上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷及答案
上海市2022届高三高考冲刺卷六数学试题一、填空题1．集合，则 ．【答案】[1，2)【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】由题意，.故答案为：[1，2).【分析】先求出集合A，B，进而根据集合的交集和补集运算即可.2．在的展开式
上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次
简介：上海市2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知集合，，则 .【答案】{-1，0，1，2}【知识点】并集及其运算【解析】【解答】，因此，。故答案为：{-1，0，1，2}。【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，进而求出集合A，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。2．已知，且，那么 【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为即，又，联立求解得：因为，>0，故，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合和同角三角函数基本关系式，得出角的正弦值。3．若复数z满足，则z对应的点位于第 象限.【答案】二【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得所以复数z对应复平面的点为，所以z对应的点位于第二象限。故答案为：二。【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数对应的点所在的象限。4．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 .【答案】不存在【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由已知可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.故答案为：不存在.【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法以及均值不等式求最值的方法，进而得出实数m的最大值不存在。5．的展开式共有11项，则常数项为 .【答案】【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意得：，则展开式通项公式，令，解得：，则。故答案为：。【分析】利用的展开式共有11项，得出n的值，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出展开式中的常数项。 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为，．若，则的值是 ．【答案】【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】依据题意得知，，，，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而得出角的正弦值和余弦值以及角的正弦值和余弦值，再结合两角差的余弦公式得出的值。7．如图1，已知正方体的棱长为2，M，N，Q分别是线段上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为 .【答案】【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由题意得：点为的中点，点为中点，点与重合，其俯视图为三角形，如图所示，。故答案为：。【分析】由题意得点为的中点，点为中点，点与重合，所以其俯视图为三角形，再利用三角形的面积公式得出三棱锥俯视图的面积。8．某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是 .【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有种分法，故概率为。故答案为：。【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而得出每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率。9．已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y=±2x【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，因为AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，则，所以，因为所以，因为三角形ABF的面积为，所以，得所以，得，所以，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为。故答案为：y=±2x。【分析】以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，再利用AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，再利用双曲线的定义得出，再利用结合勾股定理得出，再利用三角形ABF的面积为结合三角形的面积公式得出，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b的关系式，进而变形结合双曲线的渐近线方程求解方法，进而得出双曲线的渐近线方程。10．已知数列中，，则下列说法正确的序号是 .①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.【答案】②【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性【解析】【解答】由，得对于函数，，设，则，当，即时，函数取得最大值，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以数列中，当时，数列递增，且，当时，数列递减，此时有，所以数列的最大项是，最小项为。故答案为：②。【分析】由得出，对于函数，，设，再利用二次函数求最值的方法，得出函数的最大值，再利用单调函数的定义判断出函数的单调性，进而判断出数列的单调性，从而求出数列的最大项和最小项，进而找出说法正确的序号。11．已知方程，以下说法正确的是 .（1）此方程中，的取值范围都是；（2）此方程所对应图像关于对称；（3），对，存在，使.【答案】（2），（3）【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；图形的对称性【解析】【解答】（1）由题意，根据对数的定义且，即由于，同理，由于，故此方程中，的取值范围都是，即说法错误；（2）若满足方程，即则代入为，也满足方程故方程所对应图像关于对称，说法正确；（3）由（1）可得方程可转化为 又，由反比例函数的性质可知在单调递减若，当，有故取即满足条件即，对，存在，使，说法正确故答案为：（2），（3）【分析】利用对数型函数的定义域求解方法得出方程中，的取值范围；利用已知条件结合方程对应的函数图象的对称性，得出方程所对应图像关于对称；再利用特称命题与全称命题真假性判断方法得出，对，存在，使，进而找出说法正确的选项。12．已知平面向量，，满足，，则对任意的，的最小值记为M，则M的最大值为 .【答案】【知识点】圆方程的综合应用【解析】【解答】由平面向量，，满足，则与的夹角为，设，，，，由，得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；由题得距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，得的最大值为。故答案为：。【分析】由平面向量，，满足，得出与的夹角，设，，，，由结合向量的坐标运算，化简得，再利用圆的定义，得出它表示以点，为圆心，以为半径的圆，再利用向量的模的坐标表示结合两点距离公式得出表示圆上的点到点的距离，即点到直线的距离，由题意得出距离的最小值为，由圆心，到直线的距离公式得出圆心，到直线的距离，进而得出的最大值。二、单选题13．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0,1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”为“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0,1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.14．在中，，，设，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】在三角形中，，，可得，因为，所以，所以。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出，再利用得出的值，进而得出的值。15．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）A．为递增数列B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】C【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】由，知，即，设等差数列的首项，公差，，解得，对于A，由，知为递减数列，故错误；对于B，由，知当或时，有最大值，B不符合题意；对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，C符合题意；对于D，由等差数列求通项公式知，解得，D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，得出等差数列的首项和公差，再利用单调函数的定义结合等差数列的公差，进而判断出数列为递减数列；再利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法得出当或时，有最大值；再利用等差数列前n项和公式结合一元二次不等式求解集的方法得出不等式的解集；再利用等差数列的通项公式结合一元一次不等式求解集的方法得出不等式的解集，进而找出说法正确的选项。16．已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（ ）A．2B．3C．4D．