上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷解析版
上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .2．不等式的解集为 .3．在的二项展开式中，项的系数为 ．4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．5．圆的圆心到直线：的距离 6．若关于的实系数一元二次
上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为，∴，∴，∴解集为.故答案为：（1，2）．【分析】由分式不等式直接求解即可。3．在的二项展开式中，项的系数为 ．【答案】-20【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为：令，解得，则所以项的系数为-20故答案为：-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为，则由题意得，球的体积，解得；又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为：π.【分析】易知球的左视图为圆，即可求解。5．圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解：因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：4【分析】由韦达定理即可求解。7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.【分析】由两直线平行的等价条件可得，即可求解。8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．【答案】2【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：2.【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明；反函数【解析】【解答】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，若存在反函数，则为单调函数，，所以为定义在上的单调递减函数，所以，所以b≤-1.故答案为：b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得，由存在反函数，可知此函数为单调函数，进而可求解。10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为：.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数，再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数，两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况，再由古典概型概率计算公式即可求解。11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由，得，即， ，在中，已知，，，所以，即，解得或所以实数的值为1或.故答案为：1或.【分析】由已知条件可得，，代入，化简可得，即可求解。12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：【分析】由时，，结合，可求时解析式，再求和时解析式，即可得按规律得到当，，进而得到，进而可解决问题。二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】参数方程的概念；参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.，排除；B.，排除；C.，排除；故答案为：D【分析】逐项消参验证即可。14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立； 必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为：B.【分析】取，，即可确定充分性不成立，再由正弦函数的性质，可知若在上的值域为，则，即可说明必要性成立。15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；则平均数；方差，即；对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故答案为：A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；由平均数为82，方差为0.82可得，逐项验证选项即可。16．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此AB不正确；C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；D：因为，，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故答案为：C 【分析】由收敛数列的定义，逐项验证即可。三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即，所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）由圆柱的表面积为．可得，进而可求得AP，BP，再由即可求解。（2）先证得平面平面，再过点作，垂足为，如图所示，易得为直线与平面所成的角，求得PB，再在直角中，可得AP，再求得，即可求解。18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，.【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）由a=2，可得，分段确定单调区间即可；（2）由可得问题转换成不等式对任意的恒成立，由，令构造，通过对勾函数确定单调性，即可求解。19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．（1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中，，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得AE，在中，由正弦定理即可得AF；(2)由（1）可得，进而由求得取得最小值，此时小老虎活动区面积取得最大值，由即可求解。20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即 所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由对称性得，进而得到，，代入，即可求解；（2）设，，由可得，和，两式联立可得，进而由对勾函数可解决问题；（3）在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则可得的方程为，由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理，令y=0，化简可得x，即可解决问题。21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即.此时有：. 必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列递推式；数列与不等式的综合；反证法【解析】【分析】（1）由通项公式可得.代入即可求解；（2）先证充分性：若数列的前n项单调不增，即，易得；再证必要性，利用反证法，若数列不满足，则存在k()，使得，那么由绝对值三角不等式可得，这与矛盾，即可求证；（3）由已知条件可得，通过累加可得：即可求解。
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为，∴，∴，∴解集为.故答案为：（1，2）．【分析】由分式不等式直接求解即可。3．在的二项展开式中，项的系数为 ．【答案】-20【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为：令，解得，则所以项的系数为-20故答案为：-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为，则由题意得，球的体积，解得；又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为：π.【分析】易知球的左视图为圆，即可求解。5．圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解：因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：4【分析】由韦达定理即可求解。7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.【分析】由两直线平行的等价条件可得，即可求解。8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．【答案】2【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：2.【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明；反函数【解析】【解答】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，若存在反函数，则为单调函数，，所以为定义在上的单调递减函数，所以，所以b≤-1.