浙江省2022年高一上学期数学期中考试试卷四套附答案(Word版）
安徽省2022年高二上学期数学期中试卷八套附答案(Word版）
高二上学期数学期中联考试卷圆的蒙日圆上，则的值为（）一、单选题1.已知向量，，则等于（）A．±1B．±5C．D．A．B．C．D．8.在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满2.如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则足，则直线与
高一上学期数学期中考试试卷7.正实数，满足，则的最小值是（）一、单选题A.B．1C．D．1.已知集合，，则（）A．B．8.设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若C．D．，则（）2.命题“，”的否定是（）A．B．C．D．A.，B．
简介：高二上学期数学期中练习试卷（A卷）10．已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（）一、单选题A．B．C．D．1.与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐标为()二、填空题A．(1，3，2)B．(-1，-3，2)C．(-1，3，-2)D．(1，-3，-2)11.已知点，点，向量，则点的坐标为．2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为（）12.已知，直线与直线平行，则的值为．A．B．C．D．13.已知直线过点，点，则点到直线的距离是．3.在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（）14.正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与A．B．C．D．所成角的余弦值为.4.已知，，若，则实数的值为（）15.已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：A．1B．-1C．D．①；5.箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A=“至少有一件次品”，则A的对②；立事件为（）A.至多两件次品B．至多一件次品③点到面的距离为；C．没有次品D．至少一件次品④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则6.如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）的取值范围是A．B．C．D．其中正确结论的序号是．三、解答题7.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个16.已知向量，．球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）（1）求；A.B．C．D．18．过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）（2）求；A．或B．或（3）若（），求的值．C．或D．或17.从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．9.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率．分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A.B．C．D．18.已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程；由于，故。故答案为：B（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．19.在如图所示的多面体中，且，，，且，【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关，且，平面，．系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。（1）求证：；3.【答案】A（2）求平面与平面夹角的余弦值．【解析】【解答】点在平面内的射影，20.甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次即向平面作垂线，垂足为射影，时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，（2）求甲获胜的概率．故射影的坐标。21.设为正整数，集合．对于集合中的任意故答案为：A元素和，记【分析】利用点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和．轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，从而求出射影的坐标。（1）当时，若，，求和的值；4.【答案】A（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，【解析】【解答】因为，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．所以，答案解析部分即，解得。1.【答案】故答案为：A.C【解析】【解答】∵（-1，3，-2）=，∴由向量共线性质可知答案C。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数k的值。【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐5．【答案】C标。【解析】【解答】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一2.【答案】B件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况，【解析】【解答】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为，根据对立事件的定义，事件A=“至少有一件次品”，其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“。故，故答案为：C 【分析】利用已知条件结合对立事件的定义，从而找出事件A的对立事件。【分析】利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取出的2个球恰好是1个6．【答案】D红球1个黄球的概率。【解析】【解答】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所8．【答案】D示），【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；则，，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，，，，所求的直线方程为，设平面的一个法向量为，综上可知，所求直线方程为或。故答案为：D.则，即，令，则，，【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点所以平面的一个法向量为；，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。设直线与平面所成角为，9.【答案】B【解析】【解答】记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系则，统不发生故障”为事件，则，解得。即直线与平面所成角的正弦值为。故答案为：B．故答案为：D.【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而利用互斥事件加法求概率【分析】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的公式，进而求出在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再利用已知条件在任意时刻恰有一个系统不发坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线与平面生故障的概率为，从而求出实数p的值。所成角的正弦值。10.【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】由题意，，【解析】【解答】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，令，可得直线过定点，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是。如图所示，经过的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，故答案为：B.当经过原点时，，故的取值范围是。 故答案为：C，则，【分析】由题意，将直线的一般式方程转化为，从而得出，再解方程组求交点的方法，进而求出直线过的定点坐标，再利用直线的图像结合经过定点的直线，且不经过第二象限，又因为，所以，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，再结合两点求斜率公式，从而求出实数的取值范围。11．【答案】（1，2，1）所以点到直线的距离为。【解析】【解答】设点，故答案为：。则，因为，【分析】利用已知条件结合方向向量的定义，从而求出直线的方向向量，再利用向量的坐标表示求出向量即，的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出的值，再利用两向量的夹角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而得出点所以，解得，到直线的距离。所以点的坐标为（1，2，1）。14.【答案】故答案为：（1，2，1）。【解析】【解答】如图所示：分别取的中点G，H，连接，【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出点C的坐标。12.【答案】-1则，【解析】【解答】由题意，直线与直线平行，所以是异面直线与所成角，故，解得，设正方体的棱长为2，则，当时，两直线为：，不重合，故的值为-1。由余弦定理得，故答案为：-1。。【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。故答案为：。13.【答案】【解析】【解答】直线的方向向量，【分析】分别取的中点G，H，连接，再利用中点作中位线的方法结合 中位线的性质，从而推出，所以是异面直线与所成角，设正因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，方体的棱长为2，再结合勾股定理和余弦定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故④正确.15.【答案】①②④故答案为：①②④.【解析】【解答】在正方体中，，故①正确；【分析】在正方体中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出因为，；再利用结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出则；利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出，故②正确；的值，再利用结合三角形的面积公式，得出的值，进而求出点到面设点到面的距离为，则，的距离；连接，在正方体中，，，平面，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂又，则，直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线所以，所以，垂直，所以，再结合点在正方体的侧面及其边界上运动，并即点到面的距离为，故③错误；保持，所以点的轨迹为线段，从而求出的取值范围，进而找出正确结论的序对于④，连接，号。在正方体中，16.【答案】（1）解：；平面，又平面，所以，（2）解：因为，所以平面，；又平面，所以，（3）解：因为，同理，所以，又，所以平面，即，又平面，所以，解得. 【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。即(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。即，可求得(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。则直线的方程为17.【答案】（1）解：试验的样本空间；综上：直线的方程为或．（2）解：设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，再利用点斜．式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的因此．斜率，进而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。19.【答案】（1）证明：因为平面，所以抽到的两个球都是黑球的概率为平面，平面，【解析】【分析】（1）利用已知条件用集合的形式写出试验的样本空间。所以，且，（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出抽到的两个球都是黑球的概率。因为，18.【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，所以则，，，，，，，所又因为，所以以，，又因为直线过点，直线的方程为，即．所以；（2）解：若直线斜率不存在，则直线：（2）解：，此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题设平面的法向量为，意．若直线斜率存在，设直线的斜率为则，即，设直线：，与轴交点为点令，有，令，解得设平面的法向量为，所以点坐标为则，即，直线与直线的交点为点令，有，因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 设平面和平面的夹角为，，，．（2）解：设；所以平面和平面的夹角的余弦值为．；【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以；，且，再利用，以为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出数量积的值，再结合数量积为；0两向量垂直的等价关系，从而证出。．（2）利用空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量则积求向量夹角的公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值。对于中的不同元素，经验证，20.【答案】（1）解：设事件“甲在第次投篮投中”，其中所以中至多1个元素属于B，设事件“乙在第次投篮投中”，其中所以集合B中至多5个元素．则，，其中取记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，满足条件．此时集合B=，事件与事件相互独立所以集合B中至多有5个元素．根据事件独立性定义得：【解析】【分析】（1）设为正整数，集合．对于甲乙各投球一次，比赛结束的概率为集合中的任意元素和，记（2）解：记“甲获胜”为事件，，再利用已知条件当事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：时，，，再结合的定义结合代入法，得出和的甲获胜的概率为．值。【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出甲、乙各（2）利用当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，投球一次，比赛结束的概率。结合，再结合并（2）记“甲获胜”为事件，利用已知条件得出，所以事件、事件集的运算法则结合元素与集合的关系，从而得出集合B中至多有5个元素。、事件彼此互斥，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲获胜的概率。21.【答案】（1）解：因为，，所以 高二上学期数学期中练习试卷（B卷）概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9一、单选题表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38011.直线的倾斜角为（）2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983A．B．C．D．据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（）2.已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．A．B．二、填空题11.已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为.C．D．12.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为.3.已知向量，，若与共线，则实数的值为（）13.如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则A．-2B．-1C．1D．2.4.同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（）A.B．C．D．14.已知事件A与互斥，且，，则，5.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为.（）15.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为A．B．C．D．戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.6.如图，在长方体中，化简（）492A．B．C．D．3577.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）816A.至少一次中靶B．至多一次中靶（1）试验的样本空间包含个样本点；C．至多两次中靶D．两次都中靶（2）使得这三个数之和等于15的概率是.8.如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则三、解答题16．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：（）（1）BC边所在直线的方程；A.1B．C．D．2（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．9.已知向量，若向量共面，则实数的值为17．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（）（1）写出试验的样本空间；A．-3B．-1C．1D．3（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.10.已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的 故答案为：B.18.已知向量，．（1）求；【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。（2）求；2.【答案】A（3）若（），求的值．【解析】【解答】设与直线平行的直线l的方程为，19.某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别把点代入可得，解得．为和，两种大树成活与否互不影响.因此直线l的方程为（1）求甲种大树成活两棵的概率；故答案为：A．（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.【分析】根据题意由已知条件结合直线平行的性质设出直线的方程，再由待定系数法代入数值计算出m的20.在直三棱柱中，，，点，分别为，值，从而得出直线的方程。的中点.3.【答案】D（1）证明：；【解析】【解答】由题设，有，，则，可得.（2）求直线与平面所成的角；故答案为：D（3）求点到平面的距离.21.如图，在四棱锥中，底面，，//，点为【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。的中点，，，.4.【答案】A【解析】【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，（1）求证：平面；基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，（2）求平面与平面的夹角；出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.则两枚硬币均为正面向上的概率.答案解析部分故答案为：A．1.【答案】B【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出【解析】【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，结果即可。因直线的方程为，故其斜率，则有，5.【答案】C又由，则，【解析】【解答】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从图中 可以看出，因为，，，其中，所以，所以故答案为：A故答案为：C【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合斜率的加、减运算性质以及数量积的公式代入数值计算出结果【分析】由已知条件即可得出直线的倾斜角，再由斜率公式结合正切函数的单调性即可得出斜率的大小。即可。6.【答案】A9.【答案】B【解析】【解答】解：如图：，【解析】【解答】解：因为向量共面，故答案为：A.所以存在实数使得，即【分析】由长方体的几何性质，结合斜率加减运算公式计算出结果即可。所以，解得7.【答案】D【解析】【解答】设“只有一次中靶”为事件A故答案为：B设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，显然，不互斥，A选项错误；【分析】由空间向量共面的坐标公式，结合线性运算性质整理化简计算出m的值即可。设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不10.【答案】D互斥，B选项错误；【解析】【解答】设“4件产品中至少有3件为合格品”为事件A，设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然20组随机数中，从左到右，第二行第六列的1040包含两个0，即4件产品中有2件不合格，不在事件A中，，不互斥，C选项错误；其余均在A中，所以A中包含的个数为19，故故答案为：D设“两次都中靶”为事件E，则，，满足互斥而不对立所需要的条件，D符合题意.【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结故答案为：D果即可。1.【答案】【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。【解析】【解答】由题设，直线过且与轴垂直，则直线的方程为.8.【答案】A故答案为：【解析】【解答】解：根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，【分析】根据题意由直线垂直的性质，由点斜式即可求出直线的方程。所以在直角三角形中，12.【答案】 【解析】【解答】点在平面内射影，只需即可，16.【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0∴在平面内射影的坐标为.（2）解：kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即故答案为：【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写【分析】由空间向量的射影坐标公式，代入数值计算出结果即可。出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.13.【答案】117.【答案】（1）试验的样本空间为：【解析】【解答】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，（2）设事件“摸出的两个球的颜色相同”则，所以，所以，，故答案为：1.所以【分析】根据题意由中点的性质即可得出线线平行，再由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，即可列举出样本空间的事件个数。14．【答案】0.6；0.9(2)据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即【解析】【解答】因为事件与是对立事件，且，所以；因为事可。件A与互斥，所以18.【答案】（1）解：；故答案为：0.6，0.9（2）解：；【分析】由对立、互斥事件的概率公式，计算出结果即可。15．【答案】（1）10（3）解：因为，（2）所以，【解析】【解答】从五个阳数中随机抽取三个数，取法有，，，，即，，，，，，，故试验的样本空间包含10个样解得.本点，其中当抽到或者时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为.【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。故答案为：10，(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。19.【答案】（1）设事件“甲种大树成活两棵”，则 设直线与平面所成角为（2）设事件“甲种大树成活一棵”，则∴直线与平面所成角为；（3）设事件“乙种大树成活一棵”，（3）点到平面的距离.则设事件“乙种大树成活两棵”，【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公代则入数值计算出，由此得证出。设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，(2)由已知条件求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角则的关系，代入数值计算出直线与平面所成角的正弦值，由此即可得出直线与平面【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。所成的角。(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。(3)根据题意结合点到平面的距离公式，代入数值计算出结果即可。(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。21.【答案】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，20.【答案】（1）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如建立如图所示的空间直角坐标系.图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，，，∵，由，∴令，则，，∴平面的一个法向量为，∴∴；由，，∴，（2）设平面的法向量为∵平面，∴平面，（2）解：∵底面，底面，∴，∵，，∴平面，∴平面的一个法向量为，由设平面与平面的夹角为，令，则，则，又由图示得为锐角，∴平面的一个法向量为由∴平面与平面的夹角为. （3）解：设在线段上存在点，满足（），，若平面，则，所以，解得，所以在线段上存在点，使平面，此时.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由数量积的坐标公式计算出，从而得出结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面的所成的角。(3)根据题意假设存在点F，由此得到，结合线面垂直与向量夹角之间的关系，由此得到关于的值，从而建立得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷A．若，垂直于同一平面，则与平行一、单选题B．若，平行于平面，则与平行1．长方体中，化简（）C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面A．B．C．D．D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线2.已知，，若，则实数，的值分别为（）9.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A．，B．，A.直线与直线垂直，直线平面C．5，2D．-5，-2B.直线与直线平行，直线平面3.过点且与向量垂直的向量（）C.直线与直线相交，直线平面A．有且只有一个B．有无数个且共面D.直线与直线异面，直线平面C．只有两个且方向相反D．有无数个且共线10.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）最大值为（）A．，B．，A．B．C．D．C．，D．，二、填空题5.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系11.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为.式成立的是（）12.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．A．B．13．平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为．C．D．14．已知，，则以，为邻边的平行四边形的面积为.6．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为15．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为．（）16．已知关于向量的命题，A．2B．4C．6D．以上都不对⑴是，共线的充分不必要条件；7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方⑵若，则存在唯一的实数，使；形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）⑶，，则；⑷若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；A．B．C．D．⑸．8.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（） 在以上命题中，所有正确命题的序号是．三、解答题∴，∴。17.正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：故答案为：A．（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出实数，的值。3.【答案】B（3）点到平面的距离．【解析】【解答】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设18.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且为平面，．则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面。（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；故答案为：B．（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值．【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点且与19.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．向量垂直的向量有无数个且共面。（1）证明：AC⊥SB；4.【答案】C（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；【解析】【解答】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，（3）求点B到平面CMN的距离．时满足，答案解析部分对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误。1.【答案】C故答案为：C．【解析】【解答】如图，。【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面垂直的判定定理，再结合向量共线故答案为：C.的坐标表示，进而得出能使的和的坐标。5.【答案】D【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而化简【解析】【解答】由于直线与平面的夹角为，。其中，2.【答案】A所以，【解析】【解答】∵，，所以。∴，故答案为：D 【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答【分析】由于直线与平面的夹角为，其中，再利用正弦函数的图象，从而得出案。，再利用诱导公式结合方向向量的定义和已知条件，从而结合数量积求向量夹角公式，从而求出9．【答案】A【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),。D1(0,0.2),M(1,0,1),N(1,1,1),B1(2,2,2),6.【答案】A【解析】【解答】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以。故答案为：A．【分析】利用已知条件结合点关于面对称的方法，从而求出点关于平面的对称点B的坐标，再结合空间两点距离公式，从而求出的值。对于A:因为因为所以,7.【答案】C即,又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符【解析】【解答】如图，合题意；设，则，对于B:由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；对于C:A1D与D1B是异面的,不平行，故C不符合题意；由题意，即，化简得，对于D:A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；故答案为：A.解得（负值舍去）.【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，故答案为：C.对于B：若A知这显然不平行，所以B不正确；【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.对于C：显然，直线与直线是异面直线，故C错误；8.【答案】C对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。【解析】【解答】A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除A.10.【答案】AB，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除B.【解析】【解答】解：如图截面，S=6，C，若与垂直于同一平面则，所以C符合题意.故答案为：A.D，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除D.【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面所成的角相等，得到平面与其中一条对角线垂直，此时故答案为：C截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值. 1.【答案】14π出直线与平面的位置关系。【解析】【解答】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，14.【答案】∴长方体的对角线长为：，【解析】【解答】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，因，，∴球半径为R=，所以，，，可得球的表面积为4πR2=14π。所以。故答案为14π。故答案为：。【分析】利用已知条件得出长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，再利用勾股定理得出长方体【分析】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，再利用向量的坐标运算得出的对角线长，再结合长方体的对角线长恰好是外接球的直径，从而求出球的直径，进而求出球的半径，再结合球的表面积公式求出球的表面积。向量，的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出，的值，再利用菱形的面积公式，从而求出以，为邻边的平行四边形的面积。12.【答案】【解析】【解答】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴r=，∵R2=r2+h2，∴h=R15.【答案】【解析】【解答】如图正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、所以。、，由正四棱锥的性质知平面，，，故答案为：。所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面弧长与底面圆的周长的关系，从而利用圆的周长公式，得出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，从而得出圆锥的体积。。13.【答案】平面或平面【解析】【解答】由题意，平面的法向量为，向量，故答案为：。若平面，则成立，若平面，则平面，∴直线与平面的位置关系为平面或平面，【分析】在正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、、故答案为：平面或平面。，由正四棱锥的性质知平面，，，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3结合余弦函数的定义和勾股定理，进而【分析】利用已知条件结合法向量的定义，再结合两向量垂直的判断方法和线面位置关系判断方法，从而推 求出侧面与底面所成二面角的余弦值。所以异面直线与所成角的余弦值为．16．【答案】（1）（4）【解析】【解答】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，（2）解：取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；由正四棱锥特性知平面，，，，（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；所以为二面角的平面角，（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；，所以，（4）令，则，所以，无解，即所以二面角的余弦值为，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（3）解：设点到平面的距离为，（5），即（5）错误．由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，命题（1）（4）正，确．故答案为：（1）（4）．因为，所以，【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，得出是，共线的充分所以，不必要条件；利用已知条件结合向量共线定理，得出若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数所以点到平面的距离为．，使；利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量相等的判断方法，从而【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，再利用是正得出若，，说明，，不一定存在；利用已知条件结合平面向量四棱柱，为下底面正方形的中心，所以，所以为异面直线与所的基底的判断方法，从而得出若为空间的一个基底，则构成空间的另一成角，再利用余弦函数的定义和勾股定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。基底；利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的求解方法，进而得出，（2）取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，由正四棱锥特性从而找出正确命题的序号。知平面，，，，所以为二面角17.【答案】（1）解：取中点，连接，，，的平面角，再利用正切函数的定义，得出的值，进而求出的值，从而因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，求出二面角的余弦值。所以，（3）设点到平面的距离为，由（1）知，所以点到平面的距离也所以为异面直线与所成角，，为，再利用三角形的面积与四边形的面积公式的关系式，得出的值，再利用等体积法结合三棱锥的 体积公式，得出点到平面的距离。向量夹角公式得出与所成的余弦值，进而求出与所成角的大小。18.【答案】（1）解：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）利用已知条件结合向量的坐标表示结合向量共线的坐标表示，从而结合空间两点的距离公式和已知条件因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，，从而得出点P的坐标，进而得出为中点，再结合，又因为，所以，结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，同理得出平面的法向量，利用二面角为锐角，进而求出二面角的平面角的余弦所以与底面所成的角为45°．值。因为，，，19.【答案】（1）证明：取AC中点O，连结OS、OB所以，，∵，，∴，且∵平面平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC所以与所成的余弦值为，∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO所以与所成角的大小为60°．如图建立空间直角坐标系O—xyz：则，（2）解：∵，，设，则，，，∴，因为，所以，，∵∴解得，于是，即为中点，（2）解：由⑴得，又，，设平面的法向量为，设为平面CMN的一个法向量，则，取则，∴，令，又为平面ABC的一个法向量平面的法向量可取，因为二面角为锐角，∴∴所以二面角的平面角的余弦值为．（3）解：由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，利用是在平面内投影，所以∴点B到平面CMN的距离为与底面的所成角，再利用，所以，从而得出与底【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OS、OB，再利用，结合等腰三角形三线合面所成的角，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再由数量积求一，得出且，再利用平面平面ABC结合面面垂直的性质定理，得出线面垂 直，所以SO⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以SO⊥BO，建立空间直角坐标系O—xyz，从而结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，进而证出AC⊥SB。（2）由⑴得，，设为平面CMN的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面CMN的一个法向量，再利用向量为平面ABC的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角N-CM-B的正切值大小。（3）由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，从而结合数量积得出点B到平面CMN的距离。 高二上学期数学期中质量检测试卷与平面所成角的正弦值等于（）一、选择题A.B．C．D．1.直线的倾斜角为（）二、填空题A．B．C．D．11.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为.2.已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（）12.已知向量，，若，则实数等于．A．B．13.过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程C．D．14.经过点以及圆与圆交点的圆的方程3.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）为．A．B．15.