5，解得a1=7，所以.所以S10=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52．故答案为：52.【分析】由两直线平行，易得d及m，再由已知条件a7a8=35，a4+a10<0可求得通项公式an=−2n+9，即可求解。12．已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC，则1α+2β的最小值为 ．【答案】6+42【知识点】基本不等式；向量的共线定理【解析】【解答】由于M是DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC=2αAD+2βAE，所以α，β>0且，2α+2β=1 以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+42，当且仅当α=2−12，β=2−22时取等号，所以1α+2β的最小值为6+42．故答案为：6+42【分析】由D，E，M三点共线可得2α+2β=1，再由1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)，结合基本不等式即可求解。二、单选题13．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a−c>b−d”的（ ）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】已知c>d，若“a−c>b−d”成立，则利用不等式的可加性得到a−c+c>b−d+d成立，即“a>b”成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的必要条件；反之“a>b”成立时不一定有“a−c>b−d”成立，例如：a=1，b=0，c=5，d=1，满足c>d，a>b，而a−c=−4，b−d=−1，a−c b−d”不成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的不充分条件.综上，“a>b”是“a−c>b−d”的必要不充分条件，故答案为：C.【分析】由“a−c>b−d”结合不等式的可加性可证a>b，反之不成立，即可解题。14．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线【答案】B【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B符合题意；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，显然直线l不垂直于平面α，而平面α内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确.故答案为：B【分析】由空间线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可。15．关于函数f(x)=(2x−12x)⋅x13和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）A．若−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，且函数值为正数，故函数f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，得到f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数，再由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，进而逐项判断即可。16．设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0,c>b>0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论：①对于一切x∈(−∞,1)都有f(x)>0；②存在x>0使xax、bx、cx不能构成一个三角形的三边长；③△ABC为钝角三角形，存在x∈(1,2)，使f(x)=0，其中正确的个数为（ ）个A．3B．2C．1D．0【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【解析】【解答】①令g(x)=f(x)cx=(ac)x+(bc)x−1∵c>a>0,c>b>0∴0 g(1)=a+b−cc根据三角形三边关系可知：a+b−c>0∴g(x)>0又cx>0∴x∈(−∞,1)时，都有f(x)=cx⋅g(x)>0，可知①正确；②取x=3，a=2，b=3，c=4则xax+bx=24+27=51 0∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：A【分析】构造函数g(x)=f(x)cx，根据函数单调性可知g(x)>g(1)，根据三角形三边关系可知g(1)>0，可推导出g(x)>0，从而可得f(x)>0，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知a2+b2−c2<0，可得g(2)<0，再结合g(1)>0，可知f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.三、解答题17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，AE=2EB.（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）求点C到平面D1DE的距离．【答案】（1）解：在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，则∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.因为AB=3，AE=2EB，所以EB=1，所以DE′=1，因为AD=DD1=1，所以AE′=D1E′=2，而AD1=2，所以△AD1E′为正三角形，∠D1AE′=π3，从而异面直线AD1与EC所成角的大小为π3.（2）解：设点C到平面DED1的距离为ℎ，S△DED1=12D1D⋅DE=12×1×5=52，S△DEC=12×3×1=32，由VC−DED1=VD1−DEC得13×52ℎ=13×32×1，所以ℎ=355【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，进而得到∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.进而可求解；（2）设点C到平面DED1的距离为ℎ，由由VC−DED1=VD1−DEC即可求解。18．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)=p⋅qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=Asin(π4x−π4)+B(以上三式中p，q，A，B均为非零常数，q>1.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若f(3)=8，f(7)=4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x=0表示1月份，x=1表示2月份，⋯⋯，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？