上海市2022届高三高考冲刺卷六数学试题及答案
高三下学期理数三模试卷一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A．1B．C．D．22．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是( )A．B．C．D．3．已知正项等比数列中，，，则（ ）A．16B．32C．64D．-324
上海市2022届高三高考冲刺卷六数学试题一、填空题1．集合，则 ．2．在的展开式中，的系数为 ．3．三阶行列式中元素的代数余子式的值为 ．4．若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ．5．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生
简介：高三下学期理数三模试卷一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A．1B．C．D．2【答案】B【知识点】复数求模【解析】【解答】因为，所以，解得，所以.故答案为：B.【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出答案.2．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是( )A．B．C．D．【答案】A【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于指数函数y＝，，y＞0，故p为真命题，为假命题；当时，，，故q命题为假命题，为真命题；故为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故答案为：A．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.3．已知正项等比数列中，，，则（ ） A．16B．32C．64D．-32【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】因为正项等比数列中，，，所以，解得，所以，故答案为：B.【分析】通过可得，利用等比数列的通项公式求出答案.4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：．故答案为：D．【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.5．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：） A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：2170．令2170＝k，则lg2170＝lgk，∴170lg2＝lgk，又lg2≈0.3，∴51＝lgk，即k＝1051，∴与最接近的数为1051．故答案为：B．【分析】由，令2170＝k，化指数式为对数式求解可得答案.6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）A．1B．C．2D．【答案】A【知识点】抛物线的定义【解析】【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．过点作，垂足为．则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的距离之和为设，因此当、、三点共线时，取得最小值．．即的最小值为， 所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故答案为：A.【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为，所以下焦点为，渐近线方程为，即，则下焦点到的距离为，又因为，解得，即，所以渐近线方程为：故答案为：B【分析】利用已知条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程．8．已知，则（ ） A．B．C．D．【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式【解析】【解答】由有,故,合并同类型有,显然,所以,故故答案为：A【分析】用和差角公式展开,求得后再算即可.9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．4【答案】D【知识点】程序框图【解析】【解答】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为4.故答案为：D. 【分析】根据算法的功能：当时求函数的最大值，否则S=1；由此求出程序运行后输出S的最大值.10．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（ ）A．-150B．150C．-500D．500【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和，，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故答案为：B.【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求得展开式中的系数.11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积， 圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故答案为：D.【分析】由三视图还原几何体为双锥体，由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出该几何体的表面积.12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故答案为：C.【分析】令，判断g(x)的单调性和奇偶性，根据得到，再求出a的取值范围. 二、填空题13．已知向量，，且，则 ．【答案】【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】根据题意，，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【分析】由得，解出m的值，可得的坐标，再利用向量模的公式可求出答案.14．观察下列不等式，，，…照此规律，第n个不等式为 ．【答案】【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题意，不等式可化简为：，，，…照此规律，第n个不等式为.故答案为：.【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按照此规律规律可得到第n个不等式.15．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为 ．【答案】【知识点】数列的求和 【解析】【解答】因为，当时，，当时，，满足，所以，所以，所以数列的前2022项和为.故答案为：.【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出数列的前2022项和.16．已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是 .【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）①②【知识点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】（1）可取，由，由可得，，……，，满足对任意的成立，具有性质“”；（2）①，由，由可得，，，，，……，循环下去，满足对任意的成立，具有性质“”；②，由，由可得， ，，……，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合对任意的成立，具有性质“”；③，由，由可得，，，……，不满足对任意的成立，故③不具有性质“”.故答案为：（答案不唯一）；①②【分析】(1)可取y=x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；(2)分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断.三、解答题17．已知的数．（1）求的单调增区间；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）解：由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦定理 【解析】【分析】(1)将函数利用二倍角公式以及辅助角公式化f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间；(2)由已知可求，根据范围可求出A，进而根据正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解出外接圆的面积．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，是边长为的等边三角形，．（1）证明：平面PBD；（2）设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，，在直角中，，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面ABCD，故以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，，，，因为是的中点，所以，则，，，设平面的法向量，则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)由已知可得PD⊥BD，PD⊥CD，求解三角形证明，即可得到AB⊥BD，又由已知可得PD⊥AB，由直线与平面垂直的判定得平面PBD；(2)以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系求得平面的法向量和，利用向量的夹角公式即可求出AB和平面DAE所成角的余弦值.19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 20线上销售时间不足8小时 合计 45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中．（1）请完成上面的列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ （2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．（2）解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量的可能取值为0，1，2，可得，，，所以随机变量的分布列为：X012P所以数学期望．【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据已知条件，补充2X2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；(2)由已知条件可得，X所有可能的值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得随机变量的分布列，再结合期望公式，即可求解出数学期望．