如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：C．D．①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；4．在平行六面体中，（）A．B．C．D．③若为中点，则点到距离为；④的最小值为5．已知直线和直线互相平行，则等于（）则其中所有正确结论的序号是．A．2B．-2C．±2D．016．如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，设，6.圆与圆的位置关系是（），，以为基底，则用基底表示向量；A．内含B．相交C．外切D．外离．7．在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，，则三、解答题（）17．三角形的三个顶点分别是．A．5B．C．D．（1）求边所在的直线方程；8．已知点，，，，若，，，四点共面，则（）（2）求边上的高所在的直线方程．A．B．C．D．18．已知圆过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；9．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围是（）（2）试判断直线：与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．19.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和A．B．C．D．的中点．10．如图，在平行六面体中，，，则 【分析】利用已知条件结合点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。（1）求证：平面；3.【答案】D（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【解析】【解答】对于A：因为，所以，，共面，不能构成基20.在空间直角坐标系中，已知向量，，．底，A不符合题意，（1）求向量在向量上的投影向量；对于B：因为，所以，，共面，不能构成基底，B不符合题意，（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离．对于C：因为，，，共面，不能构成基底，C不符合题意，21.在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面对于D：若，，共面，则，即，则与棱交于点．，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，D符合题意.（1）求证：点为中点；（2）求证：；故答案为：D．（3）当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．22.在平面直角坐标系中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点，设动圆的圆心为．【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的判断方法，再结合向量共线的坐标表示，进而找出可以构成空间的另一个基底的选项。（1）求点的轨迹方程；4.【答案】A（2）设点的轨迹与轴交于，两点（在左侧），过点的直线交点的轨迹于点（异于【解析】【解答】连接，，），交直线：于点，经过，的直线交于点，求证以为直径的圆过定点，并求出可得，又因为，定点坐标．所以。答案解析部分故答案为：A1.【答案】B【分析】连接AC，再利用平行四边形法则结合，再结合三角形法则，进而得出【解析】【解答】记直线的倾斜角为，∴，。故答案为：B.【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角。5.【答案】C2.【答案】C【解析】【解答】显然时，两直线不平行，不符合，【解析】【解答】因为直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：则，解得.经检验满足题意。故答案为：C.，所以直线的一般式方程为。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等和两直线不重合检验的方法，进而得出满足要求的实数a的值。 6.【答案】D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四点共面的判断方法和平面向量基本定理，进而解方程组求出k的值。【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，9．【答案】A圆化为，则圆心为，半径为，【解析】【解答】由可得，则圆心距，所以两圆外离.则即，故答案为：D.所以圆心为，半径，【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式求出圆心距，再利用圆心距与两圆圆心到直线的距离，半径和作比较，进而判断出两圆外离。因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，7.【答案】C【解析】【解答】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，所以，即，解得：，，则，4，，，0，，所以实数的取值范围是。故答案为：A.，-4，5)，。【分析】由圆的一般式方程可得圆的标准方程为，再利用圆故答案为：C．的半径的取值范围得出实数a的取值范围，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆上有且只有两个点到直线的距【分析】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，，进而离等于1，所以，从而解绝对值不等式求出实数的取值范围。得出点B和点C的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量的模求解方法，进而得出10.【答案】C的值。【解析】【解答】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接8．【答案】B【解析】【解答】由点，1，，，2，，，2，，，0，，，如图，可得，1，，，1，，，，，因，，则为正四面体，，若，，，四点共面，可设，而，平面，于是得平面，又平面，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为中则，解得，所以。点，则，取中点M，连，则有，又，则，故答案为：B而平面平面，平面，从而有平面， ∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，所以与平面所成角的正弦值等于。故答案为：C则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．故答案为．【分析】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程，利用，，则为正四面体，为x20x+y0y=r，得圆的切线方程．，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面14.【答案】垂直，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为【解析】【解答】设过圆与圆交点的圆的方程为：中点，进而得出的长，取中点M，连，则有，再利用，进而得①出的长，再利用线线垂直证出线面垂直，从而有平面，再利用正弦函数的定义得出直线把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，与平面所成角的正弦值。所求圆的方程为：。1.【答案】故答案为：。【解析】【解答】由两点间斜率计算公式可得，故答案为.【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．【分析】设过圆与圆交点的圆的方程为：12.【答案】①，利用已知条件，把点的坐标代入①式得出实数的【解析】【解答】因为向量，，则，，值，再把代入①并化简得出所求圆的一般方程。又，则，即，解得，15.【答案】①②④所以实数等于。【解析】【解答】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，故答案为：。所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到【分析】利用向量，结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而得出平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，②正确；和的值，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出连接，，因为，，，所以，故实数的值。为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即13.【答案】，解得，所以若为中点，则点到距离为，③错误；【解析】【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，高所在的直线方程斜率为又边上的高过点，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向故所求直线方程为量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的故边上的高所在的直线方程是．公垂线距离最短，所以的最小值为，④正确．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合截距式方程求出AC边所在的直线方程，再转化为直线的一般式方故答案为：①②④．程。（2）利用边上的高垂直于结合(1)和已知条件，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用异面直线所求角的方法得出异面直线，所成1，进而得出高所在的直线方程斜率，再利用边上的高过点，再结合点斜式方程求出所求直线方程，的角；利用点到平面的距离求解方法证出点到平面的距离为定值；再利用中点的性质和点到直线的再转化为边上的高所在的直线的一般式方程。距离公式求出点到距离；再结合向量的模求解方法和三垂线定理以及数量积求两直线公垂线的方法，再利用异面直线间的公垂线距离最短得出的最小值，从而找出结论正确的序号。18.【答案】（1）解：设圆的方程为：，16.【答案】；根据题意得，【解析】【解答】因为，，分别为，的中点，设，，，故所求圆的方程为：．所以，（2）解：圆心到直线的距离，因为正方体的棱长为2，故直线与圆相交，。由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为：，再利用代入法和圆的标准方程故答案为：；。和直线的一般式方程，进而解方程组求出a，b，r的值，从而得出圆M的标准方程。【分析】利用已知条件结合三角形法则、中点的性质、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出基底表（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离与示向量；再结合正方体的棱长为2和勾股定理，得出的值。半径的比较结合直线与圆位置关系判断方法，故直线与圆相交，由弦长公式可得直线被圆截得的弦长。17.【答案】（1）解：由，．可得边所在的直线方程是：，19.【答案】（1）证明：由题意四棱锥的底面为正方形，底面，即．故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，（2）解：因为边上的高垂直于，(1)由已知因为，，分别为和的中点，则，0，，，1，，所以， 又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，则，令，得，所以，故，所以平面的法向量.又平面，（3）解：由(2)得点到平面的距离，故平面.所以点到平面的距离为.（2）解：因为，2，，，0，，，1，，所【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及数量积求投影向量的方法，进而得以，出向量在向量上的投影向量。设平面的法向量为，（2）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及平面的法向量求解方法，进而得出平面的法向量。则，即，（3）由(2)结合数量积求出点到平面的距离。令，则，，21.【答案】（1）证明：因为平面与棱交于点，又因为、是平面与平面共公故，点，所以平面平面，所以，因为是正方体，所以平面，故平面与平面的夹角的余弦值为．所以，又因为，所以，【解析】【分析】（1）由题意四棱锥的底面为正方形，底面，故以点为坐标原因为为中点，所以点为中点．点，建立空间直角坐标系，再利用，，分别为和的中点，从而得出点E，F的坐（2）证明：连接，交于，标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用法向量求解方法得出平面的一个法向量为因为，，，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出直线平面所以，所以，。所以，（2）利用已知条件结合建系的方法得出点的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积又因为平面，平面，，求向量的夹角的公式，进而得出平面与平面的夹角的余弦值。因为，所以平面，20.【答案】（1）解：因向量，，则，因为平面，于是得，所以．所以向量在向量上的投影向量.（3）解：建系如图，设，，，（2）解：因向量，，则，由(1)知， ，2，，，0，，，1，，，0，，，，，所以点的轨迹方程为；，，，，，，，，，（2）证明：由（1）可得，，令，3，，设直线的方程为，由题意可得，，，因为，，联立，整理可得，所以平面的法向量是，可得，，所以与平面所成角的正弦值为所以，；，当时等号成立．在中，令，可得，即，所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．因为，【解析】【分析】（1）利用平面与棱交于点，再利用、是平面与平面共公所以直线的方程为，令，点，所以平面平面，再利用是正方体，所以平面，可得，即，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合平行的传递性，所以，再利用为中点，从而证出点为中点。所以，（2）连接，交于，再利用，，所以，所以的中点，所以，再利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂所以以为直径的圆，直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线当时，，即，线垂直，从而证出。即以为直径的圆恒过定点．（3）利用已知条件建系，设，，，进而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的【解析】【分析】（1）设，利用半径为1，且经过坐标原点结合代入法，进而利用圆的定义得出点坐标，令，3，结合，，所以平面的法向量是，再利用数量积求向的轨迹方程。量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值，再利用二次函数的图象求最值的方法得（2）由（1）可得P，Q坐标，设直线的方程为，由题意可得，，，再利用出当时，与平面所成角的正弦值最大，并求出此时的最大值。直线与圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，在中，令，可得，从而得出点C的坐标，再利用两点求斜率公式结合点斜式方程求出直线的方程为，令，可得2.【答案】（1）解：设，因为半径为1，且经过坐标原点，，进而得出点D的坐标，再利用中点坐标公式得出的中点E的坐标，进而得出以为直径的圆 的方程，再利用赋值法证出出以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标。
简介：高二上学期数学期中练习试卷（A卷）10．已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（）一、单选题A．B．C．D．1.与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐标为()二、填空题A．(1，3，2)B．(-1，-3，2)C．(-1，3，-2)D．(1，-3，-2)11.已知点，点，向量，则点的坐标为．2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为（）12.已知，直线与直线平行，则的值为．A．B．C．D．13.已知直线过点，点，则点到直线的距离是．3.在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（）14.正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与A．B．C．D．所成角的余弦值为.4.已知，，若，则实数的值为（）15.已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：A．1B．-1C．D．①；5.箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A=“至少有一件次品”，则A的对②；立事件为（）A.至多两件次品B．至多一件次品③点到面的距离为；C．没有次品D．至少一件次品④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则6.如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）的取值范围是A．B．C．D．其中正确结论的序号是．三、解答题7.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个16.已知向量，．球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）（1）求；A.B．C．D．18．过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）（2）求；A．或B．或（3）若（），求的值．C．或D．或17.从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．9.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率．分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A.B．C．D．18.已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程；由于，故。故答案为：B（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．19.在如图所示的多面体中，且，，，且，【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关，且，平面，．系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。（1）求证：；3.【答案】A（2）求平面与平面夹角的余弦值．【解析】【解答】点在平面内的射影，20.甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次即向平面作垂线，垂足为射影，时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，（2）求甲获胜的概率．故射影的坐标。21.设为正整数，集合．对于集合中的任意故答案为：A元素和，记【分析】利用点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和．轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，从而求出射影的坐标。（1）当时，若，，求和的值；4.【答案】A（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，【解析】【解答】因为，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．所以，答案解析部分即，解得。1.【答案】故答案为：A.C【解析】【解答】∵（-1，3，-2）=，∴由向量共线性质可知答案C。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数k的值。【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐5．【答案】C标。【解析】【解答】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一2.【答案】B件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况，【解析】【解答】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为，根据对立事件的定义，事件A=“至少有一件次品”，其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“。故，故答案为：C 【分析】利用已知条件结合对立事件的定义，从而找出事件A的对立事件。【分析】利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取出的2个球恰好是1个6．【答案】D红球1个黄球的概率。【解析】【解答】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所8．【答案】D示），【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；则，，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，，，，所求的直线方程为，设平面的一个法向量为，综上可知，所求直线方程为或。故答案为：D.则，即，令，则，，【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点所以平面的一个法向量为；，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。设直线与平面所成角为，9.【答案】B【解析】【解答】记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系则，统不发生故障”为事件，则，解得。即直线与平面所成角的正弦值为。故答案为：B．故答案为：D.【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而利用互斥事件加法求概率【分析】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的公式，进而求出在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再利用已知条件在任意时刻恰有一个系统不发坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线与平面生故障的概率为，从而求出实数p的值。所成角的正弦值。10.【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】由题意，，【解析】【解答】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，令，可得直线过定点，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是。如图所示，经过的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，故答案为：B.当经过原点时，，故的取值范围是。 故答案为：C，则，【分析】由题意，将直线的一般式方程转化为，从而得出，再解方程组求交点的方法，进而求出直线过的定点坐标，再利用直线的图像结合经过定点的直线，且不经过第二象限，又因为，所以，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，再结合两点求斜率公式，从而求出实数的取值范围。11．【答案】（1，2，1）所以点到直线的距离为。【解析】【解答】设点，故答案为：。则，因为，【分析】利用已知条件结合方向向量的定义，从而求出直线的方向向量，再利用向量的坐标表示求出向量即，的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出的值，再利用两向量的夹角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而得出点所以，解得，到直线的距离。所以点的坐标为（1，2，1）。14.【答案】故答案为：（1，2，1）。【解析】【解答】如图所示：分别取的中点G，H，连接，【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出点C的坐标。12.【答案】-1则，【解析】【解答】由题意，直线与直线平行，所以是异面直线与所成角，故，解得，设正方体的棱长为2，则，当时，两直线为：，不重合，故的值为-1。由余弦定理得，故答案为：-1。。【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。故答案为：。13.【答案】【解析】【解答】直线的方向向量，【分析】分别取的中点G，H，连接，再利用中点作中位线的方法结合 中位线的性质，从而推出，所以是异面直线与所成角，设正因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，方体的棱长为2，再结合勾股定理和余弦定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故④正确.15.【答案】①②④故答案为：①②④.【解析】【解答】在正方体中，，故①正确；【分析】在正方体中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出因为，；再利用结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出则；利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出，故②正确；的值，再利用结合三角形的面积公式，得出的值，进而求出点到面设点到面的距离为，则，的距离；连接，在正方体中，，，平面，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂又，则，直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线所以，所以，垂直，所以，再结合点在正方体的侧面及其边界上运动，并即点到面的距离为，故③错误；保持，所以点的轨迹为线段，从而求出的取值范围，进而找出正确结论的序对于④，连接，号。在正方体中，16.【答案】（1）解：；平面，又平面，所以，（2）解：因为，所以平面，；又平面，所以，（3）解：因为，同理，所以，又，所以平面，即，又平面，所以，解得. 【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。即(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。即，可求得(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。则直线的方程为17.【答案】（1）解：试验的样本空间；综上：直线的方程为或．（2）解：设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，再利用点斜．式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的因此．斜率，进而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。19.【答案】（1）证明：因为平面，所以抽到的两个球都是黑球的概率为平面，平面，【解析】【分析】（1）利用已知条件用集合的形式写出试验的样本空间。所以，且，（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出抽到的两个球都是黑球的概率。因为，18.【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，所以则，，，，，，，所又因为，所以以，，又因为直线过点，直线的方程为，即．所以；（2）解：若直线斜率不存在，则直线：（2）解：，此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题设平面的法向量为，意．若直线斜率存在，设直线的斜率为则，即，设直线：，与轴交点为点令，有，令，解得设平面的法向量为，所以点坐标为则，即，直线与直线的交点为点令，有，因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 设平面和平面的夹角为，，，．（2）解：设；所以平面和平面的夹角的余弦值为．；【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以；，且，再利用，以为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出数量积的值，再结合数量积为；0两向量垂直的等价关系，从而证出。．（2）利用空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量则积求向量夹角的公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值。对于中的不同元素，经验证，20.【答案】（1）解：设事件“甲在第次投篮投中”，其中所以中至多1个元素属于B，设事件“乙在第次投篮投中”，其中所以集合B中至多5个元素．则，，其中取记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，满足条件．此时集合B=，事件与事件相互独立所以集合B中至多有5个元素．根据事件独立性定义得：【解析】【分析】（1）设为正整数，集合．对于甲乙各投球一次，比赛结束的概率为集合中的任意元素和，记（2）解：记“甲获胜”为事件，，再利用已知条件当事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：时，，，再结合的定义结合代入法，得出和的甲获胜的概率为．值。【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出甲、乙各（2）利用当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，投球一次，比赛结束的概率。结合，再结合并（2）记“甲获胜”为事件，利用已知条件得出，所以事件、事件集的运算法则结合元素与集合的关系，从而得出集合B中至多有5个元素。、事件彼此互斥，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲获胜的概率。21.【答案】（1）解：因为，，所以 高二上学期数学期中练习试卷（B卷）概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9一、单选题表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38011.直线的倾斜角为（）2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983A．B．C．D．据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（）2.已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．A．B．二、填空题11.已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为.C．D．12.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为.3.已知向量，，若与共线，则实数的值为（）13.如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则A．-2B．-1C．1D．2.4.同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（）A.B．C．D．14.已知事件A与互斥，且，，则，5.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为.（）15.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为A．B．C．D．戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.6.如图，在长方体中，化简（）492A．B．C．D．3577.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）816A.至少一次中靶B．至多一次中靶（1）试验的样本空间包含个样本点；C．至多两次中靶D．两次都中靶（2）使得这三个数之和等于15的概率是.8.如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则三、解答题16．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：（）（1）BC边所在直线的方程；A.1B．C．D．2（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．9.已知向量，若向量共面，则实数的值为17．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（）（1）写出试验的样本空间；A．-3B．-1C．1D．3（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.10.已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的 故答案为：B.18.已知向量，．（1）求；【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。（2）求；2.【答案】A（3）若（），求的值．【解析】【解答】设与直线平行的直线l的方程为，19.某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别把点代入可得，解得．为和，两种大树成活与否互不影响.因此直线l的方程为（1）求甲种大树成活两棵的概率；故答案为：A．（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.【分析】根据题意由已知条件结合直线平行的性质设出直线的方程，再由待定系数法代入数值计算出m的20.在直三棱柱中，，，点，分别为，值，从而得出直线的方程。的中点.3.【答案】D（1）证明：；【解析】【解答】由题设，有，，则，可得.（2）求直线与平面所成的角；故答案为：D（3）求点到平面的距离.21.如图，在四棱锥中，底面，，//，点为【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。的中点，，，.4.【答案】A【解析】【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，（1）求证：平面；基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，（2）求平面与平面的夹角；出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.则两枚硬币均为正面向上的概率.答案解析部分故答案为：A．1.【答案】B【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出【解析】【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，结果即可。因直线的方程为，故其斜率，则有，5.【答案】C又由，则，【解析】【解答】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从图中 可以看出，因为，，，其中，所以，所以故答案为：A故答案为：C【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合斜率的加、减运算性质以及数量积的公式代入数值计算出结果【分析】由已知条件即可得出直线的倾斜角，再由斜率公式结合正切函数的单调性即可得出斜率的大小。即可。6.【答案】A9.【答案】B【解析】【解答】解：如图：，【解析】【解答】解：因为向量共面，故答案为：A.所以存在实数使得，即【分析】由长方体的几何性质，结合斜率加减运算公式计算出结果即可。所以，解得7.【答案】D【解析】【解答】设“只有一次中靶”为事件A故答案为：B设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，显然，不互斥，A选项错误；【分析】由空间向量共面的坐标公式，结合线性运算性质整理化简计算出m的值即可。设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不10.【答案】D互斥，B选项错误；【解析】【解答】设“4件产品中至少有3件为合格品”为事件A，设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然20组随机数中，从左到右，第二行第六列的1040包含两个0，即4件产品中有2件不合格，不在事件A中，，不互斥，C选项错误；其余均在A中，所以A中包含的个数为19，故故答案为：D设“两次都中靶”为事件E，则，，满足互斥而不对立所需要的条件，D符合题意.【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结故答案为：D果即可。1.【答案】【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。【解析】【解答】由题设，直线过且与轴垂直，则直线的方程为.8.【答案】A故答案为：【解析】【解答】解：根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，【分析】根据题意由直线垂直的性质，由点斜式即可求出直线的方程。所以在直角三角形中，12.【答案】 【解析】【解答】点在平面内射影，只需即可，16.【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0∴在平面内射影的坐标为.（2）解：kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即故答案为：【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写【分析】由空间向量的射影坐标公式，代入数值计算出结果即可。出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.13.【答案】117.【答案】（1）试验的样本空间为：【解析】【解答】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，（2）设事件“摸出的两个球的颜色相同”则，所以，所以，，故答案为：1.所以【分析】根据题意由中点的性质即可得出线线平行，再由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，即可列举出样本空间的事件个数。14．【答案】0.6；0.9(2)据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即【解析】【解答】因为事件与是对立事件，且，所以；因为事可。件A与互斥，所以18.【答案】（1）解：；故答案为：0.6，0.9（2）解：；【分析】由对立、互斥事件的概率公式，计算出结果即可。15．【答案】（1）10（3）解：因为，（2）所以，【解析】【解答】从五个阳数中随机抽取三个数，取法有，，，，即，，，，，，，故试验的样本空间包含10个样解得.本点，其中当抽到或者时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为.【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。故答案为：10，(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。19.【答案】（1）设事件“甲种大树成活两棵”，则 设直线与平面所成角为（2）设事件“甲种大树成活一棵”，则∴直线与平面所成角为；（3）设事件“乙种大树成活一棵”，（3）点到平面的距离.则设事件“乙种大树成活两棵”，【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公代则入数值计算出，由此得证出。设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，(2)由已知条件求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角则的关系，代入数值计算出直线与平面所成角的正弦值，由此即可得出直线与平面【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。所成的角。(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。(3)根据题意结合点到平面的距离公式，代入数值计算出结果即可。(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。21.【答案】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，20.【答案】（1）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如建立如图所示的空间直角坐标系.图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，，，∵，由，∴令，则，，∴平面的一个法向量为，∴∴；由，，∴，（2）设平面的法向量为∵平面，∴平面，（2）解：∵底面，底面，∴，∵，，∴平面，∴平面的一个法向量为，由设平面与平面的夹角为，令，则，则，又由图示得为锐角，∴平面的一个法向量为由∴平面与平面的夹角为. （3）解：设在线段上存在点，满足（），，若平面，则，所以，解得，所以在线段上存在点，使平面，此时.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由数量积的坐标公式计算出，从而得出结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面的所成的角。(3)根据题意假设存在点F，由此得到，结合线面垂直与向量夹角之间的关系，由此得到关于的值，从而建立得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷A．若，垂直于同一平面，则与平行一、单选题B．若，平行于平面，则与平行1．长方体中，化简（）C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面A．B．C．D．D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线2.已知，，若，则实数，的值分别为（）9.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A．，B．，A.直线与直线垂直，直线平面C．5，2D．-5，-2B.直线与直线平行，直线平面3.过点且与向量垂直的向量（）C.直线与直线相交，直线平面A．有且只有一个B．有无数个且共面D.直线与直线异面，直线平面C．只有两个且方向相反D．有无数个且共线10.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）最大值为（）A．，B．，A．B．C．D．C．，D．，二、填空题5.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系11.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为.式成立的是（）12.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．A．B．13．平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为．C．D．14．已知，，则以，为邻边的平行四边形的面积为.6．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为15．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为．