浙江省“数海漫游”2022届高三下学期数学第二次联考试卷及答案
天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．设集合.则（ ）A．B．C．D．2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）A．B．或
浙江省“数海漫游”2022届高三下学期数学第二次联考试卷一、单选题1．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2．设非零实数，使得曲线：是双曲线，则（ ）A．B．C．D．3．已知平面和直线有交点，则“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为
简介：天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．设集合.则（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，，所以，因此，所以，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为，所以，所以”是“”的充分不必要条件.故答案为：A．【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）A．B．或C．D．或【答案】C【知识点】圆的切线方程【解析】【解答】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故答案为：C【分析】把圆的一般方程化成标准方程判断出在圆上，根据圆上切点公式即可求出答案。4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）A．1B．C．D．【答案】D【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】是等比数列是等差数列故答案为：D【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得的值.5．设正实数，，分别满足，，则a，，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象【解析】【解答】解：， 解得或，，分别作出函数：，，的图象．由图可知故答案为：B【分析】分别画出，，的图象，根据，，可得b与a大小关系，由可得或，进而得出a，，c的大小关系.6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为-1B．的图像关于点对称C．在区间上单调递增D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到【答案】C【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案C．故答案为：C．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值，单调性，对称性以及平移关系逐项进行判断即可得答案.7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意可得，直线的斜率，设，联立得消去整理得，故答案为：D【分析】由题意可利用点斜式得出直线AC的方程，将其代入抛物线方程，设，，由根与系数的关系可得，，结合可得a，b的关系式，进而求得双曲线的离心率。8．已知，则的值为（ ）A．1B．0C．-1D．2【答案】C【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用【解析】【解答】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故答案为：C 【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出答案.9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点M在边CD所在直线上，则的最大值为（ ）A．B．-24C．D．-30【答案】A【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点E在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故答案为：A【分析】依题意，建立以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出E的坐标，求出边CD所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出的最大值。二、填空题10．设，则 .【答案】1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由复数的运算法则有：，则：.【分析】由复数的运算法则化简z，再根据复数的模的公式可得答案。11．在的二项展开式中，的项的系数是 .（用数字作答）【答案】70【知识点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理，的通项为，当时，即r=4时，可得.即项的系数为70.【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得项的系数.12．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为 .【答案】【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径，，底面ABCDEF，设外接球的半径为则解得故答案为：【分析】把六棱锥补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱锥的外接球，则外接球心O为直六棱柱的上下底面的中心的中点，再利用勾股定理即可求出外接球半径R，从而求出外接球O的体积.13．若，则的最小值为 .【答案】4【知识点】基本不等式【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4【分析】两次利用基本不等式的性质即可求出的最小值.14．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 .【答案】【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为，所以，记函数的周期为4.可化为：.若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点.作出和的图象如图示：（1）只需满足：，解得：；（2）只需满足：，解得：.综上所述：实数a的范围为.故答案为：.【分析】先判断出f(x)的周期为4，把问题转化为函数与在上有四个交点，在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数a的取值范围.15．①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为 ；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是 .【答案】28；16【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】把①的所有数据按从小到大的顺序排列可得：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，共有12个数据，所以，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数；把② 的所有数据按从小到大的顺序排列可得：1，5，9，12，13，19，21，23，28，36，共10个数据，所以，所以数据的第50百分位数是第5和第6个数的平均值为.故答案为：28；16【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的计算方法求解可得答案。三、解答题16．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故【知识点】解三角形【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.17．菱形ABCD中，平面，，，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在点使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：建立以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，，，，，.证明：，，设为平面EAB的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面EAB，所以直线平面EAB；（2）解：，，，设为平面BFC的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）解：设，则，则，，设为平面BDM的法向量，则，即， 可得，由，得，解得或（舍），所以.【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，由此利用向量法能证明直线平面；(2)求出平面BFC的法向量和平面FCA的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值；(3)求出平面BDM的法向量，利用向量法能求出存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为，并能求出的值。18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与y轴的交点，线段AP的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线AP的方程.【答案】（1）解：依题意知：，，，，，则，又，，椭圆的标准方程为.（2）解：由题意，设直线的斜率为，直线AP方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由离心率及数量积求出a，b，进而求出椭圆的标准方程；(2)设直线AP的方程与椭圆联立，由题意求出P的坐标，进而求出AP中点的坐标，求出AP中垂线的方程，由题意求出N的坐标，及直线MN的斜率，OP的斜率，再由斜率之积求出AP的斜率k的值，进而求出直线AP的方程.19．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为， 由已知，得，即，解得，所以；又数列的前项和为，满足，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，则，则，又也满足上式，所以，；（2）解：由（1）可得，，所以，令①则②，①②得，所以，因此；（3）解：由（1）可得数列前项和，数列的前项和；①当时，；②当，（i）当时，，（ii）当时，；时，也满足该式，所以；③当，；综上．【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】(1)由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得an；运用等差数列的定义和通项公式可得bn；(2)求得cn，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和；(3)数列前n项和，数列的前项和，讨论n=2k，n=4k-3，n=4k-1，计算可得新数列的前项和．20．已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.【答案】（1）解：所以定义域为 ；；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：等价于；，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得即，所以在上递减，在上递增，且；所以的最大整数解为.（3）解：，得，当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，，令，由，，即：，而要证，只需证，即证：即：由，只需证：，令，则令，则故在上递增，；故在上递增，；.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(3)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证.