20．已知椭圆的上顶点为A，左右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为的正三角形．（1）求椭圆C方程； （2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线，与椭圆C都只有一个交点．试判断，是否垂直？并说明理由．【答案】（1）解：∴椭圆C方程为：．（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，①当经过P与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P与椭圆相切的直线方程为，其中，，由得，将代入上式可得，所以，∴．②当经过P与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P的坐标为，例如过的切线方程是，，显然，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P都可使．【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由于是面积为的正三角形，可得求解出a，b，即可得椭圆C方程； (2)设是“基圆”上任意一点，则，设经过P与椭圆相切的直线方程为，，与椭圆方程联立可得，利用及其根与系数的关系即可得出“基圆”上任意动点P都可使．21．设函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：，∴．，．又，∴在点处的切线方程为．（2）解：，的定义域为，，令．当，即时，，在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当，即时，有两根，；当，即时，，，此时在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当时，此时在上无零点，不合题意；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，，∴，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．综上，若在区间上存在唯一零点，则m的取值范围为．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；(2)构造函数求导，根据二次函数的性质及导数与函数单调性的关系，利用函数零点存在定理，即可求得m的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，的圆心，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与相交于A、B两点，求线段的长．【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，根据极坐标与直角的互化公式，可得的极坐标方程为，化简得，即的极坐标方程为，又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．（2）解：设A、B极坐标分别为、，将代入，整理得，所以，，所以．【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解出的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解出线段的长．23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）解：当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）解：根据分段函数的表达形式可知，，故要满足题意，只需，解得或，即a的取值范围为．【知识点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用【解析】【分析】(1)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可得不等式的解集；(2)根据分段函数的表达形式可得，由不等式恒成立可得，解绝对值不等式，即可得到a的取值范围．
简介：高三下学期理数三模试卷一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A．1B．C．D．2【答案】B【知识点】复数求模【解析】【解答】因为，所以，解得，所以.故答案为：B.【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出答案.2．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是( )A．B．C．D．【答案】A【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于指数函数y＝，，y＞0，故p为真命题，为假命题；当时，，，故q命题为假命题，为真命题；故为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故答案为：A．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.3．已知正项等比数列中，，，则（ ） A．16B．32C．64D．-32【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】因为正项等比数列中，，，所以，解得，所以，故答案为：B.【分析】通过可得，利用等比数列的通项公式求出答案.4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：．故答案为：D．【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.5．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：） A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：2170．令2170＝k，则lg2170＝lgk，∴170lg2＝lgk，又lg2≈0.3，∴51＝lgk，即k＝1051，∴与最接近的数为1051．故答案为：B．【分析】由，令2170＝k，化指数式为对数式求解可得答案.6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）A．1B．C．2D．【答案】A【知识点】抛物线的定义【解析】【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．过点作，垂足为．则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的距离之和为设，因此当、、三点共线时，取得最小值．．即的最小值为， 所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故答案为：A.【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为，所以下焦点为，渐近线方程为，即，则下焦点到的距离为，又因为，解得，即，所以渐近线方程为：故答案为：B【分析】利用已知条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程．8．已知，则（ ） A．B．C．D．【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式【解析】【解答】由有,故,合并同类型有,显然,所以,故故答案为：A【分析】用和差角公式展开,求得后再算即可.9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．4【答案】D【知识点】程序框图【解析】【解答】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为4.故答案为：D. 【分析】根据算法的功能：当时求函数的最大值，否则S=1；由此求出程序运行后输出S的最大值.10．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（ ）A．-150B．150C．-500D．500【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和，，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故答案为：B.【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求得展开式中的系数.11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积， 圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故答案为：D.【分析】由三视图还原几何体为双锥体，由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出该几何体的表面积.12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故答案为：C.【分析】令，判断g(x)的单调性和奇偶性，根据得到，再求出a的取值范围. 二、填空题13．已知向量，，且，则 ．【答案】【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】根据题意，，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【分析】由得，解出m的值，可得的坐标，再利用向量模的公式可求出答案.14．观察下列不等式，，，…照此规律，第n个不等式为 ．【答案】【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题意，不等式可化简为：，，，…照此规律，第n个不等式为.故答案为：.【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按照此规律规律可得到第n个不等式.15．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为 ．【答案】【知识点】数列的求和 【解析】【解答】因为，当时，，当时，，满足，所以，所以，所以数列的前2022项和为.故答案为：.【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出数列的前2022项和.16．已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是 .