6【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；正弦函数的图象；函数的零点【解析】【解答】因为是奇函数，所以，又因为函数的周期为2，所以，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），观察图象可知和的图象在上有五个交点，而函数在区间（且）上有至少有5个零点，所以，所以的最小值为2.故答案为：A.【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.三、解答题17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为.（2）解：当时，，因为函数在直线左侧的第一个最小值点为，故，即，解得.因此，实数的最大值为.【知识点】函数的最值及其几何意义；三角函数的周期性及其求法【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数的最小正周期.(2)利用已知条件结合正弦型函数求最值的方法，进而得出m的取值范围，从而得出实数m的最大值。18．已知数列为等比数列，数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列､的通项公式及；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）解：对，则，因为为等比数列，则为定值.则为定值，则数列为等差数列.，则，，，；（2）解：，设，为数列的前项和，则有：(*)式(**)式，得：，.当时，；当时，，即【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和等比数列的定义，则为定值，进而得出为定值，再利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列､的通项公式，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式得出数列､的前n项和。（2）由（1）得出数列的通项公式，再结合分类讨论的方法和错位相减的方法以及作差法，进而得出数列的前项和。19．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，，所以CD⊥平面PAD.（2）解：过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，平面，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，所以，，，，所以，.设平面AEF的法向量为，则即，令，则，，故，又平面PAD的法向量为，所以，∴二面角平面角余弦值为.（3）解：直线AG不在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且，故，所以，.由（2）知，平面AEF的法向量，所以，所以直线AG不在平面AEF内.【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥CD，再利用AD⊥CD结合线线垂直证出线面垂直，从而证出CD⊥平面PAD。（2）过A作AD的垂线交BC于点M，利用PA⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角F–AE–P的余弦值。（3）判断出直线AG不在平面AEF内，理由为点G在PB上，且，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示以及三角形法则和向量的坐标运算，进而得出的坐标，由（2）知，平面AEF的法向量，再利用数量积的坐标表示得出，进而得出直线AG不在平面AEF内。20．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，且，求的面积；（3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.【答案】（1）解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为.（2）解：设点、，易知、，，，由可得，解得，即点，因为点在椭圆上，则，可得，因此，.（3）解：设、，设直线的方程为，其中，则，联立，可得，， 由韦达定理可得，，，直线的方程为，，直线的方程为，可得，解得，即点，因此，.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆过点结合代入法得出a，b的关系式，再利用焦距与长轴之比为结合焦距的定义和长轴长的定义，从而得出a，c的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程。（2）设点、，易知A，B的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量，的坐标，由结合向量共线的坐标表示得出点M的坐标，再利用点在椭圆上结合代入法得出的值，再结合三角形的面积公式和三角形面积的关系式，得出三角形的面积。（3）设、，设直线的方程为，其中，再利用代入法得出点D的坐标，则，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，，再利用两点求斜率公式得出直线NA的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，再利用两点求斜率公式得出直线MB的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，进而得出，从而得出t的值，进而得出点P的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值。21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，化简整理，得，解得，所以存在满足所以函数是“M类函数”；（2）解：当时，可化为，令，则，所以方程在有解可保证是“类函数”，即在)有解可保证是“类函数”，设在为单调递增函数，所以当时，取得最小值为即，解得.所以实数的取值范围为；（3）解：由在上恒成立，转化为在上恒成立，即所以. 因为为其定义域上的“类函数”，所以存在实数使得，当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递增函数，，即，解得；当时，，此时，不成立；当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递减函数，，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合“类函数”的定义，进而判断出函数是“类函数”。（2）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，进而得出实数m的取值范围。（3）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
简介：上海市2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知集合，，则 .【答案】{-1，0，1，2}【知识点】并集及其运算【解析】【解答】，因此，。故答案为：{-1，0，1，2}。【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，进而求出集合A，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。2．已知，且，那么 【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为即，又，联立求解得：因为，>0，故，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合和同角三角函数基本关系式，得出角的正弦值。3．若复数z满足，则z对应的点位于第 象限.【答案】二【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得所以复数z对应复平面的点为，所以z对应的点位于第二象限。故答案为：二。【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数对应的点所在的象限。4．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 .【答案】不存在【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由已知可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.故答案为：不存在.【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法以及均值不等式求最值的方法，进而得出实数m的最大值不存在。5．的展开式共有11项，则常数项为 .【答案】【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意得：，则展开式通项公式，令，解得：，则。故答案为：。【分析】利用的展开式共有11项，得出n的值，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出展开式中的常数项。 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为，．若，则的值是 ．【答案】【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】依据题意得知，，，，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而得出角的正弦值和余弦值以及角的正弦值和余弦值，再结合两角差的余弦公式得出的值。7．如图1，已知正方体的棱长为2，M，N，Q分别是线段上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为 .【答案】【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由题意得：点为的中点，点为中点，点与重合，其俯视图为三角形，如图所示，。故答案为：。【分析】由题意得点为的中点，点为中点，点与重合，所以其俯视图为三角形，再利用三角形的面积公式得出三棱锥俯视图的面积。8．某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是 .【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有种分法，故概率为。故答案为：。【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而得出每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率。