故答案为：b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得，由存在反函数，可知此函数为单调函数，进而可求解。10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为：.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数，再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数，两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况，再由古典概型概率计算公式即可求解。11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由，得，即， ，在中，已知，，，所以，即，解得或所以实数的值为1或.故答案为：1或.【分析】由已知条件可得，，代入，化简可得，即可求解。12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：【分析】由时，，结合，可求时解析式，再求和时解析式，即可得按规律得到当，，进而得到，进而可解决问题。二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】参数方程的概念；参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.，排除；B.，排除；C.，排除；故答案为：D【分析】逐项消参验证即可。14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立； 必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为：B.【分析】取，，即可确定充分性不成立，再由正弦函数的性质，可知若在上的值域为，则，即可说明必要性成立。15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；则平均数；方差，即；对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故答案为：A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；由平均数为82，方差为0.82可得，逐项验证选项即可。16．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此AB不正确；C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；D：因为，，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故答案为：C 【分析】由收敛数列的定义，逐项验证即可。三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即，所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）由圆柱的表面积为．可得，进而可求得AP，BP，再由即可求解。（2）先证得平面平面，再过点作，垂足为，如图所示，易得为直线与平面所成的角，求得PB，再在直角中，可得AP，再求得，即可求解。18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，.【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）由a=2，可得，分段确定单调区间即可；（2）由可得问题转换成不等式对任意的恒成立，由，令构造，通过对勾函数确定单调性，即可求解。19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．（1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中，，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得AE，在中，由正弦定理即可得AF；(2)由（1）可得，进而由求得取得最小值，此时小老虎活动区面积取得最大值，由即可求解。20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即 所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由对称性得，进而得到，，代入，即可求解；（2）设，，由可得，和，两式联立可得，进而由对勾函数可解决问题；（3）在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则可得的方程为，由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理，令y=0，化简可得x，即可解决问题。21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即.此时有：. 必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列递推式；数列与不等式的综合；反证法【解析】【分析】（1）由通项公式可得.代入即可求解；（2）先证充分性：若数列的前n项单调不增，即，易得；再证必要性，利用反证法，若数列不满足，则存在k()，使得，那么由绝对值三角不等式可得，这与矛盾，即可求证；（3）由已知条件可得，通过累加可得：即可求解。
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为，∴，∴，∴解集为.故答案为：（1，2）．【分析】由分式不等式直接求解即可。3．在的二项展开式中，项的系数为 ．【答案】-20【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为：令，解得，则所以项的系数为-20故答案为：-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为，则由题意得，球的体积，解得；又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为：π.【分析】易知球的左视图为圆，即可求解。5．圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解：因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：4【分析】由韦达定理即可求解。7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.【分析】由两直线平行的等价条件可得，即可求解。8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．【答案】2【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：2.【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明；反函数【解析】【解答】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，若存在反函数，则为单调函数，，所以为定义在上的单调递减函数，所以，所以b≤-1.故答案为：b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得，由存在反函数，可知此函数为单调函数，进而可求解。10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为：.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数，再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数，两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况，再由古典概型概率计算公式即可求解。11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由，得，即， ，在中，已知，，，所以，即，解得或所以实数的值为1或.故答案为：1或.【分析】由已知条件可得，，代入，化简可得，即可求解。12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：【分析】由时，，结合，可求时解析式，再求和时解析式，即可得按规律得到当，，进而得到，进而可解决问题。二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】参数方程的概念；参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.，排除；B.，排除；C.，排除；故答案为：D【分析】逐项消参验证即可。14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立； 必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为：B.【分析】取，，即可确定充分性不成立，再由正弦函数的性质，可知若在上的值域为，则，即可说明必要性成立。15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；则平均数；方差，即；对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故答案为：A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；由平均数为82，方差为0.82可得，逐项验证选项即可。16．