天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题解析版
上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷一、填空题1．已知，则= .【答案】【知识点】向量的模【解析】【解答】由，则，故答案为：【分析】根据向量的模长公式可得答案.2．函数的反函数为 .【答案】【知识点】反函数【解析】【解答】由解得，即，
天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】由题意，，则或，，故，故答案为：B【分析】求出集合，根据集合的交集运算，即可求得.2．
简介：天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．4．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（ ）A．4.8万B．6万C．6.8万D．12万5．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）A．B．C．D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A．B．C．D．7．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A．B．2C．D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）A．函数是奇函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递减区间是9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题10．若复数z满足，则z的虚部为 ．11．的展开式中的项系数为 ；12．一个三角形的三边长分别为3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为 ．13．若，，，，则的最小值为 ． 14．某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为 ；检测3台设备，则至少2台合格的概率为 ．15．在△ABC中，，，，则 ；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为 ．三、解答题16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．17．如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的值．19．已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．（1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小．20．设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（3）当时，若，求证：．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】311．【答案】-8012．【答案】13．【答案】14．【答案】0.1；0.97215．【答案】；16．【答案】（1）解：由余弦定理得，∴（2）解：由正弦定理，得，解得． ∵，∴A为锐角，∴，∴（3）解：由(2)可得，∵，∴17．【答案】（1）证明：以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由上得，，，设平面PBC的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面PBC，所以平面PBC．（2）解：由（1）知平面PBC的法向量为，因为，所以，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（3）解：显然，平面POC的法向量为，由（1）知平面PBC的法向量为，设平面POC与平面PBC的夹角为，则18．【答案】（1）解：由离心率，可得，又因为的周长是6，所以，所以，，故，所以椭圆的标准方程是（2）解：设点，点． 若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．由消去y得，．①由①的判别式，解得，．由，可得．将代入方程①，得，则，．所以19．【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为1的等差数列，因为的前5项和为15，所以，所以，解得，所以．设等比数列的公比为q，依题意，，又，可得，解得，所以（2）证明：由（1）得，所以，故（3）解：记，①②②-①得 ，，所以，当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以，综上，．20．【答案】（1）解：当时，，依题意，，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：由，得，两边取对数可得，，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根．令，，①当时，，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点． ②当时，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以．由，得，又取，，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，，因为在上单调递减，所以在有一个零点．所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点．（3）证明：当时，不等式即为．因为，的所以，故只需证明，即证明．令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，所以，若，则． 即当时，若，不等式成立．
简介：天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．4．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（ ）A．4.8万B．6万C．6.8万D．12万5．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）A．B．C．D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A．B．C．D．7．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A．B．2C．D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）A．函数是奇函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递减区间是9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题10．若复数z满足，则z的虚部为 ．11．的展开式中的项系数为 ；12．一个三角形的三边长分别为3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为 ．13．若，，，，则的最小值为 ． 14．某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为 ；检测3台设备，则至少2台合格的概率为 ．15．在△ABC中，，，，则 ；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为 ．三、解答题16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．17．如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的值．19．已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．（1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小．20．设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（3）当时，若，求证：．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】311．【答案】-8012．【答案】13．【答案】14．【答案】0.1；0.97215．【答案】；16．【答案】（1）解：由余弦定理得，∴（2）解：由正弦定理，得，解得． ∵，∴A为锐角，∴，∴（3）解：由(2)可得，∵，∴17．【答案】（1）证明：以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由上得，，，设平面PBC的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面PBC，所以平面PBC．（2）解：由（1）知平面PBC的法向量为，因为，所以，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（3）解：显然，平面POC的法向量为，由（1）知平面PBC的法向量为，设平面POC与平面PBC的夹角为，则18．【答案】（1）解：由离心率，可得，又因为的周长是6，所以，所以，，故，所以椭圆的标准方程是（2）解：设点，点． 若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．由消去y得，．①由①的判别式，解得，．由，可得．将代入方程①，得，则，．所以19．【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为1的等差数列，因为的前5项和为15，所以，所以，解得，所以．设等比数列的公比为q，依题意，，又，可得，解得，所以（2）证明：由（1）得，所以，故（3）解：记，①②②-①得 ，，所以，当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以，综上，．20．【答案】（1）解：当时，，依题意，，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：由，得，两边取对数可得，，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根．令，，①当时，，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点． ②当时，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以．由，得，又取，，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，，因为在上单调递减，所以在有一个零点．所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点．（3）证明：当时，不等式即为．因为，的所以，故只需证明，即证明．令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，所以，若，则． 即当时，若，不等式成立．