（）16．已知关于向量的命题，A．2B．4C．6D．以上都不对⑴是，共线的充分不必要条件；7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方⑵若，则存在唯一的实数，使；形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）⑶，，则；⑷若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；A．B．C．D．⑸．8.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（） 在以上命题中，所有正确命题的序号是．三、解答题∴，∴。17.正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：故答案为：A．（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出实数，的值。3.【答案】B（3）点到平面的距离．【解析】【解答】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设18.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且为平面，．则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面。（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；故答案为：B．（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值．【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点且与19.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．向量垂直的向量有无数个且共面。（1）证明：AC⊥SB；4.【答案】C（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；【解析】【解答】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，（3）求点B到平面CMN的距离．时满足，答案解析部分对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误。1.【答案】C故答案为：C．【解析】【解答】如图，。【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面垂直的判定定理，再结合向量共线故答案为：C.的坐标表示，进而得出能使的和的坐标。5.【答案】D【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而化简【解析】【解答】由于直线与平面的夹角为，。其中，2.【答案】A所以，【解析】【解答】∵，，所以。∴，故答案为：D 【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答【分析】由于直线与平面的夹角为，其中，再利用正弦函数的图象，从而得出案。，再利用诱导公式结合方向向量的定义和已知条件，从而结合数量积求向量夹角公式，从而求出9．【答案】A【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),。D1(0,0.2),M(1,0,1),N(1,1,1),B1(2,2,2),6.【答案】A【解析】【解答】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以。故答案为：A．【分析】利用已知条件结合点关于面对称的方法，从而求出点关于平面的对称点B的坐标，再结合空间两点距离公式，从而求出的值。对于A:因为因为所以,7.【答案】C即,又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符【解析】【解答】如图，合题意；设，则，对于B:由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；对于C:A1D与D1B是异面的,不平行，故C不符合题意；由题意，即，化简得，对于D:A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；故答案为：A.解得（负值舍去）.【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，故答案为：C.对于B：若A知这显然不平行，所以B不正确；【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.对于C：显然，直线与直线是异面直线，故C错误；8.【答案】C对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。【解析】【解答】A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除A.10.【答案】AB，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除B.【解析】【解答】解：如图截面，S=6，C，若与垂直于同一平面则，所以C符合题意.故答案为：A.D，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除D.【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面所成的角相等，得到平面与其中一条对角线垂直，此时故答案为：C截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值. 1.【答案】14π出直线与平面的位置关系。【解析】【解答】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，14.【答案】∴长方体的对角线长为：，【解析】【解答】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，因，，∴球半径为R=，所以，，，可得球的表面积为4πR2=14π。所以。故答案为14π。故答案为：。【分析】利用已知条件得出长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，再利用勾股定理得出长方体【分析】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，再利用向量的坐标运算得出的对角线长，再结合长方体的对角线长恰好是外接球的直径，从而求出球的直径，进而求出球的半径，再结合球的表面积公式求出球的表面积。向量，的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出，的值，再利用菱形的面积公式，从而求出以，为邻边的平行四边形的面积。12.【答案】【解析】【解答】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴r=，∵R2=r2+h2，∴h=R15.【答案】【解析】【解答】如图正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、所以。、，由正四棱锥的性质知平面，，，故答案为：。所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面弧长与底面圆的周长的关系，从而利用圆的周长公式，得出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，从而得出圆锥的体积。。13.【答案】平面或平面【解析】【解答】由题意，平面的法向量为，向量，故答案为：。若平面，则成立，若平面，则平面，∴直线与平面的位置关系为平面或平面，【分析】在正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、、故答案为：平面或平面。，由正四棱锥的性质知平面，，，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3结合余弦函数的定义和勾股定理，进而【分析】利用已知条件结合法向量的定义，再结合两向量垂直的判断方法和线面位置关系判断方法，从而推 求出侧面与底面所成二面角的余弦值。所以异面直线与所成角的余弦值为．16．【答案】（1）（4）【解析】【解答】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，（2）解：取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；由正四棱锥特性知平面，，，，（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；所以为二面角的平面角，（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；，所以，（4）令，则，所以，无解，即所以二面角的余弦值为，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（3）解：设点到平面的距离为，（5），即（5）错误．由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，命题（1）（4）正，确．故答案为：（1）（4）．因为，所以，【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，得出是，共线的充分所以，不必要条件；利用已知条件结合向量共线定理，得出若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数所以点到平面的距离为．，使；利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量相等的判断方法，从而【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，再利用是正得出若，，说明，，不一定存在；利用已知条件结合平面向量四棱柱，为下底面正方形的中心，所以，所以为异面直线与所的基底的判断方法，从而得出若为空间的一个基底，则构成空间的另一成角，再利用余弦函数的定义和勾股定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。基底；利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的求解方法，进而得出，（2）取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，由正四棱锥特性从而找出正确命题的序号。知平面，，，，所以为二面角17.【答案】（1）解：取中点，连接，，，的平面角，再利用正切函数的定义，得出的值，进而求出的值，从而因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，求出二面角的余弦值。所以，（3）设点到平面的距离为，由（1）知，所以点到平面的距离也所以为异面直线与所成角，，为，再利用三角形的面积与四边形的面积公式的关系式，得出的值，再利用等体积法结合三棱锥的 体积公式，得出点到平面的距离。向量夹角公式得出与所成的余弦值，进而求出与所成角的大小。18.【答案】（1）解：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）利用已知条件结合向量的坐标表示结合向量共线的坐标表示，从而结合空间两点的距离公式和已知条件因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，，从而得出点P的坐标，进而得出为中点，再结合，又因为，所以，结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，同理得出平面的法向量，利用二面角为锐角，进而求出二面角的平面角的余弦所以与底面所成的角为45°．值。因为，，，19.【答案】（1）证明：取AC中点O，连结OS、OB所以，，∵，，∴，且∵平面平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC所以与所成的余弦值为，∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO所以与所成角的大小为60°．如图建立空间直角坐标系O—xyz：则，（2）解：∵，，设，则，，，∴，因为，所以，，∵∴解得，于是，即为中点，（2）解：由⑴得，又，，设平面的法向量为，设为平面CMN的一个法向量，则，取则，∴，令，又为平面ABC的一个法向量平面的法向量可取，因为二面角为锐角，∴∴所以二面角的平面角的余弦值为．（3）解：由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，利用是在平面内投影，所以∴点B到平面CMN的距离为与底面的所成角，再利用，所以，从而得出与底【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OS、OB，再利用，结合等腰三角形三线合面所成的角，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再由数量积求一，得出且，再利用平面平面ABC结合面面垂直的性质定理，得出线面垂 直，所以SO⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以SO⊥BO，建立空间直角坐标系O—xyz，从而结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，进而证出AC⊥SB。（2）由⑴得，，设为平面CMN的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面CMN的一个法向量，再利用向量为平面ABC的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角N-CM-B的正切值大小。（3）由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，从而结合数量积得出点B到平面CMN的距离。 高二上学期数学期中质量检测试卷与平面所成角的正弦值等于（）一、选择题A.B．C．D．1.直线的倾斜角为（）二、填空题A．B．C．D．11.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为.2.已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（）12.已知向量，，若，则实数等于．A．B．13.过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程C．D．14.经过点以及圆与圆交点的圆的方程3.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）为．A．B．15.如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：C．D．①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；4．在平行六面体中，（）A．B．C．D．③若为中点，则点到距离为；④的最小值为5．已知直线和直线互相平行，则等于（）则其中所有正确结论的序号是．A．2B．-2C．±2D．016．如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，设，6.圆与圆的位置关系是（），，以为基底，则用基底表示向量；A．内含B．相交C．外切D．外离．7．在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，，则三、解答题（）17．三角形的三个顶点分别是．A．5B．C．D．（1）求边所在的直线方程；8．已知点，，，，若，，，四点共面，则（）（2）求边上的高所在的直线方程．A．B．C．D．18．已知圆过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；9．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围是（）（2）试判断直线：与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．19.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和A．B．C．D．的中点．10．如图，在平行六面体中，，，则 【分析】利用已知条件结合点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。（1）求证：平面；3.【答案】D（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【解析】【解答】对于A：因为，所以，，共面，不能构成基20.在空间直角坐标系中，已知向量，，．底，A不符合题意，（1）求向量在向量上的投影向量；对于B：因为，所以，，共面，不能构成基底，B不符合题意，（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离．对于C：因为，，，共面，不能构成基底，C不符合题意，21.在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面对于D：若，，共面，则，即，则与棱交于点．，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，D符合题意.（1）求证：点为中点；（2）求证：；故答案为：D．（3）当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．22.在平面直角坐标系中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点，设动圆的圆心为．【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的判断方法，再结合向量共线的坐标表示，进而找出可以构成空间的另一个基底的选项。（1）求点的轨迹方程；4.【答案】A（2）设点的轨迹与轴交于，两点（在左侧），过点的直线交点的轨迹于点（异于【解析】【解答】连接，，），交直线：于点，经过，的直线交于点，求证以为直径的圆过定点，并求出可得，又因为，定点坐标．所以。答案解析部分故答案为：A1.【答案】B【分析】连接AC，再利用平行四边形法则结合，再结合三角形法则，进而得出【解析】【解答】记直线的倾斜角为，∴，。故答案为：B.【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角。5.【答案】C2.【答案】C【解析】【解答】显然时，两直线不平行，不符合，【解析】【解答】因为直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：则，解得.经检验满足题意。故答案为：C.，所以直线的一般式方程为。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等和两直线不重合检验的方法，进而得出满足要求的实数a的值。 6.【答案】D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四点共面的判断方法和平面向量基本定理，进而解方程组求出k的值。【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，9．【答案】A圆化为，则圆心为，半径为，【解析】【解答】由可得，则圆心距，所以两圆外离.则即，故答案为：D.所以圆心为，半径，【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式求出圆心距，再利用圆心距与两圆圆心到直线的距离，半径和作比较，进而判断出两圆外离。因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，7.【答案】C【解析】【解答】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，所以，即，解得：，，则，4，，，0，，所以实数的取值范围是。故答案为：A.，-4，5)，。【分析】由圆的一般式方程可得圆的标准方程为，再利用圆故答案为：C．的半径的取值范围得出实数a的取值范围，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆上有且只有两个点到直线的距【分析】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，，进而离等于1，所以，从而解绝对值不等式求出实数的取值范围。得出点B和点C的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量的模求解方法，进而得出10.【答案】C的值。【解析】【解答】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接8．【答案】B【解析】【解答】由点，1，，，2，，，2，，，0，，，如图，可得，1，，，1，，，，，因，，则为正四面体，，若，，，四点共面，可设，而，平面，于是得平面，又平面，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为中则，解得，所以。点，则，取中点M，连，则有，又，则，故答案为：B而平面平面，平面，从而有平面， ∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，所以与平面所成角的正弦值等于。故答案为：C则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．故答案为．【分析】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程，利用，，则为正四面体，为x20x+y0y=r，得圆的切线方程．，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面14.【答案】垂直，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为【解析】【解答】设过圆与圆交点的圆的方程为：中点，进而得出的长，取中点M，连，则有，再利用，进而得①出的长，再利用线线垂直证出线面垂直，从而有平面，再利用正弦函数的定义得出直线把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，与平面所成角的正弦值。所求圆的方程为：。1.【答案】故答案为：。【解析】【解答】由两点间斜率计算公式可得，故答案为.【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．【分析】设过圆与圆交点的圆的方程为：12.【答案】①，利用已知条件，把点的坐标代入①式得出实数的【解析】【解答】因为向量，，则，，值，再把代入①并化简得出所求圆的一般方程。又，则，即，解得，15.【答案】①②④所以实数等于。【解析】【解答】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，故答案为：。所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到【分析】利用向量，结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而得出平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，②正确；和的值，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出连接，，因为，，，所以，故实数的值。为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即13.【答案】，解得，所以若为中点，则点到距离为，③错误；【解析】【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，高所在的直线方程斜率为又边上的高过点，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向故所求直线方程为量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的故边上的高所在的直线方程是．公垂线距离最短，所以的最小值为，④正确．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合截距式方程求出AC边所在的直线方程，再转化为直线的一般式方故答案为：①②④．程。（2）利用边上的高垂直于结合(1)和已知条件，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用异面直线所求角的方法得出异面直线，所成1，进而得出高所在的直线方程斜率，再利用边上的高过点，再结合点斜式方程求出所求直线方程，的角；利用点到平面的距离求解方法证出点到平面的距离为定值；再利用中点的性质和点到直线的再转化为边上的高所在的直线的一般式方程。距离公式求出点到距离；再结合向量的模求解方法和三垂线定理以及数量积求两直线公垂线的方法，再利用异面直线间的公垂线距离最短得出的最小值，从而找出结论正确的序号。18.【答案】（1）解：设圆的方程为：，16.【答案】；根据题意得，【解析】【解答】因为，，分别为，的中点，设，，，故所求圆的方程为：．所以，（2）解：圆心到直线的距离，因为正方体的棱长为2，故直线与圆相交，。由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为：，再利用代入法和圆的标准方程故答案为：；。和直线的一般式方程，进而解方程组求出a，b，r的值，从而得出圆M的标准方程。【分析】利用已知条件结合三角形法则、中点的性质、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出基底表（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离与示向量；再结合正方体的棱长为2和勾股定理，得出的值。半径的比较结合直线与圆位置关系判断方法，故直线与圆相交，由弦长公式可得直线被圆截得的弦长。17.【答案】（1）解：由，．可得边所在的直线方程是：，19.【答案】（1）证明：由题意四棱锥的底面为正方形，底面，即．故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，（2）解：因为边上的高垂直于，(1)由已知因为，，分别为和的中点，则，0，，，1，，所以， 又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，则，令，得，所以，故，所以平面的法向量.又平面，（3）解：由(2)得点到平面的距离，故平面.所以点到平面的距离为.（2）解：因为，2，，，0，，，1，，所【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及数量积求投影向量的方法，进而得以，出向量在向量上的投影向量。设平面的法向量为，（2）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及平面的法向量求解方法，进而得出平面的法向量。则，即，（3）由(2)结合数量积求出点到平面的距离。令，则，，21.【答案】（1）证明：因为平面与棱交于点，又因为、是平面与平面共公故，点，所以平面平面，所以，因为是正方体，所以平面，故平面与平面的夹角的余弦值为．所以，又因为，所以，【解析】【分析】（1）由题意四棱锥的底面为正方形，底面，故以点为坐标原因为为中点，所以点为中点．点，建立空间直角坐标系，再利用，，分别为和的中点，从而得出点E，F的坐（2）证明：连接，交于，标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用法向量求解方法得出平面的一个法向量为因为，，，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出直线平面所以，所以，。所以，（2）利用已知条件结合建系的方法得出点的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积又因为平面，平面，，求向量的夹角的公式，进而得出平面与平面的夹角的余弦值。因为，所以平面，20.【答案】（1）解：因向量，，则，因为平面，于是得，所以．所以向量在向量上的投影向量.（3）解：建系如图，设，，，（2）解：因向量，，则，由(1)知， ，2，，，0，，，1，，，0，，，，，所以点的轨迹方程为；，，，，，，，，，（2）证明：由（1）可得，，令，3，，设直线的方程为，由题意可得，，，因为，，联立，整理可得，所以平面的法向量是，可得，，所以与平面所成角的正弦值为所以，；，当时等号成立．在中，令，可得，即，所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．因为，【解析】【分析】（1）利用平面与棱交于点，再利用、是平面与平面共公所以直线的方程为，令，点，所以平面平面，再利用是正方体，所以平面，可得，即，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合平行的传递性，所以，再利用为中点，从而证出点为中点。所以，（2）连接，交于，再利用，，所以，所以的中点，所以，再利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂所以以为直径的圆，直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线当时，，即，线垂直，从而证出。即以为直径的圆恒过定点．（3）利用已知条件建系，设，，，进而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的【解析】【分析】（1）设，利用半径为1，且经过坐标原点结合代入法，进而利用圆的定义得出点坐标，令，3，结合，，所以平面的法向量是，再利用数量积求向的轨迹方程。量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值，再利用二次函数的图象求最值的方法得（2）由（1）可得P，Q坐标，设直线的方程为，由题意可得，，，再利用出当时，与平面所成角的正弦值最大，并求出此时的最大值。直线与圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，在中，令，可得，从而得出点C的坐标，再利用两点求斜率公式结合点斜式方程求出直线的方程为，令，可得2.【答案】（1）解：设，因为半径为1，且经过坐标原点，，进而得出点D的坐标，再利用中点坐标公式得出的中点E的坐标，进而得出以为直径的圆 的方程，再利用赋值法证出出以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标。
简介：高二上学期数学期中练习试卷（A卷）10．已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（）一、单选题A．B．C．D．1.与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐标为()二、填空题A．(1，3，2)B．(-1，-3，2)C．(-1，3，-2)D．(1，-3，-2)11.已知点，点，向量，则点的坐标为．2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为（）12.已知，直线与直线平行，则的值为．A．B．C．D．13.已知直线过点，点，则点到直线的距离是．3.在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（）14.正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与A．B．C．D．所成角的余弦值为.4.已知，，若，则实数的值为（）15.已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：A．1B．-1C．D．①；5.箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A=“至少有一件次品”，则A的对②；立事件为（）A.至多两件次品B．至多一件次品③点到面的距离为；C．没有次品D．至少一件次品④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则6.如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）的取值范围是A．B．C．D．其中正确结论的序号是．三、解答题7.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个16.已知向量，．球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）（1）求；A.B．C．D．18．过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）（2）求；A．或B．或（3）若（），求的值．C．或D．或17.从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．9.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率．分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A.B．C．D．18.已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程；由于，故。故答案为：B（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．19.在如图所示的多面体中，且，，，且，【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关，且，平面，．系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。（1）求证：；3.【答案】A（2）求平面与平面夹角的余弦值．【解析】【解答】点在平面内的射影，20.甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次即向平面作垂线，垂足为射影，时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，（2）求甲获胜的概率．故射影的坐标。21.设为正整数，集合．对于集合中的任意故答案为：A元素和，记【分析】利用点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和．轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，从而求出射影的坐标。（1）当时，若，，求和的值；4.【答案】A（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，【解析】【解答】因为，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．所以，答案解析部分即，解得。1.【答案】故答案为：A.C【解析】【解答】∵（-1，3，-2）=，∴由向量共线性质可知答案C。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数k的值。【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐5．【答案】C标。【解析】【解答】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一2.【答案】B件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况，【解析】【解答】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为，根据对立事件的定义，事件A=“至少有一件次品”，其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“。故，故答案为：C 【分析】利用已知条件结合对立事件的定义，从而找出事件A的对立事件。【分析】利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取出的2个球恰好是1个6．【答案】D红球1个黄球的概率。【解析】【解答】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所8．【答案】D示），【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；则，，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，，，，所求的直线方程为，设平面的一个法向量为，综上可知，所求直线方程为或。故答案为：D.则，即，令，则，，【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点所以平面的一个法向量为；，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。设直线与平面所成角为，9.【答案】B【解析】【解答】记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系则，统不发生故障”为事件，则，解得。即直线与平面所成角的正弦值为。故答案为：B．故答案为：D.【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而利用互斥事件加法求概率【分析】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的公式，进而求出在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再利用已知条件在任意时刻恰有一个系统不发坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线与平面生故障的概率为，从而求出实数p的值。所成角的正弦值。10.【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】由题意，，【解析】【解答】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，令，可得直线过定点，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是。如图所示，经过的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，故答案为：B.当经过原点时，，故的取值范围是。 故答案为：C，则，【分析】由题意，将直线的一般式方程转化为，从而得出，再解方程组求交点的方法，进而求出直线过的定点坐标，再利用直线的图像结合经过定点的直线，且不经过第二象限，又因为，所以，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，再结合两点求斜率公式，从而求出实数的取值范围。11．【答案】（1，2，1）所以点到直线的距离为。【解析】【解答】设点，故答案为：。则，因为，【分析】利用已知条件结合方向向量的定义，从而求出直线的方向向量，再利用向量的坐标表示求出向量即，的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出的值，再利用两向量的夹角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而得出点所以，解得，到直线的距离。所以点的坐标为（1，2，1）。14.【答案】故答案为：（1，2，1）。【解析】【解答】如图所示：分别取的中点G，H，连接，【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出点C的坐标。12.【答案】-1则，【解析】【解答】由题意，直线与直线平行，所以是异面直线与所成角，故，解得，设正方体的棱长为2，则，当时，两直线为：，不重合，故的值为-1。由余弦定理得，故答案为：-1。。【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。故答案为：。13.【答案】【解析】【解答】直线的方向向量，【分析】分别取的中点G，H，连接，再利用中点作中位线的方法结合 中位线的性质，从而推出，所以是异面直线与所成角，设正因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，方体的棱长为2，再结合勾股定理和余弦定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故④正确.15.【答案】①②④故答案为：①②④.【解析】【解答】在正方体中，，故①正确；【分析】在正方体中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出因为，；再利用结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出则；利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出，故②正确；的值，再利用结合三角形的面积公式，得出的值，进而求出点到面设点到面的距离为，则，的距离；连接，在正方体中，，，平面，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂又，则，直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线所以，所以，垂直，所以，再结合点在正方体的侧面及其边界上运动，并即点到面的距离为，故③错误；保持，所以点的轨迹为线段，从而求出的取值范围，进而找出正确结论的序对于④，连接，号。在正方体中，16.【答案】（1）解：；平面，又平面，所以，（2）解：因为，所以平面，；又平面，所以，（3）解：因为，同理，所以，又，所以平面，即，又平面，所以，解得. 【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。即(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。即，可求得(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。则直线的方程为17.【答案】（1）解：试验的样本空间；综上：直线的方程为或．（2）解：设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，再利用点斜．式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的因此．斜率，进而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。19.【答案】（1）证明：因为平面，所以抽到的两个球都是黑球的概率为平面，平面，【解析】【分析】（1）利用已知条件用集合的形式写出试验的样本空间。所以，且，（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出抽到的两个球都是黑球的概率。因为，18.【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，所以则，，，，，，，所又因为，所以以，，又因为直线过点，直线的方程为，即．所以；（2）解：若直线斜率不存在，则直线：（2）解：，此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题设平面的法向量为，意．若直线斜率存在，设直线的斜率为则，即，设直线：，与轴交点为点令，有，令，解得设平面的法向量为，所以点坐标为则，即，直线与直线的交点为点令，有，因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 设平面和平面的夹角为，，，．（2）解：设；所以平面和平面的夹角的余弦值为．；【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以；，且，再利用，以为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出数量积的值，再结合数量积为；0两向量垂直的等价关系，从而证出。．（2）利用空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量则积求向量夹角的公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值。对于中的不同元素，经验证，20.【答案】（1）解：设事件“甲在第次投篮投中”，其中所以中至多1个元素属于B，设事件“乙在第次投篮投中”，其中所以集合B中至多5个元素．