简介：天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．设集合.则（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，，所以，因此，所以，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为，所以，所以”是“”的充分不必要条件.故答案为：A．【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）A．B．或C．D．或【答案】C【知识点】圆的切线方程【解析】【解答】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故答案为：C【分析】把圆的一般方程化成标准方程判断出在圆上，根据圆上切点公式即可求出答案。4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）A．1B．C．D．【答案】D【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】是等比数列是等差数列故答案为：D【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得的值.5．设正实数，，分别满足，，则a，，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象【解析】【解答】解：， 解得或，，分别作出函数：，，的图象．由图可知故答案为：B【分析】分别画出，，的图象，根据，，可得b与a大小关系，由可得或，进而得出a，，c的大小关系.6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为-1B．的图像关于点对称C．在区间上单调递增D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到【答案】C【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案C．故答案为：C．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值，单调性，对称性以及平移关系逐项进行判断即可得答案.7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意可得，直线的斜率，设，联立得消去整理得，故答案为：D【分析】由题意可利用点斜式得出直线AC的方程，将其代入抛物线方程，设，，由根与系数的关系可得，，结合可得a，b的关系式，进而求得双曲线的离心率。8．已知，则的值为（ ）A．1B．0C．-1D．2【答案】C【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用【解析】【解答】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故答案为：C 【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出答案.9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点M在边CD所在直线上，则的最大值为（ ）A．B．-24C．D．-30【答案】A【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点E在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故答案为：A【分析】依题意，建立以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出E的坐标，求出边CD所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出的最大值。二、填空题10．设，则 .【答案】1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由复数的运算法则有：，则：.【分析】由复数的运算法则化简z，再根据复数的模的公式可得答案。11．在的二项展开式中，的项的系数是 .（用数字作答）【答案】70【知识点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理，的通项为，当时，即r=4时，可得.即项的系数为70.【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得项的系数.12．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为 .【答案】【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径，，底面ABCDEF，设外接球的半径为则解得故答案为：【分析】把六棱锥补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱锥的外接球，则外接球心O为直六棱柱的上下底面的中心的中点，再利用勾股定理即可求出外接球半径R，从而求出外接球O的体积.13．若，则的最小值为 .【答案】4【知识点】基本不等式【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4【分析】两次利用基本不等式的性质即可求出的最小值.14．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 .【答案】【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为，所以，记函数的周期为4.可化为：.若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点.作出和的图象如图示：（1）只需满足：，解得：；（2）只需满足：，解得：.综上所述：实数a的范围为.故答案为：.【分析】先判断出f(x)的周期为4，把问题转化为函数与在上有四个交点，在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数a的取值范围.15．①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为 ；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是 .【答案】28；16【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】把①的所有数据按从小到大的顺序排列可得：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，共有12个数据，所以，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数；把② 的所有数据按从小到大的顺序排列可得：1，5，9，12，13，19，21，23，28，36，共10个数据，所以，所以数据的第50百分位数是第5和第6个数的平均值为.故答案为：28；16【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的计算方法求解可得答案。三、解答题16．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故【知识点】解三角形【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.17．菱形ABCD中，平面，，，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在点使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：建立以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，，，，，.证明：，，设为平面EAB的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面EAB，所以直线平面EAB；（2）解：，，，设为平面BFC的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）解：设，则，则，，设为平面BDM的法向量，则，即， 可得，由，得，解得或（舍），所以.【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，由此利用向量法能证明直线平面；(2)求出平面BFC的法向量和平面FCA的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值；(3)求出平面BDM的法向量，利用向量法能求出存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为，并能求出的值。18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与y轴的交点，线段AP的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线AP的方程.【答案】（1）解：依题意知：，，，，，则，又，，椭圆的标准方程为.