【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）①②【知识点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】（1）可取，由，由可得，，……，，满足对任意的成立，具有性质“”；（2）①，由，由可得，，，，，……，循环下去，满足对任意的成立，具有性质“”；②，由，由可得， ，，……，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合对任意的成立，具有性质“”；③，由，由可得，，，……，不满足对任意的成立，故③不具有性质“”.故答案为：（答案不唯一）；①②【分析】(1)可取y=x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；(2)分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断.三、解答题17．已知的数．（1）求的单调增区间；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）解：由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦定理 【解析】【分析】(1)将函数利用二倍角公式以及辅助角公式化f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间；(2)由已知可求，根据范围可求出A，进而根据正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解出外接圆的面积．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，是边长为的等边三角形，．（1）证明：平面PBD；（2）设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，，在直角中，，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面ABCD，故以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，，，，因为是的中点，所以，则，，，设平面的法向量，则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)由已知可得PD⊥BD，PD⊥CD，求解三角形证明，即可得到AB⊥BD，又由已知可得PD⊥AB，由直线与平面垂直的判定得平面PBD；(2)以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系求得平面的法向量和，利用向量的夹角公式即可求出AB和平面DAE所成角的余弦值.19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 20线上销售时间不足8小时 合计 45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中．（1）请完成上面的列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ （2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．（2）解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量的可能取值为0，1，2，可得，，，所以随机变量的分布列为：X012P所以数学期望．【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据已知条件，补充2X2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；(2)由已知条件可得，X所有可能的值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得随机变量的分布列，再结合期望公式，即可求解出数学期望．20．已知椭圆的上顶点为A，左右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为的正三角形．（1）求椭圆C方程； （2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线，与椭圆C都只有一个交点．试判断，是否垂直？并说明理由．【答案】（1）解：∴椭圆C方程为：．（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，①当经过P与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P与椭圆相切的直线方程为，其中，，由得，将代入上式可得，所以，∴．②当经过P与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P的坐标为，例如过的切线方程是，，显然，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P都可使．【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由于是面积为的正三角形，可得求解出a，b，即可得椭圆C方程； (2)设是“基圆”上任意一点，则，设经过P与椭圆相切的直线方程为，，与椭圆方程联立可得，利用及其根与系数的关系即可得出“基圆”上任意动点P都可使．21．设函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：，∴．，．又，∴在点处的切线方程为．（2）解：，的定义域为，，令．当，即时，，在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当，即时，有两根，；当，即时，，，此时在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当时，此时在上无零点，不合题意；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，，∴，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．综上，若在区间上存在唯一零点，则m的取值范围为．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；(2)构造函数求导，根据二次函数的性质及导数与函数单调性的关系，利用函数零点存在定理，即可求得m的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，的圆心，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与相交于A、B两点，求线段的长．【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，根据极坐标与直角的互化公式，可得的极坐标方程为，化简得，即的极坐标方程为，又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．（2）解：设A、B极坐标分别为、，将代入，整理得，所以，，所以．【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解出的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解出线段的长．23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）解：当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）解：根据分段函数的表达形式可知，，故要满足题意，只需，解得或，即a的取值范围为．【知识点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用【解析】【分析】(1)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可得不等式的解集；(2)根据分段函数的表达形式可得，由不等式恒成立可得，解绝对值不等式，即可得到a的取值范围．
简介：高三下学期理数三模试卷一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A．1B．C．D．2【答案】B【知识点】复数求模【解析】【解答】因为，所以，解得，所以.故答案为：B.【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出答案.2．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是( )A．B．C．D．【答案】A【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于指数函数y＝，，y＞0，故p为真命题，为假命题；当时，，，故q命题为假命题，为真命题；故为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故答案为：A．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.3．已知正项等比数列中，，，则（ ） A．16B．32C．64D．-32【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】因为正项等比数列中，，，所以，解得，所以，故答案为：B.【分析】通过可得，利用等比数列的通项公式求出答案.4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：．故答案为：D．【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.5．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：） A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：2170．令2170＝k，则lg2170＝lgk，∴170lg2＝lgk，又lg2≈0.3，∴51＝lgk，即k＝1051，∴与最接近的数为1051．故答案为：B．【分析】由，令2170＝k，化指数式为对数式求解可得答案.6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）A．1B．C．2D．【答案】A【知识点】抛物线的定义【解析】【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．过点作，垂足为．则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的距离之和为设，因此当、、三点共线时，取得最小值．．即的最小值为， 所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故答案为：A.【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为，所以下焦点为，渐近线方程为，即，则下焦点到的距离为，又因为，解得，即，所以渐近线方程为：故答案为：B【分析】利用已知条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程．8．已知，则（ ） A．B．C．D．