则，，其中取记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，满足条件．此时集合B=，事件与事件相互独立所以集合B中至多有5个元素．根据事件独立性定义得：【解析】【分析】（1）设为正整数，集合．对于甲乙各投球一次，比赛结束的概率为集合中的任意元素和，记（2）解：记“甲获胜”为事件，，再利用已知条件当事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：时，，，再结合的定义结合代入法，得出和的甲获胜的概率为．值。【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出甲、乙各（2）利用当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，投球一次，比赛结束的概率。结合，再结合并（2）记“甲获胜”为事件，利用已知条件得出，所以事件、事件集的运算法则结合元素与集合的关系，从而得出集合B中至多有5个元素。、事件彼此互斥，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲获胜的概率。21.【答案】（1）解：因为，，所以 高二上学期数学期中练习试卷（B卷）概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9一、单选题表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38011.直线的倾斜角为（）2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983A．B．C．D．据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（）2.已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．A．B．二、填空题11.已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为.C．D．12.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为.3.已知向量，，若与共线，则实数的值为（）13.如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则A．-2B．-1C．1D．2.4.同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（）A.B．C．D．14.已知事件A与互斥，且，，则，5.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为.（）15.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为A．B．C．D．戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.6.如图，在长方体中，化简（）492A．B．C．D．3577.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）816A.至少一次中靶B．至多一次中靶（1）试验的样本空间包含个样本点；C．至多两次中靶D．两次都中靶（2）使得这三个数之和等于15的概率是.8.如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则三、解答题16．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：（）（1）BC边所在直线的方程；A.1B．C．D．2（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．9.已知向量，若向量共面，则实数的值为17．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（）（1）写出试验的样本空间；A．-3B．-1C．1D．3（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.10.已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的 故答案为：B.18.已知向量，．（1）求；【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。（2）求；2.【答案】A（3）若（），求的值．【解析】【解答】设与直线平行的直线l的方程为，19.某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别把点代入可得，解得．为和，两种大树成活与否互不影响.因此直线l的方程为（1）求甲种大树成活两棵的概率；故答案为：A．（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.【分析】根据题意由已知条件结合直线平行的性质设出直线的方程，再由待定系数法代入数值计算出m的20.在直三棱柱中，，，点，分别为，值，从而得出直线的方程。的中点.3.【答案】D（1）证明：；【解析】【解答】由题设，有，，则，可得.（2）求直线与平面所成的角；故答案为：D（3）求点到平面的距离.21.如图，在四棱锥中，底面，，//，点为【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。的中点，，，.4.【答案】A【解析】【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，（1）求证：平面；基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，（2）求平面与平面的夹角；出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.则两枚硬币均为正面向上的概率.答案解析部分故答案为：A．1.【答案】B【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出【解析】【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，结果即可。因直线的方程为，故其斜率，则有，5.【答案】C又由，则，【解析】【解答】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从图中 可以看出，因为，，，其中，所以，所以故答案为：A故答案为：C【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合斜率的加、减运算性质以及数量积的公式代入数值计算出结果【分析】由已知条件即可得出直线的倾斜角，再由斜率公式结合正切函数的单调性即可得出斜率的大小。即可。6.【答案】A9.【答案】B【解析】【解答】解：如图：，【解析】【解答】解：因为向量共面，故答案为：A.所以存在实数使得，即【分析】由长方体的几何性质，结合斜率加减运算公式计算出结果即可。所以，解得7.【答案】D【解析】【解答】设“只有一次中靶”为事件A故答案为：B设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，显然，不互斥，A选项错误；【分析】由空间向量共面的坐标公式，结合线性运算性质整理化简计算出m的值即可。设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不10.【答案】D互斥，B选项错误；【解析】【解答】设“4件产品中至少有3件为合格品”为事件A，设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然20组随机数中，从左到右，第二行第六列的1040包含两个0，即4件产品中有2件不合格，不在事件A中，，不互斥，C选项错误；其余均在A中，所以A中包含的个数为19，故故答案为：D设“两次都中靶”为事件E，则，，满足互斥而不对立所需要的条件，D符合题意.【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结故答案为：D果即可。1.【答案】【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。【解析】【解答】由题设，直线过且与轴垂直，则直线的方程为.8.【答案】A故答案为：【解析】【解答】解：根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，【分析】根据题意由直线垂直的性质，由点斜式即可求出直线的方程。所以在直角三角形中，12.【答案】 【解析】【解答】点在平面内射影，只需即可，16.【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0∴在平面内射影的坐标为.（2）解：kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即故答案为：【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写【分析】由空间向量的射影坐标公式，代入数值计算出结果即可。出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.13.【答案】117.【答案】（1）试验的样本空间为：【解析】【解答】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，（2）设事件“摸出的两个球的颜色相同”则，所以，所以，，故答案为：1.所以【分析】根据题意由中点的性质即可得出线线平行，再由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，即可列举出样本空间的事件个数。14．【答案】0.6；0.9(2)据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即【解析】【解答】因为事件与是对立事件，且，所以；因为事可。件A与互斥，所以18.【答案】（1）解：；故答案为：0.6，0.9（2）解：；【分析】由对立、互斥事件的概率公式，计算出结果即可。15．【答案】（1）10（3）解：因为，（2）所以，【解析】【解答】从五个阳数中随机抽取三个数，取法有，，，，即，，，，，，，故试验的样本空间包含10个样解得.本点，其中当抽到或者时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为.【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。故答案为：10，(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。19.【答案】（1）设事件“甲种大树成活两棵”，则 设直线与平面所成角为（2）设事件“甲种大树成活一棵”，则∴直线与平面所成角为；（3）设事件“乙种大树成活一棵”，（3）点到平面的距离.则设事件“乙种大树成活两棵”，【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公代则入数值计算出，由此得证出。设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，(2)由已知条件求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角则的关系，代入数值计算出直线与平面所成角的正弦值，由此即可得出直线与平面【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。所成的角。(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。(3)根据题意结合点到平面的距离公式，代入数值计算出结果即可。(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。21.【答案】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，20.【答案】（1）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如建立如图所示的空间直角坐标系.图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，，，∵，由，∴令，则，，∴平面的一个法向量为，∴∴；由，，∴，（2）设平面的法向量为∵平面，∴平面，（2）解：∵底面，底面，∴，∵，，∴平面，∴平面的一个法向量为，由设平面与平面的夹角为，令，则，则，又由图示得为锐角，∴平面的一个法向量为由∴平面与平面的夹角为. （3）解：设在线段上存在点，满足（），，若平面，则，所以，解得，所以在线段上存在点，使平面，此时.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由数量积的坐标公式计算出，从而得出结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面的所成的角。(3)根据题意假设存在点F，由此得到，结合线面垂直与向量夹角之间的关系，由此得到关于的值，从而建立得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷A．若，垂直于同一平面，则与平行一、单选题B．若，平行于平面，则与平行1．长方体中，化简（）C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面A．B．C．D．D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线2.已知，，若，则实数，的值分别为（）9.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A．，B．，A.直线与直线垂直，直线平面C．5，2D．-5，-2B.直线与直线平行，直线平面3.过点且与向量垂直的向量（）C.直线与直线相交，直线平面A．有且只有一个B．有无数个且共面D.直线与直线异面，直线平面C．只有两个且方向相反D．有无数个且共线10.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）最大值为（）A．，B．，A．B．C．D．C．，D．，二、填空题5.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系11.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为.式成立的是（）12.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．A．B．13．平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为．C．D．14．已知，，则以，为邻边的平行四边形的面积为.6．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为15．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为．（）16．已知关于向量的命题，A．2B．4C．6D．以上都不对⑴是，共线的充分不必要条件；7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方⑵若，则存在唯一的实数，使；形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）⑶，，则；⑷若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；A．B．C．D．⑸．8.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（） 在以上命题中，所有正确命题的序号是．三、解答题∴，∴。17.正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：故答案为：A．（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出实数，的值。3.【答案】B（3）点到平面的距离．【解析】【解答】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设18.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且为平面，．则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面。（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；故答案为：B．（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值．【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点且与19.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．向量垂直的向量有无数个且共面。（1）证明：AC⊥SB；4.【答案】C（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；【解析】【解答】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，（3）求点B到平面CMN的距离．时满足，答案解析部分对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误。1.【答案】C故答案为：C．【解析】【解答】如图，。【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面垂直的判定定理，再结合向量共线故答案为：C.的坐标表示，进而得出能使的和的坐标。5.【答案】D【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而化简【解析】【解答】由于直线与平面的夹角为，。其中，2.【答案】A所以，【解析】【解答】∵，，所以。∴，故答案为：D 【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答【分析】由于直线与平面的夹角为，其中，再利用正弦函数的图象，从而得出案。，再利用诱导公式结合方向向量的定义和已知条件，从而结合数量积求向量夹角公式，从而求出9．【答案】A【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),。D1(0,0.2),M(1,0,1),N(1,1,1),B1(2,2,2),6.【答案】A【解析】【解答】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以。故答案为：A．【分析】利用已知条件结合点关于面对称的方法，从而求出点关于平面的对称点B的坐标，再结合空间两点距离公式，从而求出的值。对于A:因为因为所以,7.【答案】C即,又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符【解析】【解答】如图，合题意；设，则，对于B:由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；对于C:A1D与D1B是异面的,不平行，故C不符合题意；由题意，即，化简得，对于D:A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；故答案为：A.解得（负值舍去）.【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，故答案为：C.对于B：若A知这显然不平行，所以B不正确；【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.对于C：显然，直线与直线是异面直线，故C错误；8.【答案】C对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。【解析】【解答】A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除A.10.【答案】AB，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除B.【解析】【解答】解：如图截面，S=6，C，若与垂直于同一平面则，所以C符合题意.故答案为：A.D，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除D.【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面所成的角相等，得到平面与其中一条对角线垂直，此时故答案为：C截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值. 1.【答案】14π出直线与平面的位置关系。【解析】【解答】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，14.【答案】∴长方体的对角线长为：，【解析】【解答】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，因，，∴球半径为R=，所以，，，可得球的表面积为4πR2=14π。所以。故答案为14π。故答案为：。【分析】利用已知条件得出长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，再利用勾股定理得出长方体【分析】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，再利用向量的坐标运算得出的对角线长，再结合长方体的对角线长恰好是外接球的直径，从而求出球的直径，进而求出球的半径，再结合球的表面积公式求出球的表面积。向量，的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出，的值，再利用菱形的面积公式，从而求出以，为邻边的平行四边形的面积。12.【答案】【解析】【解答】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴r=，∵R2=r2+h2，∴h=R15.【答案】【解析】【解答】如图正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、所以。、，由正四棱锥的性质知平面，，，故答案为：。所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面弧长与底面圆的周长的关系，从而利用圆的周长公式，得出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，从而得出圆锥的体积。。13.【答案】平面或平面【解析】【解答】由题意，平面的法向量为，向量，故答案为：。若平面，则成立，若平面，则平面，∴直线与平面的位置关系为平面或平面，【分析】在正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、、故答案为：平面或平面。，由正四棱锥的性质知平面，，，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3结合余弦函数的定义和勾股定理，进而【分析】利用已知条件结合法向量的定义，再结合两向量垂直的判断方法和线面位置关系判断方法，从而推 求出侧面与底面所成二面角的余弦值。所以异面直线与所成角的余弦值为．16．【答案】（1）（4）【解析】【解答】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，（2）解：取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；由正四棱锥特性知平面，，，，（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；所以为二面角的平面角，（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；，所以，（4）令，则，所以，无解，即所以二面角的余弦值为，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（3）解：设点到平面的距离为，（5），即（5）错误．由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，命题（1）（4）正，确．故答案为：（1）（4）．因为，所以，【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，得出是，共线的充分所以，不必要条件；利用已知条件结合向量共线定理，得出若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数所以点到平面的距离为．，使；利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量相等的判断方法，从而【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，再利用是正得出若，，说明，，不一定存在；利用已知条件结合平面向量四棱柱，为下底面正方形的中心，所以，所以为异面直线与所的基底的判断方法，从而得出若为空间的一个基底，则构成空间的另一成角，再利用余弦函数的定义和勾股定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。基底；利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的求解方法，进而得出，（2）取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，由正四棱锥特性从而找出正确命题的序号。知平面，，，，所以为二面角17.【答案】（1）解：取中点，连接，，，的平面角，再利用正切函数的定义，得出的值，进而求出的值，从而因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，求出二面角的余弦值。所以，（3）设点到平面的距离为，由（1）知，所以点到平面的距离也所以为异面直线与所成角，，为，再利用三角形的面积与四边形的面积公式的关系式，得出的值，再利用等体积法结合三棱锥的 体积公式，得出点到平面的距离。向量夹角公式得出与所成的余弦值，进而求出与所成角的大小。18.【答案】（1）解：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）利用已知条件结合向量的坐标表示结合向量共线的坐标表示，从而结合空间两点的距离公式和已知条件因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，，从而得出点P的坐标，进而得出为中点，再结合，又因为，所以，结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，同理得出平面的法向量，利用二面角为锐角，进而求出二面角的平面角的余弦所以与底面所成的角为45°．值。因为，，，19.【答案】（1）证明：取AC中点O，连结OS、OB所以，，∵，，∴，且∵平面平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC所以与所成的余弦值为，∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO所以与所成角的大小为60°．如图建立空间直角坐标系O—xyz：则，（2）解：∵，，设，则，，，∴，因为，所以，，∵∴解得，于是，即为中点，（2）解：由⑴得，又，，设平面的法向量为，设为平面CMN的一个法向量，则，取则，∴，令，又为平面ABC的一个法向量平面的法向量可取，因为二面角为锐角，∴∴所以二面角的平面角的余弦值为．（3）解：由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，利用是在平面内投影，所以∴点B到平面CMN的距离为与底面的所成角，再利用，所以，从而得出与底【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OS、OB，再利用，结合等腰三角形三线合面所成的角，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再由数量积求一，得出且，再利用平面平面ABC结合面面垂直的性质定理，得出线面垂 直，所以SO⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以SO⊥BO，建立空间直角坐标系O—xyz，从而结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，进而证出AC⊥SB。（2）由⑴得，，设为平面CMN的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面CMN的一个法向量，再利用向量为平面ABC的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角N-CM-B的正切值大小。（3）由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，从而结合数量积得出点B到平面CMN的距离。 高二上学期数学期中质量检测试卷与平面所成角的正弦值等于（）一、选择题A.B．C．D．1.直线的倾斜角为（）二、填空题A．B．C．D．11.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为.2.已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（）12.已知向量，，若，则实数等于．A．B．13.过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程C．D．14.经过点以及圆与圆交点的圆的方程3.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）为．A．B．15.如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：C．D．①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；4．在平行六面体中，（）A．B．C．D．③若为中点，则点到距离为；④的最小值为5．已知直线和直线互相平行，则等于（）则其中所有正确结论的序号是．A．2B．-2C．±2D．016．如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，设，6.圆与圆的位置关系是（），，以为基底，则用基底表示向量；A．内含B．相交C．外切D．外离．7．在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，，则三、解答题（）17．三角形的三个顶点分别是．A．5B．C．D．（1）求边所在的直线方程；8．已知点，，，，若，，，四点共面，则（）（2）求边上的高所在的直线方程．A．B．C．D．18．已知圆过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；9．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围是（）（2）试判断直线：与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．19.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和A．B．C．D．的中点．10．如图，在平行六面体中，，，则 【分析】利用已知条件结合点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。（1）求证：平面；3.【答案】D（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【解析】【解答】对于A：因为，所以，，共面，不能构成基20.在空间直角坐标系中，已知向量，，．底，A不符合题意，（1）求向量在向量上的投影向量；对于B：因为，所以，，共面，不能构成基底，B不符合题意，（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离．对于C：因为，，，共面，不能构成基底，C不符合题意，21.在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面对于D：若，，共面，则，即，则与棱交于点．，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，D符合题意.（1）求证：点为中点；（2）求证：；故答案为：D．（3）当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．22.在平面直角坐标系中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点，设动圆的圆心为．【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的判断方法，再结合向量共线的坐标表示，进而找出可以构成空间的另一个基底的选项。（1）求点的轨迹方程；4.【答案】A（2）设点的轨迹与轴交于，两点（在左侧），过点的直线交点的轨迹于点（异于【解析】【解答】连接，，），交直线：于点，经过，的直线交于点，求证以为直径的圆过定点，并求出可得，又因为，定点坐标．所以。答案解析部分故答案为：A1.【答案】B【分析】连接AC，再利用平行四边形法则结合，再结合三角形法则，进而得出【解析】【解答】记直线的倾斜角为，∴，。故答案为：B.【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角。5.【答案】C2.【答案】C【解析】【解答】显然时，两直线不平行，不符合，【解析】【解答】因为直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：则，解得.经检验满足题意。故答案为：C.，所以直线的一般式方程为。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等和两直线不重合检验的方法，进而得出满足要求的实数a的值。 6.【答案】D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四点共面的判断方法和平面向量基本定理，进而解方程组求出k的值。【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，9．【答案】A圆化为，则圆心为，半径为，【解析】【解答】由可得，则圆心距，所以两圆外离.则即，故答案为：D.所以圆心为，半径，【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式求出圆心距，再利用圆心距与两圆圆心到直线的距离，半径和作比较，进而判断出两圆外离。因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，7.【答案】C【解析】【解答】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，所以，即，解得：，，则，4，，，0，，所以实数的取值范围是。故答案为：A.，-4，5)，。【分析】由圆的一般式方程可得圆的标准方程为，再利用圆故答案为：C．的半径的取值范围得出实数a的取值范围，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆上有且只有两个点到直线的距【分析】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，，进而离等于1，所以，从而解绝对值不等式求出实数的取值范围。得出点B和点C的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量的模求解方法，进而得出10.【答案】C的值。【解析】【解答】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接8．【答案】B【解析】【解答】由点，1，，，2，，，2，，，0，，，如图，可得，1，，，1，，，，，因，，则为正四面体，，若，，，四点共面，可设，而，平面，于是得平面，又平面，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为中则，解得，所以。点，则，取中点M，连，则有，又，则，故答案为：B而平面平面，平面，从而有平面， ∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，所以与平面所成角的正弦值等于。故答案为：C则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．故答案为．【分析】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程，利用，，则为正四面体，为x20x+y0y=r，得圆的切线方程．，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面14.【答案】垂直，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为【解析】【解答】设过圆与圆交点的圆的方程为：中点，进而得出的长，取中点M，连，则有，再利用，进而得①出的长，再利用线线垂直证出线面垂直，从而有平面，再利用正弦函数的定义得出直线把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，与平面所成角的正弦值。所求圆的方程为：。1.【答案】故答案为：。【解析】【解答】由两点间斜率计算公式可得，故答案为.【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．【分析】设过圆与圆交点的圆的方程为：12.【答案】①，利用已知条件，把点的坐标代入①式得出实数的【解析】【解答】因为向量，，则，，值，再把代入①并化简得出所求圆的一般方程。又，则，即，解得，15.【答案】①②④所以实数等于。【解析】【解答】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，故答案为：。所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到【分析】利用向量，结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而得出平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，②正确；和的值，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出连接，，因为，，，所以，故实数的值。为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即13.【答案】，解得，所以若为中点，则点到距离为，③错误；【解析】【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，高所在的直线方程斜率为又边上的高过点，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向故所求直线方程为量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的故边上的高所在的直线方程是．公垂线距离最短，所以的最小值为，④正确．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合截距式方程求出AC边所在的直线方程，再转化为直线的一般式方故答案为：①②④．程。（2）利用边上的高垂直于结合(1)和已知条件，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用异面直线所求角的方法得出异面直线，所成1，进而得出高所在的直线方程斜率，再利用边上的高过点，再结合点斜式方程求出所求直线方程，的角；利用点到平面的距离求解方法证出点到平面的距离为定值；再利用中点的性质和点到直线的再转化为边上的高所在的直线的一般式方程。距离公式求出点到距离；再结合向量的模求解方法和三垂线定理以及数量积求两直线公垂线的方法，再利用异面直线间的公垂线距离最短得出的最小值，从而找出结论正确的序号。18.【答案】（1）解：设圆的方程为：，16.【答案】；根据题意得，【解析】【解答】因为，，分别为，的中点，设，，，故所求圆的方程为：．所以，（2）解：圆心到直线的距离，因为正方体的棱长为2，故直线与圆相交，。由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为：，再利用代入法和圆的标准方程故答案为：；。和直线的一般式方程，进而解方程组求出a，b，r的值，从而得出圆M的标准方程。【分析】利用已知条件结合三角形法则、中点的性质、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出基底表（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离与示向量；再结合正方体的棱长为2和勾股定理，得出的值。半径的比较结合直线与圆位置关系判断方法，故直线与圆相交，由弦长公式可得直线被圆截得的弦长。17.【答案】（1）解：由，．可得边所在的直线方程是：，19.【答案】（1）证明：由题意四棱锥的底面为正方形，底面，即．故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，（2）解：因为边上的高垂直于，(1)由已知因为，，分别为和的中点，则，0，，，1，，所以， 又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，则，令，得，所以，故，所以平面的法向量.又平面，（3）解：由(2)得点到平面的距离，故平面.所以点到平面的距离为.（2）解：因为，2，，，0，，，1，，所【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及数量积求投影向量的方法，进而得以，出向量在向量上的投影向量。设平面的法向量为，（2）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及平面的法向量求解方法，进而得出平面的法向量。则，即，（3）由(2)结合数量积求出点到平面的距离。令，则，，21.【答案】（1）证明：因为平面与棱交于点，又因为、是平面与平面共公故，点，所以平面平面，所以，因为是正方体，所以平面，故平面与平面的夹角的余弦值为．所以，又因为，所以，【解析】【分析】（1）由题意四棱锥的底面为正方形，底面，故以点为坐标原因为为中点，所以点为中点．点，建立空间直角坐标系，再利用，，分别为和的中点，从而得出点E，F的坐（2）证明：连接，交于，标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用法向量求解方法得出平面的一个法向量为因为，，，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出直线平面所以，所以，。所以，（2）利用已知条件结合建系的方法得出点的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积又因为平面，平面，，求向量的夹角的公式，进而得出平面与平面的夹角的余弦值。因为，所以平面，20.【答案】（1）解：因向量，，则，因为平面，于是得，所以．所以向量在向量上的投影向量.（3）解：建系如图，设，，，（2）解：因向量，，则，由(1)知， ，2，，，0，，，1，，，0，，，，，所以点的轨迹方程为；，，，，，，，，，（2）证明：由（1）可得，，令，3，，设直线的方程为，由题意可得，，，因为，，联立，整理可得，所以平面的法向量是，可得，，所以与平面所成角的正弦值为所以，；，当时等号成立．在中，令，可得，即，所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．因为，【解析】【分析】（1）利用平面与棱交于点，再利用、是平面与平面共公所以直线的方程为，令，点，所以平面平面，再利用是正方体，所以平面，可得，即，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合平行的传递性，所以，再利用为中点，从而证出点为中点。所以，（2）连接，交于，再利用，，所以，所以的中点，所以，再利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂所以以为直径的圆，直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线当时，，即，线垂直，从而证出。即以为直径的圆恒过定点．（3）利用已知条件建系，设，，，进而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的【解析】【分析】（1）设，利用半径为1，且经过坐标原点结合代入法，进而利用圆的定义得出点坐标，令，3，结合，，所以平面的法向量是，再利用数量积求向的轨迹方程。量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值，再利用二次函数的图象求最值的方法得（2）由（1）可得P，Q坐标，设直线的方程为，由题意可得，，，再利用出当时，与平面所成角的正弦值最大，并求出此时的最大值。直线与圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，在中，令，可得，从而得出点C的坐标，再利用两点求斜率公式结合点斜式方程求出直线的方程为，令，可得2.【答案】（1）解：设，因为半径为1，且经过坐标原点，，进而得出点D的坐标，再利用中点坐标公式得出的中点E的坐标，进而得出以为直径的圆 的方程，再利用赋值法证出出以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标。