（2）解：由题意，设直线的斜率为，直线AP方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由离心率及数量积求出a，b，进而求出椭圆的标准方程；(2)设直线AP的方程与椭圆联立，由题意求出P的坐标，进而求出AP中点的坐标，求出AP中垂线的方程，由题意求出N的坐标，及直线MN的斜率，OP的斜率，再由斜率之积求出AP的斜率k的值，进而求出直线AP的方程.19．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为， 由已知，得，即，解得，所以；又数列的前项和为，满足，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，则，则，又也满足上式，所以，；（2）解：由（1）可得，，所以，令①则②，①②得，所以，因此；（3）解：由（1）可得数列前项和，数列的前项和；①当时，；②当，（i）当时，，（ii）当时，；时，也满足该式，所以；③当，；综上．【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】(1)由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得an；运用等差数列的定义和通项公式可得bn；(2)求得cn，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和；(3)数列前n项和，数列的前项和，讨论n=2k，n=4k-3，n=4k-1，计算可得新数列的前项和．20．已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.【答案】（1）解：所以定义域为 ；；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：等价于；，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得即，所以在上递减，在上递增，且；所以的最大整数解为.（3）解：，得，当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，，令，由，，即：，而要证，只需证，即证：即：由，只需证：，令，则令，则故在上递增，；故在上递增，；.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(3)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证.
简介：天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．设集合.则（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，，所以，因此，所以，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为，所以，所以”是“”的充分不必要条件.故答案为：A．【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）A．B．或C．D．或【答案】C【知识点】圆的切线方程【解析】【解答】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故答案为：C【分析】把圆的一般方程化成标准方程判断出在圆上，根据圆上切点公式即可求出答案。4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）A．1B．C．D．【答案】D【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】是等比数列是等差数列故答案为：D【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得的值.5．设正实数，，分别满足，，则a，，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象【解析】【解答】解：， 解得或，，分别作出函数：，，的图象．由图可知故答案为：B【分析】分别画出，，的图象，根据，，可得b与a大小关系，由可得或，进而得出a，，c的大小关系.6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为-1B．的图像关于点对称C．在区间上单调递增D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到【答案】C【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案C．故答案为：C．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值，单调性，对称性以及平移关系逐项进行判断即可得答案.7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意可得，直线的斜率，设，联立得消去整理得，故答案为：D【分析】由题意可利用点斜式得出直线AC的方程，将其代入抛物线方程，设，，由根与系数的关系可得，，结合可得a，b的关系式，进而求得双曲线的离心率。8．已知，则的值为（ ）A．1B．0C．-1D．2【答案】C【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用【解析】【解答】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故答案为：C 【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出答案.9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点M在边CD所在直线上，则的最大值为（ ）A．B．-24C．D．-30【答案】A【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点E在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故答案为：A【分析】依题意，建立以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出E的坐标，求出边CD所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出的最大值。二、填空题10．设，则 .【答案】1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由复数的运算法则有：，则：.【分析】由复数的运算法则化简z，再根据复数的模的公式可得答案。11．在的二项展开式中，的项的系数是 .（用数字作答）【答案】70【知识点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理，的通项为，当时，即r=4时，可得.即项的系数为70.【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得项的系数.12．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为 .【答案】【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径，，底面ABCDEF，设外接球的半径为则解得故答案为：【分析】把六棱锥补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱锥的外接球，则外接球心O为直六棱柱的上下底面的中心的中点，再利用勾股定理即可求出外接球半径R，从而求出外接球O的体积.13．若，则的最小值为 .【答案】4【知识点】基本不等式【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4【分析】两次利用基本不等式的性质即可求出的最小值.14．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 .【答案】【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为，所以，记函数的周期为4.可化为：.若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点.作出和的图象如图示：（1）只需满足：，解得：；（2）只需满足：，解得：.综上所述：实数a的范围为.故答案为：.【分析】先判断出f(x)的周期为4，把问题转化为函数与在上有四个交点，在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数a的取值范围.15．①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为 ；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是 .【答案】28；16【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】把①的所有数据按从小到大的顺序排列可得：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，共有12个数据，所以，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数；把② 的所有数据按从小到大的顺序排列可得：1，5，9，12，13，19，21，23，28，36，共10个数据，所以，所以数据的第50百分位数是第5和第6个数的平均值为.