浙江省精诚联盟2022届高三下学期数学5月适应性联考试卷含答案
附件1中小学教师资格考试(笔试)科目代码列表序号科目名称科目代码备注(一)幼儿园1综合素质(幼儿园)1012保教知识与能力102(二)小学1综合素质(小学)2012综合素质(小学)(音体美专业)201A3教育教学知识与能力2024教育教学知
适应性联考试卷一、单选题1.已知,,则()A.B.C.D.2.已知,若复数为实数,则的值是()A.-1B.0C.1D.-1或13.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1个,记X为取得红球的次数,则()A.B.C.D
简介:高三下学期数学三模试卷一、填空题1.已知复数,(其中为虚数单位),则.【答案】-1+i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由已知可得.故答案为:-1+i.【分析】利用复数的乘法化简即可.2.已知集合,【答案】{m|1<m<4},则.【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为,因此,.故答案为:{m|1<m<4}.【分析】求出集合B,利用交集的定义即可.3.设等差数列的前n项和为,若,则等于.【答案】45【知识点】等差数列的性质【解析】【解答】由等差数列的性质得:又因为,所以,,故答案为:45解得,【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为所以.的展开式通项为,的展开式通项为,由,可得,所以,.【分析】根据等差数列的性质,再结合条件,求得,最后根据求解.4.函数的反函数为,则.【答案】4【知识点】反函数【解析】【解答】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:4.【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.5.已知,则.【答案】【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式【解析】【解答】,因此,.故答案为:.【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角的余弦公式可求得结果.6.已知多项式,则.【答案】7故答案为:7. 【分析】写出展开式通项,令的指数为1,求出参数的值,代入通项后即可求得的值.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设点是抛物线的焦点,直线是该抛物线的准线,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,射线交准线于点,若的“勾”,“股”,则抛物线方程为.【答案】【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解:当抛物线开口向右时,如图所示:因为,所以,由抛物线的定义得,所以是等边三角形,所以,所以抛物线的方程是,同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为:综上:抛物线的方程为:,故答案为:,【分析】由的定义得到是等边三角形求解.,得到,然后由抛物线8.某校航模队甲组有10名队员,其中4名女队员,乙组也有10名队员,其中6名女队员.现采用分层抽样(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核,则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法,种选法,从乙所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.故答案为:种选法,从乙组抽取的【分析利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有队员中恰有一名女队员的选法有种选法,利用古典概型概率公式求出答案.9.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2,圆锥顶点到直线的距离为,1,则该圆锥的侧面积为.和圆锥的轴的距离为【答案】【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)【解析】【解答】设圆锥的顶点为,底面圆圆心为点,取线段的中点,连接、、、,因为,,则,平面,的公垂线,故,故,因为平面,,所以,为直线、,因为,,,所以,圆锥的底面圆半径为因此,该圆锥的侧面积为故答案为:.,母线长为,.【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长,结合圆锥的侧面积公式可求得结果.10.设是直线与圆在第一象限的交点,则. 【答案】2【知识点】极限及其运算;斜率的计算公式【解析】【解答】联立,解得,因为,当时,直线趋近于直线,此时,直线与圆在第一象限的交点趋近于点,而可视为点与点连线的斜率,当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,故.故答案为:2.【分析】联立直线与圆得到第一象限内的交点坐标,分析可知当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,结合斜率公式可求得.11.已知、是.是空间相互垂直的单位向量,且,,则的最小值【答案】3【知识点】向量的线性运算性质及几何意义;平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为互相垂直,所以,,当且仅当时,取得最小值,最小值为9,则的最小值为3.故答案为:3【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到,求出最小值,进而求出答案.12.已知一簇双曲线:,设双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线右支上一动点,的内切圆与轴切于点,则.【答案】【知识点】等差数列的前n项和;双曲线的定义;双曲线的简单性质【解析】【解答】如图,由双曲线定义可知:,而根据切线长定理得:,,所以,即,解得:,即为右顶点,,,故,所以故答案为:【分析】分析得到为右顶点,从而得到,利用等差数列求和公式进行计算.二、单选题已知空间三条直线a、b、m及平面成立”是“条件甲成立”的()A.充分非必要条件,且a、,条件甲:,;条件乙:,则“条件乙B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意,空间三条直线a、b、m及平面由线面垂直的判定定理可得:,,且需要,且a、,与相交才能得出,故甲不能推出乙;而由线面垂直的定义可得,则必垂直内任意直线,即,故由充要条件的定义可知,乙是甲的充分不必要条件,故乙能推出甲;故答案为:A【分析】由充要条件的定义进行判断即可.14.函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】则,是偶函数,排除B、D.当时,即,排除A.故答案为:C.【分析】化简函数,确定函数奇偶性,讨论函数在内正负情况,即可排除所有错误选项.15.当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是().A.B.C.D.【答案】B【知识点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】解:曲线(为参数)的直角坐标方程为,直线(t为参数)的直角坐标方程为,当直线过圆心且垂直于直线时,直线的方程为,即,由,得或,所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是,故答案为:B【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程,由题意可知过且垂直于直线的直线与圆的交点,即为所求点.16.已知函数,,对于不相等的实数、,设,,现有如下命题:①对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,下列判断正确的是(A.①和②均为真命题、,使得m=n;②对于任意的实数,存在不相等的实数)B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题 【答案】D【知识点】命题的真假判断与应用;函数单调性的性质【解析】【解答】对于①,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得m=n,则,可得,即,取,可得,令,因为函数、在上均为增函数,所以,当、当时,函数任取、,且时,的增长速度比函数,且,记点;17.如图,在正三棱住中,,异面直线与所成角的大小为.的速度增长得更快,(1)求正三棱柱的体积;、、、,则直线比直线的斜率更大,即,故,故①错;对于②,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,构造函数,因为函数为上的增函数,函数在上为增函数,所以,函数在上为增函数,取,则,记,当时,,则,所以,存在区间,使得函数在上不是增函数,故对任意的实数,函数不单调,故对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,②对.故答案为:D.【分析】假设①中的结论成立,构造,判断函数的单调性,可判断①;假设②中的的单调性,可判断②.结论成立,构造函数,判断出函数三、解答题(2)求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)与所成角的大小为,且,【答案】(1)解:异面直线,又,,即正三棱柱的底面边长为..则(2)解:在底面三角形则为中点,又平面连接,中,过作,垂足为,,平面平面平面,所以平面,则为直线与平面因为,所成角,,,.即直线与平面所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角 【解析】【分析】(1)由已知可得,又.再求出底面积,代入棱柱体积公式可得正三棱柱(2)在底面三角形中,过作,垂足为,则解三角形即可求解.,求得正三棱柱的底面边长为的体积;为直线与平面所成角,18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)在为锐角的中,角、、的对边分别为、、,若,,且的面积为,求的值.【答案】(1)解:由图象可知,函数的最小正周期为,.因为点在函数的图象上,所以,即.又,则,从而,即.又点在函数的图象上,所以由,得.此时,则在附近单调递增,合乎题意,所以函数的解析式为(2)解:由,所以,,因为,,,则,所以,或,可得或,当时,因为,可得.又因为,所以,解得;当时,因为,可得,因为,所以,解得所以或.