简介：高二上学期数学期中练习试卷（A卷）10．已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（）一、单选题A．B．C．D．1.与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐标为()二、填空题A．(1，3，2)B．(-1，-3，2)C．(-1，3，-2)D．(1，-3，-2)11.已知点，点，向量，则点的坐标为．2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为（）12.已知，直线与直线平行，则的值为．A．B．C．D．13.已知直线过点，点，则点到直线的距离是．3.在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（）14.正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与A．B．C．D．所成角的余弦值为.4.已知，，若，则实数的值为（）15.已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：A．1B．-1C．D．①；5.箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A=“至少有一件次品”，则A的对②；立事件为（）A.至多两件次品B．至多一件次品③点到面的距离为；C．没有次品D．至少一件次品④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则6.如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）的取值范围是A．B．C．D．其中正确结论的序号是．三、解答题7.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个16.已知向量，．球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）（1）求；A.B．C．D．18．过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）（2）求；A．或B．或（3）若（），求的值．C．或D．或17.从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．9.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率．分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A.B．C．D．18.已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程；由于，故。故答案为：B（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．19.在如图所示的多面体中，且，，，且，【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关，且，平面，．系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。（1）求证：；3.【答案】A（2）求平面与平面夹角的余弦值．【解析】【解答】点在平面内的射影，20.甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次即向平面作垂线，垂足为射影，时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，（2）求甲获胜的概率．故射影的坐标。21.设为正整数，集合．对于集合中的任意故答案为：A元素和，记【分析】利用点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和．轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，从而求出射影的坐标。（1）当时，若，，求和的值；4.【答案】A（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，【解析】【解答】因为，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．所以，答案解析部分即，解得。1.【答案】故答案为：A.C【解析】【解答】∵（-1，3，-2）=，∴由向量共线性质可知答案C。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数k的值。【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐5．【答案】C标。【解析】【解答】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一2.【答案】B件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况，【解析】【解答】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为，根据对立事件的定义，事件A=“至少有一件次品”，其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“。故，故答案为：C 【分析】利用已知条件结合对立事件的定义，从而找出事件A的对立事件。【分析】利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取出的2个球恰好是1个6．【答案】D红球1个黄球的概率。【解析】【解答】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所8．【答案】D示），【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；则，，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，，，，所求的直线方程为，设平面的一个法向量为，综上可知，所求直线方程为或。故答案为：D.则，即，令，则，，【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点所以平面的一个法向量为；，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。设直线与平面所成角为，9.【答案】B【解析】【解答】记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系则，统不发生故障”为事件，则，解得。即直线与平面所成角的正弦值为。故答案为：B．故答案为：D.【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而利用互斥事件加法求概率【分析】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的公式，进而求出在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再利用已知条件在任意时刻恰有一个系统不发坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线与平面生故障的概率为，从而求出实数p的值。所成角的正弦值。10.【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】由题意，，【解析】【解答】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，令，可得直线过定点，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是。如图所示，经过的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，故答案为：B.当经过原点时，，故的取值范围是。 故答案为：C，则，【分析】由题意，将直线的一般式方程转化为，从而得出，再解方程组求交点的方法，进而求出直线过的定点坐标，再利用直线的图像结合经过定点的直线，且不经过第二象限，又因为，所以，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，再结合两点求斜率公式，从而求出实数的取值范围。11．【答案】（1，2，1）所以点到直线的距离为。【解析】【解答】设点，故答案为：。则，因为，【分析】利用已知条件结合方向向量的定义，从而求出直线的方向向量，再利用向量的坐标表示求出向量即，的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出的值，再利用两向量的夹角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而得出点所以，解得，到直线的距离。所以点的坐标为（1，2，1）。14.【答案】故答案为：（1，2，1）。【解析】【解答】如图所示：分别取的中点G，H，连接，【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出点C的坐标。12.【答案】-1则，【解析】【解答】由题意，直线与直线平行，所以是异面直线与所成角，故，解得，设正方体的棱长为2，则，当时，两直线为：，不重合，故的值为-1。由余弦定理得，故答案为：-1。。【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。故答案为：。13.【答案】【解析】【解答】直线的方向向量，【分析】分别取的中点G，H，连接，再利用中点作中位线的方法结合 中位线的性质，从而推出，所以是异面直线与所成角，设正因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，方体的棱长为2，再结合勾股定理和余弦定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故④正确.15.【答案】①②④故答案为：①②④.【解析】【解答】在正方体中，，故①正确；【分析】在正方体中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出因为，；再利用结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出则；利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出，故②正确；的值，再利用结合三角形的面积公式，得出的值，进而求出点到面设点到面的距离为，则，的距离；连接，在正方体中，，，平面，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂又，则，直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线所以，所以，垂直，所以，再结合点在正方体的侧面及其边界上运动，并即点到面的距离为，故③错误；保持，所以点的轨迹为线段，从而求出的取值范围，进而找出正确结论的序对于④，连接，号。在正方体中，16.【答案】（1）解：；平面，又平面，所以，（2）解：因为，所以平面，；又平面，所以，（3）解：因为，同理，所以，又，所以平面，即，又平面，所以，解得. 【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。即(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。即，可求得(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。则直线的方程为17.【答案】（1）解：试验的样本空间；综上：直线的方程为或．（2）解：设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，再利用点斜．式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的因此．斜率，进而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。19.【答案】（1）证明：因为平面，所以抽到的两个球都是黑球的概率为平面，平面，【解析】【分析】（1）利用已知条件用集合的形式写出试验的样本空间。所以，且，（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出抽到的两个球都是黑球的概率。因为，18.【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，所以则，，，，，，，所又因为，所以以，，又因为直线过点，直线的方程为，即．所以；（2）解：若直线斜率不存在，则直线：（2）解：，此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题设平面的法向量为，意．若直线斜率存在，设直线的斜率为则，即，设直线：，与轴交点为点令，有，令，解得设平面的法向量为，所以点坐标为则，即，直线与直线的交点为点令，有，因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 设平面和平面的夹角为，，，．（2）解：设；所以平面和平面的夹角的余弦值为．；【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以；，且，再利用，以为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出数量积的值，再结合数量积为；0两向量垂直的等价关系，从而证出。．（2）利用空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量则积求向量夹角的公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值。对于中的不同元素，经验证，20.【答案】（1）解：设事件“甲在第次投篮投中”，其中所以中至多1个元素属于B，设事件“乙在第次投篮投中”，其中所以集合B中至多5个元素．则，，其中取记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，满足条件．此时集合B=，事件与事件相互独立所以集合B中至多有5个元素．根据事件独立性定义得：【解析】【分析】（1）设为正整数，集合．对于甲乙各投球一次，比赛结束的概率为集合中的任意元素和，记（2）解：记“甲获胜”为事件，，再利用已知条件当事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：时，，，再结合的定义结合代入法，得出和的甲获胜的概率为．值。【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出甲、乙各（2）利用当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，投球一次，比赛结束的概率。结合，再结合并（2）记“甲获胜”为事件，利用已知条件得出，所以事件、事件集的运算法则结合元素与集合的关系，从而得出集合B中至多有5个元素。、事件彼此互斥，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲获胜的概率。21.【答案】（1）解：因为，，所以 高二上学期数学期中练习试卷（B卷）概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9一、单选题表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38011.直线的倾斜角为（）2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983A．B．C．D．据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（）2.已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．A．B．二、填空题11.已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为.C．D．12.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为.3.已知向量，，若与共线，则实数的值为（）13.如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则A．-2B．-1C．1D．2.4.同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（）A.B．C．D．14.已知事件A与互斥，且，，则，5.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为.（）15.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为A．B．C．D．戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.6.如图，在长方体中，化简（）492A．B．C．D．3577.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）816A.至少一次中靶B．至多一次中靶（1）试验的样本空间包含个样本点；C．至多两次中靶D．两次都中靶（2）使得这三个数之和等于15的概率是.8.如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则三、解答题16．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：（）（1）BC边所在直线的方程；A.1B．C．D．2（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．9.已知向量，若向量共面，则实数的值为17．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（）（1）写出试验的样本空间；A．-3B．-1C．1D．3（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.10.已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的 故答案为：B.18.已知向量，．（1）求；【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。（2）求；2.【答案】A（3）若（），求的值．【解析】【解答】设与直线平行的直线l的方程为，19.某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别把点代入可得，解得．为和，两种大树成活与否互不影响.因此直线l的方程为（1）求甲种大树成活两棵的概率；故答案为：A．（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.【分析】根据题意由已知条件结合直线平行的性质设出直线的方程，再由待定系数法代入数值计算出m的20.在直三棱柱中，，，点，分别为，值，从而得出直线的方程。的中点.3.【答案】D（1）证明：；【解析】【解答】由题设，有，，则，可得.（2）求直线与平面所成的角；故答案为：D（3）求点到平面的距离.21.如图，在四棱锥中，底面，，//，点为【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。的中点，，，.4.【答案】A【解析】【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，（1）求证：平面；基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，（2）求平面与平面的夹角；出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.则两枚硬币均为正面向上的概率.答案解析部分故答案为：A．1.【答案】B【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出【解析】【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，结果即可。因直线的方程为，故其斜率，则有，5.【答案】C又由，则，【解析】【解答】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从图中 可以看出，因为，，，其中，所以，所以故答案为：A故答案为：C【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合斜率的加、减运算性质以及数量积的公式代入数值计算出结果【分析】由已知条件即可得出直线的倾斜角，再由斜率公式结合正切函数的单调性即可得出斜率的大小。即可。6.【答案】A9.【答案】B【解析】【解答】解：如图：，【解析】【解答】解：因为向量共面，故答案为：A.所以存在实数使得，即【分析】由长方体的几何性质，结合斜率加减运算公式计算出结果即可。所以，解得7.【答案】D【解析】【解答】设“只有一次中靶”为事件A故答案为：B设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，显然，不互斥，A选项错误；【分析】由空间向量共面的坐标公式，结合线性运算性质整理化简计算出m的值即可。设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不10.【答案】D互斥，B选项错误；【解析】【解答】设“4件产品中至少有3件为合格品”为事件A，设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然20组随机数中，从左到右，第二行第六列的1040包含两个0，即4件产品中有2件不合格，不在事件A中，，不互斥，C选项错误；其余均在A中，所以A中包含的个数为19，故故答案为：D设“两次都中靶”为事件E，则，，满足互斥而不对立所需要的条件，D符合题意.【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结故答案为：D果即可。1.【答案】【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。【解析】【解答】由题设，直线过且与轴垂直，则直线的方程为.8.【答案】A故答案为：【解析】【解答】解：根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，【分析】根据题意由直线垂直的性质，由点斜式即可求出直线的方程。所以在直角三角形中，12.【答案】 【解析】【解答】点在平面内射影，只需即可，16.【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0∴在平面内射影的坐标为.（2）解：kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即故答案为：【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写【分析】由空间向量的射影坐标公式，代入数值计算出结果即可。出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.13.【答案】117.【答案】（1）试验的样本空间为：【解析】【解答】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，（2）设事件“摸出的两个球的颜色相同”则，所以，所以，，故答案为：1.所以【分析】根据题意由中点的性质即可得出线线平行，再由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，即可列举出样本空间的事件个数。14．【答案】0.6；0.9(2)据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即【解析】【解答】因为事件与是对立事件，且，所以；因为事可。件A与互斥，所以18.【答案】（1）解：；故答案为：0.6，0.9（2）解：；【分析】由对立、互斥事件的概率公式，计算出结果即可。15．【答案】（1）10（3）解：因为，（2）所以，【解析】【解答】从五个阳数中随机抽取三个数，取法有，，，，即，，，，，，，故试验的样本空间包含10个样解得.本点，其中当抽到或者时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为.【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。故答案为：10，(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。19.【答案】（1）设事件“甲种大树成活两棵”，则 设直线与平面所成角为（2）设事件“甲种大树成活一棵”，则∴直线与平面所成角为；（3）设事件“乙种大树成活一棵”，（3）点到平面的距离.则设事件“乙种大树成活两棵”，【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公代则入数值计算出，由此得证出。设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，(2)由已知条件求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角则的关系，代入数值计算出直线与平面所成角的正弦值，由此即可得出直线与平面【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。所成的角。(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。(3)根据题意结合点到平面的距离公式，代入数值计算出结果即可。(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。21.【答案】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，20.【答案】（1）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如建立如图所示的空间直角坐标系.图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，，，∵，由，∴令，则，，∴平面的一个法向量为，∴∴；由，，∴，（2）设平面的法向量为∵平面，∴平面，（2）解：∵底面，底面，∴，∵，，∴平面，∴平面的一个法向量为，由设平面与平面的夹角为，令，则，则，又由图示得为锐角，∴平面的一个法向量为由∴平面与平面的夹角为. （3）解：设在线段上存在点，满足（），，若平面，则，所以，解得，所以在线段上存在点，使平面，此时.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由数量积的坐标公式计算出，从而得出结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面的所成的角。(3)根据题意假设存在点F，由此得到，结合线面垂直与向量夹角之间的关系，由此得到关于的值，从而建立得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷A．若，垂直于同一平面，则与平行一、单选题B．若，平行于平面，则与平行1．长方体中，化简（）C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面A．B．C．D．D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线2.已知，，若，则实数，的值分别为（）9.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A．，B．，A.直线与直线垂直，直线平面C．5，2D．-5，-2B.直线与直线平行，直线平面3.过点且与向量垂直的向量（）C.直线与直线相交，直线平面A．有且只有一个B．有无数个且共面D.直线与直线异面，直线平面C．只有两个且方向相反D．有无数个且共线10.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）最大值为（）A．，B．，A．B．C．D．C．，D．，二、填空题5.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系11.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为.式成立的是（）12.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．A．B．13．平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为．C．D．14．已知，，则以，为邻边的平行四边形的面积为.6．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为15．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为．（）16．已知关于向量的命题，A．2B．4C．6D．以上都不对⑴是，共线的充分不必要条件；7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方⑵若，则存在唯一的实数，使；形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）⑶，，则；⑷若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；A．B．C．D．⑸．8.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（） 在以上命题中，所有正确命题的序号是．三、解答题∴，∴。17.正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：故答案为：A．（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出实数，的值。3.【答案】B（3）点到平面的距离．【解析】【解答】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设18.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且为平面，．则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面。（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；故答案为：B．（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值．【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点且与19.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．向量垂直的向量有无数个且共面。（1）证明：AC⊥SB；4.【答案】C（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；【解析】【解答】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，（3）求点B到平面CMN的距离．时满足，答案解析部分对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误。1.【答案】C故答案为：C．【解析】【解答】如图，。【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面垂直的判定定理，再结合向量共线故答案为：C.的坐标表示，进而得出能使的和的坐标。5.【答案】D【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而化简【解析】【解答】由于直线与平面的夹角为，。其中，2.【答案】A所以，【解析】【解答】∵，，所以。∴，故答案为：D 【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答【分析】由于直线与平面的夹角为，其中，再利用正弦函数的图象，从而得出案。，再利用诱导公式结合方向向量的定义和已知条件，从而结合数量积求向量夹角公式，从而求出9．【答案】A【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),。D1(0,0.2),M(1,0,1),N(1,1,1),B1(2,2,2),6.【答案】A【解析】【解答】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以。故答案为：A．【分析】利用已知条件结合点关于面对称的方法，从而求出点关于平面的对称点B的坐标，再结合空间两点距离公式，从而求出的值。对于A:因为因为所以,7.【答案】C即,又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符【解析】【解答】如图，合题意；设，则，对于B:由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；对于C:A1D与D1B是异面的,不平行，故C不符合题意；由题意，即，化简得，对于D:A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；故答案为：A.解得（负值舍去）.【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，故答案为：C.对于B：若A知这显然不平行，所以B不正确；【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.对于C：显然，直线与直线是异面直线，故C错误；8.【答案】C对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。【解析】【解答】A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除A.10.【答案】AB，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除B.【解析】【解答】解：如图截面，S=6，C，若与垂直于同一平面则，所以C符合题意.故答案为：A.D，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除D.【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面所成的角相等，得到平面与其中一条对角线垂直，此时故答案为：C截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值. 1.【答案】14π出直线与平面的位置关系。【解析】【解答】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，14.【答案】∴长方体的对角线长为：，【解析】【解答】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，因，，∴球半径为R=，所以，，，可得球的表面积为4πR2=14π。所以。故答案为14π。故答案为：。【分析】利用已知条件得出长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，再利用勾股定理得出长方体【分析】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，再利用向量的坐标运算得出的对角线长，再结合长方体的对角线长恰好是外接球的直径，从而求出球的直径，进而求出球的半径，再结合球的表面积公式求出球的表面积。向量，的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出，的值，再利用菱形的面积公式，从而求出以，为邻边的平行四边形的面积。12.【答案】【解析】【解答】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴r=，∵R2=r2+h2，∴h=R15.【答案】【解析】【解答】如图正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、所以。、，由正四棱锥的性质知平面，，，故答案为：。所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面弧长与底面圆的周长的关系，从而利用圆的周长公式，得出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，从而得出圆锥的体积。。13.【答案】平面或平面【解析】【解答】由题意，平面的法向量为，向量，故答案为：。若平面，则成立，若平面，则平面，∴直线与平面的位置关系为平面或平面，【分析】在正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、、故答案为：平面或平面。，由正四棱锥的性质知平面，，，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3结合余弦函数的定义和勾股定理，进而【分析】利用已知条件结合法向量的定义，再结合两向量垂直的判断方法和线面位置关系判断方法，从而推 求出侧面与底面所成二面角的余弦值。所以异面直线与所成角的余弦值为．16．【答案】（1）（4）【解析】【解答】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，（2）解：取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；由正四棱锥特性知平面，，，，（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；所以为二面角的平面角，（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；，所以，（4）令，则，所以，无解，即所以二面角的余弦值为，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（3）解：设点到平面的距离为，（5），即（5）错误．由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，命题（1）（4）正，确．故答案为：（1）（4）．因为，所以，【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，得出是，共线的充分所以，不必要条件；利用已知条件结合向量共线定理，得出若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数所以点到平面的距离为．，使；利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量相等的判断方法，从而【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，再利用是正得出若，，说明，，不一定存在；利用已知条件结合平面向量四棱柱，为下底面正方形的中心，所以，所以为异面直线与所的基底的判断方法，从而得出若为空间的一个基底，则构成空间的另一成角，再利用余弦函数的定义和勾股定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。基底；利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的求解方法，进而得出，（2）取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，由正四棱锥特性从而找出正确命题的序号。知平面，，，，所以为二面角17.【答案】（1）解：取中点，连接，，，的平面角，再利用正切函数的定义，得出的值，进而求出的值，从而因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，求出二面角的余弦值。所以，（3）设点到平面的距离为，由（1）知，所以点到平面的距离也所以为异面直线与所成角，，为，再利用三角形的面积与四边形的面积公式的关系式，得出的值，再利用等体积法结合三棱锥的 体积公式，得出点到平面的距离。向量夹角公式得出与所成的余弦值，进而求出与所成角的大小。18.【答案】（1）解：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）利用已知条件结合向量的坐标表示结合向量共线的坐标表示，从而结合空间两点的距离公式和已知条件因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，，从而得出点P的坐标，进而得出为中点，再结合，又因为，所以，结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，同理得出平面的法向量，利用二面角为锐角，进而求出二面角的平面角的余弦所以与底面所成的角为45°．值。因为，，，19.【答案】（1）证明：取AC中点O，连结OS、OB所以，，∵，，∴，且∵平面平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC所以与所成的余弦值为，∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO所以与所成角的大小为60°．如图建立空间直角坐标系O—xyz：则，（2）解：∵，，设，则，，，∴，因为，所以，，∵∴解得，于是，即为中点，（2）解：由⑴得，又，，设平面的法向量为，设为平面CMN的一个法向量，则，取则，∴，令，又为平面ABC的一个法向量平面的法向量可取，因为二面角为锐角，∴∴所以二面角的平面角的余弦值为．（3）解：由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，利用是在平面内投影，所以∴点B到平面CMN的距离为与底面的所成角，再利用，所以，从而得出与底【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OS、OB，再利用，结合等腰三角形三线合面所成的角，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再由数量积求一，得出且，再利用平面平面ABC结合面面垂直的性质定理，得出线面垂 直，所以SO⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以SO⊥BO，建立空间直角坐标系O—xyz，从而结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，进而证出AC⊥SB。（2）由⑴得，，设为平面CMN的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面CMN的一个法向量，再利用向量为平面ABC的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角N-CM-B的正切值大小。（3）由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，从而结合数量积得出点B到平面CMN的距离。 高二上学期数学期中质量检测试卷与平面所成角的正弦值等于（）一、选择题A.B．C．D．1.直线的倾斜角为（）二、填空题A．B．C．D．11.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为.2.已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（）12.已知向量，，若，则实数等于．A．B．13.过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程C．D．14.经过点以及圆与圆交点的圆的方程3.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）为．A．B．15.