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此AB不正确；C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；D：因为，，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故答案为：C 【分析】由收敛数列的定义，逐项验证即可。三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即，所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）由圆柱的表面积为．可得，进而可求得AP，BP，再由即可求解。（2）先证得平面平面，再过点作，垂足为，如图所示，易得为直线与平面所成的角，求得PB，再在直角中，可得AP，再求得，即可求解。18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，.【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）由a=2，可得，分段确定单调区间即可；（2）由可得问题转换成不等式对任意的恒成立，由，令构造，通过对勾函数确定单调性，即可求解。19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．（1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中，，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得AE，在中，由正弦定理即可得AF；(2)由（1）可得，进而由求得取得最小值，此时小老虎活动区面积取得最大值，由即可求解。20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即 所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由对称性得，进而得到，，代入，即可求解；（2）设，，由可得，和，两式联立可得，进而由对勾函数可解决问题；（3）在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则可得的方程为，由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理，令y=0，化简可得x，即可解决问题。21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即.此时有：. 必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列递推式；数列与不等式的综合；反证法【解析】【分析】（1）由通项公式可得.代入即可求解；（2）先证充分性：若数列的前n项单调不增，即，易得；再证必要性，利用反证法，若数列不满足，则存在k()，使得，那么由绝对值三角不等式可得，这与矛盾，即可求证；（3）由已知条件可得，通过累加可得：即可求解。
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为，∴，∴，∴解集为.故答案为：（1，2）．【分析】由分式不等式直接求解即可。3．在的二项展开式中，项的系数为 ．【答案】-20【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为：令，解得，则所以项的系数为-20故答案为：-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为，则由题意得，球的体积，解得；又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为：π.【分析】易知球的左视图为圆，即可求解。5．圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解：因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：4【分析】由韦达定理即可求解。7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.【分析】由两直线平行的等价条件可得，即可求解。8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．【答案】2【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：2.【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明；反函数【解析】【解答】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，若存在反函数，则为单调函数，，所以为定义在上的单调递减函数，所以，所以b≤-1.故答案为：b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得，由存在反函数，可知此函数为单调函数，进而可求解。10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为：.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数，再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数，两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况，再由古典概型概率计算公式即可求解。11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由，得，即， ，在中，已知，，，所以，即，解得或所以实数的值为1或.故答案为：1或.【分析】由已知条件可得，，代入，化简可得，即可求解。12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：【分析】由时，，结合，可求时解析式，再求和时解析式，即可得按规律得到当，，进而得到，进而可解决问题。二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】参数方程的概念；参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.，排除；B.，排除；C.，排除；故答案为：D【分析】逐项消参验证即可。14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立； 必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为：B.【分析】取，，即可确定充分性不成立，再由正弦函数的性质，可知若在上的值域为，则，即可说明必要性成立。15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；则平均数；方差，即；对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故答案为：A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；由平均数为82，方差为0.82可得，逐项验证选项即可。16．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此AB不正确；C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；D：因为，，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故答案为：C 【分析】由收敛数列的定义，逐项验证即可。三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即，所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）由圆柱的表面积为．可得，进而可求得AP，BP，再由即可求解。（2）先证得平面平面，再过点作，垂足为，如图所示，易得为直线与平面所成的角，求得PB，再在直角中，可得AP，再求得，即可求解。18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，.【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）由a=2，可得，分段确定单调区间即可；（2）由可得问题转换成不等式对任意的恒成立，由，令构造，通过对勾函数确定单调性，即可求解。19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．（1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中，，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得AE，在中，由正弦定理即可得AF；(2)由（1）可得，进而由求得取得最小值，此时小老虎活动区面积取得最大值，由即可求解。20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即 所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由对称性得，进而得到，，代入，即可求解；（2）设，，由可得，和，两式联立可得，进而由对勾函数可解决问题；（3）在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则可得的方程为，由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理，令y=0，化简可得x，即可解决问题。21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即.此时有：. 必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列递推式；数列与不等式的综合；反证法【解析】【分析】（1）由通项公式可得.代入即可求解；（2）先证充分性：若数列的前n项单调不增，即，易得；再证必要性，利用反证法，若数列不满足，则存在k()，使得，那么由绝对值三角不等式可得，这与矛盾，即可求证；（3）由已知条件可得，通过累加可得：即可求解。