【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式【解析】【解答】由有,故,合并同类型有,显然,所以,故故答案为：A【分析】用和差角公式展开,求得后再算即可.9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．4【答案】D【知识点】程序框图【解析】【解答】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为4.故答案为：D. 【分析】根据算法的功能：当时求函数的最大值，否则S=1；由此求出程序运行后输出S的最大值.10．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（ ）A．-150B．150C．-500D．500【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和，，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故答案为：B.【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求得展开式中的系数.11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积， 圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故答案为：D.【分析】由三视图还原几何体为双锥体，由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出该几何体的表面积.12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故答案为：C.【分析】令，判断g(x)的单调性和奇偶性，根据得到，再求出a的取值范围. 二、填空题13．已知向量，，且，则 ．【答案】【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】根据题意，，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【分析】由得，解出m的值，可得的坐标，再利用向量模的公式可求出答案.14．观察下列不等式，，，…照此规律，第n个不等式为 ．【答案】【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题意，不等式可化简为：，，，…照此规律，第n个不等式为.故答案为：.【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按照此规律规律可得到第n个不等式.15．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为 ．【答案】【知识点】数列的求和 【解析】【解答】因为，当时，，当时，，满足，所以，所以，所以数列的前2022项和为.故答案为：.【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出数列的前2022项和.16．已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是 .【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）①②【知识点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】（1）可取，由，由可得，，……，，满足对任意的成立，具有性质“”；（2）①，由，由可得，，，，，……，循环下去，满足对任意的成立，具有性质“”；②，由，由可得， ，，……，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合对任意的成立，具有性质“”；③，由，由可得，，，……，不满足对任意的成立，故③不具有性质“”.故答案为：（答案不唯一）；①②【分析】(1)可取y=x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；(2)分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断.三、解答题17．已知的数．（1）求的单调增区间；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）解：由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦定理 【解析】【分析】(1)将函数利用二倍角公式以及辅助角公式化f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间；(2)由已知可求，根据范围可求出A，进而根据正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解出外接圆的面积．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，是边长为的等边三角形，．（1）证明：平面PBD；（2）设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，，在直角中，，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面ABCD，故以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，，，，因为是的中点，所以，则，，，设平面的法向量，则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)由已知可得PD⊥BD，PD⊥CD，求解三角形证明，即可得到AB⊥BD，又由已知可得PD⊥AB，由直线与平面垂直的判定得平面PBD；(2)以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系求得平面的法向量和，利用向量的夹角公式即可求出AB和平面DAE所成角的余弦值.19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 20线上销售时间不足8小时 合计 45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中．（1）请完成上面的列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ （2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．（2）解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量的可能取值为0，1，2，可得，，，所以随机变量的分布列为：X012P所以数学期望．【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据已知条件，补充2X2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；(2)由已知条件可得，X所有可能的值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得随机变量的分布列，再结合期望公式，即可求解出数学期望．20．已知椭圆的上顶点为A，左右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为的正三角形．（1）求椭圆C方程； （2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线，与椭圆C都只有一个交点．试判断，是否垂直？并说明理由．【答案】（1）解：∴椭圆C方程为：．（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，①当经过P与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P与椭圆相切的直线方程为，其中，，由得，将代入上式可得，所以，∴．②当经过P与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P的坐标为，例如过的切线方程是，，显然，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P都可使．【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由于是面积为的正三角形，可得求解出a，b，即可得椭圆C方程； (2)设是“基圆”上任意一点，则，设经过P与椭圆相切的直线方程为，，与椭圆方程联立可得，利用及其根与系数的关系即可得出“基圆”上任意动点P都可使．21．设函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：，∴．，．又，∴在点处的切线方程为．（2）解：，的定义域为，，令．当，即时，，在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当，即时，有两根，；当，即时，，，此时在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当时，此时在上无零点，不合题意；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，，∴，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．综上，若在区间上存在唯一零点，则m的取值范围为．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；(2)构造函数求导，根据二次函数的性质及导数与函数单调性的关系，利用函数零点存在定理，即可求得m的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，的圆心，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与相交于A、B两点，求线段的长．【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，根据极坐标与直角的互化公式，可得的极坐标方程为，化简得，即的极坐标方程为，又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．（2）解：设A、B极坐标分别为、，将代入，整理得，所以，，所以．【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解出的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解出线段的长．23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）解：当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）解：根据分段函数的表达形式可知，，故要满足题意，只需，解得或，即a的取值范围为．【知识点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用【解析】【分析】(1)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可得不等式的解集；(2)根据分段函数的表达形式可得，由不等式恒成立可得，解绝对值不等式，即可得到a的取值范围．