【答案】（1）解：对于①，函数f(x)=p⋅qx是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数f(x)=px2+qx+1的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于③，当A>0时，函数f(x)=Asin(π4x−π4)+B在[0，3]上的图象是上升的，在[3，7]上的图象是下降的，在[7，11]上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.（2）解：依题意，A+B=8−A+B=4，解得A=2，B=6，则f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由2sin(π4x−π4)+6<5，即sin(π4x−π4)<−12，而x∈[0，10]，x∈N，解得x∈{0，6，7，8}，所以该水果在第1，7，8，9月份应该采取外销策略. 【知识点】三角函数模型的简单应用【解析】【分析】（1）由价格走势，逐个分析三个函数模型，即可解决问题；（2）由题意易得A、B，即可确定函数解析式f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由此可得不等式sin(π4x−π4)<−12，求解即可。19．已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；（2）若y=f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y=f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【答案】（1）解：由题意，−3x+13x+1+1≥3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x−1≤0，解得−1≤3x≤13所以x≤-1（2）解：已知定义域为R，所以f(0)=−1+a3+b=0⇒a=1又f(1)+f(−1)=0⇒b=3所以f(x)=1−3x3x+1+3f(x)=1−3x3x+1+3=13(1−3x3x+1)=13(−1+23x+1)对任意x1，x2∈R，x1 0，所以f(x1) 0，求数列{an}的前n项和Sn； （3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{an}是公比不为-1的等比数列.【答案】（1）解：由Sn=3an−2，得a1=1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3an−3an−1，即anan−1=32所以an=(32)n−1；（2）解：由Sn=an2+12an+116，得a1=a12+12a1+116，进而a1=14，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an2−an−12+12an−12an−1得(an+an−1)(an−an−1−12)=0，因为an>0，所以an−an−1=12，进而Sn=n4+n(n−1)4=n24（3）解：若数列{an}是公比为q的等比数列，①当q=1时，an=a1，Sn=na1由Sn=Aan2+Ban+C，得na1=Aa12+Ba1+C恒成立.所以a1=0，与数列{an}是等比数列矛盾；②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn−1，Sn=a1q−1qn−a1q−1，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，得A×a12q2×q2n+(B×a1q−a1q−1)×qn+C+a1q−1=0对于一切正整数n都成立所以A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0事实上，当A=0，B≠1或12或0，C≠0时，Sn=Ban+Ca1=C1−B≠0，n≥2时，an=Sn−Sn−1=Ban−Ban−1，得anan−1=BB−1≠0或-1所以数列{an}是以C1−B为首项，以BB−1为公比的等比数列【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定【解析】【分析】（1）由an=Sn−Sn−1，结合a1=1即可求解；（2）由an=Sn−Sn−1，可得an−an−1=12，即可求解；（3）讨论q=1，易得a1=0，矛盾；再讨论q≠±1且q≠0，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，结合通项公式可得A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0再进行验证即可。
简介：高三数学二模试卷一、填空题1．设集合A＝｛x｜－12＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝【知识点】并集及其运算【解析】【解答】因为B={x|−1≤x≤1}，A={x|−12 0f(x)，x<0是奇函数，则f(−3)= ．【答案】-3【知识点】函数奇偶性的性质【解析】【解答】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，g(−3)=f(−3)=−g(3)=−(2×3−3)=−3.故答案为：-3【分析】设g(x)=2x−3，x>0f(x)，x<0，由g(x)为奇函数，即可求解。3．若线性方程组的增广矩阵为(23c101c2)、解为x=3y=5，则c1−c2= ．【答案】16【知识点】二阶矩阵【解析】【解答】由题意得：c1=2x+3y=2×3+3×5=21，c2=0⋅x+y=5，c1−c2=21−5=16。【分析】利用线性方程组的增广矩阵求解方法，进而结合已知条件求出c1，c2的值，从而求出c1−c2的值。4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 【答案】{π6，5π6}【知识点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=12；∴x=π6或5π6；故答案为：{π6，5π6}．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．5．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．【答案】16【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】记正三棱锥为P−ABC，点P在底面ABC内的射影为点H，则AH=23×(32×2)=63，在RtΔAPH中，PH=AP2−AH2=33，所以VP−ABC=13SΔABC⋅PH=13×32×33=16.【分析】根据题意由射影的定义结合三棱锥的几何性质，计算出距离的取值，并代入到体积公式由此计算出结果。6．若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2= .【答案】5.2【知识点】极差、方差与标准差【解析】【解答】由题意知：2+3+7+8+a5=5，所以a=5，而s2=1ni=1n(xi−x)2，∴s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=5.2故答案为：5.2【分析】由平均数求得a，再由方差公式即可求解。7．