9．已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y=±2x【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，因为AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，则，所以，因为所以，因为三角形ABF的面积为，所以，得所以，得，所以，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为。故答案为：y=±2x。【分析】以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，再利用AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，再利用双曲线的定义得出，再利用结合勾股定理得出，再利用三角形ABF的面积为结合三角形的面积公式得出，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b的关系式，进而变形结合双曲线的渐近线方程求解方法，进而得出双曲线的渐近线方程。10．已知数列中，，则下列说法正确的序号是 .①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.【答案】②【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性【解析】【解答】由，得对于函数，，设，则，当，即时，函数取得最大值，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以数列中，当时，数列递增，且，当时，数列递减，此时有，所以数列的最大项是，最小项为。故答案为：②。【分析】由得出，对于函数，，设，再利用二次函数求最值的方法，得出函数的最大值，再利用单调函数的定义判断出函数的单调性，进而判断出数列的单调性，从而求出数列的最大项和最小项，进而找出说法正确的序号。11．已知方程，以下说法正确的是 .（1）此方程中，的取值范围都是；（2）此方程所对应图像关于对称；（3），对，存在，使.【答案】（2），（3）【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；图形的对称性【解析】【解答】（1）由题意，根据对数的定义且，即由于，同理，由于，故此方程中，的取值范围都是，即说法错误；（2）若满足方程，即则代入为，也满足方程故方程所对应图像关于对称，说法正确；（3）由（1）可得方程可转化为 又，由反比例函数的性质可知在单调递减若，当，有故取即满足条件即，对，存在，使，说法正确故答案为：（2），（3）【分析】利用对数型函数的定义域求解方法得出方程中，的取值范围；利用已知条件结合方程对应的函数图象的对称性，得出方程所对应图像关于对称；再利用特称命题与全称命题真假性判断方法得出，对，存在，使，进而找出说法正确的选项。12．已知平面向量，，满足，，则对任意的，的最小值记为M，则M的最大值为 .【答案】【知识点】圆方程的综合应用【解析】【解答】由平面向量，，满足，则与的夹角为，设，，，，由，得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；由题得距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，得的最大值为。故答案为：。【分析】由平面向量，，满足，得出与的夹角，设，，，，由结合向量的坐标运算，化简得，再利用圆的定义，得出它表示以点，为圆心，以为半径的圆，再利用向量的模的坐标表示结合两点距离公式得出表示圆上的点到点的距离，即点到直线的距离，由题意得出距离的最小值为，由圆心，到直线的距离公式得出圆心，到直线的距离，进而得出的最大值。二、单选题13．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0,1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”为“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0,1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.14．在中，，，设，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】在三角形中，，，可得，因为，所以，所以。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出，再利用得出的值，进而得出的值。15．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）A．为递增数列B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】C【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】由，知，即，设等差数列的首项，公差，，解得，对于A，由，知为递减数列，故错误；对于B，由，知当或时，有最大值，B不符合题意；对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，C符合题意；对于D，由等差数列求通项公式知，解得，D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，得出等差数列的首项和公差，再利用单调函数的定义结合等差数列的公差，进而判断出数列为递减数列；再利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法得出当或时，有最大值；再利用等差数列前n项和公式结合一元二次不等式求解集的方法得出不等式的解集；再利用等差数列的通项公式结合一元一次不等式求解集的方法得出不等式的解集，进而找出说法正确的选项。16．已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（ ）A．2B．3C．4D．6【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；正弦函数的图象；函数的零点【解析】【解答】因为是奇函数，所以，又因为函数的周期为2，所以，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），观察图象可知和的图象在上有五个交点，而函数在区间（且）上有至少有5个零点，所以，所以的最小值为2.故答案为：A.【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.三、解答题17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为.（2）解：当时，，因为函数在直线左侧的第一个最小值点为，故，即，解得.因此，实数的最大值为.【知识点】函数的最值及其几何意义；三角函数的周期性及其求法【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数的最小正周期.(2)利用已知条件结合正弦型函数求最值的方法，进而得出m的取值范围，从而得出实数m的最大值。18．已知数列为等比数列，数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列､的通项公式及；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）解：对，则，因为为等比数列，则为定值.则为定值，则数列为等差数列.，则，，，；（2）解：，设，为数列的前项和，则有：(*)式(**)式，得：，.当时，；当时，，即【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和等比数列的定义，则为定值，进而得出为定值，再利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列､的通项公式，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式得出数列､的前n项和。（2）由（1）得出数列的通项公式，再结合分类讨论的方法和错位相减的方法以及作差法，进而得出数列的前项和。19．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，，所以CD⊥平面PAD.（2）解：过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，平面，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，所以，，，，所以，.设平面AEF的法向量为，则即，令，则，，故，又平面PAD的法向量为，所以，∴二面角平面角余弦值为.（3）解：直线AG不在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且，故，所以，.由（2）知，平面AEF的法向量，所以，所以直线AG不在平面AEF内.【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥CD，再利用AD⊥CD结合线线垂直证出线面垂直，从而证出CD⊥平面PAD。（2）过A作AD的垂线交BC于点M，利用PA⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角F–AE–P的余弦值。（3）判断出直线AG不在平面AEF内，理由为点G在PB上，且，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示以及三角形法则和向量的坐标运算，进而得出的坐标，由（2）知，平面AEF的法向量，再利用数量积的坐标表示得出，进而得出直线AG不在平面AEF内。20．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，且，求的面积；（3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.【答案】（1）解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为.（2）解：设点、，易知、，，，由可得，解得，即点，因为点在椭圆上，则，可得，因此，.（3）解：设、，设直线的方程为，其中，则，联立，可得，， 由韦达定理可得，，，直线的方程为，，直线的方程为，可得，解得，即点，因此，.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆过点结合代入法得出a，b的关系式，再利用焦距与长轴之比为结合焦距的定义和长轴长的定义，从而得出a，c的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程。