【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;解三角形;余弦定理;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)由图象可得出函数的最小正周期,可求得的值,代入点、的坐标,可分别求出、,可得出函数的解析式;(2)由结合角A的取值范围可求得角A的值,利用三角形的面积公式可求得bc的值,利用余弦定理可求得a的值.19.某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.【答案】(1)解:由条件得,所以,().(2)解:因为,2分所以恒成立 恒成立设,则:恒成立,由恒成立得(时取等号)恒成立得(时取等号)所以.【知识点】函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)根据题意前4个月,区域外的需求量为20万吨,求出的值,可得,进而求得油库内储油量与的函数关系式;(2)由题意得,分离参数求出最值,即可得出结论.20.已知椭圆:焦距为,过点,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.(1)求椭圆的方程;(2)若,的最大值;(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线,求实数的值.【答案】(1)解:由题意得:焦距为,得,点坐标代入椭圆方程得:,,解得:,,所以椭圆的标准方程为(2)解:设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,,则,,则,易得当时,,故的最大值为(3)解:设,,,,则①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,由,及①,代入可得,又,所以,所以, 同理可得.故,,因为、、三点共线,所以.将点,的坐标代入,通分化简得,即【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)设出直线方程,联立椭圆方程,应用韦达定理求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到,结合m的取值范围,即可求出最大值;(3)设出直线方程,表达出,两点坐标,由、、三点共线得到方程,化简后得到.21.记实数、中较小者为,例如,,对于无穷数列,记.若对任意均有,则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为,,判断数列、是否为“趋向递增数列”?并说明理由;已知首项为1,公比为若数列满足、充分条件是中没有0.【答案】(1)解:由于的等比数列是“趋向递增数列”,求公比的取值范围;为正实数,且,求证:数列为“趋向递增数列”的必要非,记,所以,,由于,不满足对任意均有不是“趋向递增数列”,,所以数列由于,记,所以,数列是“趋向递增数列”.(2)解:.当时,数列为单调递增数列,此时当时,数列为常数列,不满足题意;,满足题意,当时,数列为单调递减数列,此时,不满足题意;当时,此时,满足题意;当时,此时,不满足题意;当时,此时综上所述,的取值范围是,不满足题意,.(3)证明:先证必要性:假设存在正整数令.因为、为正实数,且使得,,,所以,于是.则数列从第项开始为:0、、若为奇数,与数列为“趋向递增数列”矛盾:若为偶数,盾,、、、、.,,,,‘’与数列为“趋向递增数列”矛 故假设不成立,所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有;再证非充分:首先,若中没有0,构造数列:,,,,与“趋向递增数列”定义矛盾;,此时,,其次,证明数列中各项均大于0.下面利用数学归纳法证明.即证:,①当时,,②假设当时,命题成立,即当时,因此,有对任意,均有当为偶数时,;,.,..;当为奇数时,,所以对任意均成立.因此,中没有0是数列为“趋向递增数列”非充分条件.,可得出结论;、六种情况讨论,验证能否恒所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.【知识点】数列的应用【解析】【分析】(1)利用定义“趋向递增数列”判断数列、(2)求得,分、、、、成立,综合可得出取值范围;(3)利用充分条件、必要条件的定义,利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列明出数列中没有0时数列不是“趋势递增数列”.中没有0,再证
简介:高三下学期数学三模试卷一、填空题1.已知复数,(其中为虚数单位),则.【答案】-1+i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由已知可得.故答案为:-1+i.【分析】利用复数的乘法化简即可.2.已知集合,【答案】{m|1<m<4},则.【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为,因此,.故答案为:{m|1<m<4}.【分析】求出集合B,利用交集的定义即可.3.设等差数列的前n项和为,若,则等于.【答案】45【知识点】等差数列的性质【解析】【解答】由等差数列的性质得:又因为,所以,,故答案为:45解得,【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为所以.的展开式通项为,的展开式通项为,由,可得,所以,.【分析】根据等差数列的性质,再结合条件,求得,最后根据求解.4.函数的反函数为,则.【答案】4【知识点】反函数【解析】【解答】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:4.【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.5.已知,则.【答案】【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式【解析】【解答】,因此,.故答案为:.【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角的余弦公式可求得结果.6.已知多项式,则.【答案】7故答案为:7. 【分析】写出展开式通项,令的指数为1,求出参数的值,代入通项后即可求得的值.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设点是抛物线的焦点,直线是该抛物线的准线,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,射线交准线于点,若的“勾”,“股”,则抛物线方程为.【答案】【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解:当抛物线开口向右时,如图所示:因为,所以,由抛物线的定义得,所以是等边三角形,所以,所以抛物线的方程是,同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为:综上:抛物线的方程为:,故答案为:,【分析】由的定义得到是等边三角形求解.,得到,然后由抛物线8.某校航模队甲组有10名队员,其中4名女队员,乙组也有10名队员,其中6名女队员.现采用分层抽样(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核,则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法,种选法,从乙所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.故答案为:种选法,从乙组抽取的【分析利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有队员中恰有一名女队员的选法有种选法,利用古典概型概率公式求出答案.9.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2,圆锥顶点到直线的距离为,1,则该圆锥的侧面积为.和圆锥的轴的距离为【答案】【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)【解析】【解答】设圆锥的顶点为,底面圆圆心为点,取线段的中点,连接、、、,因为,,则,平面,的公垂线,故,故,因为平面,,所以,为直线、,因为,,,所以,圆锥的底面圆半径为因此,该圆锥的侧面积为故答案为:.,母线长为,.【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长,结合圆锥的侧面积公式可求得结果.10.设是直线与圆在第一象限的交点,则. 【答案】2【知识点】极限及其运算;斜率的计算公式【解析】【解答】联立,解得,因为,当时,直线趋近于直线,此时,直线与圆在第一象限的交点趋近于点,而可视为点与点连线的斜率,当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,故.故答案为:2.【分析】联立直线与圆得到第一象限内的交点坐标,分析可知当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,结合斜率公式可求得.11.已知、是.是空间相互垂直的单位向量,且,,则的最小值【答案】3【知识点】向量的线性运算性质及几何意义;平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为互相垂直,所以,,当且仅当时,取得最小值,最小值为9,则的最小值为3.故答案为:3【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到,求出最小值,进而求出答案.12.已知一簇双曲线:,设双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线右支上一动点,的内切圆与轴切于点,则.【答案】【知识点】等差数列的前n项和;双曲线的定义;双曲线的简单性质【解析】【解答】如图,由双曲线定义可知:,而根据切线长定理得:,,所以,即,解得:,即为右顶点,,,故,所以故答案为:【分析】分析得到为右顶点,从而得到,利用等差数列求和公式进行计算.二、单选题已知空间三条直线a、b、m及平面成立”是“条件甲成立”的()A.充分非必要条件,且a、,条件甲:,;条件乙:,则“条件乙B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意,空间三条直线a、b、m及平面由线面垂直的判定定理可得:,,且需要,且a、,与相交才能得出,故甲不能推出乙;而由线面垂直的定义可得,则必垂直内任意直线,即,故由充要条件的定义可知,乙是甲的充分不必要条件,故乙能推出甲;故答案为:A【分析】由充要条件的定义进行判断即可.14.函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】则,是偶函数,排除B、D.当时,即,排除A.故答案为:C.【分析】化简函数,确定函数奇偶性,讨论函数在内正负情况,即可排除所有错误选项.15.当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是().A.B.C.D.