简介：高三下学期理数三模试卷一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A．1B．C．D．2【答案】B【知识点】复数求模【解析】【解答】因为，所以，解得，所以.故答案为：B.【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出答案.2．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是( )A．B．C．D．【答案】A【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于指数函数y＝，，y＞0，故p为真命题，为假命题；当时，，，故q命题为假命题，为真命题；故为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故答案为：A．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.3．已知正项等比数列中，，，则（ ） A．16B．32C．64D．-32【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】因为正项等比数列中，，，所以，解得，所以，故答案为：B.【分析】通过可得，利用等比数列的通项公式求出答案.4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：．故答案为：D．【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.5．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：） A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：2170．令2170＝k，则lg2170＝lgk，∴170lg2＝lgk，又lg2≈0.3，∴51＝lgk，即k＝1051，∴与最接近的数为1051．故答案为：B．【分析】由，令2170＝k，化指数式为对数式求解可得答案.6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）A．1B．C．2D．【答案】A【知识点】抛物线的定义【解析】【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．过点作，垂足为．则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的距离之和为设，因此当、、三点共线时，取得最小值．．即的最小值为， 所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故答案为：A.【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为，所以下焦点为，渐近线方程为，即，则下焦点到的距离为，又因为，解得，即，所以渐近线方程为：故答案为：B【分析】利用已知条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程．8．已知，则（ ） A．B．C．D．【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式【解析】【解答】由有,故,合并同类型有,显然,所以,故故答案为：A【分析】用和差角公式展开,求得后再算即可.9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．4【答案】D【知识点】程序框图【解析】【解答】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为4.故答案为：D. 【分析】根据算法的功能：当时求函数的最大值，否则S=1；由此求出程序运行后输出S的最大值.10．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（ ）A．-150B．150C．-500D．500【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和，，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故答案为：B.【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求得展开式中的系数.11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积， 圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故答案为：D.【分析】由三视图还原几何体为双锥体，由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出该几何体的表面积.12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故答案为：C.【分析】令，判断g(x)的单调性和奇偶性，根据得到，再求出a的取值范围. 二、填空题13．已知向量，，且，则 ．【答案】【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】根据题意，，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【分析】由得，解出m的值，可得的坐标，再利用向量模的公式可求出答案.14．观察下列不等式，，，…照此规律，第n个不等式为 ．【答案】【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题意，不等式可化简为：，，，…照此规律，第n个不等式为.故答案为：.【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按照此规律规律可得到第n个不等式.15．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为 ．【答案】【知识点】数列的求和 【解析】【解答】因为，当时，，当时，，满足，所以，所以，所以数列的前2022项和为.故答案为：.【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出数列的前2022项和.16．已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是 .【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）①②【知识点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】（1）可取，由，由可得，，……，，满足对任意的成立，具有性质“”；（2）①，由，由可得，，，，，……，循环下去，满足对任意的成立，具有性质“”；②，由，由可得， ，，……，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合对任意的成立，具有性质“”；③，由，由可得，，，……，不满足对任意的成立，故③不具有性质“”.故答案为：（答案不唯一）；①②【分析】(1)可取y=x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；(2)分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断.三、解答题17．已知的数．（1）求的单调增区间；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）解：由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦定理 【解析】【分析】(1)将函数利用二倍角公式以及辅助角公式化f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间；(2)由已知可求，根据范围可求出A，进而根据正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解出外接圆的面积．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，是边长为的等边三角形，．（1）证明：平面PBD；（2）设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，，在直角中，，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面ABCD，故以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，，，，因为是的中点，所以，则，，，设平面的法向量，则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)由已知可得PD⊥BD，PD⊥CD，求解三角形证明，即可得到AB⊥BD，又由已知可得PD⊥AB，由直线与平面垂直的判定得平面PBD；(2)以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系求得平面的法向量和，利用向量的夹角公式即可求出AB和平面DAE所成角的余弦值.19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 20线上销售时间不足8小时 合计 45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中．（1）请完成上面的列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ （2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．（2）解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量的可能取值为0，1，2，可得，，，所以随机变量的分布列为：X012P所以数学期望．【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据已知条件，补充2X2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；(2)由已知条件可得，X所有可能的值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得随机变量的分布列，再结合期望公式，即可求解出数学期望．20．已知椭圆的上顶点为A，左右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为的正三角形．（1）求椭圆C方程； （2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线，与椭圆C都只有一个交点．试判断，是否垂直？并说明理由．【答案】（1）解：∴椭圆C方程为：．