（2）设点、，易知A，B的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量，的坐标，由结合向量共线的坐标表示得出点M的坐标，再利用点在椭圆上结合代入法得出的值，再结合三角形的面积公式和三角形面积的关系式，得出三角形的面积。（3）设、，设直线的方程为，其中，再利用代入法得出点D的坐标，则，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，，再利用两点求斜率公式得出直线NA的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，再利用两点求斜率公式得出直线MB的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，进而得出，从而得出t的值，进而得出点P的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值。21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，化简整理，得，解得，所以存在满足所以函数是“M类函数”；（2）解：当时，可化为，令，则，所以方程在有解可保证是“类函数”，即在)有解可保证是“类函数”，设在为单调递增函数，所以当时，取得最小值为即，解得.所以实数的取值范围为；（3）解：由在上恒成立，转化为在上恒成立，即所以. 因为为其定义域上的“类函数”，所以存在实数使得，当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递增函数，，即，解得；当时，，此时，不成立；当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递减函数，，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合“类函数”的定义，进而判断出函数是“类函数”。（2）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，进而得出实数m的取值范围。（3）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
简介：上海市2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知集合，，则 .【答案】{-1，0，1，2}【知识点】并集及其运算【解析】【解答】，因此，。故答案为：{-1，0，1，2}。【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，进而求出集合A，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。2．已知，且，那么 【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为即，又，联立求解得：因为，>0，故，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合和同角三角函数基本关系式，得出角的正弦值。3．若复数z满足，则z对应的点位于第 象限.【答案】二【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得所以复数z对应复平面的点为，所以z对应的点位于第二象限。故答案为：二。【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数对应的点所在的象限。4．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 .【答案】不存在【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由已知可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.故答案为：不存在.【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法以及均值不等式求最值的方法，进而得出实数m的最大值不存在。5．的展开式共有11项，则常数项为 .【答案】【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意得：，则展开式通项公式，令，解得：，则。故答案为：。【分析】利用的展开式共有11项，得出n的值，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出展开式中的常数项。 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为，．若，则的值是 ．【答案】【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】依据题意得知，，，，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而得出角的正弦值和余弦值以及角的正弦值和余弦值，再结合两角差的余弦公式得出的值。7．如图1，已知正方体的棱长为2，M，N，Q分别是线段上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为 .【答案】【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由题意得：点为的中点，点为中点，点与重合，其俯视图为三角形，如图所示，。故答案为：。【分析】由题意得点为的中点，点为中点，点与重合，所以其俯视图为三角形，再利用三角形的面积公式得出三棱锥俯视图的面积。8．某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是 .【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有种分法，故概率为。故答案为：。【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而得出每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率。9．已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y=±2x【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，因为AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，则，所以，因为所以，因为三角形ABF的面积为，所以，得所以，得，所以，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为。故答案为：y=±2x。【分析】以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，再利用AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，再利用双曲线的定义得出，再利用结合勾股定理得出，再利用三角形ABF的面积为结合三角形的面积公式得出，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b的关系式，进而变形结合双曲线的渐近线方程求解方法，进而得出双曲线的渐近线方程。10．已知数列中，，则下列说法正确的序号是 .①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.【答案】②【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性【解析】【解答】由，得对于函数，，设，则，当，即时，函数取得最大值，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以数列中，当时，数列递增，且，当时，数列递减，此时有，所以数列的最大项是，最小项为。故答案为：②。【分析】由得出，对于函数，，设，再利用二次函数求最值的方法，得出函数的最大值，再利用单调函数的定义判断出函数的单调性，进而判断出数列的单调性，从而求出数列的最大项和最小项，进而找出说法正确的序号。11．已知方程，以下说法正确的是 .（1）此方程中，的取值范围都是；（2）此方程所对应图像关于对称；（3），对，存在，使.【答案】（2），（3）【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；图形的对称性【解析】【解答】（1）由题意，根据对数的定义且，即由于，同理，由于，故此方程中，的取值范围都是，即说法错误；（2）若满足方程，即则代入为，也满足方程故方程所对应图像关于对称，说法正确；（3）由（1）可得方程可转化为 又，由反比例函数的性质可知在单调递减若，当，有故取即满足条件即，对，存在，使，说法正确故答案为：（2），（3）【分析】利用对数型函数的定义域求解方法得出方程中，的取值范围；利用已知条件结合方程对应的函数图象的对称性，得出方程所对应图像关于对称；再利用特称命题与全称命题真假性判断方法得出，对，存在，使，进而找出说法正确的选项。12．已知平面向量，，满足，，则对任意的，的最小值记为M，则M的最大值为 .【答案】【知识点】圆方程的综合应用【解析】【解答】由平面向量，，满足，则与的夹角为，设，，，，由，得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；由题得距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，得的最大值为。故答案为：。【分析】由平面向量，，满足，得出与的夹角，设，，，，由结合向量的坐标运算，化简得，再利用圆的定义，得出它表示以点，为圆心，以为半径的圆，再利用向量的模的坐标表示结合两点距离公式得出表示圆上的点到点的距离，即点到直线的距离，由题意得出距离的最小值为，由圆心，到直线的距离公式得出圆心，到直线的距离，进而得出的最大值。二、单选题13．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0,1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”为“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0,1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.14．在中，，，设，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】在三角形中，，，可得，因为，所以，所以。