【答案】B【知识点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】解:曲线(为参数)的直角坐标方程为,直线(t为参数)的直角坐标方程为,当直线过圆心且垂直于直线时,直线的方程为,即,由,得或,所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是,故答案为:B【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程,由题意可知过且垂直于直线的直线与圆的交点,即为所求点.16.已知函数,,对于不相等的实数、,设,,现有如下命题:①对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,下列判断正确的是(A.①和②均为真命题、,使得m=n;②对于任意的实数,存在不相等的实数)B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题 【答案】D【知识点】命题的真假判断与应用;函数单调性的性质【解析】【解答】对于①,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得m=n,则,可得,即,取,可得,令,因为函数、在上均为增函数,所以,当、当时,函数任取、,且时,的增长速度比函数,且,记点;17.如图,在正三棱住中,,异面直线与所成角的大小为.的速度增长得更快,(1)求正三棱柱的体积;、、、,则直线比直线的斜率更大,即,故,故①错;对于②,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,构造函数,因为函数为上的增函数,函数在上为增函数,所以,函数在上为增函数,取,则,记,当时,,则,所以,存在区间,使得函数在上不是增函数,故对任意的实数,函数不单调,故对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,②对.故答案为:D.【分析】假设①中的结论成立,构造,判断函数的单调性,可判断①;假设②中的的单调性,可判断②.结论成立,构造函数,判断出函数三、解答题(2)求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)与所成角的大小为,且,【答案】(1)解:异面直线,又,,即正三棱柱的底面边长为..则(2)解:在底面三角形则为中点,又平面连接,中,过作,垂足为,,平面平面平面,所以平面,则为直线与平面因为,所成角,,,.即直线与平面所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角 【解析】【分析】(1)由已知可得,又.再求出底面积,代入棱柱体积公式可得正三棱柱(2)在底面三角形中,过作,垂足为,则解三角形即可求解.,求得正三棱柱的底面边长为的体积;为直线与平面所成角,18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)在为锐角的中,角、、的对边分别为、、,若,,且的面积为,求的值.【答案】(1)解:由图象可知,函数的最小正周期为,.因为点在函数的图象上,所以,即.又,则,从而,即.又点在函数的图象上,所以由,得.此时,则在附近单调递增,合乎题意,所以函数的解析式为(2)解:由,所以,,因为,,,则,所以,或,可得或,当时,因为,可得.又因为,所以,解得;当时,因为,可得,因为,所以,解得所以或.【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;解三角形;余弦定理;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)由图象可得出函数的最小正周期,可求得的值,代入点、的坐标,可分别求出、,可得出函数的解析式;(2)由结合角A的取值范围可求得角A的值,利用三角形的面积公式可求得bc的值,利用余弦定理可求得a的值.19.某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.【答案】(1)解:由条件得,所以,().(2)解:因为,2分所以恒成立 恒成立设,则:恒成立,由恒成立得(时取等号)恒成立得(时取等号)所以.【知识点】函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)根据题意前4个月,区域外的需求量为20万吨,求出的值,可得,进而求得油库内储油量与的函数关系式;(2)由题意得,分离参数求出最值,即可得出结论.20.已知椭圆:焦距为,过点,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.(1)求椭圆的方程;(2)若,的最大值;(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线,求实数的值.【答案】(1)解:由题意得:焦距为,得,点坐标代入椭圆方程得:,,解得:,,所以椭圆的标准方程为(2)解:设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,,则,,则,易得当时,,故的最大值为(3)解:设,,,,则①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,由,及①,代入可得,又,所以,所以, 同理可得.故,,因为、、三点共线,所以.将点,的坐标代入,通分化简得,即【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)设出直线方程,联立椭圆方程,应用韦达定理求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到,结合m的取值范围,即可求出最大值;(3)设出直线方程,表达出,两点坐标,由、、三点共线得到方程,化简后得到.21.记实数、中较小者为,例如,,对于无穷数列,记.若对任意均有,则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为,,判断数列、是否为“趋向递增数列”?并说明理由;已知首项为1,公比为若数列满足、充分条件是中没有0.【答案】(1)解:由于的等比数列是“趋向递增数列”,求公比的取值范围;为正实数,且,求证:数列为“趋向递增数列”的必要非,记,所以,,由于,不满足对任意均有不是“趋向递增数列”,,所以数列由于,记,所以,数列是“趋向递增数列”.(2)解:.当时,数列为单调递增数列,此时当时,数列为常数列,不满足题意;,满足题意,当时,数列为单调递减数列,此时,不满足题意;当时,此时,满足题意;当时,此时,不满足题意;当时,此时综上所述,的取值范围是,不满足题意,.(3)证明:先证必要性:假设存在正整数令.因为、为正实数,且使得,,,所以,于是.则数列从第项开始为:0、、若为奇数,与数列为“趋向递增数列”矛盾:若为偶数,盾,、、、、.,,,,‘’与数列为“趋向递增数列”矛 故假设不成立,所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有;再证非充分:首先,若中没有0,构造数列:,,,,与“趋向递增数列”定义矛盾;,此时,,其次,证明数列中各项均大于0.下面利用数学归纳法证明.即证:,①当时,,②假设当时,命题成立,即当时,因此,有对任意,均有当为偶数时,;,.,..;当为奇数时,,所以对任意均成立.因此,中没有0是数列为“趋向递增数列”非充分条件.,可得出结论;、六种情况讨论,验证能否恒所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.【知识点】数列的应用【解析】【分析】(1)利用定义“趋向递增数列”判断数列、(2)求得,分、、、、成立,综合可得出取值范围;(3)利用充分条件、必要条件的定义,利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列明出数列中没有0时数列不是“趋势递增数列”.中没有0,再证
简介:高三下学期数学三模试卷一、填空题1.已知复数,(其中为虚数单位),则.【答案】-1+i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由已知可得.故答案为:-1+i.【分析】利用复数的乘法化简即可.2.已知集合,【答案】{m|1<m<4},则.【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为,因此,.故答案为:{m|1<m<4}.【分析】求出集合B,利用交集的定义即可.3.设等差数列的前n项和为,若,则等于.【答案】45【知识点】等差数列的性质【解析】【解答】由等差数列的性质得:又因为,所以,,故答案为:45解得,【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为所以.的展开式通项为,的展开式通项为,由,可得,所以,.【分析】根据等差数列的性质,再结合条件,求得,最后根据求解.4.函数的反函数为,则.【答案】4【知识点】反函数【解析】【解答】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:4.【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.5.已知,则.【答案】【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式【解析】【解答】,因此,.故答案为:.【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角的余弦公式可求得结果.6.已知多项式,则.【答案】7故答案为:7. 【分析】写出展开式通项,令的指数为1,求出参数的值,代入通项后即可求得的值.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设点是抛物线的焦点,直线是该抛物线的准线,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,射线交准线于点,若的“勾”,“股”,则抛物线方程为.【答案】【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解:当抛物线开口向右时,如图所示:因为,所以,由抛物线的定义得,所以是等边三角形,所以,所以抛物线的方程是,同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为:综上:抛物线的方程为:,故答案为:,【分析】由的定义得到是等边三角形求解.,得到,然后由抛物线8.某校航模队甲组有10名队员,其中4名女队员,乙组也有10名队员,其中6名女队员.现采用分层抽样(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核,则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法,种选法,从乙所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.