如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：C．D．①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；4．在平行六面体中，（）A．B．C．D．③若为中点，则点到距离为；④的最小值为5．已知直线和直线互相平行，则等于（）则其中所有正确结论的序号是．A．2B．-2C．±2D．016．如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，设，6.圆与圆的位置关系是（），，以为基底，则用基底表示向量；A．内含B．相交C．外切D．外离．7．在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，，则三、解答题（）17．三角形的三个顶点分别是．A．5B．C．D．（1）求边所在的直线方程；8．已知点，，，，若，，，四点共面，则（）（2）求边上的高所在的直线方程．A．B．C．D．18．已知圆过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；9．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围是（）（2）试判断直线：与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．19.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和A．B．C．D．的中点．10．如图，在平行六面体中，，，则 【分析】利用已知条件结合点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。（1）求证：平面；3.【答案】D（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【解析】【解答】对于A：因为，所以，，共面，不能构成基20.在空间直角坐标系中，已知向量，，．底，A不符合题意，（1）求向量在向量上的投影向量；对于B：因为，所以，，共面，不能构成基底，B不符合题意，（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离．对于C：因为，，，共面，不能构成基底，C不符合题意，21.在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面对于D：若，，共面，则，即，则与棱交于点．，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，D符合题意.（1）求证：点为中点；（2）求证：；故答案为：D．（3）当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．22.在平面直角坐标系中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点，设动圆的圆心为．【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的判断方法，再结合向量共线的坐标表示，进而找出可以构成空间的另一个基底的选项。（1）求点的轨迹方程；4.【答案】A（2）设点的轨迹与轴交于，两点（在左侧），过点的直线交点的轨迹于点（异于【解析】【解答】连接，，），交直线：于点，经过，的直线交于点，求证以为直径的圆过定点，并求出可得，又因为，定点坐标．所以。答案解析部分故答案为：A1.【答案】B【分析】连接AC，再利用平行四边形法则结合，再结合三角形法则，进而得出【解析】【解答】记直线的倾斜角为，∴，。故答案为：B.【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角。5.【答案】C2.【答案】C【解析】【解答】显然时，两直线不平行，不符合，【解析】【解答】因为直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：则，解得.经检验满足题意。故答案为：C.，所以直线的一般式方程为。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等和两直线不重合检验的方法，进而得出满足要求的实数a的值。 6.【答案】D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四点共面的判断方法和平面向量基本定理，进而解方程组求出k的值。【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，9．【答案】A圆化为，则圆心为，半径为，【解析】【解答】由可得，则圆心距，所以两圆外离.则即，故答案为：D.所以圆心为，半径，【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式求出圆心距，再利用圆心距与两圆圆心到直线的距离，半径和作比较，进而判断出两圆外离。因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，7.【答案】C【解析】【解答】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，所以，即，解得：，，则，4，，，0，，所以实数的取值范围是。故答案为：A.，-4，5)，。【分析】由圆的一般式方程可得圆的标准方程为，再利用圆故答案为：C．的半径的取值范围得出实数a的取值范围，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆上有且只有两个点到直线的距【分析】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，，进而离等于1，所以，从而解绝对值不等式求出实数的取值范围。得出点B和点C的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量的模求解方法，进而得出10.【答案】C的值。【解析】【解答】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接8．【答案】B【解析】【解答】由点，1，，，2，，，2，，，0，，，如图，可得，1，，，1，，，，，因，，则为正四面体，，若，，，四点共面，可设，而，平面，于是得平面，又平面，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为中则，解得，所以。点，则，取中点M，连，则有，又，则，故答案为：B而平面平面，平面，从而有平面， ∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，所以与平面所成角的正弦值等于。故答案为：C则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．故答案为．【分析】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程，利用，，则为正四面体，为x20x+y0y=r，得圆的切线方程．，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面14.【答案】垂直，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为【解析】【解答】设过圆与圆交点的圆的方程为：中点，进而得出的长，取中点M，连，则有，再利用，进而得①出的长，再利用线线垂直证出线面垂直，从而有平面，再利用正弦函数的定义得出直线把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，与平面所成角的正弦值。所求圆的方程为：。1.【答案】故答案为：。【解析】【解答】由两点间斜率计算公式可得，故答案为.【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．【分析】设过圆与圆交点的圆的方程为：12.【答案】①，利用已知条件，把点的坐标代入①式得出实数的【解析】【解答】因为向量，，则，，值，再把代入①并化简得出所求圆的一般方程。又，则，即，解得，15.【答案】①②④所以实数等于。【解析】【解答】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，故答案为：。所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到【分析】利用向量，结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而得出平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，②正确；和的值，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出连接，，因为，，，所以，故实数的值。为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即13.【答案】，解得，所以若为中点，则点到距离为，③错误；【解析】【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，高所在的直线方程斜率为又边上的高过点，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向故所求直线方程为量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的故边上的高所在的直线方程是．公垂线距离最短，所以的最小值为，④正确．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合截距式方程求出AC边所在的直线方程，再转化为直线的一般式方故答案为：①②④．程。（2）利用边上的高垂直于结合(1)和已知条件，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用异面直线所求角的方法得出异面直线，所成1，进而得出高所在的直线方程斜率，再利用边上的高过点，再结合点斜式方程求出所求直线方程，的角；利用点到平面的距离求解方法证出点到平面的距离为定值；再利用中点的性质和点到直线的再转化为边上的高所在的直线的一般式方程。距离公式求出点到距离；再结合向量的模求解方法和三垂线定理以及数量积求两直线公垂线的方法，再利用异面直线间的公垂线距离最短得出的最小值，从而找出结论正确的序号。18.【答案】（1）解：设圆的方程为：，16.【答案】；根据题意得，【解析】【解答】因为，，分别为，的中点，设，，，故所求圆的方程为：．所以，（2）解：圆心到直线的距离，因为正方体的棱长为2，故直线与圆相交，。由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为：，再利用代入法和圆的标准方程故答案为：；。和直线的一般式方程，进而解方程组求出a，b，r的值，从而得出圆M的标准方程。【分析】利用已知条件结合三角形法则、中点的性质、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出基底表（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离与示向量；再结合正方体的棱长为2和勾股定理，得出的值。半径的比较结合直线与圆位置关系判断方法，故直线与圆相交，由弦长公式可得直线被圆截得的弦长。17.【答案】（1）解：由，．可得边所在的直线方程是：，19.【答案】（1）证明：由题意四棱锥的底面为正方形，底面，即．故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，（2）解：因为边上的高垂直于，(1)由已知因为，，分别为和的中点，则，0，，，1，，所以， 又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，则，令，得，所以，故，所以平面的法向量.又平面，（3）解：由(2)得点到平面的距离，故平面.所以点到平面的距离为.（2）解：因为，2，，，0，，，1，，所【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及数量积求投影向量的方法，进而得以，出向量在向量上的投影向量。设平面的法向量为，（2）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及平面的法向量求解方法，进而得出平面的法向量。则，即，（3）由(2)结合数量积求出点到平面的距离。令，则，，21.【答案】（1）证明：因为平面与棱交于点，又因为、是平面与平面共公故，点，所以平面平面，所以，因为是正方体，所以平面，故平面与平面的夹角的余弦值为．所以，又因为，所以，【解析】【分析】（1）由题意四棱锥的底面为正方形，底面，故以点为坐标原因为为中点，所以点为中点．点，建立空间直角坐标系，再利用，，分别为和的中点，从而得出点E，F的坐（2）证明：连接，交于，标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用法向量求解方法得出平面的一个法向量为因为，，，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出直线平面所以，所以，。所以，（2）利用已知条件结合建系的方法得出点的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积又因为平面，平面，，求向量的夹角的公式，进而得出平面与平面的夹角的余弦值。因为，所以平面，20.【答案】（1）解：因向量，，则，因为平面，于是得，所以．所以向量在向量上的投影向量.（3）解：建系如图，设，，，（2）解：因向量，，则，由(1)知， ，2，，，0，，，1，，，0，，，，，所以点的轨迹方程为；，，，，，，，，，（2）证明：由（1）可得，，令，3，，设直线的方程为，由题意可得，，，因为，，联立，整理可得，所以平面的法向量是，可得，，所以与平面所成角的正弦值为所以，；，当时等号成立．在中，令，可得，即，所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．因为，【解析】【分析】（1）利用平面与棱交于点，再利用、是平面与平面共公所以直线的方程为，令，点，所以平面平面，再利用是正方体，所以平面，可得，即，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合平行的传递性，所以，再利用为中点，从而证出点为中点。所以，（2）连接，交于，再利用，，所以，所以的中点，所以，再利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂所以以为直径的圆，直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线当时，，即，线垂直，从而证出。即以为直径的圆恒过定点．（3）利用已知条件建系，设，，，进而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的【解析】【分析】（1）设，利用半径为1，且经过坐标原点结合代入法，进而利用圆的定义得出点坐标，令，3，结合，，所以平面的法向量是，再利用数量积求向的轨迹方程。量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值，再利用二次函数的图象求最值的方法得（2）由（1）可得P，Q坐标，设直线的方程为，由题意可得，，，再利用出当时，与平面所成角的正弦值最大，并求出此时的最大值。直线与圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，在中，令，可得，从而得出点C的坐标，再利用两点求斜率公式结合点斜式方程求出直线的方程为，令，可得2.【答案】（1）解：设，因为半径为1，且经过坐标原点，，进而得出点D的坐标，再利用中点坐标公式得出的中点E的坐标，进而得出以为直径的圆 的方程，再利用赋值法证出出以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标。
简介：高二上学期数学期中练习试卷（A卷）10．已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（）一、单选题A．B．C．D．1.与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐标为()二、填空题A．(1，3，2)B．(-1，-3，2)C．(-1，3，-2)D．(1，-3，-2)11.已知点，点，向量，则点的坐标为．2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为（）12.已知，直线与直线平行，则的值为．A．B．C．D．13.已知直线过点，点，则点到直线的距离是．3.在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（）14.正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与A．B．C．D．所成角的余弦值为.4.已知，，若，则实数的值为（）15.已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：A．1B．-1C．D．①；5.箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A=“至少有一件次品”，则A的对②；立事件为（）A.至多两件次品B．至多一件次品③点到面的距离为；C．没有次品D．至少一件次品④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则6.如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）的取值范围是A．B．C．D．其中正确结论的序号是．三、解答题7.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个16.已知向量，．球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）（1）求；A.B．C．D．18．过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）（2）求；A．或B．或（3）若（），求的值．C．或D．或17.从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．9.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率．分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A.B．C．D．18.已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程；由于，故。故答案为：B（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．19.在如图所示的多面体中，且，，，且，【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关，且，平面，．系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。（1）求证：；3.【答案】A（2）求平面与平面夹角的余弦值．【解析】【解答】点在平面内的射影，20.甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次即向平面作垂线，垂足为射影，时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，（2）求甲获胜的概率．故射影的坐标。21.设为正整数，集合．对于集合中的任意故答案为：A元素和，记【分析】利用点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和．轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，从而求出射影的坐标。（1）当时，若，，求和的值；4.【答案】A（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，【解析】【解答】因为，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．所以，答案解析部分即，解得。1.【答案】故答案为：A.C【解析】【解答】∵（-1，3，-2）=，∴由向量共线性质可知答案C。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数k的值。【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐5．【答案】C标。【解析】【解答】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一2.【答案】B件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况，【解析】【解答】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为，根据对立事件的定义，事件A=“至少有一件次品”，其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“。故，故答案为：C 【分析】利用已知条件结合对立事件的定义，从而找出事件A的对立事件。【分析】利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取出的2个球恰好是1个6．【答案】D红球1个黄球的概率。【解析】【解答】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所8．【答案】D示），【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；则，，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，，，，所求的直线方程为，设平面的一个法向量为，综上可知，所求直线方程为或。故答案为：D.则，即，令，则，，【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点所以平面的一个法向量为；，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。设直线与平面所成角为，9.【答案】B【解析】【解答】记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系则，统不发生故障”为事件，则，解得。即直线与平面所成角的正弦值为。故答案为：B．故答案为：D.【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而利用互斥事件加法求概率【分析】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的公式，进而求出在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再利用已知条件在任意时刻恰有一个系统不发坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线与平面生故障的概率为，从而求出实数p的值。所成角的正弦值。10.【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】由题意，，【解析】【解答】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，令，可得直线过定点，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是。如图所示，经过的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，故答案为：B.当经过原点时，，故的取值范围是。 故答案为：C，则，【分析】由题意，将直线的一般式方程转化为，从而得出，再解方程组求交点的方法，进而求出直线过的定点坐标，再利用直线的图像结合经过定点的直线，且不经过第二象限，又因为，所以，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，再结合两点求斜率公式，从而求出实数的取值范围。11．【答案】（1，2，1）所以点到直线的距离为。【解析】【解答】设点，故答案为：。则，因为，【分析】利用已知条件结合方向向量的定义，从而求出直线的方向向量，再利用向量的坐标表示求出向量即，的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出的值，再利用两向量的夹角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而得出点所以，解得，到直线的距离。所以点的坐标为（1，2，1）。14.【答案】故答案为：（1，2，1）。【解析】【解答】如图所示：分别取的中点G，H，连接，【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出点C的坐标。12.【答案】-1则，【解析】【解答】由题意，直线与直线平行，所以是异面直线与所成角，故，解得，设正方体的棱长为2，则，当时，两直线为：，不重合，故的值为-1。由余弦定理得，故答案为：-1。。【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。故答案为：。13.【答案】【解析】【解答】直线的方向向量，【分析】分别取的中点G，H，连接，再利用中点作中位线的方法结合 中位线的性质，从而推出，所以是异面直线与所成角，设正因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，方体的棱长为2，再结合勾股定理和余弦定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故④正确.15.【答案】①②④故答案为：①②④.【解析】【解答】在正方体中，，故①正确；【分析】在正方体中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出因为，；再利用结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出则；利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出，故②正确；的值，再利用结合三角形的面积公式，得出的值，进而求出点到面设点到面的距离为，则，的距离；连接，在正方体中，，，平面，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂又，则，直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线所以，所以，垂直，所以，再结合点在正方体的侧面及其边界上运动，并即点到面的距离为，故③错误；保持，所以点的轨迹为线段，从而求出的取值范围，进而找出正确结论的序对于④，连接，号。在正方体中，16.【答案】（1）解：；平面，又平面，所以，（2）解：因为，所以平面，；又平面，所以，（3）解：因为，同理，所以，又，所以平面，即，又平面，所以，解得. 【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。即(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。即，可求得(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。则直线的方程为17.【答案】（1）解：试验的样本空间；综上：直线的方程为或．（2）解：设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，再利用点斜．式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的因此．斜率，进而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。19.【答案】（1）证明：因为平面，所以抽到的两个球都是黑球的概率为平面，平面，【解析】【分析】（1）利用已知条件用集合的形式写出试验的样本空间。所以，且，（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出抽到的两个球都是黑球的概率。因为，18.【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，所以则，，，，，，，所又因为，所以以，，又因为直线过点，直线的方程为，即．所以；（2）解：若直线斜率不存在，则直线：（2）解：，此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题设平面的法向量为，意．若直线斜率存在，设直线的斜率为则，即，设直线：，与轴交点为点令，有，令，解得设平面的法向量为，所以点坐标为则，即，直线与直线的交点为点令，有，因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 设平面和平面的夹角为，，，．（2）解：设；所以平面和平面的夹角的余弦值为．；【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以；，且，再利用，以为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出数量积的值，再结合数量积为；0两向量垂直的等价关系，从而证出。．（2）利用空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量则积求向量夹角的公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值。对于中的不同元素，经验证，20.【答案】（1）解：设事件“甲在第次投篮投中”，其中所以中至多1个元素属于B，设事件“乙在第次投篮投中”，其中所以集合B中至多5个元素．则，，其中取记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，满足条件．此时集合B=，事件与事件相互独立所以集合B中至多有5个元素．根据事件独立性定义得：【解析】【分析】（1）设为正整数，集合．对于甲乙各投球一次，比赛结束的概率为集合中的任意元素和，记（2）解：记“甲获胜”为事件，，再利用已知条件当事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：时，，，再结合的定义结合代入法，得出和的甲获胜的概率为．值。【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出甲、乙各（2）利用当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，投球一次，比赛结束的概率。结合，再结合并（2）记“甲获胜”为事件，利用已知条件得出，所以事件、事件集的运算法则结合元素与集合的关系，从而得出集合B中至多有5个元素。、事件彼此互斥，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲获胜的概率。21.【答案】（1）解：因为，，所以 高二上学期数学期中练习试卷（B卷）概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9一、单选题表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38011.直线的倾斜角为（）2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983A．B．C．D．据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（）2.已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．A．B．二、填空题11.已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为.C．D．12.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为.3.已知向量，，若与共线，则实数的值为（）13.如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则A．-2B．-1C．1D．2.4.同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（）A.B．C．D．14.已知事件A与互斥，且，，则，5.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为.（）15.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为A．B．C．D．戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.6.如图，在长方体中，化简（）492A．B．C．D．3577.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）816A.至少一次中靶B．至多一次中靶（1）试验的样本空间包含个样本点；C．至多两次中靶D．两次都中靶（2）使得这三个数之和等于15的概率是.8.如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则三、解答题16．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：（）（1）BC边所在直线的方程；A.1B．C．D．2（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．9.已知向量，若向量共面，则实数的值为17．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（）（1）写出试验的样本空间；A．-3B．-1C．1D．3（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.10.已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的 故答案为：B.18.已知向量，．（1）求；【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。（2）求；2.【答案】A（3）若（），求的值．【解析】【解答】设与直线平行的直线l的方程为，19.某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别把点代入可得，解得．为和，两种大树成活与否互不影响.因此直线l的方程为（1）求甲种大树成活两棵的概率；故答案为：A．（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.【分析】根据题意由已知条件结合直线平行的性质设出直线的方程，再由待定系数法代入数值计算出m的20.在直三棱柱中，，，点，分别为，值，从而得出直线的方程。的中点.3.【答案】D（1）证明：；【解析】【解答】由题设，有，，则，可得.（2）求直线与平面所成的角；故答案为：D（3）求点到平面的距离.21.如图，在四棱锥中，底面，，//，点为【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。的中点，，，.4.【答案】A【解析】【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，（1）求证：平面；基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，（2）求平面与平面的夹角；出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.则两枚硬币均为正面向上的概率.答案解析部分故答案为：A．1.【答案】B【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出【解析】【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，结果即可。因直线的方程为，故其斜率，则有，5.【答案】C又由，则，【解析】【解答】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从图中 可以看出，因为，，，其中，所以，所以故答案为：A故答案为：C【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合斜率的加、减运算性质以及数量积的公式代入数值计算出结果【分析】由已知条件即可得出直线的倾斜角，再由斜率公式结合正切函数的单调性即可得出斜率的大小。即可。6.【答案】A9.【答案】B【解析】【解答】解：如图：，【解析】【解答】解：因为向量共面，故答案为：A.所以存在实数使得，即【分析】由长方体的几何性质，结合斜率加减运算公式计算出结果即可。所以，解得7.【答案】D【解析】【解答】设“只有一次中靶”为事件A故答案为：B设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，显然，不互斥，A选项错误；【分析】由空间向量共面的坐标公式，结合线性运算性质整理化简计算出m的值即可。设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不10.【答案】D互斥，B选项错误；【解析】【解答】设“4件产品中至少有3件为合格品”为事件A，设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然20组随机数中，从左到右，第二行第六列的1040包含两个0，即4件产品中有2件不合格，不在事件A中，，不互斥，C选项错误；其余均在A中，所以A中包含的个数为19，故故答案为：D设“两次都中靶”为事件E，则，，满足互斥而不对立所需要的条件，D符合题意.【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结故答案为：D果即可。1.【答案】【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。【解析】【解答】由题设，直线过且与轴垂直，则直线的方程为.8.【答案】A故答案为：【解析】【解答】解：根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，【分析】根据题意由直线垂直的性质，由点斜式即可求出直线的方程。所以在直角三角形中，12.【答案】 【解析】【解答】点在平面内射影，只需即可，16.【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0∴在平面内射影的坐标为.（2）解：kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即故答案为：【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写【分析】由空间向量的射影坐标公式，代入数值计算出结果即可。出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.13.【答案】117.【答案】（1）试验的样本空间为：【解析】【解答】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，（2）设事件“摸出的两个球的颜色相同”则，所以，所以，，故答案为：1.所以【分析】根据题意由中点的性质即可得出线线平行，再由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，即可列举出样本空间的事件个数。14．【答案】0.6；0.9(2)据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即【解析】【解答】因为事件与是对立事件，且，所以；因为事可。件A与互斥，所以18.【答案】（1）解：；故答案为：0.6，0.9（2）解：；【分析】由对立、互斥事件的概率公式，计算出结果即可。15．【答案】（1）10（3）解：因为，（2）所以，【解析】【解答】从五个阳数中随机抽取三个数，取法有，，，，即，，，，，，，故试验的样本空间包含10个样解得.本点，其中当抽到或者时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为.【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。故答案为：10，(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。19.【答案】（1）设事件“甲种大树成活两棵”，则 设直线与平面所成角为（2）设事件“甲种大树成活一棵”，则∴直线与平面所成角为；（3）设事件“乙种大树成活一棵”，（3）点到平面的距离.则设事件“乙种大树成活两棵”，【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公代则入数值计算出，由此得证出。设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，(2)由已知条件求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角则的关系，代入数值计算出直线与平面所成角的正弦值，由此即可得出直线与平面【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。所成的角。(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。(3)根据题意结合点到平面的距离公式，代入数值计算出结果即可。(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。21.【答案】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，20.【答案】（1）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如建立如图所示的空间直角坐标系.图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，，，∵，由，∴令，则，，∴平面的一个法向量为，∴∴；由，，∴，（2）设平面的法向量为∵平面，∴平面，（2）解：∵底面，底面，∴，∵，，∴平面，∴平面的一个法向量为，由设平面与平面的夹角为，令，则，则，又由图示得为锐角，∴平面的一个法向量为由∴平面与平面的夹角为. （3）解：设在线段上存在点，满足（），，若平面，则，所以，解得，所以在线段上存在点，使平面，此时.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由数量积的坐标公式计算出，从而得出结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面的所成的角。(3)根据题意假设存在点F，由此得到，结合线面垂直与向量夹角之间的关系，由此得到关于的值，从而建立得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷A．若，垂直于同一平面，则与平行一、单选题B．若，平行于平面，则与平行1．长方体中，化简（）C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面A．B．C．D．D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线2.已知，，若，则实数，的值分别为（）9.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A．，B．，A.直线与直线垂直，直线平面C．5，2D．-5，-2B.直线与直线平行，直线平面3.过点且与向量垂直的向量（）C.直线与直线相交，直线平面A．有且只有一个B．有无数个且共面D.直线与直线异面，直线平面C．只有两个且方向相反D．有无数个且共线10.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）最大值为（）A．，B．，A．B．C．D．C．，D．，二、填空题5.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系11.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为.式成立的是（）12.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．A．B．13．平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为．C．D．14．已知，，则以，为邻边的平行四边形的面积为.6．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为15．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为．