故答案为：28；16【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的计算方法求解可得答案。三、解答题16．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故【知识点】解三角形【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.17．菱形ABCD中，平面，，，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在点使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：建立以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，，，，，.证明：，，设为平面EAB的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面EAB，所以直线平面EAB；（2）解：，，，设为平面BFC的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）解：设，则，则，，设为平面BDM的法向量，则，即， 可得，由，得，解得或（舍），所以.【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，由此利用向量法能证明直线平面；(2)求出平面BFC的法向量和平面FCA的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值；(3)求出平面BDM的法向量，利用向量法能求出存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为，并能求出的值。18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与y轴的交点，线段AP的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线AP的方程.【答案】（1）解：依题意知：，，，，，则，又，，椭圆的标准方程为.（2）解：由题意，设直线的斜率为，直线AP方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由离心率及数量积求出a，b，进而求出椭圆的标准方程；(2)设直线AP的方程与椭圆联立，由题意求出P的坐标，进而求出AP中点的坐标，求出AP中垂线的方程，由题意求出N的坐标，及直线MN的斜率，OP的斜率，再由斜率之积求出AP的斜率k的值，进而求出直线AP的方程.19．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为， 由已知，得，即，解得，所以；又数列的前项和为，满足，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，则，则，又也满足上式，所以，；（2）解：由（1）可得，，所以，令①则②，①②得，所以，因此；（3）解：由（1）可得数列前项和，数列的前项和；①当时，；②当，（i）当时，，（ii）当时，；时，也满足该式，所以；③当，；综上．【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】(1)由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得an；运用等差数列的定义和通项公式可得bn；(2)求得cn，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和；(3)数列前n项和，数列的前项和，讨论n=2k，n=4k-3，n=4k-1，计算可得新数列的前项和．20．已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.【答案】（1）解：所以定义域为 ；；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：等价于；，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得即，所以在上递减，在上递增，且；所以的最大整数解为.（3）解：，得，当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，，令，由，，即：，而要证，只需证，即证：即：由，只需证：，令，则令，则故在上递增，；故在上递增，；.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(3)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证.
简介：天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．设集合.则（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，，所以，因此，所以，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为，所以，所以”是“”的充分不必要条件.故答案为：A．【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）A．B．或C．D．或【答案】C【知识点】圆的切线方程【解析】【解答】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故答案为：C【分析】把圆的一般方程化成标准方程判断出在圆上，根据圆上切点公式即可求出答案。4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）A．1B．C．D．【答案】D【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】是等比数列是等差数列故答案为：D【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得的值.5．设正实数，，分别满足，，则a，，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象【解析】【解答】解：， 解得或，，分别作出函数：，，的图象．由图可知故答案为：B【分析】分别画出，，的图象，根据，，可得b与a大小关系，由可得或，进而得出a，，c的大小关系.6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为-1B．的图像关于点对称C．在区间上单调递增D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到【答案】C【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案C．故答案为：C．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值，单调性，对称性以及平移关系逐项进行判断即可得答案.7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意可得，直线的斜率，设，联立得消去整理得，故答案为：D【分析】由题意可利用点斜式得出直线AC的方程，将其代入抛物线方程，设，，由根与系数的关系可得，，结合可得a，b的关系式，进而求得双曲线的离心率。8．已知，则的值为（ ）A．1B．0C．-1D．2【答案】C【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用【解析】【解答】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故答案为：C 【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出答案.9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点M在边CD所在直线上，则的最大值为（ ）A．B．-24C．D．-30【答案】A【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点E在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故答案为：A【分析】依题意，建立以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出E的坐标，求出边CD所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出的最大值。二、填空题10．设，则 .【答案】1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由复数的运算法则有：，则：.【分析】由复数的运算法则化简z，再根据复数的模的公式可得答案。11．在的二项展开式中，的项的系数是 .（用数字作答）【答案】70【知识点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理，的通项为，当时，即r=4时，可得.即项的系数为70.【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得项的系数.12．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为 .