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为，∴，∴，∴解集为.故答案为：（1，2）．【分析】由分式不等式直接求解即可。3．在的二项展开式中，项的系数为 ．【答案】-20【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为：令，解得，则所以项的系数为-20故答案为：-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为，则由题意得，球的体积，解得；又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为：π.【分析】易知球的左视图为圆，即可求解。5．圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解：因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：4【分析】由韦达定理即可求解。7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.【分析】由两直线平行的等价条件可得，即可求解。8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．【答案】2【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：2.【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明；反函数【解析】【解答】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，若存在反函数，则为单调函数，，所以为定义在上的单调递减函数，所以，所以b≤-1.故答案为：b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得，由存在反函数，可知此函数为单调函数，进而可求解。10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为：.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数，再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数，两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况，再由古典概型概率计算公式即可求解。11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由，得，即， ，在中，已知，，，所以，即，解得或所以实数的值为1或.故答案为：1或.【分析】由已知条件可得，，代入，化简可得，即可求解。12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：【分析】由时，，结合，可求时解析式，再求和时解析式，即可得按规律得到当，，进而得到，进而可解决问题。二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】参数方程的概念；参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.，排除；B.，排除；C.，排除；故答案为：D【分析】逐项消参验证即可。14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立； 必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为：B.【分析】取，，即可确定充分性不成立，再由正弦函数的性质，可知若在上的值域为，则，即可说明必要性成立。15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；则平均数；方差，即；对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故答案为：A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；由平均数为82，方差为0.82可得，逐项验证选项即可。16．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此AB不正确；C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；D：因为，，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故答案为：C 【分析】由收敛数列的定义，逐项验证即可。三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即，所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）由圆柱的表面积为．可得，进而可求得AP，BP，再由即可求解。（2）先证得平面平面，再过点作，垂足为，如图所示，易得为直线与平面所成的角，求得PB，再在直角中，可得AP，再求得，即可求解。18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，.【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）由a=2，可得，分段确定单调区间即可；（2）由可得问题转换成不等式对任意的恒成立，由，令构造，通过对勾函数确定单调性，即可求解。19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．（1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中，，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得AE，在中，由正弦定理即可得AF；(2)由（1）可得，进而由求得取得最小值，此时小老虎活动区面积取得最大值，由即可求解。20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即 所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由对称性得，进而得到，，代入，即可求解；（2）设，，由可得，和，两式联立可得，进而由对勾函数可解决问题；（3）在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则可得的方程为，由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理，令y=0，化简可得x，即可解决问题。21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即.此时有：. 必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列递推式；数列与不等式的综合；反证法【解析】【分析】（1）由通项公式可得.代入即可求解；（2）先证充分性：若数列的前n项单调不增，即，易得；再证必要性，利用反证法，若数列不满足，则存在k()，使得，那么由绝对值三角不等式可得，这与矛盾，即可求证；（3）由已知条件可得，通过累加可得：即可求解。
简介：上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．若，则 .【答案】【知识点】二倍角的正切公式【解析】【解答】.故答案为：.【分析】由正切二倍角公式即可求解。2．不等式的解集为 .【答案】（1，2）【知识点】其他不等式的解法【解析】【解答】因为，∴，∴，∴解集为.故答案为：（1，2）．【分析】由分式不等式直接求解即可。3．在的二项展开式中，项的系数为 ．【答案】-20【知识点】二项式定理；二项式定理的应用【解析】【解答】的二项展开式的通项公式为：令，解得，则所以项的系数为-20故答案为：-20【分析】由二项展开式通项公式即可求解。4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 ．【答案】π【知识点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积【解析】【解答】设球的半径为，则由题意得，球的体积，解得；又因为该球的左视图所表示图形为半径为的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积.故答案为：π.【分析】易知球的左视图为圆，即可求解。5．圆的圆心到直线：的距离 【答案】3【知识点】点到直线的距离公式【解析】【解答】因为圆心坐标为(1，2)，所以圆心到直线的距离为。【分析】利用圆的一般方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则 ．【答案】4【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解：因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：4【分析】由韦达定理即可求解。