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出，再利用得出的值，进而得出的值。15．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）A．为递增数列B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】C【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】由，知，即，设等差数列的首项，公差，，解得，对于A，由，知为递减数列，故错误；对于B，由，知当或时，有最大值，B不符合题意；对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，C符合题意；对于D，由等差数列求通项公式知，解得，D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，得出等差数列的首项和公差，再利用单调函数的定义结合等差数列的公差，进而判断出数列为递减数列；再利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法得出当或时，有最大值；再利用等差数列前n项和公式结合一元二次不等式求解集的方法得出不等式的解集；再利用等差数列的通项公式结合一元一次不等式求解集的方法得出不等式的解集，进而找出说法正确的选项。16．已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（ ）A．2B．3C．4D．6【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；正弦函数的图象；函数的零点【解析】【解答】因为是奇函数，所以，又因为函数的周期为2，所以，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），观察图象可知和的图象在上有五个交点，而函数在区间（且）上有至少有5个零点，所以，所以的最小值为2.故答案为：A.【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.三、解答题17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为.（2）解：当时，，因为函数在直线左侧的第一个最小值点为，故，即，解得.因此，实数的最大值为.【知识点】函数的最值及其几何意义；三角函数的周期性及其求法【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数的最小正周期.(2)利用已知条件结合正弦型函数求最值的方法，进而得出m的取值范围，从而得出实数m的最大值。18．已知数列为等比数列，数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列､的通项公式及；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）解：对，则，因为为等比数列，则为定值.则为定值，则数列为等差数列.，则，，，；（2）解：，设，为数列的前项和，则有：(*)式(**)式，得：，.当时，；当时，，即【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和等比数列的定义，则为定值，进而得出为定值，再利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列､的通项公式，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式得出数列､的前n项和。（2）由（1）得出数列的通项公式，再结合分类讨论的方法和错位相减的方法以及作差法，进而得出数列的前项和。19．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，，所以CD⊥平面PAD.（2）解：过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，平面，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，所以，，，，所以，.设平面AEF的法向量为，则即，令，则，，故，又平面PAD的法向量为，所以，∴二面角平面角余弦值为.（3）解：直线AG不在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且，故，所以，.由（2）知，平面AEF的法向量，所以，所以直线AG不在平面AEF内.【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥CD，再利用AD⊥CD结合线线垂直证出线面垂直，从而证出CD⊥平面PAD。（2）过A作AD的垂线交BC于点M，利用PA⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角F–AE–P的余弦值。（3）判断出直线AG不在平面AEF内，理由为点G在PB上，且，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示以及三角形法则和向量的坐标运算，进而得出的坐标，由（2）知，平面AEF的法向量，再利用数量积的坐标表示得出，进而得出直线AG不在平面AEF内。20．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，且，求的面积；（3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.【答案】（1）解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为.（2）解：设点、，易知、，，，由可得，解得，即点，因为点在椭圆上，则，可得，因此，.（3）解：设、，设直线的方程为，其中，则，联立，可得，， 由韦达定理可得，，，直线的方程为，，直线的方程为，可得，解得，即点，因此，.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆过点结合代入法得出a，b的关系式，再利用焦距与长轴之比为结合焦距的定义和长轴长的定义，从而得出a，c的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程。（2）设点、，易知A，B的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量，的坐标，由结合向量共线的坐标表示得出点M的坐标，再利用点在椭圆上结合代入法得出的值，再结合三角形的面积公式和三角形面积的关系式，得出三角形的面积。（3）设、，设直线的方程为，其中，再利用代入法得出点D的坐标，则，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，，再利用两点求斜率公式得出直线NA的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，再利用两点求斜率公式得出直线MB的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，进而得出，从而得出t的值，进而得出点P的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值。21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，化简整理，得，解得，所以存在满足所以函数是“M类函数”；（2）解：当时，可化为，令，则，所以方程在有解可保证是“类函数”，即在)有解可保证是“类函数”，设在为单调递增函数，所以当时，取得最小值为即，解得.所以实数的取值范围为；（3）解：由在上恒成立，转化为在上恒成立，即所以. 因为为其定义域上的“类函数”，所以存在实数使得，当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递增函数，，即，解得；当时，，此时，不成立；当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递减函数，，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合“类函数”的定义，进而判断出函数是“类函数”。（2）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，进而得出实数m的取值范围。（3）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
简介：上海市2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知集合，，则 .【答案】{-1，0，1，2}【知识点】并集及其运算【解析】【解答】，因此，。故答案为：{-1，0，1，2}。【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，进而求出集合A，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。2．已知，且，那么 【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为即，又，联立求解得：因为，>0，故，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合和同角三角函数基本关系式，得出角的正弦值。3．若复数z满足，则z对应的点位于第 象限.【答案】二【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得所以复数z对应复平面的点为，所以z对应的点位于第二象限。故答案为：二。【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数对应的点所在的象限。4．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 .【答案】不存在【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由已知可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.故答案为：不存在.【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法以及均值不等式求最值的方法，进而得出实数m的最大值不存在。5．的展开式共有11项，则常数项为 .【答案】【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意得：，则展开式通项公式，令，解得：，则。