简介：天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．4．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（ ）A．4.8万B．6万C．6.8万D．12万5．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）A．B．C．D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A．B．C．D．7．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A．B．2C．D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）A．函数是奇函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递减区间是9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题10．若复数z满足，则z的虚部为 ．11．的展开式中的项系数为 ；12．一个三角形的三边长分别为3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为 ．13．若，，，，则的最小值为 ． 14．某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为 ；检测3台设备，则至少2台合格的概率为 ．15．在△ABC中，，，，则 ；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为 ．三、解答题16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．17．如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的值．19．已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．（1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小．20．设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（3）当时，若，求证：．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】311．【答案】-8012．【答案】13．【答案】14．【答案】0.1；0.97215．【答案】；16．【答案】（1）解：由余弦定理得，∴（2）解：由正弦定理，得，解得． ∵，∴A为锐角，∴，∴（3）解：由(2)可得，∵，∴17．【答案】（1）证明：以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由上得，，，设平面PBC的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面PBC，所以平面PBC．（2）解：由（1）知平面PBC的法向量为，因为，所以，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（3）解：显然，平面POC的法向量为，由（1）知平面PBC的法向量为，设平面POC与平面PBC的夹角为，则18．【答案】（1）解：由离心率，可得，又因为的周长是6，所以，所以，，故，所以椭圆的标准方程是（2）解：设点，点． 若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．由消去y得，．①由①的判别式，解得，．由，可得．将代入方程①，得，则，．所以19．【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为1的等差数列，因为的前5项和为15，所以，所以，解得，所以．设等比数列的公比为q，依题意，，又，可得，解得，所以（2）证明：由（1）得，所以，故（3）解：记，①②②-①得 ，，所以，当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以，综上，．20．【答案】（1）解：当时，，依题意，，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：由，得，两边取对数可得，，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根．令，，①当时，，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点． ②当时，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以．由，得，又取，，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，，因为在上单调递减，所以在有一个零点．所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点．（3）证明：当时，不等式即为．因为，的所以，故只需证明，即证明．令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，所以，若，则． 即当时，若，不等式成立．
简介：天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．4．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（ ）A．4.8万B．6万C．6.8万D．12万5．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）A．B．C．D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A．B．C．D．7．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A．B．2C．D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）A．函数是奇函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递减区间是9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题10．若复数z满足，则z的虚部为 ．11．的展开式中的项系数为 ；12．一个三角形的三边长分别为3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为 ．13．若，，，，则的最小值为 ． 14．某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为 ；检测3台设备，则至少2台合格的概率为 ．15．在△ABC中，，，，则 ；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为 ．三、解答题16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．17．如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的值．19．已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．（1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小．20．设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（3）当时，若，求证：．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】311．【答案】-8012．【答案】13．【答案】14．【答案】0.1；0.97215．【答案】；16．【答案】（1）解：由余弦定理得，∴（2）解：由正弦定理，得，解得． ∵，∴A为锐角，∴，∴（3）解：由(2)可得，∵，∴17．【答案】（1）证明：以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由上得，，，设平面PBC的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面PBC，所以平面PBC．（2）解：由（1）知平面PBC的法向量为，因为，所以，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（3）解：显然，平面POC的法向量为，由（1）知平面PBC的法向量为，设平面POC与平面PBC的夹角为，则18．【答案】（1）解：由离心率，可得，又因为的周长是6，所以，所以，，故，所以椭圆的标准方程是（2）解：设点，点． 若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．由消去y得，．①由①的判别式，解得，．由，可得．将代入方程①，得，则，．所以19．【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为1的等差数列，因为的前5项和为15，所以，所以，解得，所以．设等比数列的公比为q，依题意，，又，可得，解得，所以（2）证明：由（1）得，所以，故（3）解：记，①②②-①得 ，，所以，当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以，综上，．20．【答案】（1）解：当时，，依题意，，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：由，得，两边取对数可得，，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根．令，，①当时，，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点． ②当时，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以．由，得，又取，，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，，因为在上单调递减，所以在有一个零点．所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点．（3）证明：当时，不等式即为．因为，的所以，故只需证明，即证明．令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，所以，若，则． 即当时，若，不等式成立．