（）16．已知关于向量的命题，A．2B．4C．6D．以上都不对⑴是，共线的充分不必要条件；7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方⑵若，则存在唯一的实数，使；形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）⑶，，则；⑷若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；A．B．C．D．⑸．8.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（） 在以上命题中，所有正确命题的序号是．三、解答题∴，∴。17.正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：故答案为：A．（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出实数，的值。3.【答案】B（3）点到平面的距离．【解析】【解答】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设18.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且为平面，．则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面。（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；故答案为：B．（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值．【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点且与19.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．向量垂直的向量有无数个且共面。（1）证明：AC⊥SB；4.【答案】C（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；【解析】【解答】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，（3）求点B到平面CMN的距离．时满足，答案解析部分对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误。1.【答案】C故答案为：C．【解析】【解答】如图，。【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面垂直的判定定理，再结合向量共线故答案为：C.的坐标表示，进而得出能使的和的坐标。5.【答案】D【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而化简【解析】【解答】由于直线与平面的夹角为，。其中，2.【答案】A所以，【解析】【解答】∵，，所以。∴，故答案为：D 【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答【分析】由于直线与平面的夹角为，其中，再利用正弦函数的图象，从而得出案。，再利用诱导公式结合方向向量的定义和已知条件，从而结合数量积求向量夹角公式，从而求出9．【答案】A【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),。D1(0,0.2),M(1,0,1),N(1,1,1),B1(2,2,2),6.【答案】A【解析】【解答】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以。故答案为：A．【分析】利用已知条件结合点关于面对称的方法，从而求出点关于平面的对称点B的坐标，再结合空间两点距离公式，从而求出的值。对于A:因为因为所以,7.【答案】C即,又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符【解析】【解答】如图，合题意；设，则，对于B:由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；对于C:A1D与D1B是异面的,不平行，故C不符合题意；由题意，即，化简得，对于D:A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；故答案为：A.解得（负值舍去）.【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，故答案为：C.对于B：若A知这显然不平行，所以B不正确；【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.对于C：显然，直线与直线是异面直线，故C错误；8.【答案】C对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。【解析】【解答】A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除A.10.【答案】AB，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除B.【解析】【解答】解：如图截面，S=6，C，若与垂直于同一平面则，所以C符合题意.故答案为：A.D，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除D.【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面所成的角相等，得到平面与其中一条对角线垂直，此时故答案为：C截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值. 1.【答案】14π出直线与平面的位置关系。【解析】【解答】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，14.【答案】∴长方体的对角线长为：，【解析】【解答】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，因，，∴球半径为R=，所以，，，可得球的表面积为4πR2=14π。所以。故答案为14π。故答案为：。【分析】利用已知条件得出长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，再利用勾股定理得出长方体【分析】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，再利用向量的坐标运算得出的对角线长，再结合长方体的对角线长恰好是外接球的直径，从而求出球的直径，进而求出球的半径，再结合球的表面积公式求出球的表面积。向量，的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出，的值，再利用菱形的面积公式，从而求出以，为邻边的平行四边形的面积。12.【答案】【解析】【解答】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴r=，∵R2=r2+h2，∴h=R15.【答案】【解析】【解答】如图正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、所以。、，由正四棱锥的性质知平面，，，故答案为：。所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面弧长与底面圆的周长的关系，从而利用圆的周长公式，得出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，从而得出圆锥的体积。。13.【答案】平面或平面【解析】【解答】由题意，平面的法向量为，向量，故答案为：。若平面，则成立，若平面，则平面，∴直线与平面的位置关系为平面或平面，【分析】在正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、、故答案为：平面或平面。，由正四棱锥的性质知平面，，，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3结合余弦函数的定义和勾股定理，进而【分析】利用已知条件结合法向量的定义，再结合两向量垂直的判断方法和线面位置关系判断方法，从而推 求出侧面与底面所成二面角的余弦值。所以异面直线与所成角的余弦值为．16．【答案】（1）（4）【解析】【解答】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，（2）解：取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；由正四棱锥特性知平面，，，，（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；所以为二面角的平面角，（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；，所以，（4）令，则，所以，无解，即所以二面角的余弦值为，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（3）解：设点到平面的距离为，（5），即（5）错误．由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，命题（1）（4）正，确．故答案为：（1）（4）．因为，所以，【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，得出是，共线的充分所以，不必要条件；利用已知条件结合向量共线定理，得出若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数所以点到平面的距离为．，使；利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量相等的判断方法，从而【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，再利用是正得出若，，说明，，不一定存在；利用已知条件结合平面向量四棱柱，为下底面正方形的中心，所以，所以为异面直线与所的基底的判断方法，从而得出若为空间的一个基底，则构成空间的另一成角，再利用余弦函数的定义和勾股定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。基底；利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的求解方法，进而得出，（2）取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，由正四棱锥特性从而找出正确命题的序号。知平面，，，，所以为二面角17.【答案】（1）解：取中点，连接，，，的平面角，再利用正切函数的定义，得出的值，进而求出的值，从而因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，求出二面角的余弦值。所以，（3）设点到平面的距离为，由（1）知，所以点到平面的距离也所以为异面直线与所成角，，为，再利用三角形的面积与四边形的面积公式的关系式，得出的值，再利用等体积法结合三棱锥的 体积公式，得出点到平面的距离。向量夹角公式得出与所成的余弦值，进而求出与所成角的大小。18.【答案】（1）解：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）利用已知条件结合向量的坐标表示结合向量共线的坐标表示，从而结合空间两点的距离公式和已知条件因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，，从而得出点P的坐标，进而得出为中点，再结合，又因为，所以，结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，同理得出平面的法向量，利用二面角为锐角，进而求出二面角的平面角的余弦所以与底面所成的角为45°．值。因为，，，19.【答案】（1）证明：取AC中点O，连结OS、OB所以，，∵，，∴，且∵平面平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC所以与所成的余弦值为，∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO所以与所成角的大小为60°．如图建立空间直角坐标系O—xyz：则，（2）解：∵，，设，则，，，∴，因为，所以，，∵∴解得，于是，即为中点，（2）解：由⑴得，又，，设平面的法向量为，设为平面CMN的一个法向量，则，取则，∴，令，又为平面ABC的一个法向量平面的法向量可取，因为二面角为锐角，∴∴所以二面角的平面角的余弦值为．（3）解：由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，利用是在平面内投影，所以∴点B到平面CMN的距离为与底面的所成角，再利用，所以，从而得出与底【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OS、OB，再利用，结合等腰三角形三线合面所成的角，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再由数量积求一，得出且，再利用平面平面ABC结合面面垂直的性质定理，得出线面垂 直，所以SO⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以SO⊥BO，建立空间直角坐标系O—xyz，从而结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，进而证出AC⊥SB。（2）由⑴得，，设为平面CMN的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面CMN的一个法向量，再利用向量为平面ABC的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角N-CM-B的正切值大小。（3）由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，从而结合数量积得出点B到平面CMN的距离。 高二上学期数学期中质量检测试卷与平面所成角的正弦值等于（）一、选择题A.B．C．D．1.直线的倾斜角为（）二、填空题A．B．C．D．11.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为.2.已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（）12.已知向量，，若，则实数等于．A．B．13.过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程C．D．14.经过点以及圆与圆交点的圆的方程3.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）为．A．B．15.如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：C．D．①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；4．在平行六面体中，（）A．B．C．D．③若为中点，则点到距离为；④的最小值为5．已知直线和直线互相平行，则等于（）则其中所有正确结论的序号是．A．2B．-2C．±2D．016．如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，设，6.圆与圆的位置关系是（），，以为基底，则用基底表示向量；A．内含B．相交C．外切D．外离．7．在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，，则三、解答题（）17．三角形的三个顶点分别是．A．5B．C．D．（1）求边所在的直线方程；8．已知点，，，，若，，，四点共面，则（）（2）求边上的高所在的直线方程．A．B．C．D．18．已知圆过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；9．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围是（）（2）试判断直线：与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．19.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和A．B．C．D．的中点．10．如图，在平行六面体中，，，则 【分析】利用已知条件结合点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。（1）求证：平面；3.【答案】D（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【解析】【解答】对于A：因为，所以，，共面，不能构成基20.在空间直角坐标系中，已知向量，，．底，A不符合题意，（1）求向量在向量上的投影向量；对于B：因为，所以，，共面，不能构成基底，B不符合题意，（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离．对于C：因为，，，共面，不能构成基底，C不符合题意，21.在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面对于D：若，，共面，则，即，则与棱交于点．，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，D符合题意.（1）求证：点为中点；（2）求证：；故答案为：D．（3）当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．22.在平面直角坐标系中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点，设动圆的圆心为．【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的判断方法，再结合向量共线的坐标表示，进而找出可以构成空间的另一个基底的选项。（1）求点的轨迹方程；4.【答案】A（2）设点的轨迹与轴交于，两点（在左侧），过点的直线交点的轨迹于点（异于【解析】【解答】连接，，），交直线：于点，经过，的直线交于点，求证以为直径的圆过定点，并求出可得，又因为，定点坐标．所以。答案解析部分故答案为：A1.【答案】B【分析】连接AC，再利用平行四边形法则结合，再结合三角形法则，进而得出【解析】【解答】记直线的倾斜角为，∴，。故答案为：B.【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角。5.【答案】C2.【答案】C【解析】【解答】显然时，两直线不平行，不符合，【解析】【解答】因为直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：则，解得.经检验满足题意。故答案为：C.，所以直线的一般式方程为。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等和两直线不重合检验的方法，进而得出满足要求的实数a的值。 6.【答案】D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四点共面的判断方法和平面向量基本定理，进而解方程组求出k的值。【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，9．【答案】A圆化为，则圆心为，半径为，【解析】【解答】由可得，则圆心距，所以两圆外离.则即，故答案为：D.所以圆心为，半径，【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式求出圆心距，再利用圆心距与两圆圆心到直线的距离，半径和作比较，进而判断出两圆外离。因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，7.【答案】C【解析】【解答】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，所以，即，解得：，，则，4，，，0，，所以实数的取值范围是。故答案为：A.，-4，5)，。【分析】由圆的一般式方程可得圆的标准方程为，再利用圆故答案为：C．的半径的取值范围得出实数a的取值范围，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆上有且只有两个点到直线的距【分析】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，，进而离等于1，所以，从而解绝对值不等式求出实数的取值范围。得出点B和点C的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量的模求解方法，进而得出10.【答案】C的值。【解析】【解答】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接8．【答案】B【解析】【解答】由点，1，，，2，，，2，，，0，，，如图，可得，1，，，1，，，，，因，，则为正四面体，，若，，，四点共面，可设，而，平面，于是得平面，又平面，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为中则，解得，所以。点，则，取中点M，连，则有，又，则，故答案为：B而平面平面，平面，从而有平面， ∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，所以与平面所成角的正弦值等于。故答案为：C则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．故答案为．【分析】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程，利用，，则为正四面体，为x20x+y0y=r，得圆的切线方程．，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面14.【答案】垂直，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为【解析】【解答】设过圆与圆交点的圆的方程为：中点，进而得出的长，取中点M，连，则有，再利用，进而得①出的长，再利用线线垂直证出线面垂直，从而有平面，再利用正弦函数的定义得出直线把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，与平面所成角的正弦值。所求圆的方程为：。1.【答案】故答案为：。【解析】【解答】由两点间斜率计算公式可得，故答案为.【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．【分析】设过圆与圆交点的圆的方程为：12.【答案】①，利用已知条件，把点的坐标代入①式得出实数的【解析】【解答】因为向量，，则，，值，再把代入①并化简得出所求圆的一般方程。又，则，即，解得，15.【答案】①②④所以实数等于。【解析】【解答】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，故答案为：。所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到【分析】利用向量，结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而得出平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，②正确；和的值，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出连接，，因为，，，所以，故实数的值。为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即13.【答案】，解得，所以若为中点，则点到距离为，③错误；【解析】【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，高所在的直线方程斜率为又边上的高过点，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向故所求直线方程为量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的故边上的高所在的直线方程是．公垂线距离最短，所以的最小值为，④正确．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合截距式方程求出AC边所在的直线方程，再转化为直线的一般式方故答案为：①②④．程。（2）利用边上的高垂直于结合(1)和已知条件，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用异面直线所求角的方法得出异面直线，所成1，进而得出高所在的直线方程斜率，再利用边上的高过点，再结合点斜式方程求出所求直线方程，的角；利用点到平面的距离求解方法证出点到平面的距离为定值；再利用中点的性质和点到直线的再转化为边上的高所在的直线的一般式方程。距离公式求出点到距离；再结合向量的模求解方法和三垂线定理以及数量积求两直线公垂线的方法，再利用异面直线间的公垂线距离最短得出的最小值，从而找出结论正确的序号。18.【答案】（1）解：设圆的方程为：，16.【答案】；根据题意得，【解析】【解答】因为，，分别为，的中点，设，，，故所求圆的方程为：．所以，（2）解：圆心到直线的距离，因为正方体的棱长为2，故直线与圆相交，。由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为：，再利用代入法和圆的标准方程故答案为：；。和直线的一般式方程，进而解方程组求出a，b，r的值，从而得出圆M的标准方程。【分析】利用已知条件结合三角形法则、中点的性质、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出基底表（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离与示向量；再结合正方体的棱长为2和勾股定理，得出的值。半径的比较结合直线与圆位置关系判断方法，故直线与圆相交，由弦长公式可得直线被圆截得的弦长。17.【答案】（1）解：由，．可得边所在的直线方程是：，19.【答案】（1）证明：由题意四棱锥的底面为正方形，底面，即．故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，（2）解：因为边上的高垂直于，(1)由已知因为，，分别为和的中点，则，0，，，1，，所以， 又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，则，令，得，所以，故，所以平面的法向量.又平面，（3）解：由(2)得点到平面的距离，故平面.所以点到平面的距离为.（2）解：因为，2，，，0，，，1，，所【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及数量积求投影向量的方法，进而得以，出向量在向量上的投影向量。设平面的法向量为，（2）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及平面的法向量求解方法，进而得出平面的法向量。则，即，（3）由(2)结合数量积求出点到平面的距离。令，则，，21.【答案】（1）证明：因为平面与棱交于点，又因为、是平面与平面共公故，点，所以平面平面，所以，因为是正方体，所以平面，故平面与平面的夹角的余弦值为．所以，又因为，所以，【解析】【分析】（1）由题意四棱锥的底面为正方形，底面，故以点为坐标原因为为中点，所以点为中点．点，建立空间直角坐标系，再利用，，分别为和的中点，从而得出点E，F的坐（2）证明：连接，交于，标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用法向量求解方法得出平面的一个法向量为因为，，，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出直线平面所以，所以，。所以，（2）利用已知条件结合建系的方法得出点的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积又因为平面，平面，，求向量的夹角的公式，进而得出平面与平面的夹角的余弦值。因为，所以平面，20.【答案】（1）解：因向量，，则，因为平面，于是得，所以．所以向量在向量上的投影向量.（3）解：建系如图，设，，，（2）解：因向量，，则，由(1)知， ，2，，，0，，，1，，，0，，，，，所以点的轨迹方程为；，，，，，，，，，（2）证明：由（1）可得，，令，3，，设直线的方程为，由题意可得，，，因为，，联立，整理可得，所以平面的法向量是，可得，，所以与平面所成角的正弦值为所以，；，当时等号成立．在中，令，可得，即，所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．因为，【解析】【分析】（1）利用平面与棱交于点，再利用、是平面与平面共公所以直线的方程为，令，点，所以平面平面，再利用是正方体，所以平面，可得，即，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合平行的传递性，所以，再利用为中点，从而证出点为中点。所以，（2）连接，交于，再利用，，所以，所以的中点，所以，再利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂所以以为直径的圆，直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线当时，，即，线垂直，从而证出。即以为直径的圆恒过定点．（3）利用已知条件建系，设，，，进而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的【解析】【分析】（1）设，利用半径为1，且经过坐标原点结合代入法，进而利用圆的定义得出点坐标，令，3，结合，，所以平面的法向量是，再利用数量积求向的轨迹方程。量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值，再利用二次函数的图象求最值的方法得（2）由（1）可得P，Q坐标，设直线的方程为，由题意可得，，，再利用出当时，与平面所成角的正弦值最大，并求出此时的最大值。直线与圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，在中，令，可得，从而得出点C的坐标，再利用两点求斜率公式结合点斜式方程求出直线的方程为，令，可得2.【答案】（1）解：设，因为半径为1，且经过坐标原点，，进而得出点D的坐标，再利用中点坐标公式得出的中点E的坐标，进而得出以为直径的圆 的方程，再利用赋值法证出出以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标。
简介：高二上学期数学期中练习试卷（A卷）10．已知直线：，直线不经过第二象限，则的取值范围是（）一、单选题A．B．C．D．1.与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐标为()二、填空题A．(1，3，2)B．(-1，-3，2)C．(-1，3，-2)D．(1，-3，-2)11.已知点，点，向量，则点的坐标为．2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为（）12.已知，直线与直线平行，则的值为．A．B．C．D．13.已知直线过点，点，则点到直线的距离是．3.在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（）14.正方体中，､分别是棱､的中点，则异面直线与A．B．C．D．所成角的余弦值为.4.已知，，若，则实数的值为（）15.已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：A．1B．-1C．D．①；5.箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A=“至少有一件次品”，则A的对②；立事件为（）A.至多两件次品B．至多一件次品③点到面的距离为；C．没有次品D．至少一件次品④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则6.如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）的取值范围是A．B．C．D．其中正确结论的序号是．三、解答题7.袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个16.已知向量，．球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）（1）求；A.B．C．D．18．过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）（2）求；A．或B．或（3）若（），求的值．C．或D．或17.从两个黑球（记为和）、两个红球（记为和）从中有放回地任意抽取两球．9.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率（1）用集合的形式写出试验的样本空间；（2）求抽到的两个球都是黑球的概率．分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A.B．C．D．18.已知直线过点，直线：． （1）若，求直线的方程；由于，故。故答案为：B（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．19.在如图所示的多面体中，且，，，且，【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关，且，平面，．系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。（1）求证：；3.【答案】A（2）求平面与平面夹角的余弦值．【解析】【解答】点在平面内的射影，20.甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次即向平面作垂线，垂足为射影，时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，（2）求甲获胜的概率．故射影的坐标。21.设为正整数，集合．对于集合中的任意故答案为：A元素和，记【分析】利用点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和．轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为0，从而求出射影的坐标。（1）当时，若，，求和的值；4.【答案】A（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，【解析】【解答】因为，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．所以，答案解析部分即，解得。1.【答案】故答案为：A.C【解析】【解答】∵（-1，3，-2）=，∴由向量共线性质可知答案C。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出实数k的值。【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐5．【答案】C标。【解析】【解答】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一2.【答案】B件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况，【解析】【解答】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为，根据对立事件的定义，事件A=“至少有一件次品”，其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“。故，故答案为：C 【分析】利用已知条件结合对立事件的定义，从而找出事件A的对立事件。【分析】利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取出的2个球恰好是1个6．【答案】D红球1个黄球的概率。【解析】【解答】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所8．【答案】D示），【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；则，，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，，，，所求的直线方程为，设平面的一个法向量为，综上可知，所求直线方程为或。故答案为：D.则，即，令，则，，【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点所以平面的一个法向量为；，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。设直线与平面所成角为，9.【答案】B【解析】【解答】记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系则，统不发生故障”为事件，则，解得。即直线与平面所成角的正弦值为。故答案为：B．故答案为：D.【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而利用互斥事件加法求概率【分析】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而求出点的公式，进而求出在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率，再利用已知条件在任意时刻恰有一个系统不发坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线与平面生故障的概率为，从而求出实数p的值。所成角的正弦值。10.【答案】C7．【答案】B【解析】【解答】由题意，，【解析】【解答】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，令，可得直线过定点，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是。如图所示，经过的直线，且不经过第二象限，临界状态为经过原点和斜率不存在，故答案为：B.当经过原点时，，故的取值范围是。 故答案为：C，则，【分析】由题意，将直线的一般式方程转化为，从而得出，再解方程组求交点的方法，进而求出直线过的定点坐标，再利用直线的图像结合经过定点的直线，且不经过第二象限，又因为，所以，临界状态为经过原点和斜率不存在，当经过原点时，再结合两点求斜率公式，从而求出实数的取值范围。11．【答案】（1，2，1）所以点到直线的距离为。【解析】【解答】设点，故答案为：。则，因为，【分析】利用已知条件结合方向向量的定义，从而求出直线的方向向量，再利用向量的坐标表示求出向量即，的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出的值，再利用两向量的夹角的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用正弦函数的定义，从而得出点所以，解得，到直线的距离。所以点的坐标为（1，2，1）。14.【答案】故答案为：（1，2，1）。【解析】【解答】如图所示：分别取的中点G，H，连接，【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出点C的坐标。12.【答案】-1则，【解析】【解答】由题意，直线与直线平行，所以是异面直线与所成角，故，解得，设正方体的棱长为2，则，当时，两直线为：，不重合，故的值为-1。由余弦定理得，故答案为：-1。。【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。故答案为：。13.【答案】【解析】【解答】直线的方向向量，【分析】分别取的中点G，H，连接，再利用中点作中位线的方法结合 中位线的性质，从而推出，所以是异面直线与所成角，设正因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，方体的棱长为2，再结合勾股定理和余弦定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故④正确.15.【答案】①②④故答案为：①②④.【解析】【解答】在正方体中，，故①正确；【分析】在正方体中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出因为，；再利用结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出则；利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出，故②正确；的值，再利用结合三角形的面积公式，得出的值，进而求出点到面设点到面的距离为，则，的距离；连接，在正方体中，，，平面，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂又，则，直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线所以，所以，垂直，所以，再结合点在正方体的侧面及其边界上运动，并即点到面的距离为，故③错误；保持，所以点的轨迹为线段，从而求出的取值范围，进而找出正确结论的序对于④，连接，号。在正方体中，16.【答案】（1）解：；平面，又平面，所以，（2）解：因为，所以平面，；又平面，所以，（3）解：因为，同理，所以，又，所以平面，即，又平面，所以，解得. 【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。即(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。即，可求得(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。则直线的方程为17.【答案】（1）解：试验的样本空间；综上：直线的方程为或．（2）解：设事件“抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，再利用点斜．式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的因此．斜率，进而结合点斜式方程求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。19.【答案】（1）证明：因为平面，所以抽到的两个球都是黑球的概率为平面，平面，【解析】【分析】（1）利用已知条件用集合的形式写出试验的样本空间。所以，且，（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出抽到的两个球都是黑球的概率。因为，18.【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，所以则，，，，，，，所又因为，所以以，，又因为直线过点，直线的方程为，即．所以；（2）解：若直线斜率不存在，则直线：（2）解：，此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题设平面的法向量为，意．若直线斜率存在，设直线的斜率为则，即，设直线：，与轴交点为点令，有，令，解得设平面的法向量为，所以点坐标为则，即，直线与直线的交点为点令，有，因为直线与轴和直线围成的三角形面积为 设平面和平面的夹角为，，，．（2）解：设；所以平面和平面的夹角的余弦值为．；【解析】【分析】（1）利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以；，且，再利用，以为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出数量积的值，再结合数量积为；0两向量垂直的等价关系，从而证出。．（2）利用空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量则积求向量夹角的公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值。对于中的不同元素，经验证，20.【答案】（1）解：设事件“甲在第次投篮投中”，其中所以中至多1个元素属于B，设事件“乙在第次投篮投中”，其中所以集合B中至多5个元素．则，，其中取记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，满足条件．此时集合B=，事件与事件相互独立所以集合B中至多有5个元素．根据事件独立性定义得：【解析】【分析】（1）设为正整数，集合．