（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，①当经过P与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P与椭圆相切的直线方程为，其中，，由得，将代入上式可得，所以，∴．②当经过P与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P的坐标为，例如过的切线方程是，，显然，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P都可使．【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由于是面积为的正三角形，可得求解出a，b，即可得椭圆C方程； (2)设是“基圆”上任意一点，则，设经过P与椭圆相切的直线方程为，，与椭圆方程联立可得，利用及其根与系数的关系即可得出“基圆”上任意动点P都可使．21．设函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：，∴．，．又，∴在点处的切线方程为．（2）解：，的定义域为，，令．当，即时，，在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当，即时，有两根，；当，即时，，，此时在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当时，此时在上无零点，不合题意；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，，∴，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．综上，若在区间上存在唯一零点，则m的取值范围为．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；(2)构造函数求导，根据二次函数的性质及导数与函数单调性的关系，利用函数零点存在定理，即可求得m的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，的圆心，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与相交于A、B两点，求线段的长．【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，根据极坐标与直角的互化公式，可得的极坐标方程为，化简得，即的极坐标方程为，又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．（2）解：设A、B极坐标分别为、，将代入，整理得，所以，，所以．【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解出的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解出线段的长．23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）解：当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）解：根据分段函数的表达形式可知，，故要满足题意，只需，解得或，即a的取值范围为．【知识点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用【解析】【分析】(1)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可得不等式的解集；(2)根据分段函数的表达形式可得，由不等式恒成立可得，解绝对值不等式，即可得到a的取值范围．
简介：高三下学期理数三模试卷一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A．1B．C．D．2【答案】B【知识点】复数求模【解析】【解答】因为，所以，解得，所以.故答案为：B.【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出答案.2．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是( )A．B．C．D．【答案】A【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于指数函数y＝，，y＞0，故p为真命题，为假命题；当时，，，故q命题为假命题，为真命题；故为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故答案为：A．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.3．已知正项等比数列中，，，则（ ） A．16B．32C．64D．-32【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】因为正项等比数列中，，，所以，解得，所以，故答案为：B.【分析】通过可得，利用等比数列的通项公式求出答案.4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：．故答案为：D．【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.5．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：） A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：2170．令2170＝k，则lg2170＝lgk，∴170lg2＝lgk，又lg2≈0.3，∴51＝lgk，即k＝1051，∴与最接近的数为1051．故答案为：B．【分析】由，令2170＝k，化指数式为对数式求解可得答案.6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）A．1B．C．2D．【答案】A【知识点】抛物线的定义【解析】【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．过点作，垂足为．则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的距离之和为设，因此当、、三点共线时，取得最小值．．即的最小值为， 所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故答案为：A.【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为，所以下焦点为，渐近线方程为，即，则下焦点到的距离为，又因为，解得，即，所以渐近线方程为：故答案为：B【分析】利用已知条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程．8．已知，则（ ） A．B．C．D．【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式【解析】【解答】由有,故,合并同类型有,显然,所以,故故答案为：A【分析】用和差角公式展开,求得后再算即可.9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．4【答案】D【知识点】程序框图【解析】【解答】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为4.故答案为：D. 【分析】根据算法的功能：当时求函数的最大值，否则S=1；由此求出程序运行后输出S的最大值.10．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（ ）A．-150B．150C．-500D．500【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和，，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故答案为：B.【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求得展开式中的系数.11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积， 圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故答案为：D.【分析】由三视图还原几何体为双锥体，由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出该几何体的表面积.12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故答案为：C.【分析】令，判断g(x)的单调性和奇偶性，根据得到，再求出a的取值范围. 二、填空题13．已知向量，，且，则 ．【答案】【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】根据题意，，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【分析】由得，解出m的值，可得的坐标，再利用向量模的公式可求出答案.14．观察下列不等式，，，…照此规律，第n个不等式为 ．【答案】【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题意，不等式可化简为：，，，…照此规律，第n个不等式为.故答案为：.【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按照此规律规律可得到第n个不等式.15．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为 ．【答案】【知识点】数列的求和 【解析】【解答】因为，当时，，当时，，满足，所以，所以，所以数列的前2022项和为.故答案为：.【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出数列的前2022项和.16．已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是 .【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）①②【知识点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】（1）可取，由，由可得，，……，，满足对任意的成立，具有性质“”；（2）①，由，由可得，，，，，……，循环下去，满足对任意的成立，具有性质“”；②，由，由可得， ，，……，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合对任意的成立，具有性质“”；③，由，由可得，，，……，不满足对任意的成立，故③不具有性质“”.故答案为：（答案不唯一）；①②【分析】(1)可取y=x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；(2)分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断.