故答案为:种选法,从乙组抽取的【分析利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有队员中恰有一名女队员的选法有种选法,利用古典概型概率公式求出答案.9.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2,圆锥顶点到直线的距离为,1,则该圆锥的侧面积为.和圆锥的轴的距离为【答案】【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)【解析】【解答】设圆锥的顶点为,底面圆圆心为点,取线段的中点,连接、、、,因为,,则,平面,的公垂线,故,故,因为平面,,所以,为直线、,因为,,,所以,圆锥的底面圆半径为因此,该圆锥的侧面积为故答案为:.,母线长为,.【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长,结合圆锥的侧面积公式可求得结果.10.设是直线与圆在第一象限的交点,则. 【答案】2【知识点】极限及其运算;斜率的计算公式【解析】【解答】联立,解得,因为,当时,直线趋近于直线,此时,直线与圆在第一象限的交点趋近于点,而可视为点与点连线的斜率,当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,故.故答案为:2.【分析】联立直线与圆得到第一象限内的交点坐标,分析可知当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,结合斜率公式可求得.11.已知、是.是空间相互垂直的单位向量,且,,则的最小值【答案】3【知识点】向量的线性运算性质及几何意义;平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为互相垂直,所以,,当且仅当时,取得最小值,最小值为9,则的最小值为3.故答案为:3【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到,求出最小值,进而求出答案.12.已知一簇双曲线:,设双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线右支上一动点,的内切圆与轴切于点,则.【答案】【知识点】等差数列的前n项和;双曲线的定义;双曲线的简单性质【解析】【解答】如图,由双曲线定义可知:,而根据切线长定理得:,,所以,即,解得:,即为右顶点,,,故,所以故答案为:【分析】分析得到为右顶点,从而得到,利用等差数列求和公式进行计算.二、单选题已知空间三条直线a、b、m及平面成立”是“条件甲成立”的()A.充分非必要条件,且a、,条件甲:,;条件乙:,则“条件乙B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意,空间三条直线a、b、m及平面由线面垂直的判定定理可得:,,且需要,且a、,与相交才能得出,故甲不能推出乙;而由线面垂直的定义可得,则必垂直内任意直线,即,故由充要条件的定义可知,乙是甲的充分不必要条件,故乙能推出甲;故答案为:A【分析】由充要条件的定义进行判断即可.14.函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】则,是偶函数,排除B、D.当时,即,排除A.故答案为:C.【分析】化简函数,确定函数奇偶性,讨论函数在内正负情况,即可排除所有错误选项.15.当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是().A.B.C.D.【答案】B【知识点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】解:曲线(为参数)的直角坐标方程为,直线(t为参数)的直角坐标方程为,当直线过圆心且垂直于直线时,直线的方程为,即,由,得或,所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是,故答案为:B【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程,由题意可知过且垂直于直线的直线与圆的交点,即为所求点.16.已知函数,,对于不相等的实数、,设,,现有如下命题:①对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,下列判断正确的是(A.①和②均为真命题、,使得m=n;②对于任意的实数,存在不相等的实数)B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题 【答案】D【知识点】命题的真假判断与应用;函数单调性的性质【解析】【解答】对于①,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得m=n,则,可得,即,取,可得,令,因为函数、在上均为增函数,所以,当、当时,函数任取、,且时,的增长速度比函数,且,记点;17.如图,在正三棱住中,,异面直线与所成角的大小为.的速度增长得更快,(1)求正三棱柱的体积;、、、,则直线比直线的斜率更大,即,故,故①错;对于②,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,构造函数,因为函数为上的增函数,函数在上为增函数,所以,函数在上为增函数,取,则,记,当时,,则,所以,存在区间,使得函数在上不是增函数,故对任意的实数,函数不单调,故对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,②对.故答案为:D.【分析】假设①中的结论成立,构造,判断函数的单调性,可判断①;假设②中的的单调性,可判断②.结论成立,构造函数,判断出函数三、解答题(2)求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)与所成角的大小为,且,【答案】(1)解:异面直线,又,,即正三棱柱的底面边长为..则(2)解:在底面三角形则为中点,又平面连接,中,过作,垂足为,,平面平面平面,所以平面,则为直线与平面因为,所成角,,,.即直线与平面所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角 【解析】【分析】(1)由已知可得,又.再求出底面积,代入棱柱体积公式可得正三棱柱(2)在底面三角形中,过作,垂足为,则解三角形即可求解.,求得正三棱柱的底面边长为的体积;为直线与平面所成角,18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)在为锐角的中,角、、的对边分别为、、,若,,且的面积为,求的值.【答案】(1)解:由图象可知,函数的最小正周期为,.因为点在函数的图象上,所以,即.又,则,从而,即.又点在函数的图象上,所以由,得.此时,则在附近单调递增,合乎题意,所以函数的解析式为(2)解:由,所以,,因为,,,则,所以,或,可得或,当时,因为,可得.又因为,所以,解得;当时,因为,可得,因为,所以,解得所以或.【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;解三角形;余弦定理;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)由图象可得出函数的最小正周期,可求得的值,代入点、的坐标,可分别求出、,可得出函数的解析式;(2)由结合角A的取值范围可求得角A的值,利用三角形的面积公式可求得bc的值,利用余弦定理可求得a的值.19.某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.【答案】(1)解:由条件得,所以,().(2)解:因为,2分所以恒成立 恒成立设,则:恒成立,由恒成立得(时取等号)恒成立得(时取等号)所以.【知识点】函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)根据题意前4个月,区域外的需求量为20万吨,求出的值,可得,进而求得油库内储油量与的函数关系式;(2)由题意得,分离参数求出最值,即可得出结论.20.已知椭圆:焦距为,过点,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.(1)求椭圆的方程;(2)若,的最大值;(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线,求实数的值.【答案】(1)解:由题意得:焦距为,得,点坐标代入椭圆方程得:,,解得:,,所以椭圆的标准方程为(2)解:设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,,则,,则,易得当时,,故的最大值为(3)解:设,,,,则①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,由,及①,代入可得,又,所以,所以, 同理可得.故,,因为、、三点共线,所以.将点,的坐标代入,通分化简得,即【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)设出直线方程,联立椭圆方程,应用韦达定理求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到,结合m的取值范围,即可求出最大值;(3)设出直线方程,表达出,两点坐标,由、、三点共线得到方程,化简后得到.21.记实数、中较小者为,例如,,对于无穷数列,记.若对任意均有,则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为,,判断数列、是否为“趋向递增数列”?并说明理由;已知首项为1,公比为若数列满足、充分条件是中没有0.【答案】(1)解:由于的等比数列是“趋向递增数列”,求公比的取值范围;为正实数,且,求证:数列为“趋向递增数列”的必要非,记,所以,,由于,不满足对任意均有不是“趋向递增数列”,,所以数列由于,记,所以,数列是“趋向递增数列”.(2)解:.当时,数列为单调递增数列,此时当时,数列为常数列,不满足题意;,满足题意,当时,数列为单调递减数列,此时,不满足题意;当时,此时,满足题意;当时,此时,不满足题意;当时,此时综上所述,的取值范围是,不满足题意,.(3)证明:先证必要性:假设存在正整数令.因为、为正实数,且使得,,,所以,于是.则数列从第项开始为:0、、若为奇数,与数列为“趋向递增数列”矛盾:若为偶数,盾,、、、、.,,,,‘’与数列为“趋向递增数列”矛 故假设不成立,所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有;再证非充分:首先,若中没有0,构造数列:,,,,与“趋向递增数列”定义矛盾;,此时,,其次,证明数列中各项均大于0.下面利用数学归纳法证明.即证:,①当时,,②假设当时,命题成立,即当时,因此,有对任意,均有当为偶数时,;,.,..;当为奇数时,,所以对任意均成立.因此,中没有0是数列为“趋向递增数列”非充分条件.,可得出结论;、六种情况讨论,验证能否恒所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.【知识点】数列的应用【解析】【分析】(1)利用定义“趋向递增数列”判断数列、(2)求得,分、、、、成立,综合可得出取值范围;(3)利用充分条件、必要条件的定义,利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列明出数列中没有0时数列不是“趋势递增数列”.中没有0,再证
