上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷解析版
上海市2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知集合，，则 .【答案】{-1，0，1，2}【知识点】并集及其运算【解析】【解答】，因此，。故答案为：{-1，0，1，2}。【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关
上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ） A．B．C．D．14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．10016．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设． （1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．答案解析部分1．【答案】2．【答案】（1，2）3．【答案】-204．【答案】π5．【答案】36．【答案】47．【答案】38．【答案】2 9．【答案】b≤-110．【答案】11．【答案】1或12．【答案】13．【答案】D14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C17．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以， 即，所以直线与平面所成的角的大小.18．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，，因此，.19．【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中， ，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.20．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以 当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.21．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即. 此时有：.必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ） A．B．C．D．14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．10016．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设． （1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．答案解析部分1．【答案】2．【答案】（1，2）3．【答案】-204．【答案】π5．【答案】36．【答案】47．【答案】38．【答案】2 9．【答案】b≤-110．【答案】11．【答案】1或12．【答案】13．【答案】D14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C17．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以， 即，所以直线与平面所成的角的大小.18．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，，因此，.19．【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中， ，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.20．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以 当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.21．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即. 此时有：.必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ） A．B．C．D．14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．10016．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设． （1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．答案解析部分1．【答案】2．【答案】（1，2）3．【答案】-204．【答案】π5．【答案】36．【答案】47．【答案】38．【答案】2 9．【答案】b≤-110．【答案】11．【答案】1或12．【答案】13．【答案】D14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C17．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以， 即，所以直线与平面所成的角的大小.18．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，，因此，.19．【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中， ，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.20．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以 当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.21．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即. 此时有：.必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ） A．B．C．D．14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．10016．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设． （1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．答案解析部分1．【答案】2．【答案】（1，2）3．【答案】-204．【答案】π5．【答案】36．【答案】47．【答案】38．【答案】2 9．【答案】b≤-110．【答案】11．【答案】1或12．【答案】13．【答案】D14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C17．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以， 即，所以直线与平面所成的角的大小.18．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，，因此，.19．【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中， ，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.20．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以 当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.21．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即. 此时有：.必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ） A．B．C．D．14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．10016．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设． （1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．答案解析部分1．【答案】2．【答案】（1，2）3．【答案】-204．【答案】π5．【答案】36．【答案】47．【答案】38．【答案】2 9．【答案】b≤-110．【答案】11．【答案】1或12．【答案】13．【答案】D14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C17．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以， 即，所以直线与平面所成的角的大小.18．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，，因此，.19．【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中， ，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.20．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以 当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.21．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即. 此时有：.必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ） A．B．C．D．14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．10016．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设． （1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．答案解析部分1．【答案】2．【答案】（1，2）3．【答案】-204．【答案】π5．【答案】36．【答案】47．【答案】38．【答案】2 9．【答案】b≤-110．【答案】11．【答案】1或12．【答案】13．【答案】D14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C17．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以， 即，所以直线与平面所成的角的大小.18．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，当时，，因此，.19．【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中， ，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.20．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以 当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.21．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即. 此时有：.必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.