已知点P(x，y)在不等式组x−2≤0，y−1≤0，x+2y−2≥0，表示的平面区域上运动，则z=x−y的取值范围是 【答案】[-1，2]【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】如图令z=0，则y=x为目标函数的一条等值线将等值线延y轴正半轴方向移到到点A(0，1)则点A(0，1)是目标函数取最小值得最优解将等值线延y轴负半轴方向移到到点B(2，0)则点B(2，0)是目标函数取最大值得最优解所以zmin=0−1=−1，zmax=2−0=2所以z∈[−1，2] 故答案为：[-1，2]【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。8．已知P是双曲线x24−y25=1上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|= ．【答案】4【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线x24−y25=1两渐近线的斜率为±52，设点P(x0，y0)，则l1、l2的方程分别为y−y0=52(x−x0)，y−y0=−52(x−x0)，所以M、N坐标为M(x0−255y0，0)，N(x0+255y0，0)，所以|OM|⋅|ON|=|x0−255y0|×|x0+255y0|=|x02−45y02|，又点P在双曲线上，则x024−y025=1，所以|OM|⋅|ON|=4．故答案为：4【分析】设点P(x0，y0)，由渐近线斜率，可得l1、l2的方程，进而得到M、N两点坐标，即可得|OM|⋅|ON|=|x02−45y02|，再由点P在双曲线上，即可求解。9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=6，b=3+1，C=450，则A= ．【答案】60°【知识点】余弦定理【解析】【解答】由余弦定理得c=a2+b2−2abcosC=2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，因为A∈(0，π)，所以A=600．故答案为：60°【分析】先由余弦定理求c，再由余弦定理求得cosA，即可求解。10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p= 【答案】15【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】由题意可得：110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，整理可得：1−110p=4950，解得：p=15，故答案为：15.【分析】由题意A故障，B不发生故障或A不发生故障，B故障或A，B都不发生故障可得110(1−p)+(1−110)p+(1−110)(1−p)=4950，即可求解。11．已知直线x+2y+5=0与直线x−dy+115=0互相平行且距离为m.等差数列{an}的公差为d，且a7a8=35，a4+a10<0，令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，则Sm的值为 ．【答案】52【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】由题意知，d≠0，因为两直线平行，所以11=2−d≠5115，解得d=−2，由两平行直线间距离公式得m=|115−5|1+22=10，由a7⋅a8=a7⋅(a7−2)=35，解得a7=−5或a7=7.又a4+a10=2a7<0，所以a7=−5，即a7=a1+6d=−5，解得a1=7，所以.所以S10=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|=52．故答案为：52.【分析】由两直线平行，易得d及m，再由已知条件a7a8=35，a4+a10<0可求得通项公式an=−2n+9，即可求解。12．已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC，则1α+2β的最小值为 ．【答案】6+42【知识点】基本不等式；向量的共线定理【解析】【解答】由于M是DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足AM=αAB+βAC=2αAD+2βAE，所以α，β>0且，2α+2β=1 以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+42，当且仅当α=2−12，β=2−22时取等号，所以1α+2β的最小值为6+42．故答案为：6+42【分析】由D，E，M三点共线可得2α+2β=1，再由1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)，结合基本不等式即可求解。二、单选题13．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a−c>b−d”的（ ）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】已知c>d，若“a−c>b−d”成立，则利用不等式的可加性得到a−c+c>b−d+d成立，即“a>b”成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的必要条件；反之“a>b”成立时不一定有“a−c>b−d”成立，例如：a=1，b=0，c=5，d=1，满足c>d，a>b，而a−c=−4，b−d=−1，a−c b−d”不成立，∴“a>b”是“a−c>b−d”的不充分条件.综上，“a>b”是“a−c>b−d”的必要不充分条件，故答案为：C.【分析】由“a−c>b−d”结合不等式的可加性可证a>b，反之不成立，即可解题。14．已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线【答案】B【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B符合题意；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，显然直线l不垂直于平面α，而平面α内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确.故答案为：B【分析】由空间线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可。15．关于函数f(x)=(2x−12x)⋅x13和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）A．若−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，且函数值为正数，故函数f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由−3 0时，y=2x−12x与y=x13是增函数，得到f(x)=(2x−12x)x13在(0，+∞)上是一个增函数，再由偶函数的性质得函数在(−∞，0)上是一个减函数，进而逐项判断即可。16．设函数f(x)=ax+bx−cx，其中c>a>0,c>b>0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论：①对于一切x∈(−∞,1)都有f(x)>0；②存在x>0使xax、bx、cx不能构成一个三角形的三边长；③△ABC为钝角三角形，存在x∈(1,2)，使f(x)=0，其中正确的个数为（ ）个A．3B．2C．1D．