简介:高三下学期数学三模试卷一、填空题1.已知复数,(其中为虚数单位),则.【答案】-1+i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由已知可得.故答案为:-1+i.【分析】利用复数的乘法化简即可.2.已知集合,【答案】{m|1<m<4},则.【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为,因此,.故答案为:{m|1<m<4}.【分析】求出集合B,利用交集的定义即可.3.设等差数列的前n项和为,若,则等于.【答案】45【知识点】等差数列的性质【解析】【解答】由等差数列的性质得:又因为,所以,,故答案为:45解得,【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为所以.的展开式通项为,的展开式通项为,由,可得,所以,.【分析】根据等差数列的性质,再结合条件,求得,最后根据求解.4.函数的反函数为,则.【答案】4【知识点】反函数【解析】【解答】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:4.【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.5.已知,则.【答案】【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式【解析】【解答】,因此,.故答案为:.【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角的余弦公式可求得结果.6.已知多项式,则.【答案】7故答案为:7. 【分析】写出展开式通项,令的指数为1,求出参数的值,代入通项后即可求得的值.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设点是抛物线的焦点,直线是该抛物线的准线,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,射线交准线于点,若的“勾”,“股”,则抛物线方程为.【答案】【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解:当抛物线开口向右时,如图所示:因为,所以,由抛物线的定义得,所以是等边三角形,所以,所以抛物线的方程是,同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为:综上:抛物线的方程为:,故答案为:,【分析】由的定义得到是等边三角形求解.,得到,然后由抛物线8.某校航模队甲组有10名队员,其中4名女队员,乙组也有10名队员,其中6名女队员.现采用分层抽样(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核,则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法,种选法,从乙所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.故答案为:种选法,从乙组抽取的【分析利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有队员中恰有一名女队员的选法有种选法,利用古典概型概率公式求出答案.9.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2,圆锥顶点到直线的距离为,1,则该圆锥的侧面积为.和圆锥的轴的距离为【答案】【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)【解析】【解答】设圆锥的顶点为,底面圆圆心为点,取线段的中点,连接、、、,因为,,则,平面,的公垂线,故,故,因为平面,,所以,为直线、,因为,,,所以,圆锥的底面圆半径为因此,该圆锥的侧面积为故答案为:.,母线长为,.【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长,结合圆锥的侧面积公式可求得结果.10.设是直线与圆在第一象限的交点,则. 【答案】2【知识点】极限及其运算;斜率的计算公式【解析】【解答】联立,解得,因为,当时,直线趋近于直线,此时,直线与圆在第一象限的交点趋近于点,而可视为点与点连线的斜率,当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,故.故答案为:2.【分析】联立直线与圆得到第一象限内的交点坐标,分析可知当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,结合斜率公式可求得.11.已知、是.是空间相互垂直的单位向量,且,,则的最小值【答案】3【知识点】向量的线性运算性质及几何意义;平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为互相垂直,所以,,当且仅当时,取得最小值,最小值为9,则的最小值为3.故答案为:3【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到,求出最小值,进而求出答案.12.已知一簇双曲线:,设双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线右支上一动点,的内切圆与轴切于点,则.【答案】【知识点】等差数列的前n项和;双曲线的定义;双曲线的简单性质【解析】【解答】如图,由双曲线定义可知:,而根据切线长定理得:,,所以,即,解得:,即为右顶点,,,故,所以故答案为:【分析】分析得到为右顶点,从而得到,利用等差数列求和公式进行计算.二、单选题已知空间三条直线a、b、m及平面成立”是“条件甲成立”的()A.充分非必要条件,且a、,条件甲:,;条件乙:,则“条件乙B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意,空间三条直线a、b、m及平面由线面垂直的判定定理可得:,,且需要,且a、,与相交才能得出,故甲不能推出乙;而由线面垂直的定义可得,则必垂直内任意直线,即,故由充要条件的定义可知,乙是甲的充分不必要条件,故乙能推出甲;故答案为:A【分析】由充要条件的定义进行判断即可.14.函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】则,是偶函数,排除B、D.当时,即,排除A.故答案为:C.【分析】化简函数,确定函数奇偶性,讨论函数在内正负情况,即可排除所有错误选项.15.当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是().A.B.C.D.【答案】B【知识点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】解:曲线(为参数)的直角坐标方程为,直线(t为参数)的直角坐标方程为,当直线过圆心且垂直于直线时,直线的方程为,即,由,得或,所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是,故答案为:B【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程,由题意可知过且垂直于直线的直线与圆的交点,即为所求点.16.已知函数,,对于不相等的实数、,设,,现有如下命题:①对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,下列判断正确的是(A.①和②均为真命题、,使得m=n;②对于任意的实数,存在不相等的实数)B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题 【答案】D【知识点】命题的真假判断与应用;函数单调性的性质【解析】【解答】对于①,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得m=n,则,可得,即,取,可得,令,因为函数、在上均为增函数,所以,当、当时,函数任取、,且时,的增长速度比函数,且,记点;17.如图,在正三棱住中,,异面直线与所成角的大小为.的速度增长得更快,(1)求正三棱柱的体积;、、、,则直线比直线的斜率更大,即,故,故①错;对于②,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,构造函数,因为函数为上的增函数,函数在上为增函数,所以,函数在上为增函数,取,则,记,当时,,则,所以,存在区间,使得函数在上不是增函数,故对任意的实数,函数不单调,故对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,②对.故答案为:D.【分析】假设①中的结论成立,构造,判断函数的单调性,可判断①;假设②中的的单调性,可判断②.结论成立,构造函数,判断出函数三、解答题(2)求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)与所成角的大小为,且,【答案】(1)解:异面直线,又,,即正三棱柱的底面边长为..则(2)解:在底面三角形则为中点,又平面连接,中,过作,垂足为,,平面平面平面,所以平面,则为直线与平面因为,所成角,,,.即直线与平面所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角 【解析】【分析】(1)由已知可得,又.再求出底面积,代入棱柱体积公式可得正三棱柱(2)在底面三角形中,过作,垂足为,则解三角形即可求解.,求得正三棱柱的底面边长为的体积;为直线与平面所成角,18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)在为锐角的中,角、、的对边分别为、、,若,,且的面积为,求的值.【答案】(1)解:由图象可知,函数的最小正周期为,.因为点在函数的图象上,所以,即.又,则,从而,即.又点在函数的图象上,所以由,得.此时,则在附近单调递增,合乎题意,所以函数的解析式为(2)解:由,所以,,因为,,,则,所以,或,可得或,当时,因为,可得.又因为,所以,解得;当时,因为,可得,因为,所以,解得所以或.【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;解三角形;余弦定理;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)由图象可得出函数的最小正周期,可求得的值,代入点、的坐标,可分别求出、,可得出函数的解析式;(2)由结合角A的取值范围可求得角A的值,利用三角形的面积公式可求得bc的值,利用余弦定理可求得a的值.19.