北京市丰台区2020届高三数学一模试题（Word版附解析）
北京市丰台区2020届高三数学一模试题（Word版附解析）,高三数学一模试题,北京市,丰台区,莲山课件.
海淀区高三年级第二学期阶段性测试
数学2020春
第一部分(选择题共40分)
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内,复数 对应 点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析： ，对应的点为 ，在第一象限
考点：复数运算
2.已知集合 ， ，则集合 可以是（ ）
A. {1，2} B. {1，3} C. {0，1，2} D. {1，2，3 }
【答案】B
【解析】
【分析】
集合 ， 是数集， , , 集合中一定没有元素 ，由选项可得.
【详解】 ，则集合 中一定有元素 ，又 , 集合中一定没有元素
可以是
故选：B.
【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
3.已知双曲线 的离心率为 则b的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题知 ， 及 联解可得
【详解】由题知 ， ， ，
.
故选：B.
【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程.
求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 轴上或 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 的方程组，解出 ，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为 求解．
4.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由数轴知 ，不妨取 检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取 ，
对于A， ， 不成立.
对于B， ， 不成立.
对于C， ， 不成立.
对于D， ，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5.在 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 120 C. D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】
写出二项式展开式的通项公式求出常数项.
【详解】 展开式的通项 ，令
常数项
故选：C．
【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数．
6.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆 时，圆 与直线 相切于点B，点A运动到点 ，线段AB的长度为 则点 到直线 的距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
线段AB的长度为 即圆滚动了 圈，此时 到达 ， ，则点 到直线 的距离可求.
【详解】线段AB的长度为 设圆滚动了 圈，则 即圆滚动了 圈，
此时 到达 ， ，则点 到直线 的距离为 .
故选：C．
【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.
圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.
7.已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1，2)内单调递减，则m的取值范围为（ ）
A. [-1，+∞) B. (-∞，-1] C. [-2，+∞) D. (-∞，-2]
【答案】D
【解析】
【分析】
函数 与 的图象关于 轴对称,得到 ，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.
【详解】函数 与函数 的图象关于 轴对称,
，
在区间 内单调递减，
则 ，
故选：D．
【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关 问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.
8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
四棱锥底面是直角梯形， 底面 ,可知最长棱是 ,在直角三角形 中利用勾股定理可解.
【详解】
由三视图知，四棱锥底面是直角梯形， 底面 , ,最长棱是 ，
在 中， ，在 中， ，
，
.
故选：D．
【点睛】由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题.要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．
9.若数列 满足 则“ ”是“ 为等比数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
,不妨设 ，则 可证充分性；
为等比数列且 时得不到 ，可知必要性不成立
【详解】不妨设 ，则
为等比数列；故充分性成立
反之若 为等比数列，不妨设公比为 ，
，
当 时 ，所以必要性不成立
故选：A．
【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
10.形如 (n是非负整数)的数称为费马数，记为 数学家费马根据 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出 不是质数，那 的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
,设 ,两边取常用对数估算 的位数即可.
【详解】 ,设 ，则两边取常用对数得
.
，
故 的位数是10，
故选：B．
【点睛】解决对数运算问题的常用方法：
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的 简化计算.
第二部分(非选择题共110分)
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知点P(1，2)在抛物线C 上，则抛物线C的准线方程为___.
【答案】
【解析】
【分析】
代入抛物线方程，求出 ，可求准线方程.
【详解】 在抛物线 上， ，
准线方程为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
12.在等差数列 中， ，则数列 的前4项的和为___.
【答案】
【解析】
【分析】
利用等差数列基本量关系求通项. 利用等差数列前 项和公式求出 .
【详解】设等差数列的公差为 .
，
， ，
， ，
（2） .
故答案为：
【点睛】本题考查解决等差数列通项公式及前 项和 .
（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式 和前 项和公式 ，在两个公式中共涉及五个量： ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．
13.已知非零向量 满足 ，则 =__.
【答案】0
【解析】
【分析】
两边平方求出 ；化简 可求解.
【详解】由 两边平方，得 ，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.
求向量模的常用方法:
(1)若向量 是以坐标形式出现的，求向量 的模可直接利用公式 .
(2)若向量 是以非坐标形式出现的，求向量 的模可应用公式 或 ，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
14.在△ABC中， ，点D在边BC上， CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
在 中用正弦定理求解 ，在 用面积公式可得.
【详解】
在 中由正弦定理得： ，
.
在 中， ，
故答案为： ; .
【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.
其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
15.如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程 最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是____.
【答案】①②
【解析】
【分析】
写出 分别在 上运动时的函数解析式 ，利用分段函数图象可解.
【详解】
分别在 上运动时的函数解析式 ，
分别在 上运动时的函数解析式 ，
分别在 上运动时的函数解析式 ，
，
由图象知：正确的是①②.
故答案为：①②
【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16.如图，在三棱柱 中，AB⊥平面 ，点E为 的中点.
(I)求证： 平面ABC；
(II)求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
(I) 证 ，在同一平面内用“数据说话”，证 用线面垂直的性质；
(II) 以 为原点，建立空间直角坐标系，求出 求出平面 求出的法向量，利用空间向量夹角公式可得.