0【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【解析】【解答】①令g(x)=f(x)cx=(ac)x+(bc)x−1∵c>a>0,c>b>0∴0 g(1)=a+b−cc根据三角形三边关系可知：a+b−c>0∴g(x)>0又cx>0∴x∈(−∞,1)时，都有f(x)=cx⋅g(x)>0，可知①正确；②取x=3，a=2，b=3，c=4则xax+bx=24+27=51 0∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：A【分析】构造函数g(x)=f(x)cx，根据函数单调性可知g(x)>g(1)，根据三角形三边关系可知g(1)>0，可推导出g(x)>0，从而可得f(x)>0，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知a2+b2−c2<0，可得g(2)<0，再结合g(1)>0，可知f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.三、解答题17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，AE=2EB.（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）求点C到平面D1DE的距离．【答案】（1）解：在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，则∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.因为AB=3，AE=2EB，所以EB=1，所以DE′=1，因为AD=DD1=1，所以AE′=D1E′=2，而AD1=2，所以△AD1E′为正三角形，∠D1AE′=π3，从而异面直线AD1与EC所成角的大小为π3.（2）解：设点C到平面DED1的距离为ℎ，S△DED1=12D1D⋅DE=12×1×5=52，S△DEC=12×3×1=32，由VC−DED1=VD1−DEC得13×52ℎ=13×32×1，所以ℎ=355【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）在平面ABCD内作AE′//CE交CD于E′，连接D1E′，进而得到∠D1AE′为异面直线AD1与EC所成角或其补角.进而可求解；（2）设点C到平面DED1的距离为ℎ，由由VC−DED1=VD1−DEC即可求解。18．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f(x)=p⋅qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=Asin(π4x−π4)+B(以上三式中p，q，A，B均为非零常数，q>1.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若f(3)=8，f(7)=4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0，10]，其中x=0表示1月份，x=1表示2月份，⋯⋯，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？【答案】（1）解：对于①，函数f(x)=p⋅qx是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数f(x)=px2+qx+1的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于③，当A>0时，函数f(x)=Asin(π4x−π4)+B在[0，3]上的图象是上升的，在[3，7]上的图象是下降的，在[7，11]上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.（2）解：依题意，A+B=8−A+B=4，解得A=2，B=6，则f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由2sin(π4x−π4)+6<5，即sin(π4x−π4)<−12，而x∈[0，10]，x∈N，解得x∈{0，6，7，8}，所以该水果在第1，7，8，9月份应该采取外销策略. 【知识点】三角函数模型的简单应用【解析】【分析】（1）由价格走势，逐个分析三个函数模型，即可解决问题；（2）由题意易得A、B，即可确定函数解析式f(x)=2sin(π4x−π4)+6，x∈[0，10]，x∈N，由此可得不等式sin(π4x−π4)<−12，求解即可。19．已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；（2）若y=f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y=f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【答案】（1）解：由题意，−3x+13x+1+1≥3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x−1≤0，解得−1≤3x≤13所以x≤-1（2）解：已知定义域为R，所以f(0)=−1+a3+b=0⇒a=1又f(1)+f(−1)=0⇒b=3所以f(x)=1−3x3x+1+3f(x)=1−3x3x+1+3=13(1−3x3x+1)=13(−1+23x+1)对任意x1，x2∈R，x1 0，所以f(x1) 0，求数列{an}的前n项和Sn； （3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{an}是公比不为-1的等比数列.【答案】（1）解：由Sn=3an−2，得a1=1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3an−3an−1，即anan−1=32所以an=(32)n−1；（2）解：由Sn=an2+12an+116，得a1=a12+12a1+116，进而a1=14，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an2−an−12+12an−12an−1得(an+an−1)(an−an−1−12)=0，因为an>0，所以an−an−1=12，进而Sn=n4+n(n−1)4=n24（3）解：若数列{an}是公比为q的等比数列，①当q=1时，an=a1，Sn=na1由Sn=Aan2+Ban+C，得na1=Aa12+Ba1+C恒成立.所以a1=0，与数列{an}是等比数列矛盾；②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn−1，Sn=a1q−1qn−a1q−1，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，得A×a12q2×q2n+(B×a1q−a1q−1)×qn+C+a1q−1=0对于一切正整数n都成立所以A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0事实上，当A=0，B≠1或12或0，C≠0时，Sn=Ban+Ca1=C1−B≠0，n≥2时，an=Sn−Sn−1=Ban−Ban−1，得anan−1=BB−1≠0或-1所以数列{an}是以C1−B为首项，以BB−1为公比的等比数列【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比关系的确定【解析】【分析】（1）由an=Sn−Sn−1，结合a1=1即可求解；（2）由an=Sn−Sn−1，可得an−an−1=12，即可求解；（3）讨论q=1，易得a1=0，矛盾；再讨论q≠±1且q≠0，由Sn=Aan2+Ban+C恒成立，结合通项公式可得A=0，B=qq−1≠1或12或0，C≠0再进行验证即可。