【答案】【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径，，底面ABCDEF，设外接球的半径为则解得故答案为：【分析】把六棱锥补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱锥的外接球，则外接球心O为直六棱柱的上下底面的中心的中点，再利用勾股定理即可求出外接球半径R，从而求出外接球O的体积.13．若，则的最小值为 .【答案】4【知识点】基本不等式【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4【分析】两次利用基本不等式的性质即可求出的最小值.14．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 .【答案】【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为，所以，记函数的周期为4.可化为：.若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点.作出和的图象如图示：（1）只需满足：，解得：；（2）只需满足：，解得：.综上所述：实数a的范围为.故答案为：.【分析】先判断出f(x)的周期为4，把问题转化为函数与在上有四个交点，在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数a的取值范围.15．①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为 ；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是 .【答案】28；16【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】把①的所有数据按从小到大的顺序排列可得：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，共有12个数据，所以，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数；把② 的所有数据按从小到大的顺序排列可得：1，5，9，12，13，19，21，23，28，36，共10个数据，所以，所以数据的第50百分位数是第5和第6个数的平均值为.故答案为：28；16【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的计算方法求解可得答案。三、解答题16．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故【知识点】解三角形【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.17．菱形ABCD中，平面，，，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在点使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：建立以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，，，，，.证明：，，设为平面EAB的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面EAB，所以直线平面EAB；（2）解：，，，设为平面BFC的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）解：设，则，则，，设为平面BDM的法向量，则，即， 可得，由，得，解得或（舍），所以.【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，由此利用向量法能证明直线平面；(2)求出平面BFC的法向量和平面FCA的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值；(3)求出平面BDM的法向量，利用向量法能求出存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为，并能求出的值。18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与y轴的交点，线段AP的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线AP的方程.【答案】（1）解：依题意知：，，，，，则，又，，椭圆的标准方程为.（2）解：由题意，设直线的斜率为，直线AP方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由离心率及数量积求出a，b，进而求出椭圆的标准方程；(2)设直线AP的方程与椭圆联立，由题意求出P的坐标，进而求出AP中点的坐标，求出AP中垂线的方程，由题意求出N的坐标，及直线MN的斜率，OP的斜率，再由斜率之积求出AP的斜率k的值，进而求出直线AP的方程.19．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为， 由已知，得，即，解得，所以；又数列的前项和为，满足，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，则，则，又也满足上式，所以，；（2）解：由（1）可得，，所以，令①则②，①②得，所以，因此；（3）解：由（1）可得数列前项和，数列的前项和；①当时，；②当，（i）当时，，（ii）当时，；时，也满足该式，所以；③当，；综上．【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】(1)由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得an；运用等差数列的定义和通项公式可得bn；(2)求得cn，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和；(3)数列前n项和，数列的前项和，讨论n=2k，n=4k-3，n=4k-1，计算可得新数列的前项和．20．已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.【答案】（1）解：所以定义域为 ；；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：等价于；，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得即，所以在上递减，在上递增，且；所以的最大整数解为.（3）解：，得，当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，，令，由，，即：，而要证，只需证，即证：即：由，只需证：，令，则令，则故在上递增，；故在上递增，；.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(3)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证.
简介：天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．设集合.则（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，，所以，因此，所以，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为，所以，所以”是“”的充分不必要条件.故答案为：A．【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）A．B．或C．D．或【答案】C【知识点】圆的切线方程【解析】【解答】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故答案为：C【分析】把圆的一般方程化成标准方程判断出在圆上，根据圆上切点公式即可求出答案。4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）A．1B．C．D．【答案】D【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】是等比数列是等差数列故答案为：D【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得的值.5．设正实数，，分别满足，，则a，，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象【解析】【解答】解：， 解得或，，分别作出函数：，，的图象．由图可知故答案为：B【分析】分别画出，，的图象，根据，，可得b与a大小关系，由可得或，进而得出a，，c的大小关系.6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为-1B．的图像关于点对称C．在区间上单调递增D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到【答案】C【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案C．故答案为：C．