某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.【答案】(1)解:由条件得,所以,().(2)解:因为,2分所以恒成立 恒成立设,则:恒成立,由恒成立得(时取等号)恒成立得(时取等号)所以.【知识点】函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)根据题意前4个月,区域外的需求量为20万吨,求出的值,可得,进而求得油库内储油量与的函数关系式;(2)由题意得,分离参数求出最值,即可得出结论.20.已知椭圆:焦距为,过点,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.(1)求椭圆的方程;(2)若,的最大值;(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线,求实数的值.【答案】(1)解:由题意得:焦距为,得,点坐标代入椭圆方程得:,,解得:,,所以椭圆的标准方程为(2)解:设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,,则,,则,易得当时,,故的最大值为(3)解:设,,,,则①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,由,及①,代入可得,又,所以,所以, 同理可得.故,,因为、、三点共线,所以.将点,的坐标代入,通分化简得,即【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)设出直线方程,联立椭圆方程,应用韦达定理求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到,结合m的取值范围,即可求出最大值;(3)设出直线方程,表达出,两点坐标,由、、三点共线得到方程,化简后得到.21.记实数、中较小者为,例如,,对于无穷数列,记.若对任意均有,则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为,,判断数列、是否为“趋向递增数列”?并说明理由;已知首项为1,公比为若数列满足、充分条件是中没有0.【答案】(1)解:由于的等比数列是“趋向递增数列”,求公比的取值范围;为正实数,且,求证:数列为“趋向递增数列”的必要非,记,所以,,由于,不满足对任意均有不是“趋向递增数列”,,所以数列由于,记,所以,数列是“趋向递增数列”.(2)解:.当时,数列为单调递增数列,此时当时,数列为常数列,不满足题意;,满足题意,当时,数列为单调递减数列,此时,不满足题意;当时,此时,满足题意;当时,此时,不满足题意;当时,此时综上所述,的取值范围是,不满足题意,.(3)证明:先证必要性:假设存在正整数令.因为、为正实数,且使得,,,所以,于是.则数列从第项开始为:0、、若为奇数,与数列为“趋向递增数列”矛盾:若为偶数,盾,、、、、.,,,,‘’与数列为“趋向递增数列”矛 故假设不成立,所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有;再证非充分:首先,若中没有0,构造数列:,,,,与“趋向递增数列”定义矛盾;,此时,,其次,证明数列中各项均大于0.下面利用数学归纳法证明.即证:,①当时,,②假设当时,命题成立,即当时,因此,有对任意,均有当为偶数时,;,.,..;当为奇数时,,所以对任意均成立.因此,中没有0是数列为“趋向递增数列”非充分条件.,可得出结论;、六种情况讨论,验证能否恒所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.【知识点】数列的应用【解析】【分析】(1)利用定义“趋向递增数列”判断数列、(2)求得,分、、、、成立,综合可得出取值范围;(3)利用充分条件、必要条件的定义,利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列明出数列中没有0时数列不是“趋势递增数列”.中没有0,再证
简介:高三下学期数学三模试卷一、填空题1.已知复数,(其中为虚数单位),则.【答案】-1+i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由已知可得.故答案为:-1+i.【分析】利用复数的乘法化简即可.2.已知集合,【答案】{m|1<m<4},则.【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为,因此,.故答案为:{m|1<m<4}.【分析】求出集合B,利用交集的定义即可.3.设等差数列的前n项和为,若,则等于.【答案】45【知识点】等差数列的性质【解析】【解答】由等差数列的性质得:又因为,所以,,故答案为:45解得,【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为所以.的展开式通项为,的展开式通项为,由,可得,所以,.【分析】根据等差数列的性质,再结合条件,求得,最后根据求解.4.函数的反函数为,则.【答案】4【知识点】反函数【解析】【解答】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:4.【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.5.已知,则.【答案】【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式【解析】【解答】,因此,.故答案为:.【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角的余弦公式可求得结果.6.已知多项式,则.【答案】7故答案为:7. 【分析】写出展开式通项,令的指数为1,求出参数的值,代入通项后即可求得的值.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设点是抛物线的焦点,直线是该抛物线的准线,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,射线交准线于点,若的“勾”,“股”,则抛物线方程为.【答案】【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解:当抛物线开口向右时,如图所示:因为,所以,由抛物线的定义得,所以是等边三角形,所以,所以抛物线的方程是,同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为:综上:抛物线的方程为:,故答案为:,【分析】由的定义得到是等边三角形求解.,得到,然后由抛物线8.某校航模队甲组有10名队员,其中4名女队员,乙组也有10名队员,其中6名女队员.现采用分层抽样(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核,则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法,种选法,从乙所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.故答案为:种选法,从乙组抽取的【分析利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有队员中恰有一名女队员的选法有种选法,利用古典概型概率公式求出答案.9.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2,圆锥顶点到直线的距离为,1,则该圆锥的侧面积为.和圆锥的轴的距离为【答案】【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)【解析】【解答】设圆锥的顶点为,底面圆圆心为点,取线段的中点,连接、、、,因为,,则,平面,的公垂线,故,故,因为平面,,所以,为直线、,因为,,,所以,圆锥的底面圆半径为因此,该圆锥的侧面积为故答案为:.,母线长为,.【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长,结合圆锥的侧面积公式可求得结果.10.设是直线与圆在第一象限的交点,则. 【答案】2【知识点】极限及其运算;斜率的计算公式【解析】【解答】联立,解得,因为,当时,直线趋近于直线,此时,直线与圆在第一象限的交点趋近于点,而可视为点与点连线的斜率,当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,故.故答案为:2.【分析】联立直线与圆得到第一象限内的交点坐标,分析可知当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,结合斜率公式可求得.11.已知、是.是空间相互垂直的单位向量,且,,则的最小值【答案】3【知识点】向量的线性运算性质及几何意义;平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为互相垂直,所以,,当且仅当时,取得最小值,最小值为9,则的最小值为3.故答案为:3【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到,求出最小值,进而求出答案.12.已知一簇双曲线:,设双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线右支上一动点,的内切圆与轴切于点,则.【答案】【知识点】等差数列的前n项和;双曲线的定义;双曲线的简单性质【解析】【解答】如图,由双曲线定义可知:,而根据切线长定理得:,,所以,即,解得:,即为右顶点,,,故,所以故答案为:【分析】分析得到为右顶点,从而得到,利用等差数列求和公式进行计算.二、单选题已知空间三条直线a、b、m及平面成立”是“条件甲成立”的()A.充分非必要条件,且a、,条件甲:,;条件乙:,则“条件乙B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意,空间三条直线a、b、m及平面由线面垂直的判定定理可得:,,且需要,且a、,与相交才能得出,故甲不能推出乙;而由线面垂直的定义可得,则必垂直内任意直线,即,故由充要条件的定义可知,乙是甲的充分不必要条件,故乙能推出甲;故答案为:A【分析】由充要条件的定义进行判断即可.14.函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】则,是偶函数,排除B、D.当时,即,排除A.故答案为:C.【分析】化简函数,确定函数奇偶性,讨论函数在内正负情况,即可排除所有错误选项.15.当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是().A.B.C.D.【答案】B【知识点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】解:曲线(为参数)的直角坐标方程为,直线(t为参数)的直角坐标方程为,当直线过圆心且垂直于直线时,直线的方程为,即,由,得或,所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是,故答案为:B【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程,由题意可知过且垂直于直线的直线与圆的交点,即为所求点.16.