对于甲乙各投球一次，比赛结束的概率为集合中的任意元素和，记（2）解：记“甲获胜”为事件，，再利用已知条件当事件、事件、事件彼此互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义得：时，，，再结合的定义结合代入法，得出和的甲获胜的概率为．值。【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出甲、乙各（2）利用当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，投球一次，比赛结束的概率。结合，再结合并（2）记“甲获胜”为事件，利用已知条件得出，所以事件、事件集的运算法则结合元素与集合的关系，从而得出集合B中至多有5个元素。、事件彼此互斥，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出甲获胜的概率。21.【答案】（1）解：因为，，所以 高二上学期数学期中练习试卷（B卷）概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9一、单选题表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38011.直线的倾斜角为（）2386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983A．B．C．D．据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为（）2.已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．A．B．二、填空题11.已知直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为.C．D．12.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为.3.已知向量，，若与共线，则实数的值为（）13.如图，已知四面体的所有棱长都等于2，点，分别为，的中点，则A．-2B．-1C．1D．2.4.同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是（）A.B．C．D．14.已知事件A与互斥，且，，则，5.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为.（）15.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图.结构为A．B．C．D．戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如下图，若从五个阳数中随机抽取三个数.6.如图，在长方体中，化简（）492A．B．C．D．3577.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（）816A.至少一次中靶B．至多一次中靶（1）试验的样本空间包含个样本点；C．至多两次中靶D．两次都中靶（2）使得这三个数之和等于15的概率是.8.如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则三、解答题16．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：（）（1）BC边所在直线的方程；A.1B．C．D．2（2）BC边的垂直平分线所在直线方程．9.已知向量，若向量共面，则实数的值为17．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（）（1）写出试验的样本空间；A．-3B．-1C．1D．3（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.10.已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的 故答案为：B.18.已知向量，．（1）求；【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。（2）求；2.【答案】A（3）若（），求的值．【解析】【解答】设与直线平行的直线l的方程为，19.某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别把点代入可得，解得．为和，两种大树成活与否互不影响.因此直线l的方程为（1）求甲种大树成活两棵的概率；故答案为：A．（2）求甲种大树成活一棵的概率；（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.【分析】根据题意由已知条件结合直线平行的性质设出直线的方程，再由待定系数法代入数值计算出m的20.在直三棱柱中，，，点，分别为，值，从而得出直线的方程。的中点.3.【答案】D（1）证明：；【解析】【解答】由题设，有，，则，可得.（2）求直线与平面所成的角；故答案为：D（3）求点到平面的距离.21.如图，在四棱锥中，底面，，//，点为【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。的中点，，，.4.【答案】A【解析】【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，（1）求证：平面；基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，（2）求平面与平面的夹角；出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.则两枚硬币均为正面向上的概率.答案解析部分故答案为：A．1.【答案】B【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出【解析】【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，结果即可。因直线的方程为，故其斜率，则有，5.【答案】C又由，则，【解析】【解答】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从图中 可以看出，因为，，，其中，所以，所以故答案为：A故答案为：C【分析】根据题意由正方体的几何性质，结合斜率的加、减运算性质以及数量积的公式代入数值计算出结果【分析】由已知条件即可得出直线的倾斜角，再由斜率公式结合正切函数的单调性即可得出斜率的大小。即可。6.【答案】A9.【答案】B【解析】【解答】解：如图：，【解析】【解答】解：因为向量共面，故答案为：A.所以存在实数使得，即【分析】由长方体的几何性质，结合斜率加减运算公式计算出结果即可。所以，解得7.【答案】D【解析】【解答】设“只有一次中靶”为事件A故答案为：B设“至少一次中靶”为事件B，则事件B包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，显然，不互斥，A选项错误；【分析】由空间向量共面的坐标公式，结合线性运算性质整理化简计算出m的值即可。设“至多一次中靶”为事件C，则事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然，不10.【答案】D互斥，B选项错误；【解析】【解答】设“4件产品中至少有3件为合格品”为事件A，设“至多两次中靶”为事件D，则事件D包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然20组随机数中，从左到右，第二行第六列的1040包含两个0，即4件产品中有2件不合格，不在事件A中，，不互斥，C选项错误；其余均在A中，所以A中包含的个数为19，故故答案为：D设“两次都中靶”为事件E，则，，满足互斥而不对立所需要的条件，D符合题意.【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结故答案为：D果即可。1.【答案】【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。【解析】【解答】由题设，直线过且与轴垂直，则直线的方程为.8.【答案】A故答案为：【解析】【解答】解：根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，【分析】根据题意由直线垂直的性质，由点斜式即可求出直线的方程。所以在直角三角形中，12.【答案】 【解析】【解答】点在平面内射影，只需即可，16.【答案】（1）解：BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0∴在平面内射影的坐标为.（2）解：kDE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2，即故答案为：【解析】【分析】（1）根据两点式，直接写出直线BC的方程，整理得一般式即可；（2）写出BC的中点坐标，求出BC所在直线的斜率，根据直线垂直，求出所求直线的斜率，利用点斜式写【分析】由空间向量的射影坐标公式，代入数值计算出结果即可。出BC垂直平分线的方程，整理得一般式即可.13.【答案】117.【答案】（1）试验的样本空间为：【解析】【解答】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，点，分别为，的中点，（2）设事件“摸出的两个球的颜色相同”则，所以，所以，，故答案为：1.所以【分析】根据题意由中点的性质即可得出线线平行，再由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，即可列举出样本空间的事件个数。14．【答案】0.6；0.9(2)据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即【解析】【解答】因为事件与是对立事件，且，所以；因为事可。件A与互斥，所以18.【答案】（1）解：；故答案为：0.6，0.9（2）解：；【分析】由对立、互斥事件的概率公式，计算出结果即可。15．【答案】（1）10（3）解：因为，（2）所以，【解析】【解答】从五个阳数中随机抽取三个数，取法有，，，，即，，，，，，，故试验的样本空间包含10个样解得.本点，其中当抽到或者时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为.【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。故答案为：10，(2)由向量模的公式，代入数值计算出结果即可。(3)由数量积的运算公式，计算出结果即可。【分析】据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。19.【答案】（1）设事件“甲种大树成活两棵”，则 设直线与平面所成角为（2）设事件“甲种大树成活一棵”，则∴直线与平面所成角为；（3）设事件“乙种大树成活一棵”，（3）点到平面的距离.则设事件“乙种大树成活两棵”，【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公代则入数值计算出，由此得证出。设事件“甲、乙两种大树一共成活三棵”，(2)由已知条件求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由线面角与向量夹角则的关系，代入数值计算出直线与平面所成角的正弦值，由此即可得出直线与平面【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。所成的角。(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。(3)根据题意结合点到平面的距离公式，代入数值计算出结果即可。(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。21.【答案】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，20.【答案】（1）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如建立如图所示的空间直角坐标系.图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.，，，，，，，设平面的法向量为，，，∵，由，∴令，则，，∴平面的一个法向量为，∴∴；由，，∴，（2）设平面的法向量为∵平面，∴平面，（2）解：∵底面，底面，∴，∵，，∴平面，∴平面的一个法向量为，由设平面与平面的夹角为，令，则，则，又由图示得为锐角，∴平面的一个法向量为由∴平面与平面的夹角为. （3）解：设在线段上存在点，满足（），，若平面，则，所以，解得，所以在线段上存在点，使平面，此时.【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，由数量积的坐标公式计算出，从而得出结合线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面的所成的角。(3)根据题意假设存在点F，由此得到，结合线面垂直与向量夹角之间的关系，由此得到关于的值，从而建立得证出结论。 高二上学期数学期中考试试卷A．若，垂直于同一平面，则与平行一、单选题B．若，平行于平面，则与平行1．长方体中，化简（）C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面A．B．C．D．D．若，不平行，则在内不存在与平行的直线2.已知，，若，则实数，的值分别为（）9.如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A．，B．，A.直线与直线垂直，直线平面C．5，2D．-5，-2B.直线与直线平行，直线平面3.过点且与向量垂直的向量（）C.直线与直线相交，直线平面A．有且只有一个B．有无数个且共面D.直线与直线异面，直线平面C．只有两个且方向相反D．有无数个且共线10.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）最大值为（）A．，B．，A．B．C．D．C．，D．，二、填空题5.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系11.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为.式成立的是（）12.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．A．B．13．平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为．C．D．14．已知，，则以，为邻边的平行四边形的面积为.6．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为15．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为．（）16．已知关于向量的命题，A．2B．4C．6D．以上都不对⑴是，共线的充分不必要条件；7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方⑵若，则存在唯一的实数，使；形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）⑶，，则；⑷若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；A．B．C．D．⑸．8.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（） 在以上命题中，所有正确命题的序号是．三、解答题∴，∴。17.正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：故答案为：A．（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值；【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而求出实数，的值。3.【答案】B（3）点到平面的距离．【解析】【解答】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设18.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且为平面，．则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面。（1）分别求出与底面、棱所成的角的大小；故答案为：B．（2）在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值．【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点且与19.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．向量垂直的向量有无数个且共面。（1）证明：AC⊥SB；4.【答案】C（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；【解析】【解答】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，（3）求点B到平面CMN的距离．时满足，答案解析部分对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误。1.【答案】C故答案为：C．【解析】【解答】如图，。【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面垂直的判定定理，再结合向量共线故答案为：C.的坐标表示，进而得出能使的和的坐标。5.【答案】D【分析】利用已知条件结合长方体的结构特征，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而化简【解析】【解答】由于直线与平面的夹角为，。其中，2.【答案】A所以，【解析】【解答】∵，，所以。∴，故答案为：D 【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答【分析】由于直线与平面的夹角为，其中，再利用正弦函数的图象，从而得出案。，再利用诱导公式结合方向向量的定义和已知条件，从而结合数量积求向量夹角公式，从而求出9．【答案】A【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),。D1(0,0.2),M(1,0,1),N(1,1,1),B1(2,2,2),6.【答案】A【解析】【解答】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以。故答案为：A．【分析】利用已知条件结合点关于面对称的方法，从而求出点关于平面的对称点B的坐标，再结合空间两点距离公式，从而求出的值。对于A:因为因为所以,7.【答案】C即,又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符【解析】【解答】如图，合题意；设，则，对于B:由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；对于C:A1D与D1B是异面的,不平行，故C不符合题意；由题意，即，化简得，对于D:A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；故答案为：A.解得（负值舍去）.【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，故答案为：C.对于B：若A知这显然不平行，所以B不正确；【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.对于C：显然，直线与直线是异面直线，故C错误；8.【答案】C对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。【解析】【解答】A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，所以排除A.10.【答案】AB，若，平行于平面，则与不一定平行，所以排除B.【解析】【解答】解：如图截面，S=6，C，若与垂直于同一平面则，所以C符合题意.故答案为：A.D，若，不平行，则在内存在与平行的直线，所以排除D.【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面所成的角相等，得到平面与其中一条对角线垂直，此时故答案为：C截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值. 1.【答案】14π出直线与平面的位置关系。【解析】【解答】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，14.【答案】∴长方体的对角线长为：，【解析】【解答】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，因，，∴球半径为R=，所以，，，可得球的表面积为4πR2=14π。所以。故答案为14π。故答案为：。【分析】利用已知条件得出长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，再利用勾股定理得出长方体【分析】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形，再利用向量的坐标运算得出的对角线长，再结合长方体的对角线长恰好是外接球的直径，从而求出球的直径，进而求出球的半径，再结合球的表面积公式求出球的表面积。向量，的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出，的值，再利用菱形的面积公式，从而求出以，为邻边的平行四边形的面积。12.【答案】【解析】【解答】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴r=，∵R2=r2+h2，∴h=R15.【答案】【解析】【解答】如图正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、所以。、，由正四棱锥的性质知平面，，，故答案为：。所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面弧长与底面圆的周长的关系，从而利用圆的周长公式，得出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，再结合圆锥的体积公式，从而得出圆锥的体积。。13.【答案】平面或平面【解析】【解答】由题意，平面的法向量为，向量，故答案为：。若平面，则成立，若平面，则平面，∴直线与平面的位置关系为平面或平面，【分析】在正四棱锥，取底面中心，取中点，连接、、故答案为：平面或平面。，由正四棱锥的性质知平面，，，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3结合余弦函数的定义和勾股定理，进而【分析】利用已知条件结合法向量的定义，再结合两向量垂直的判断方法和线面位置关系判断方法，从而推 求出侧面与底面所成二面角的余弦值。所以异面直线与所成角的余弦值为．16．【答案】（1）（4）【解析】【解答】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，（2）解：取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；由正四棱锥特性知平面，，，，（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；所以为二面角的平面角，（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；，所以，（4）令，则，所以，无解，即所以二面角的余弦值为，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（3）解：设点到平面的距离为，（5），即（5）错误．由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，命题（1）（4）正，确．故答案为：（1）（4）．因为，所以，【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，得出是，共线的充分所以，不必要条件；利用已知条件结合向量共线定理，得出若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数所以点到平面的距离为．，使；利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量相等的判断方法，从而【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，再利用是正得出若，，说明，，不一定存在；利用已知条件结合平面向量四棱柱，为下底面正方形的中心，所以，所以为异面直线与所的基底的判断方法，从而得出若为空间的一个基底，则构成空间的另一成角，再利用余弦函数的定义和勾股定理，从而得出异面直线与所成角的余弦值。基底；利用已知条件结合数量积的定义和向量的模的求解方法，进而得出，（2）取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，由正四棱锥特性从而找出正确命题的序号。知平面，，，，所以为二面角17.【答案】（1）解：取中点，连接，，，的平面角，再利用正切函数的定义，得出的值，进而求出的值，从而因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，求出二面角的余弦值。所以，（3）设点到平面的距离为，由（1）知，所以点到平面的距离也所以为异面直线与所成角，，为，再利用三角形的面积与四边形的面积公式的关系式，得出的值，再利用等体积法结合三棱锥的 体积公式，得出点到平面的距离。向量夹角公式得出与所成的余弦值，进而求出与所成角的大小。18.【答案】（1）解：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）利用已知条件结合向量的坐标表示结合向量共线的坐标表示，从而结合空间两点的距离公式和已知条件因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，，从而得出点P的坐标，进而得出为中点，再结合，又因为，所以，结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，同理得出平面的法向量，利用二面角为锐角，进而求出二面角的平面角的余弦所以与底面所成的角为45°．值。因为，，，19.【答案】（1）证明：取AC中点O，连结OS、OB所以，，∵，，∴，且∵平面平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC所以与所成的余弦值为，∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO所以与所成角的大小为60°．如图建立空间直角坐标系O—xyz：则，（2）解：∵，，设，则，，，∴，因为，所以，，∵∴解得，于是，即为中点，（2）解：由⑴得，又，，设平面的法向量为，设为平面CMN的一个法向量，则，取则，∴，令，又为平面ABC的一个法向量平面的法向量可取，因为二面角为锐角，∴∴所以二面角的平面角的余弦值为．（3）解：由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，利用是在平面内投影，所以∴点B到平面CMN的距离为与底面的所成角，再利用，所以，从而得出与底【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OS、OB，再利用，结合等腰三角形三线合面所成的角，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再由数量积求一，得出且，再利用平面平面ABC结合面面垂直的性质定理，得出线面垂 直，所以SO⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以SO⊥BO，建立空间直角坐标系O—xyz，从而结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，进而证出AC⊥SB。（2）由⑴得，，设为平面CMN的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面CMN的一个法向量，再利用向量为平面ABC的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角N-CM-B的正切值大小。（3）由⑴⑵得，为平面CMN的一个法向量，从而结合数量积得出点B到平面CMN的距离。 高二上学期数学期中质量检测试卷与平面所成角的正弦值等于（）一、选择题A.B．C．D．1.直线的倾斜角为（）二、填空题A．B．C．D．11.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为.2.已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（）12.已知向量，，若，则实数等于．A．B．13.过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程C．D．14.经过点以及圆与圆交点的圆的方程3.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）为．A．B．15.如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：C．D．①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；4．在平行六面体中，（）A．B．C．D．③若为中点，则点到距离为；④的最小值为5．已知直线和直线互相平行，则等于（）则其中所有正确结论的序号是．A．2B．-2C．±2D．016．如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，设，6.圆与圆的位置关系是（），，以为基底，则用基底表示向量；A．内含B．相交C．外切D．外离．7．在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，，则三、解答题（）17．三角形的三个顶点分别是．A．5B．C．D．（1）求边所在的直线方程；8．已知点，，，，若，，，四点共面，则（）（2）求边上的高所在的直线方程．A．B．C．D．18．已知圆过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；9．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围是（）（2）试判断直线：与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．19.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和A．B．C．D．的中点．10．如图，在平行六面体中，，，则 【分析】利用已知条件结合点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。（1）求证：平面；3.【答案】D（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【解析】【解答】对于A：因为，所以，，共面，不能构成基20.在空间直角坐标系中，已知向量，，．底，A不符合题意，（1）求向量在向量上的投影向量；对于B：因为，所以，，共面，不能构成基底，B不符合题意，（2）求平面的法向量；（3）求点到平面的距离．对于C：因为，，，共面，不能构成基底，C不符合题意，21.在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面对于D：若，，共面，则，即，则与棱交于点．，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，D符合题意.（1）求证：点为中点；（2）求证：；故答案为：D．（3）当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．22.在平面直角坐标系中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点，设动圆的圆心为．【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的判断方法，再结合向量共线的坐标表示，进而找出可以构成空间的另一个基底的选项。（1）求点的轨迹方程；4.【答案】A（2）设点的轨迹与轴交于，两点（在左侧），过点的直线交点的轨迹于点（异于【解析】【解答】连接，，），交直线：于点，经过，的直线交于点，求证以为直径的圆过定点，并求出可得，又因为，定点坐标．所以。答案解析部分故答案为：A1.【答案】B【分析】连接AC，再利用平行四边形法则结合，再结合三角形法则，进而得出【解析】【解答】记直线的倾斜角为，∴，。故答案为：B.【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角。5.【答案】C2.【答案】C【解析】【解答】显然时，两直线不平行，不符合，【解析】【解答】因为直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：则，解得.经检验满足题意。故答案为：C.，所以直线的一般式方程为。故答案为：C【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等和两直线不重合检验的方法，进而得出满足要求的实数a的值。 6.【答案】D【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用四点共面的判断方法和平面向量基本定理，进而解方程组求出k的值。【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，9．【答案】A圆化为，则圆心为，半径为，【解析】【解答】由可得，则圆心距，所以两圆外离.则即，故答案为：D.所以圆心为，半径，【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法，再结合两点距离公式求出圆心距，再利用圆心距与两圆圆心到直线的距离，半径和作比较，进而判断出两圆外离。因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，7.【答案】C【解析】【解答】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，所以，即，解得：，，则，4，，，0，，所以实数的取值范围是。故答案为：A.，-4，5)，。【分析】由圆的一般式方程可得圆的标准方程为，再利用圆故答案为：C．的半径的取值范围得出实数a的取值范围，再利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆上有且只有两个点到直线的距【分析】在空间直角坐标系中，点，4，在坐标平面，内的射影分别为点，，进而离等于1，所以，从而解绝对值不等式求出实数的取值范围。得出点B和点C的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量的模求解方法，进而得出10.【答案】C的值。【解析】【解答】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接8．【答案】B【解析】【解答】由点，1，，，2，，，2，，，0，，，如图，可得，1，，，1，，，，，因，，则为正四面体，，若，，，四点共面，可设，而，平面，于是得平面，又平面，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为中则，解得，所以。点，则，取中点M，连，则有，又，则，故答案为：B而平面平面，平面，从而有平面， ∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，所以与平面所成角的正弦值等于。故答案为：C则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．故答案为．【分析】在平行六面体中，连交于点O，连交于点，连接【分析】点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程，利用，，则为正四面体，为x20x+y0y=r，得圆的切线方程．，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面14.【答案】垂直，因此，平面平面，令，在正与正中，分别为【解析】【解答】设过圆与圆交点的圆的方程为：中点，进而得出的长，取中点M，连，则有，再利用，进而得①出的长，再利用线线垂直证出线面垂直，从而有平面，再利用正弦函数的定义得出直线把点的坐标代入①式得，把代入①并化简得，与平面所成角的正弦值。所求圆的方程为：。1.【答案】故答案为：。【解析】【解答】由两点间斜率计算公式可得，故答案为.【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．【分析】设过圆与圆交点的圆的方程为：12.【答案】①，利用已知条件，把点的坐标代入①式得出实数的【解析】【解答】因为向量，，则，，值，再把代入①并化简得出所求圆的一般方程。又，则，即，解得，15.【答案】①②④所以实数等于。【解析】【解答】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，故答案为：。所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到【分析】利用向量，结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而得出平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，②正确；和的值，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出连接，，因为，，，所以，故实数的值。为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即13.【答案】，解得，所以若为中点，则点到距离为，③错误；【解析】【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，高所在的直线方程斜率为又边上的高过点，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向故所求直线方程为量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的故边上的高所在的直线方程是．公垂线距离最短，所以的最小值为，④正确．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合截距式方程求出AC边所在的直线方程，再转化为直线的一般式方故答案为：①②④．程。（2）利用边上的高垂直于结合(1)和已知条件，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用异面直线所求角的方法得出异面直线，所成1，进而得出高所在的直线方程斜率，再利用边上的高过点，再结合点斜式方程求出所求直线方程，的角；利用点到平面的距离求解方法证出点到平面的距离为定值；再利用中点的性质和点到直线的再转化为边上的高所在的直线的一般式方程。距离公式求出点到距离；再结合向量的模求解方法和三垂线定理以及数量积求两直线公垂线的方法，再利用异面直线间的公垂线距离最短得出的最小值，从而找出结论正确的序号。18.【答案】（1）解：设圆的方程为：，16.【答案】；根据题意得，【解析】【解答】因为，，分别为，的中点，设，，，故所求圆的方程为：．所以，（2）解：圆心到直线的距离，因为正方体的棱长为2，故直线与圆相交，。由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．【解析】【分析】（1）设圆的标准方程为：，再利用代入法和圆的标准方程故答案为：；。和直线的一般式方程，进而解方程组求出a，b，r的值，从而得出圆M的标准方程。【分析】利用已知条件结合三角形法则、中点的性质、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出基底表（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离与示向量；再结合正方体的棱长为2和勾股定理，得出的值。半径的比较结合直线与圆位置关系判断方法，故直线与圆相交，由弦长公式可得直线被圆截得的弦长。17.【答案】（1）解：由，．可得边所在的直线方程是：，19.【答案】（1）证明：由题意四棱锥的底面为正方形，底面，即．故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，（2）解：因为边上的高垂直于，(1)由已知因为，，分别为和的中点，则，0，，，1，，所以， 又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，则，令，得，所以，故，所以平面的法向量.又平面，（3）解：由(2)得点到平面的距离，故平面.所以点到平面的距离为.（2）解：因为，2，，，0，，，1，，所【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及数量积求投影向量的方法，进而得以，出向量在向量上的投影向量。设平面的法向量为，（2）利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算以及平面的法向量求解方法，进而得出平面的法向量。则，即，（3）由(2)结合数量积求出点到平面的距离。令，则，，21.【答案】（1）证明：因为平面与棱交于点，又因为、是平面与平面共公故，点，所以平面平面，所以，因为是正方体，所以平面，故平面与平面的夹角的余弦值为．所以，又因为，所以，【解析】【分析】（1）由题意四棱锥的底面为正方形，底面，故以点为坐标原因为为中点，所以点为中点．点，建立空间直角坐标系，再利用，，分别为和的中点，从而得出点E，F的坐（2）证明：连接，交于，标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用法向量求解方法得出平面的一个法向量为因为，，，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出直线平面所以，所以，。所以，（2）利用已知条件结合建系的方法得出点的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积又因为平面，平面，，求向量的夹角的公式，进而得出平面与平面的夹角的余弦值。因为，所以平面，20.【答案】（1）解：因向量，，则，因为平面，于是得，所以．所以向量在向量上的投影向量.（3）解：建系如图，设，，，（2）解：因向量，，则，由(1)知， ，2，，，0，，，1，，，0，，，，，所以点的轨迹方程为；，，，，，，，，，（2）证明：由（1）可得，，令，3，，设直线的方程为，由题意可得，，，因为，，联立，整理可得，所以平面的法向量是，可得，，所以与平面所成角的正弦值为所以，；，当时等号成立．在中，令，可得，即，所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．因为，【解析】【分析】（1）利用平面与棱交于点，再利用、是平面与平面共公所以直线的方程为，令，点，所以平面平面，再利用是正方体，所以平面，可得，即，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合平行的传递性，所以，再利用为中点，从而证出点为中点。所以，（2）连接，交于，再利用，，所以，所以的中点，所以，再利用平面结合线面垂直的定义，从而证出线线垂所以以为直径的圆，直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线当时，，即，线垂直，从而证出。即以为直径的圆恒过定点．（3）利用已知条件建系，设，，，进而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的【解析】【分析】（1）设，利用半径为1，且经过坐标原点结合代入法，进而利用圆的定义得出点坐标，令，3，结合，，所以平面的法向量是，再利用数量积求向的轨迹方程。量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值，再利用二次函数的图象求最值的方法得（2）由（1）可得P，Q坐标，设直线的方程为，由题意可得，，，再利用出当时，与平面所成角的正弦值最大，并求出此时的最大值。直线与圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，在中，令，可得，从而得出点C的坐标，再利用两点求斜率公式结合点斜式方程求出直线的方程为，令，可得2.【答案】（1）解：设，因为半径为1，且经过坐标原点，，进而得出点D的坐标，再利用中点坐标公式得出的中点E的坐标，进而得出以为直径的圆 的方程，再利用赋值法证出出以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标。