【详解】(I) ⊥平面 平面 ，
北京市朝阳区六校2020届高三数学4月联考（B卷）试题（Word版附解析）
北京市朝阳区六校2020届高三数学4月联考（B卷）试题（Word版附解析）,高三数学4月联考试题,北京市,朝阳区,莲山课件.
，
在 中， ，
， ， ，
平面ABC；
(II)由(I)知 ,则建立空间直角坐标系 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
故 ， .
令 ， ，
，又平面 的法向量为 ，
.
由题知二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 .
【点睛】本题考查线面垂直判定及利用空间向量计算二面角大小.
计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小
17.已知函数 .
(I)求f(0)的值；
(II)从① ；② 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在 上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.
【答案】(I) ；(II) ① 时 ， ；② 时 ， .
【解析】
【分析】
(I)将 代入求值即可；
(II)①用二倍角和辅助角公式化简可得 ，再由 可得 ，结合正弦函数图象求解最值；
② ， 利用抛物线知识求解
【详解】(I) ；
(II)① ，
由题意得 ， ，
， ，故 ，
所以当 时， 取最小值 .
② ， ，
，令 ，
，
当 时，函数取得最小值为 .
， ，
【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成 或 的形式；
（2）根据自变量的范围确定 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.
（3）换元转化为二次函数研究最值.
18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).
(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；
(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.
【答案】(I) ； (II) 分布列如下：
0 1 2
(III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.
【解析】
【分析】
(I) 折线图中2010年到2019年共10年中，2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在 以下
(II) 2010年到2019年共10年中，研发投入超过500亿元的有5年， 的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率.
(III) 图中信息10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发.
【详解】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 , .
(II)由题意得 的取值可能为0，1，2
,
,
.
的分布列为
0 1 2
.
（III）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.
【点睛】超几何分布的特征.
(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．求离散型随机变量分布列的步骤.
19.已知函数 .
(I)当a=-1时，
①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②求函数f(x)的最小值；
(II)求证:当 时，曲线 与 有且只有一个交点.
【答案】（1）切线方程 ； ；（2）证明见解析
【解析】
分析】
(I)函数求导 ，求出 得切线方程；解 求单增区间，解 求单减区间；利用单调性求最值；
(II)构造 得到函数调调性，由零点存在性定理证有且只有一个零点.
【详解】(I)当 时，
①函数 ， ，
，即 ，
曲线 在点 处的切线方程为 .
②令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单增，在 单减,
函数 的最小值为 .
(II) 当 时，曲线 与 有且只有一个交点.
等价于 有且只有一个零点.
，
当 时， ，
，则 ，
当 时， ，
，则 ，
在 上单增，
又 ，
，
由零点存在性定理得 有唯一零点，即曲线 与 有且只有一个交点.
【点睛】判断函数零点个数及分布区间的方法：
（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上；
（2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；
（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
20.已知椭圆C： 的离心率为 ， 的面积为2.
(I)求椭圆C的方程；
(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点P，直线 与直线 交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
【答案】(I) ；(II)证明见解析
【解析】
【分析】
(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合 的关系，解方程可得 ，从而得到椭圆方程
(II) 设 ，直线 的直线方程为 直线 的直线方程为 ，联解求出 点坐标，同理求出 坐标， , ，只需证明 ,利用作差法可证明.
【详解】(I)由题意得 ，解得 ，故椭圆的方程为 .
(II)由题意得 ,设点 ，则有 ，
又直线 的直线方程为 ，直线 的直线方程为 ，
，解得 ，
点的坐标为 .
又直线 的直线方程为 ，直线 的直线方程为 .
，解得 ，
点的坐标为 .
， .
，
， ， △BPQ为等腰三角形.
【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明
21.已知数列 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数 ，使得 任意的 成立，则称数列 具有性质 .
（1）分别判断下列数列 是否具有性质 ； (直接写出结论)
①
②
（2）若数列 满足 ，求证:“数列 具有性质 ”是“数列 为常数列”的充分必要条件；
（3）已知数列 中 且 .若数列 具有性质 ，求数列 的通项公式.
【答案】（1）① 时，数列 具有性质 ；② 时，数列 不具有性质 .（2）证明见解析（3） .
【解析】
【分析】
（1）代入验证即可得.
（2）充分性: 由 及数列 具有性质 可得 ；必要性：数列 为常数列，所以 可证 .
（3）数列 具有性质 ，求出 ，由 ， 对 取值进行证明排除，得到 ，猜想 ，用反证法证明猜想成立.
【详解】（1）① 时，数列 具有性质 .
② 时，数列 不具有性质 .
（2） ，
，等号成立，当且仅当 ，
因为数列 具有性质 ，即 ，
所以数列 为常数列.
必要性：因为数列 为常数列，所以 ，
成立，即数列 具有性质 .
（3） 数列 具有性质 ， ，
， .
若 ， 矛盾；
若 则 矛盾.
所以 ，
所以猜想 .
证明如下：假设命题不成立，
设 （ ），
考虑数列 ，当 时具有性质 ，
此时 ，
即 或 ，矛盾， .
【点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法
(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．
总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．
北京市朝阳区六校2020届高三数学4月联考（A卷）试题（Word版附解析）
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