7．已知，若直线：与直线：平行，则 ．【答案】3 【知识点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得，故答案为：3.【分析】由两直线平行的等价条件可得，即可求解。8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是 ．【答案】2【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：2.【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是 ．【答案】b≤-1【知识点】函数单调性的判断与证明；反函数【解析】【解答】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，若存在反函数，则为单调函数，，所以为定义在上的单调递减函数，所以，所以b≤-1.故答案为：b≤-1.【分析】由奇函数的性质可得，由存在反函数，可知此函数为单调函数，进而可求解。10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列及排列数公式【解析】【解答】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.故答案为：.【分析】由乘法原理确定4人分配到4个学校的情况总数，再由排列数确定4人恰好分配到4个学校情况数，两数相减即可得4人中至少有2人选择到同一所学校的情况，再由古典概型概率计算公式即可求解。11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为 ．【答案】1或【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】由，得，即， ，在中，已知，，，所以，即，解得或所以实数的值为1或.故答案为：1或.【分析】由已知条件可得，，代入，化简可得，即可求解。12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是 ．【答案】【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【解析】【解答】当时，，因为定义在上的函数满足，，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，，令，则，，有，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有故答案为：【分析】由时，，结合，可求时解析式，再求和时解析式，即可得按规律得到当，，进而得到，进而可解决问题。二、单选题13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】参数方程的概念；参数方程化成普通方程【解析】【解答】A.，排除；B.，排除；C.，排除；故答案为：D【分析】逐项消参验证即可。14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立； 必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故答案为：B.【分析】取，，即可确定充分性不成立，再由正弦函数的性质，可知若在上的值域为，则，即可说明必要性成立。15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）A．60B．70C．80D．100【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；则平均数；方差，即；对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故答案为：A.【分析】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；由平均数为82，方差为0.82可得，逐项验证选项即可。16．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列【答案】C【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列递推式【解析】【解答】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此AB不正确；C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；D：因为，，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故答案为：C 【分析】由收敛数列的定义，逐项验证即可。三、解答题17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，可得，解得，在中，由且，可得，所以，在中，且，可得，所以三棱锥的体积.（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，如图所示，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又由，，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即，所以直线与平面所成的角的大小.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）由圆柱的表面积为．可得，进而可求得AP，BP，再由即可求解。（2）先证得平面平面，再过点作，垂足为，如图所示，易得为直线与平面所成的角，求得PB，再在直角中，可得AP，再求得，即可求解。18．已知为实数，函数，．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，，当时，，此时函数的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为.综上所述，当时，函数的增区间为和（2）解：当时，由可得，即，所以，，所以，，整理得对任意的恒成立，因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，只需考虑不等式对任意的恒成立，当时，，令，，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，.【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题【解析】【分析】（1）由a=2，可得，分段确定单调区间即可；（2）由可得问题转换成不等式对任意的恒成立，由，令构造，通过对勾函数确定单调性，即可求解。19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．（1）求、的长（用的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）解：由题意得，米，，则，又由，，，所以；在中，由正弦定理得：，即米；同理，在中，，即米；综上所述：米，米.（2）解：由（1）知，综米，米，所以小老虎休息区面积为：化简得：又，，则当，即时，取得最小值；此时小老虎活动区面积取得最大值，即平方米.综上所述：当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得AE，在中，由正弦定理即可得AF；(2)由（1）可得，进而由求得取得最小值，此时小老虎活动区面积取得最大值，由即可求解。20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则则，所以，即 所以曲线的方程为：（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设由，即，由，则所以当时，，此时不满足，即不满足.所以，由，则由，则设由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.此时当时，所以线段长的最小值为（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则由题意设直线的方程为由，可得所以直线的方程为令，得所以直线：恒过点所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由对称性得，进而得到，，代入，即可求解；（2）设，，由可得，和，两式联立可得，进而由对勾函数可解决问题；（3）在轴上存在一定点，使得、、三点共线.设则可得的方程为，由直线MN方程与椭圆方程联立结合韦达定理，令y=0，化简可得x，即可解决问题。21．对于数列，记．（1）若数列通项公式为：，求；（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；（3）已知，若，．求的最大值．【答案】（1）解：由通项公式得：.所以（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即.此时有：. 必要性：用反证法.若数列不满足，则存在k()，使得，那么由于，所以.与已知矛盾所以，假设不成立，必要性得证.综上所述：的充分必要条件是（3）解：由，令，则.所以所以.（因为）当且仅当时，取得最大值2021.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列递推式；数列与不等式的综合；反证法【解析】【分析】（1）由通项公式可得.代入即可求解；（2）先证充分性：若数列的前n项单调不增，即，易得；再证必要性，利用反证法，若数列不满足，则存在k()，使得，那么由绝对值三角不等式可得，这与矛盾，即可求证；（3）由已知条件可得，通过累加可得：即可求解。