已知函数,,对于不相等的实数、,设,,现有如下命题:①对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,下列判断正确的是(A.①和②均为真命题、,使得m=n;②对于任意的实数,存在不相等的实数)B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题 【答案】D【知识点】命题的真假判断与应用;函数单调性的性质【解析】【解答】对于①,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得m=n,则,可得,即,取,可得,令,因为函数、在上均为增函数,所以,当、当时,函数任取、,且时,的增长速度比函数,且,记点;17.如图,在正三棱住中,,异面直线与所成角的大小为.的速度增长得更快,(1)求正三棱柱的体积;、、、,则直线比直线的斜率更大,即,故,故①错;对于②,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,构造函数,因为函数为上的增函数,函数在上为增函数,所以,函数在上为增函数,取,则,记,当时,,则,所以,存在区间,使得函数在上不是增函数,故对任意的实数,函数不单调,故对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,②对.故答案为:D.【分析】假设①中的结论成立,构造,判断函数的单调性,可判断①;假设②中的的单调性,可判断②.结论成立,构造函数,判断出函数三、解答题(2)求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)与所成角的大小为,且,【答案】(1)解:异面直线,又,,即正三棱柱的底面边长为..则(2)解:在底面三角形则为中点,又平面连接,中,过作,垂足为,,平面平面平面,所以平面,则为直线与平面因为,所成角,,,.即直线与平面所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角 【解析】【分析】(1)由已知可得,又.再求出底面积,代入棱柱体积公式可得正三棱柱(2)在底面三角形中,过作,垂足为,则解三角形即可求解.,求得正三棱柱的底面边长为的体积;为直线与平面所成角,18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)在为锐角的中,角、、的对边分别为、、,若,,且的面积为,求的值.【答案】(1)解:由图象可知,函数的最小正周期为,.因为点在函数的图象上,所以,即.又,则,从而,即.又点在函数的图象上,所以由,得.此时,则在附近单调递增,合乎题意,所以函数的解析式为(2)解:由,所以,,因为,,,则,所以,或,可得或,当时,因为,可得.又因为,所以,解得;当时,因为,可得,因为,所以,解得所以或.【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;解三角形;余弦定理;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)由图象可得出函数的最小正周期,可求得的值,代入点、的坐标,可分别求出、,可得出函数的解析式;(2)由结合角A的取值范围可求得角A的值,利用三角形的面积公式可求得bc的值,利用余弦定理可求得a的值.19.某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.【答案】(1)解:由条件得,所以,().(2)解:因为,2分所以恒成立 恒成立设,则:恒成立,由恒成立得(时取等号)恒成立得(时取等号)所以.【知识点】函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)根据题意前4个月,区域外的需求量为20万吨,求出的值,可得,进而求得油库内储油量与的函数关系式;(2)由题意得,分离参数求出最值,即可得出结论.20.已知椭圆:焦距为,过点,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.(1)求椭圆的方程;(2)若,的最大值;(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线,求实数的值.【答案】(1)解:由题意得:焦距为,得,点坐标代入椭圆方程得:,,解得:,,所以椭圆的标准方程为(2)解:设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,,则,,则,易得当时,,故的最大值为(3)解:设,,,,则①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,由,及①,代入可得,又,所以,所以, 同理可得.故,,因为、、三点共线,所以.将点,的坐标代入,通分化简得,即【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)设出直线方程,联立椭圆方程,应用韦达定理求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到,结合m的取值范围,即可求出最大值;(3)设出直线方程,表达出,两点坐标,由、、三点共线得到方程,化简后得到.21.记实数、中较小者为,例如,,对于无穷数列,记.若对任意均有,则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为,,判断数列、是否为“趋向递增数列”?并说明理由;已知首项为1,公比为若数列满足、充分条件是中没有0.【答案】(1)解:由于的等比数列是“趋向递增数列”,求公比的取值范围;为正实数,且,求证:数列为“趋向递增数列”的必要非,记,所以,,由于,不满足对任意均有不是“趋向递增数列”,,所以数列由于,记,所以,数列是“趋向递增数列”.(2)解:.当时,数列为单调递增数列,此时当时,数列为常数列,不满足题意;,满足题意,当时,数列为单调递减数列,此时,不满足题意;当时,此时,满足题意;当时,此时,不满足题意;当时,此时综上所述,的取值范围是,不满足题意,.(3)证明:先证必要性:假设存在正整数令.因为、为正实数,且使得,,,所以,于是.则数列从第项开始为:0、、若为奇数,与数列为“趋向递增数列”矛盾:若为偶数,盾,、、、、.,,,,‘’与数列为“趋向递增数列”矛 故假设不成立,所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有;再证非充分:首先,若中没有0,构造数列:,,,,与“趋向递增数列”定义矛盾;,此时,,其次,证明数列中各项均大于0.下面利用数学归纳法证明.即证:,①当时,,②假设当时,命题成立,即当时,因此,有对任意,均有当为偶数时,;,.,..;当为奇数时,,所以对任意均成立.因此,中没有0是数列为“趋向递增数列”非充分条件.,可得出结论;、六种情况讨论,验证能否恒所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.【知识点】数列的应用【解析】【分析】(1)利用定义“趋向递增数列”判断数列、(2)求得,分、、、、成立,综合可得出取值范围;(3)利用充分条件、必要条件的定义,利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列明出数列中没有0时数列不是“趋势递增数列”.中没有0,再证
简介:高三下学期数学三模试卷一、填空题1.已知复数,(其中为虚数单位),则.【答案】-1+i【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由已知可得.故答案为:-1+i.【分析】利用复数的乘法化简即可.2.已知集合,【答案】{m|1<m<4},则.【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为,因此,.故答案为:{m|1<m<4}.【分析】求出集合B,利用交集的定义即可.3.设等差数列的前n项和为,若,则等于.【答案】45【知识点】等差数列的性质【解析】【解答】由等差数列的性质得:又因为,所以,,故答案为:45解得,【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为所以.的展开式通项为,的展开式通项为,由,可得,所以,.【分析】根据等差数列的性质,再结合条件,求得,最后根据求解.4.函数的反函数为,则.【答案】4【知识点】反函数【解析】【解答】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:4.【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.5.已知,则.【答案】【知识点】二倍角的余弦公式;诱导公式【解析】【解答】,因此,.故答案为:.【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角的余弦公式可求得结果.6.已知多项式,则.【答案】7故答案为:7. 【分析】写出展开式通项,令的指数为1,求出参数的值,代入通项后即可求得的值.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设点是抛物线的焦点,直线是该抛物线的准线,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,射线交准线于点,若的“勾”,“股”,则抛物线方程为.【答案】【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解:当抛物线开口向右时,如图所示:因为,所以,由抛物线的定义得,所以是等边三角形,所以,所以抛物线的方程是,同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为:综上:抛物线的方程为:,故答案为:,【分析】由的定义得到是等边三角形求解.,得到,然后由抛物线8.某校航模队甲组有10名队员,其中4名女队员,乙组也有10名队员,其中6名女队员.现采用分层抽样(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核,则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法,种选法,从乙所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.故答案为:种选法,从乙组抽取的【分析利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有队员中恰有一名女队员的选法有种选法,利用古典概型概率公式求出答案.9.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2,圆锥顶点到直线的距离为,1,则该圆锥的侧面积为.