故答案为：。【分析】利用的展开式共有11项，得出n的值，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出展开式中的常数项。 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为，．若，则的值是 ．【答案】【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】依据题意得知，，，，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而得出角的正弦值和余弦值以及角的正弦值和余弦值，再结合两角差的余弦公式得出的值。7．如图1，已知正方体的棱长为2，M，N，Q分别是线段上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为 .【答案】【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由题意得：点为的中点，点为中点，点与重合，其俯视图为三角形，如图所示，。故答案为：。【分析】由题意得点为的中点，点为中点，点与重合，所以其俯视图为三角形，再利用三角形的面积公式得出三棱锥俯视图的面积。8．某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是 .【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有种分法，故概率为。故答案为：。【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而得出每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率。9．已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y=±2x【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，因为AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，则，所以，因为所以，因为三角形ABF的面积为，所以，得所以，得，所以，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为。故答案为：y=±2x。【分析】以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，再利用AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，再利用双曲线的定义得出，再利用结合勾股定理得出，再利用三角形ABF的面积为结合三角形的面积公式得出，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b的关系式，进而变形结合双曲线的渐近线方程求解方法，进而得出双曲线的渐近线方程。10．已知数列中，，则下列说法正确的序号是 .①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.【答案】②【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性【解析】【解答】由，得对于函数，，设，则，当，即时，函数取得最大值，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以数列中，当时，数列递增，且，当时，数列递减，此时有，所以数列的最大项是，最小项为。故答案为：②。【分析】由得出，对于函数，，设，再利用二次函数求最值的方法，得出函数的最大值，再利用单调函数的定义判断出函数的单调性，进而判断出数列的单调性，从而求出数列的最大项和最小项，进而找出说法正确的序号。11．已知方程，以下说法正确的是 .（1）此方程中，的取值范围都是；（2）此方程所对应图像关于对称；（3），对，存在，使.【答案】（2），（3）【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；图形的对称性【解析】【解答】（1）由题意，根据对数的定义且，即由于，同理，由于，故此方程中，的取值范围都是，即说法错误；（2）若满足方程，即则代入为，也满足方程故方程所对应图像关于对称，说法正确；（3）由（1）可得方程可转化为 又，由反比例函数的性质可知在单调递减若，当，有故取即满足条件即，对，存在，使，说法正确故答案为：（2），（3）【分析】利用对数型函数的定义域求解方法得出方程中，的取值范围；利用已知条件结合方程对应的函数图象的对称性，得出方程所对应图像关于对称；再利用特称命题与全称命题真假性判断方法得出，对，存在，使，进而找出说法正确的选项。12．已知平面向量，，满足，，则对任意的，的最小值记为M，则M的最大值为 .【答案】【知识点】圆方程的综合应用【解析】【解答】由平面向量，，满足，则与的夹角为，设，，，，由，得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；由题得距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，得的最大值为。故答案为：。【分析】由平面向量，，满足，得出与的夹角，设，，，，由结合向量的坐标运算，化简得，再利用圆的定义，得出它表示以点，为圆心，以为半径的圆，再利用向量的模的坐标表示结合两点距离公式得出表示圆上的点到点的距离，即点到直线的距离，由题意得出距离的最小值为，由圆心，到直线的距离公式得出圆心，到直线的距离，进而得出的最大值。二、单选题13．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0,1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”为“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0,1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.14．在中，，，设，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】在三角形中，，，可得，因为，所以，所以。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出，再利用得出的值，进而得出的值。15．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）A．为递增数列B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】C【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】由，知，即，设等差数列的首项，公差，，解得，对于A，由，知为递减数列，故错误；对于B，由，知当或时，有最大值，B不符合题意；对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，C符合题意；对于D，由等差数列求通项公式知，解得，D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，得出等差数列的首项和公差，再利用单调函数的定义结合等差数列的公差，进而判断出数列为递减数列；再利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法得出当或时，有最大值；再利用等差数列前n项和公式结合一元二次不等式求解集的方法得出不等式的解集；再利用等差数列的通项公式结合一元一次不等式求解集的方法得出不等式的解集，进而找出说法正确的选项。16．已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（ ）A．2B．3C．4D．6【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；正弦函数的图象；函数的零点【解析】【解答】因为是奇函数，所以，又因为函数的周期为2，所以，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），观察图象可知和的图象在上有五个交点，而函数在区间（且）上有至少有5个零点，所以，所以的最小值为2.故答案为：A.【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.三、解答题17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为.（2）解：当时，，因为函数在直线左侧的第一个最小值点为，故，即，解得.因此，实数的最大值为.【知识点】函数的最值及其几何意义；三角函数的周期性及其求法【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数的最小正周期.(2)利用已知条件结合正弦型函数求最值的方法，进而得出m的取值范围，从而得出实数m的最大值。18．已知数列为等比数列，数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列､的通项公式及；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）解：对，则，因为为等比数列，则为定值.则为定值，则数列为等差数列.，则，，，；（2）解：，设，为数列的前项和，则有：(*)式(**)式，得：，.当时，；当时，，即【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和等比数列的定义，则为定值，进而得出为定值，再利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列､的通项公式，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式得出数列､的前n项和。（2）由（1）得出数列的通项公式，再结合分类讨论的方法和错位相减的方法以及作差法，进而得出数列的前项和。19．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，，所以CD⊥平面PAD.（2）解：过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，平面，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，所以，，，，所以，.设平面AEF的法向量为，则即，令，则，，故，又平面PAD的法向量为，所以，∴二面角平面角余弦值为.