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值，单调性，对称性以及平移关系逐项进行判断即可得答案.7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意可得，直线的斜率，设，联立得消去整理得，故答案为：D【分析】由题意可利用点斜式得出直线AC的方程，将其代入抛物线方程，设，，由根与系数的关系可得，，结合可得a，b的关系式，进而求得双曲线的离心率。8．已知，则的值为（ ）A．1B．0C．-1D．2【答案】C【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用【解析】【解答】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故答案为：C 【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出答案.9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点M在边CD所在直线上，则的最大值为（ ）A．B．-24C．D．-30【答案】A【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点E在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故答案为：A【分析】依题意，建立以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出E的坐标，求出边CD所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出的最大值。二、填空题10．设，则 .【答案】1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由复数的运算法则有：，则：.【分析】由复数的运算法则化简z，再根据复数的模的公式可得答案。11．在的二项展开式中，的项的系数是 .（用数字作答）【答案】70【知识点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理，的通项为，当时，即r=4时，可得.即项的系数为70.【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得项的系数.12．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为 .【答案】【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径，，底面ABCDEF，设外接球的半径为则解得故答案为：【分析】把六棱锥补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱锥的外接球，则外接球心O为直六棱柱的上下底面的中心的中点，再利用勾股定理即可求出外接球半径R，从而求出外接球O的体积.13．若，则的最小值为 .【答案】4【知识点】基本不等式【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4【分析】两次利用基本不等式的性质即可求出的最小值.14．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 .【答案】【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为，所以，记函数的周期为4.可化为：.若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点.作出和的图象如图示：（1）只需满足：，解得：；（2）只需满足：，解得：.综上所述：实数a的范围为.故答案为：.【分析】先判断出f(x)的周期为4，把问题转化为函数与在上有四个交点，在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数a的取值范围.15．①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为 ；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是 .【答案】28；16【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】把①的所有数据按从小到大的顺序排列可得：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，共有12个数据，所以，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数；把② 的所有数据按从小到大的顺序排列可得：1，5，9，12，13，19，21，23，28，36，共10个数据，所以，所以数据的第50百分位数是第5和第6个数的平均值为.故答案为：28；16【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的计算方法求解可得答案。三、解答题16．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故【知识点】解三角形【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.17．菱形ABCD中，平面，，，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在点使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：建立以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，，，，，.证明：，，设为平面EAB的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面EAB，所以直线平面EAB；（2）解：，，，设为平面BFC的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）解：设，则，则，，设为平面BDM的法向量，则，即， 可得，由，得，解得或（舍），所以.【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，由此利用向量法能证明直线平面；(2)求出平面BFC的法向量和平面FCA的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值；(3)求出平面BDM的法向量，利用向量法能求出存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为，并能求出的值。18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与y轴的交点，线段AP的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线AP的方程.【答案】（1）解：依题意知：，，，，，则，又，，椭圆的标准方程为.（2）解：由题意，设直线的斜率为，直线AP方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由离心率及数量积求出a，b，进而求出椭圆的标准方程；(2)设直线AP的方程与椭圆联立，由题意求出P的坐标，进而求出AP中点的坐标，求出AP中垂线的方程，由题意求出N的坐标，及直线MN的斜率，OP的斜率，再由斜率之积求出AP的斜率k的值，进而求出直线AP的方程.19．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为， 由已知，得，即，解得，所以；又数列的前项和为，满足，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，则，则，又也满足上式，所以，；（2）解：由（1）可得，，所以，令①则②，①②得，所以，因此；（3）解：由（1）可得数列前项和，数列的前项和；①当时，；②当，（i）当时，，（ii）当时，；时，也满足该式，所以；③当，；综上．【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】(1)由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得an；运用等差数列的定义和通项公式可得bn；(2)求得cn，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和；(3)数列前n项和，数列的前项和，讨论n=2k，n=4k-3，n=4k-1，计算可得新数列的前项和．20．已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.【答案】（1）解：所以定义域为 ；；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：等价于；，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得即，所以在上递减，在上递增，且；所以的最大整数解为.（3）解：，得，当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，，令，由，，即：，而要证，只需证，即证：即：由，只需证：，令，则令，则故在上递增，；故在上递增，；.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(3)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证.