和圆锥的轴的距离为【答案】【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)【解析】【解答】设圆锥的顶点为,底面圆圆心为点,取线段的中点,连接、、、,因为,,则,平面,的公垂线,故,故,因为平面,,所以,为直线、,因为,,,所以,圆锥的底面圆半径为因此,该圆锥的侧面积为故答案为:.,母线长为,.【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长,结合圆锥的侧面积公式可求得结果.10.设是直线与圆在第一象限的交点,则. 【答案】2【知识点】极限及其运算;斜率的计算公式【解析】【解答】联立,解得,因为,当时,直线趋近于直线,此时,直线与圆在第一象限的交点趋近于点,而可视为点与点连线的斜率,当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,故.故答案为:2.【分析】联立直线与圆得到第一象限内的交点坐标,分析可知当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,结合斜率公式可求得.11.已知、是.是空间相互垂直的单位向量,且,,则的最小值【答案】3【知识点】向量的线性运算性质及几何意义;平面向量的坐标运算【解析】【解答】因为互相垂直,所以,,当且仅当时,取得最小值,最小值为9,则的最小值为3.故答案为:3【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到,求出最小值,进而求出答案.12.已知一簇双曲线:,设双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线右支上一动点,的内切圆与轴切于点,则.【答案】【知识点】等差数列的前n项和;双曲线的定义;双曲线的简单性质【解析】【解答】如图,由双曲线定义可知:,而根据切线长定理得:,,所以,即,解得:,即为右顶点,,,故,所以故答案为:【分析】分析得到为右顶点,从而得到,利用等差数列求和公式进行计算.二、单选题已知空间三条直线a、b、m及平面成立”是“条件甲成立”的()A.充分非必要条件,且a、,条件甲:,;条件乙:,则“条件乙B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意,空间三条直线a、b、m及平面由线面垂直的判定定理可得:,,且需要,且a、,与相交才能得出,故甲不能推出乙;而由线面垂直的定义可得,则必垂直内任意直线,即,故由充要条件的定义可知,乙是甲的充分不必要条件,故乙能推出甲;故答案为:A【分析】由充要条件的定义进行判断即可.14.函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】则,是偶函数,排除B、D.当时,即,排除A.故答案为:C.【分析】化简函数,确定函数奇偶性,讨论函数在内正负情况,即可排除所有错误选项.15.当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是().A.B.C.D.【答案】B【知识点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】解:曲线(为参数)的直角坐标方程为,直线(t为参数)的直角坐标方程为,当直线过圆心且垂直于直线时,直线的方程为,即,由,得或,所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是,故答案为:B【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程,由题意可知过且垂直于直线的直线与圆的交点,即为所求点.16.已知函数,,对于不相等的实数、,设,,现有如下命题:①对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,下列判断正确的是(A.①和②均为真命题、,使得m=n;②对于任意的实数,存在不相等的实数)B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题 【答案】D【知识点】命题的真假判断与应用;函数单调性的性质【解析】【解答】对于①,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得m=n,则,可得,即,取,可得,令,因为函数、在上均为增函数,所以,当、当时,函数任取、,且时,的增长速度比函数,且,记点;17.如图,在正三棱住中,,异面直线与所成角的大小为.的速度增长得更快,(1)求正三棱柱的体积;、、、,则直线比直线的斜率更大,即,故,故①错;对于②,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,构造函数,因为函数为上的增函数,函数在上为增函数,所以,函数在上为增函数,取,则,记,当时,,则,所以,存在区间,使得函数在上不是增函数,故对任意的实数,函数不单调,故对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,②对.故答案为:D.【分析】假设①中的结论成立,构造,判断函数的单调性,可判断①;假设②中的的单调性,可判断②.结论成立,构造函数,判断出函数三、解答题(2)求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)与所成角的大小为,且,【答案】(1)解:异面直线,又,,即正三棱柱的底面边长为..则(2)解:在底面三角形则为中点,又平面连接,中,过作,垂足为,,平面平面平面,所以平面,则为直线与平面因为,所成角,,,.即直线与平面所成角的大小为.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角 【解析】【分析】(1)由已知可得,又.再求出底面积,代入棱柱体积公式可得正三棱柱(2)在底面三角形中,过作,垂足为,则解三角形即可求解.,求得正三棱柱的底面边长为的体积;为直线与平面所成角,18.已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)在为锐角的中,角、、的对边分别为、、,若,,且的面积为,求的值.【答案】(1)解:由图象可知,函数的最小正周期为,.因为点在函数的图象上,所以,即.又,则,从而,即.又点在函数的图象上,所以由,得.此时,则在附近单调递增,合乎题意,所以函数的解析式为(2)解:由,所以,,因为,,,则,所以,或,可得或,当时,因为,可得.又因为,所以,解得;当时,因为,可得,因为,所以,解得所以或.【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;解三角形;余弦定理;三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)由图象可得出函数的最小正周期,可求得的值,代入点、的坐标,可分别求出、,可得出函数的解析式;(2)由结合角A的取值范围可求得角A的值,利用三角形的面积公式可求得bc的值,利用余弦定理可求得a的值.19.某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.【答案】(1)解:由条件得,所以,().(2)解:因为,2分所以恒成立 恒成立设,则:恒成立,由恒成立得(时取等号)恒成立得(时取等号)所以.【知识点】函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题【解析】【分析】(1)根据题意前4个月,区域外的需求量为20万吨,求出的值,可得,进而求得油库内储油量与的函数关系式;(2)由题意得,分离参数求出最值,即可得出结论.20.已知椭圆:焦距为,过点,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.(1)求椭圆的方程;(2)若,的最大值;(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线,求实数的值.【答案】(1)解:由题意得:焦距为,得,点坐标代入椭圆方程得:,,解得:,,所以椭圆的标准方程为(2)解:设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,,则,,则,易得当时,,故的最大值为(3)解:设,,,,则①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,由,及①,代入可得,又,所以,所以, 同理可得.故,,因为、、三点共线,所以.将点,的坐标代入,通分化简得,即【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)设出直线方程,联立椭圆方程,应用韦达定理求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到,结合m的取值范围,即可求出最大值;(3)设出直线方程,表达出,两点坐标,由、、三点共线得到方程,化简后得到.21.记实数、中较小者为,例如,,对于无穷数列,记.若对任意均有,则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为,,判断数列、是否为“趋向递增数列”?并说明理由;已知首项为1,公比为若数列满足、充分条件是中没有0.【答案】(1)解:由于的等比数列是“趋向递增数列”,求公比的取值范围;为正实数,且,求证:数列为“趋向递增数列”的必要非,记,所以,,由于,不满足对任意均有不是“趋向递增数列”,,所以数列由于,记,所以,数列是“趋向递增数列”.(2)解:.当时,数列为单调递增数列,此时当时,数列为常数列,不满足题意;,满足题意,当时,数列为单调递减数列,此时,不满足题意;当时,此时,满足题意;当时,此时,不满足题意;当时,此时综上所述,的取值范围是,不满足题意,.(3)证明:先证必要性:假设存在正整数令.因为、为正实数,且使得,,,所以,于是.则数列从第项开始为:0、、若为奇数,与数列为“趋向递增数列”矛盾:若为偶数,盾,、、、、.,,,,‘’与数列为“趋向递增数列”矛 故假设不成立,所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有;再证非充分:首先,若中没有0,构造数列:,,,,与“趋向递增数列”定义矛盾;,此时,,其次,证明数列中各项均大于0.下面利用数学归纳法证明.即证:,①当时,,②假设当时,命题成立,即当时,因此,有对任意,均有当为偶数时,;,.,..;当为奇数时,,所以对任意均成立.因此,中没有0是数列为“趋向递增数列”非充分条件.,可得出结论;、六种情况讨论,验证能否恒所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.【知识点】数列的应用【解析】【分析】(1)利用定义“趋向递增数列”判断数列、(2)求得,分、、、、成立,综合可得出取值范围;(3)利用充分条件、必要条件的定义,利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列明出数列中没有0时数列不是“趋势递增数列”.中没有0,再证