（3）解：直线AG不在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且，故，所以，.由（2）知，平面AEF的法向量，所以，所以直线AG不在平面AEF内.【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥CD，再利用AD⊥CD结合线线垂直证出线面垂直，从而证出CD⊥平面PAD。（2）过A作AD的垂线交BC于点M，利用PA⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角F–AE–P的余弦值。（3）判断出直线AG不在平面AEF内，理由为点G在PB上，且，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示以及三角形法则和向量的坐标运算，进而得出的坐标，由（2）知，平面AEF的法向量，再利用数量积的坐标表示得出，进而得出直线AG不在平面AEF内。20．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，且，求的面积；（3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.【答案】（1）解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为.（2）解：设点、，易知、，，，由可得，解得，即点，因为点在椭圆上，则，可得，因此，.（3）解：设、，设直线的方程为，其中，则，联立，可得，， 由韦达定理可得，，，直线的方程为，，直线的方程为，可得，解得，即点，因此，.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆过点结合代入法得出a，b的关系式，再利用焦距与长轴之比为结合焦距的定义和长轴长的定义，从而得出a，c的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程。（2）设点、，易知A，B的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量，的坐标，由结合向量共线的坐标表示得出点M的坐标，再利用点在椭圆上结合代入法得出的值，再结合三角形的面积公式和三角形面积的关系式，得出三角形的面积。（3）设、，设直线的方程为，其中，再利用代入法得出点D的坐标，则，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，，再利用两点求斜率公式得出直线NA的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，再利用两点求斜率公式得出直线MB的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，进而得出，从而得出t的值，进而得出点P的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值。21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，化简整理，得，解得，所以存在满足所以函数是“M类函数”；（2）解：当时，可化为，令，则，所以方程在有解可保证是“类函数”，即在)有解可保证是“类函数”，设在为单调递增函数，所以当时，取得最小值为即，解得.所以实数的取值范围为；（3）解：由在上恒成立，转化为在上恒成立，即所以. 因为为其定义域上的“类函数”，所以存在实数使得，当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递增函数，，即，解得；当时，，此时，不成立；当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递减函数，，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合“类函数”的定义，进而判断出函数是“类函数”。（2）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，进而得出实数m的取值范围。（3）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
简介：上海市2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知集合，，则 .【答案】{-1，0，1，2}【知识点】并集及其运算【解析】【解答】，因此，。故答案为：{-1，0，1，2}。【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，进而求出集合A，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。2．已知，且，那么 【答案】【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】因为即，又，联立求解得：因为，>0，故，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合和同角三角函数基本关系式，得出角的正弦值。3．若复数z满足，则z对应的点位于第 象限.【答案】二【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得所以复数z对应复平面的点为，所以z对应的点位于第二象限。故答案为：二。【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数对应的点所在的象限。4．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 .【答案】不存在【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由已知可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.故答案为：不存在.【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题求解方法以及均值不等式求最值的方法，进而得出实数m的最大值不存在。5．的展开式共有11项，则常数项为 .【答案】【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意得：，则展开式通项公式，令，解得：，则。故答案为：。【分析】利用的展开式共有11项，得出n的值，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出展开式中的常数项。 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为，．若，则的值是 ．【答案】【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】依据题意得知，，，，。故答案为：。【分析】利用已知条件结合三角函数的定义，从而得出角的正弦值和余弦值以及角的正弦值和余弦值，再结合两角差的余弦公式得出的值。7．如图1，已知正方体的棱长为2，M，N，Q分别是线段上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为 .【答案】【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由题意得：点为的中点，点为中点，点与重合，其俯视图为三角形，如图所示，。故答案为：。【分析】由题意得点为的中点，点为中点，点与重合，所以其俯视图为三角形，再利用三角形的面积公式得出三棱锥俯视图的面积。8．某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是 .【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有种分法，故概率为。故答案为：。【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式，进而得出每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率。9．已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y=±2x【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，因为AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，则，所以，因为所以，因为三角形ABF的面积为，所以，得所以，得，所以，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为。故答案为：y=±2x。【分析】以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，再利用AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以，设，再利用双曲线的定义得出，再利用结合勾股定理得出，再利用三角形ABF的面积为结合三角形的面积公式得出，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b的关系式，进而变形结合双曲线的渐近线方程求解方法，进而得出双曲线的渐近线方程。10．已知数列中，，则下列说法正确的序号是 .①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.【答案】②【知识点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性【解析】【解答】由，得对于函数，，设，则，当，即时，函数取得最大值，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以数列中，当时，数列递增，且，当时，数列递减，此时有，所以数列的最大项是，最小项为。故答案为：②。【分析】由得出，对于函数，，设，再利用二次函数求最值的方法，得出函数的最大值，再利用单调函数的定义判断出函数的单调性，进而判断出数列的单调性，从而求出数列的最大项和最小项，进而找出说法正确的序号。11．已知方程，以下说法正确的是 .（1）此方程中，的取值范围都是；（2）此方程所对应图像关于对称；（3），对，存在，使.【答案】（2），（3）【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；图形的对称性【解析】【解答】（1）由题意，根据对数的定义且，即由于，同理，由于，故此方程中，的取值范围都是，即说法错误；（2）若满足方程，即则代入为，也满足方程故方程所对应图像关于对称，说法正确；（3）由（1）可得方程可转化为 又，由反比例函数的性质可知在单调递减若，当，有故取即满足条件即，对，存在，使，说法正确故答案为：（2），（3）【分析】利用对数型函数的定义域求解方法得出方程中，的取值范围；利用已知条件结合方程对应的函数图象的对称性，得出方程所对应图像关于对称；再利用特称命题与全称命题真假性判断方法得出，对，存在，使，进而找出说法正确的选项。