简介：天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．设集合.则（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，，所以，因此，所以，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为，所以，所以”是“”的充分不必要条件.故答案为：A．【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义，即可求出答案。3．过点作圆的切线，则的方程为（ ）A．B．或C．D．或【答案】C【知识点】圆的切线方程【解析】【解答】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故答案为：C【分析】把圆的一般方程化成标准方程判断出在圆上，根据圆上切点公式即可求出答案。4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）A．1B．C．D．【答案】D【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】是等比数列是等差数列故答案为：D【分析】由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得的值.5．设正实数，，分别满足，，则a，，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；幂函数的图象【解析】【解答】解：， 解得或，，分别作出函数：，，的图象．由图可知故答案为：B【分析】分别画出，，的图象，根据，，可得b与a大小关系，由可得或，进而得出a，，c的大小关系.6．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为-1B．的图像关于点对称C．在区间上单调递增D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到【答案】C【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案C．故答案为：C．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值，单调性，对称性以及平移关系逐项进行判断即可得答案.7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意可得，直线的斜率，设，联立得消去整理得，故答案为：D【分析】由题意可利用点斜式得出直线AC的方程，将其代入抛物线方程，设，，由根与系数的关系可得，，结合可得a，b的关系式，进而求得双曲线的离心率。8．已知，则的值为（ ）A．1B．0C．-1D．2【答案】C【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用【解析】【解答】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故答案为：C 【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出答案.9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点M在边CD所在直线上，则的最大值为（ ）A．B．-24C．D．-30【答案】A【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点E在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故答案为：A【分析】依题意，建立以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出E的坐标，求出边CD所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出的最大值。二、填空题10．设，则 .【答案】1【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：由复数的运算法则有：，则：.【分析】由复数的运算法则化简z，再根据复数的模的公式可得答案。11．在的二项展开式中，的项的系数是 .（用数字作答）【答案】70【知识点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理，的通项为，当时，即r=4时，可得.即项的系数为70.【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得项的系数.12．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为 .【答案】【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径，，底面ABCDEF，设外接球的半径为则解得故答案为：【分析】把六棱锥补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱锥的外接球，则外接球心O为直六棱柱的上下底面的中心的中点，再利用勾股定理即可求出外接球半径R，从而求出外接球O的体积.13．若，则的最小值为 .【答案】4【知识点】基本不等式【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4【分析】两次利用基本不等式的性质即可求出的最小值.14．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 .【答案】【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为，所以，记函数的周期为4.可化为：.若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点.作出和的图象如图示：（1）只需满足：，解得：；（2）只需满足：，解得：.综上所述：实数a的范围为.故答案为：.【分析】先判断出f(x)的周期为4，把问题转化为函数与在上有四个交点，在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数a的取值范围.15．①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为 ；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是 .【答案】28；16【知识点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】把①的所有数据按从小到大的顺序排列可得：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，共有12个数据，所以，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数；把② 的所有数据按从小到大的顺序排列可得：1，5，9，12，13，19，21，23，28，36，共10个数据，所以，所以数据的第50百分位数是第5和第6个数的平均值为.故答案为：28；16【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的计算方法求解可得答案。三、解答题16．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故【知识点】解三角形【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.17．菱形ABCD中，平面，，，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在点使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：建立以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，，，，，.证明：，，设为平面EAB的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面EAB，所以直线平面EAB；（2）解：，，，设为平面BFC的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）解：设，则，则，，设为平面BDM的法向量，则，即， 可得，由，得，解得或（舍），所以.【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，由此利用向量法能证明直线平面；(2)求出平面BFC的法向量和平面FCA的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值；(3)求出平面BDM的法向量，利用向量法能求出存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为，并能求出的值。18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与y轴的交点，线段AP的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线AP的方程.【答案】（1）解：依题意知：，，，，，则，又，，椭圆的标准方程为.（2）解：由题意，设直线的斜率为，直线AP方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由离心率及数量积求出a，b，进而求出椭圆的标准方程；(2)设直线AP的方程与椭圆联立，由题意求出P的坐标，进而求出AP中点的坐标，求出AP中垂线的方程，由题意求出N的坐标，及直线MN的斜率，OP的斜率，再由斜率之积求出AP的斜率k的值，进而求出直线AP的方程.19．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为， 由已知，得，即，解得，所以；又数列的前项和为，满足，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，则，则，又也满足上式，所以，；（2）解：由（1）可得，，所以，令①则②，①②得，所以，因此；（3）解：由（1）可得数列前项和，数列的前项和；①当时，；②当，（i）当时，，（ii）当时，；时，也满足该式，所以；③当，；综上．【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】(1)由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得an；运用等差数列的定义和通项公式可得bn；(2)求得cn，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和；(3)数列前n项和，数列的前项和，讨论n=2k，n=4k-3，n=4k-1，计算可得新数列的前项和．20．已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.【答案】（1）解：所以定义域为 ；；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：等价于；，记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得即，所以在上递减，在上递增，且；所以的最大整数解为.（3）解：，得，当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即；因为，，令，由，，即：，而要证，只需证，即证：即：由，只需证：，令，则令，则故在上递增，；故在上递增，；.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得h(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(3)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证.