三、解答题17．已知的数．（1）求的单调增区间；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）解：由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦定理 【解析】【分析】(1)将函数利用二倍角公式以及辅助角公式化f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间；(2)由已知可求，根据范围可求出A，进而根据正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解出外接圆的面积．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，是边长为的等边三角形，．（1）证明：平面PBD；（2）设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，，在直角中，，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面ABCD，故以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，，，，因为是的中点，所以，则，，，设平面的法向量，则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)由已知可得PD⊥BD，PD⊥CD，求解三角形证明，即可得到AB⊥BD，又由已知可得PD⊥AB，由直线与平面垂直的判定得平面PBD；(2)以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系求得平面的法向量和，利用向量的夹角公式即可求出AB和平面DAE所成角的余弦值.19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 20线上销售时间不足8小时 合计 45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中．（1）请完成上面的列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ （2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．（2）解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量的可能取值为0，1，2，可得，，，所以随机变量的分布列为：X012P所以数学期望．【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据已知条件，补充2X2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；(2)由已知条件可得，X所有可能的值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得随机变量的分布列，再结合期望公式，即可求解出数学期望．20．已知椭圆的上顶点为A，左右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为的正三角形．（1）求椭圆C方程； （2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线，与椭圆C都只有一个交点．试判断，是否垂直？并说明理由．【答案】（1）解：∴椭圆C方程为：．（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，①当经过P与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P与椭圆相切的直线方程为，其中，，由得，将代入上式可得，所以，∴．②当经过P与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P的坐标为，例如过的切线方程是，，显然，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P都可使．【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由于是面积为的正三角形，可得求解出a，b，即可得椭圆C方程； (2)设是“基圆”上任意一点，则，设经过P与椭圆相切的直线方程为，，与椭圆方程联立可得，利用及其根与系数的关系即可得出“基圆”上任意动点P都可使．21．设函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：，∴．，．又，∴在点处的切线方程为．（2）解：，的定义域为，，令．当，即时，，在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当，即时，有两根，；当，即时，，，此时在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当时，此时在上无零点，不合题意；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，，∴，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．综上，若在区间上存在唯一零点，则m的取值范围为．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；(2)构造函数求导，根据二次函数的性质及导数与函数单调性的关系，利用函数零点存在定理，即可求得m的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，的圆心，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与相交于A、B两点，求线段的长．【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，根据极坐标与直角的互化公式，可得的极坐标方程为，化简得，即的极坐标方程为，又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．（2）解：设A、B极坐标分别为、，将代入，整理得，所以，，所以．【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解出的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解出线段的长．23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）解：当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）解：根据分段函数的表达形式可知，，故要满足题意，只需，解得或，即a的取值范围为．【知识点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用【解析】【分析】(1)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可得不等式的解集；(2)根据分段函数的表达形式可得，由不等式恒成立可得，解绝对值不等式，即可得到a的取值范围．
简介：高三下学期理数三模试卷一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A．1B．C．D．2【答案】B【知识点】复数求模【解析】【解答】因为，所以，解得，所以.故答案为：B.【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出答案.2．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是( )A．B．C．D．【答案】A【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于指数函数y＝，，y＞0，故p为真命题，为假命题；当时，，，故q命题为假命题，为真命题；故为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故答案为：A．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.3．已知正项等比数列中，，，则（ ） A．16B．32C．64D．-32【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】因为正项等比数列中，，，所以，解得，所以，故答案为：B.【分析】通过可得，利用等比数列的通项公式求出答案.4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：．故答案为：D．【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.5．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：） A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：2170．令2170＝k，则lg2170＝lgk，∴170lg2＝lgk，又lg2≈0.3，∴51＝lgk，即k＝1051，∴与最接近的数为1051．故答案为：B．【分析】由，令2170＝k，化指数式为对数式求解可得答案.6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）A．1B．C．2D．【答案】A【知识点】抛物线的定义【解析】【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线．过点作，垂足为．则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的距离之和为设，因此当、、三点共线时，取得最小值．．即的最小值为， 所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故答案为：A.【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为，所以下焦点为，渐近线方程为，即，则下焦点到的距离为，又因为，解得，即，所以渐近线方程为：故答案为：B【分析】利用已知条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程．8．已知，则（ ） A．B．C．D．【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式【解析】【解答】由有,故,合并同类型有,显然,所以,故故答案为：A【分析】用和差角公式展开,求得后再算即可.9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．4【答案】D【知识点】程序框图【解析】【解答】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为4.故答案为：D. 【分析】根据算法的功能：当时求函数的最大值，否则S=1；由此求出程序运行后输出S的最大值.10．