简介：天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．4．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（ ）A．4.8万B．6万C．6.8万D．12万5．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）A．B．C．D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A．B．C．D．7．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A．B．2C．D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）A．函数是奇函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递减区间是9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题10．若复数z满足，则z的虚部为 ．11．的展开式中的项系数为 ；12．一个三角形的三边长分别为3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为 ．13．若，，，，则的最小值为 ． 14．某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为 ；检测3台设备，则至少2台合格的概率为 ．15．在△ABC中，，，，则 ；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为 ．三、解答题16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．17．如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的值．19．已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．（1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小．20．设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（3）当时，若，求证：．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】311．【答案】-8012．【答案】13．【答案】14．【答案】0.1；0.97215．【答案】；16．【答案】（1）解：由余弦定理得，∴（2）解：由正弦定理，得，解得． ∵，∴A为锐角，∴，∴（3）解：由(2)可得，∵，∴17．【答案】（1）证明：以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由上得，，，设平面PBC的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面PBC，所以平面PBC．（2）解：由（1）知平面PBC的法向量为，因为，所以，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（3）解：显然，平面POC的法向量为，由（1）知平面PBC的法向量为，设平面POC与平面PBC的夹角为，则18．【答案】（1）解：由离心率，可得，又因为的周长是6，所以，所以，，故，所以椭圆的标准方程是（2）解：设点，点． 若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．由消去y得，．①由①的判别式，解得，．由，可得．将代入方程①，得，则，．所以19．【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为1的等差数列，因为的前5项和为15，所以，所以，解得，所以．设等比数列的公比为q，依题意，，又，可得，解得，所以（2）证明：由（1）得，所以，故（3）解：记，①②②-①得 ，，所以，当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以，综上，．20．【答案】（1）解：当时，，依题意，，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：由，得，两边取对数可得，，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根．令，，①当时，，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点． ②当时，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以．由，得，又取，，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，，因为在上单调递减，所以在有一个零点．所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点．（3）证明：当时，不等式即为．因为，的所以，故只需证明，即证明．令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，所以，若，则． 即当时，若，不等式成立．
简介：天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．4．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（ ）A．4.8万B．6万C．6.8万D．12万5．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）A．B．C．D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A．B．C．D．7．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A．B．2C．D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）A．函数是奇函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递减区间是9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题10．若复数z满足，则z的虚部为 ．11．的展开式中的项系数为 ；12．一个三角形的三边长分别为3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为 ．13．若，，，，则的最小值为 ． 14．某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为 ；检测3台设备，则至少2台合格的概率为 ．15．在△ABC中，，，，则 ；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为 ．三、解答题16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．17．如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的值．19．已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．（1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：；（3）比较和的大小．20．设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（3）当时，若，求证：．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】311．【答案】-8012．【答案】13．【答案】14．【答案】0.1；0.97215．【答案】；16．【答案】（1）解：由余弦定理得，∴（2）解：由正弦定理，得，解得． ∵，∴A为锐角，∴，∴（3）解：由(2)可得，∵，∴17．【答案】（1）证明：以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，由上得，，，设平面PBC的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面PBC，所以平面PBC．（2）解：由（1）知平面PBC的法向量为，因为，所以，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（3）解：显然，平面POC的法向量为，由（1）知平面PBC的法向量为，设平面POC与平面PBC的夹角为，则18．【答案】（1）解：由离心率，可得，又因为的周长是6，所以，所以，，故，所以椭圆的标准方程是（2）解：设点，点． 若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．由消去y得，．①由①的判别式，解得，．由，可得．将代入方程①，得，则，．所以19．【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为1的等差数列，因为的前5项和为15，所以，所以，解得，所以．设等比数列的公比为q，依题意，，又，可得，解得，所以（2）证明：由（1）得，所以，故（3）解：记，①②②-①得 ，，所以，当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以，综上，．20．【答案】（1）解：当时，，依题意，，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：由，得，两边取对数可得，，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根．令，，①当时，，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点． ②当时，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以．由，得，又取，，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，，因为在上单调递减，所以在有一个零点．所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点．（3）证明：当时，不等式即为．因为，的所以，故只需证明，即证明．令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，所以，若，则． 即当时，若，不等式成立．