12．已知平面向量，，满足，，则对任意的，的最小值记为M，则M的最大值为 .【答案】【知识点】圆方程的综合应用【解析】【解答】由平面向量，，满足，则与的夹角为，设，，，，由，得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；由题得距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，得的最大值为。故答案为：。【分析】由平面向量，，满足，得出与的夹角，设，，，，由结合向量的坐标运算，化简得，再利用圆的定义，得出它表示以点，为圆心，以为半径的圆，再利用向量的模的坐标表示结合两点距离公式得出表示圆上的点到点的距离，即点到直线的距离，由题意得出距离的最小值为，由圆心，到直线的距离公式得出圆心，到直线的距离，进而得出的最大值。二、单选题13．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0,1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”为“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0,1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0,1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.14．在中，，，设，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】在三角形中，，，可得，因为，所以，所以。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和平面向量基本定理，得出，再利用得出的值，进而得出的值。15．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）A．为递增数列B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】C【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】由，知，即，设等差数列的首项，公差，，解得，对于A，由，知为递减数列，故错误；对于B，由，知当或时，有最大值，B不符合题意；对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，C符合题意；对于D，由等差数列求通项公式知，解得，D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，得出等差数列的首项和公差，再利用单调函数的定义结合等差数列的公差，进而判断出数列为递减数列；再利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法得出当或时，有最大值；再利用等差数列前n项和公式结合一元二次不等式求解集的方法得出不等式的解集；再利用等差数列的通项公式结合一元一次不等式求解集的方法得出不等式的解集，进而找出说法正确的选项。16．已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（ ）A．2B．3C．4D．6【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；正弦函数的图象；函数的零点【解析】【解答】因为是奇函数，所以，又因为函数的周期为2，所以，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），观察图象可知和的图象在上有五个交点，而函数在区间（且）上有至少有5个零点，所以，所以的最小值为2.故答案为：A.【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.三、解答题17．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为.（2）解：当时，，因为函数在直线左侧的第一个最小值点为，故，即，解得.因此，实数的最大值为.【知识点】函数的最值及其几何意义；三角函数的周期性及其求法【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数的最小正周期.(2)利用已知条件结合正弦型函数求最值的方法，进而得出m的取值范围，从而得出实数m的最大值。18．已知数列为等比数列，数列满足，且.设为数列的前项和.（1）求数列､的通项公式及；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）解：对，则，因为为等比数列，则为定值.则为定值，则数列为等差数列.，则，，，；（2）解：，设，为数列的前项和，则有：(*)式(**)式，得：，.当时，；当时，，即【知识点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和等比数列的定义，则为定值，进而得出为定值，再利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列､的通项公式，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式得出数列､的前n项和。（2）由（1）得出数列的通项公式，再结合分类讨论的方法和错位相减的方法以及作差法，进而得出数列的前项和。19．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，，所以CD⊥平面PAD.（2）解：过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，平面，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，所以，，，，所以，.设平面AEF的法向量为，则即，令，则，，故，又平面PAD的法向量为，所以，∴二面角平面角余弦值为.（3）解：直线AG不在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且，故，所以，.由（2）知，平面AEF的法向量，所以，所以直线AG不在平面AEF内.【知识点】直线与平面垂直的判定；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥CD，再利用AD⊥CD结合线线垂直证出线面垂直，从而证出CD⊥平面PAD。（2）过A作AD的垂线交BC于点M，利用PA⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角F–AE–P的余弦值。（3）判断出直线AG不在平面AEF内，理由为点G在PB上，且，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示以及三角形法则和向量的坐标运算，进而得出的坐标，由（2）知，平面AEF的法向量，再利用数量积的坐标表示得出，进而得出直线AG不在平面AEF内。20．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，且，求的面积；（3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值.【答案】（1）解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为.（2）解：设点、，易知、，，，由可得，解得，即点，因为点在椭圆上，则，可得，因此，.（3）解：设、，设直线的方程为，其中，则，联立，可得，， 由韦达定理可得，，，直线的方程为，，直线的方程为，可得，解得，即点，因此，.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆过点结合代入法得出a，b的关系式，再利用焦距与长轴之比为结合焦距的定义和长轴长的定义，从而得出a，c的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程。（2）设点、，易知A，B的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量，的坐标，由结合向量共线的坐标表示得出点M的坐标，再利用点在椭圆上结合代入法得出的值，再结合三角形的面积公式和三角形面积的关系式，得出三角形的面积。（3）设、，设直线的方程为，其中，再利用代入法得出点D的坐标，则，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，，再利用两点求斜率公式得出直线NA的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，再利用两点求斜率公式得出直线MB的斜率，再结合斜截式求出直线的方程，进而得出，从而得出t的值，进而得出点P的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值。21．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；（2）设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.【答案】（1）解：由题意，函数在定义域内存在实数，满足，可得，即，化简整理，得，解得，所以存在满足所以函数是“M类函数”；（2）解：当时，可化为，令，则，所以方程在有解可保证是“类函数”，即在)有解可保证是“类函数”，设在为单调递增函数，所以当时，取得最小值为即，解得.所以实数的取值范围为；（3）解：由在上恒成立，转化为在上恒成立，即所以. 因为为其定义域上的“类函数”，所以存在实数使得，当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递增函数，，即，解得；当时，，此时，不成立；当时，则，所以，所以，即在)有解可保证是“类函数”设在为单调递减函数，，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合“类函数”的定义，进而判断出函数是“类函数”。（2）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，进而得出实数m的取值范围。（3）利用已知条件结合“类函数”的定义，再结合函数的单调性求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