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（ ）A．-150B．150C．-500D．500【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和，，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故答案为：B.【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求得展开式中的系数.11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积， 圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故答案为：D.【分析】由三视图还原几何体为双锥体，由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出该几何体的表面积.12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故答案为：C.【分析】令，判断g(x)的单调性和奇偶性，根据得到，再求出a的取值范围. 二、填空题13．已知向量，，且，则 ．【答案】【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】根据题意，，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【分析】由得，解出m的值，可得的坐标，再利用向量模的公式可求出答案.14．观察下列不等式，，，…照此规律，第n个不等式为 ．【答案】【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题意，不等式可化简为：，，，…照此规律，第n个不等式为.故答案为：.【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按照此规律规律可得到第n个不等式.15．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为 ．【答案】【知识点】数列的求和 【解析】【解答】因为，当时，，当时，，满足，所以，所以，所以数列的前2022项和为.故答案为：.【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出数列的前2022项和.16．已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是 .【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）①②【知识点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】（1）可取，由，由可得，，……，，满足对任意的成立，具有性质“”；（2）①，由，由可得，，，，，……，循环下去，满足对任意的成立，具有性质“”；②，由，由可得， ，，……，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合对任意的成立，具有性质“”；③，由，由可得，，，……，不满足对任意的成立，故③不具有性质“”.故答案为：（答案不唯一）；①②【分析】(1)可取y=x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；(2)分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断.三、解答题17．已知的数．（1）求的单调增区间；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求外接圆的面积．【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）解：由（1）可知，则，又，故．设的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圆的面积为．【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦定理 【解析】【分析】(1)将函数利用二倍角公式以及辅助角公式化f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间；(2)由已知可求，根据范围可求出A，进而根据正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解出外接圆的面积．18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，是边长为的等边三角形，．（1）证明：平面PBD；（2）设E是BP的中点，求AB和平面DAE所成角的余弦值．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，，在直角中，，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面ABCD，故以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，，，，因为是的中点，所以，则，，，设平面的法向量，则，取，则，所以， 设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)由已知可得PD⊥BD，PD⊥CD，求解三角形证明，即可得到AB⊥BD，又由已知可得PD⊥AB，由直线与平面垂直的判定得平面PBD；(2)以点D为坐标原点，DB、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系求得平面的法向量和，利用向量的夹角公式即可求出AB和平面DAE所成角的余弦值.19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 20线上销售时间不足8小时 合计 45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中．（1）请完成上面的列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ （2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．（2）解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量的可能取值为0，1，2，可得，，，所以随机变量的分布列为：X012P所以数学期望．【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据已知条件，补充2X2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；(2)由已知条件可得，X所有可能的值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得随机变量的分布列，再结合期望公式，即可求解出数学期望．20．已知椭圆的上顶点为A，左右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为的正三角形．（1）求椭圆C方程； （2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆C的“基圆”，点P是椭圆C的“基圆”上的一个动点，过点P作直线，与椭圆C都只有一个交点．试判断，是否垂直？并说明理由．【答案】（1）解：∴椭圆C方程为：．（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，①当经过P与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P与椭圆相切的直线方程为，其中，，由得，将代入上式可得，所以，∴．②当经过P与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P的坐标为，例如过的切线方程是，，显然，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P都可使．【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由于是面积为的正三角形，可得求解出a，b，即可得椭圆C方程； (2)设是“基圆”上任意一点，则，设经过P与椭圆相切的直线方程为，，与椭圆方程联立可得，利用及其根与系数的关系即可得出“基圆”上任意动点P都可使．21．设函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：，∴．，．又，∴在点处的切线方程为．（2）解：，的定义域为，，令．当，即时，，在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当，即时，有两根，；当，即时，，，此时在上单调递增，又，∴在上无零点，不合题意；当时，此时在上无零点，不合题意；当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，，∴，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．综上，若在区间上存在唯一零点，则m的取值范围为．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；(2)构造函数求导，根据二次函数的性质及导数与函数单调性的关系，利用函数零点存在定理，即可求得m的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，的圆心，半径为2，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与相交于A、B两点，求线段的长．【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，根据极坐标与直角的互化公式，可得的极坐标方程为，化简得，即的极坐标方程为，又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．（2）解：设A、B极坐标分别为、，将代入，整理得，所以，，所以．【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解出的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解出线段的长．23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）解：当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）解：根据分段函数的表达形式可知，，故要满足题意，只需，解得或，即a的取值范围为．【知识点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用【解析】【分析】(1)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可得不等式的解集；(2)根据分段函数的表达形式可得，由不等式恒成立可得，解绝对值不等式，即可得到a的取值范围．
