安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三数学（理）5月模拟试题（Word版附答案）
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成都七中2020届高中毕业班三诊模拟
数 学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
(A) (B) (C) (D)
2. 已知复数 ,则
(A) (B)1 (C) (D)2
3. 设函数 为奇函数,当 时, 则
(A) (B) (C)1 (D)2
4. 已知单位向量 的夹角为 ,则
(A)3 (B)7 (C) (D)
5. 已知双曲线 的渐近线方程为 ,则双曲线的离心率是
(A) (B) (C) (D)
6. 在等比数列 中, 则“ ”是“ ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是
(A) (B) (C) (D)
8. 已知 为两条不同直线, 为三个不同平面,下列命题：①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；④若 则 .其中正确命题序号为
(A)②③ (B)②③④ (C)①④ (D)①②③
9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为 则该数列的第8项为
(A)99 (B)131 (C)139 (D)141
10. 已知 则
(A) (B) (C) (D)
11. 过正方形 的顶点 作直线 ,使得 与直线 所成的角均为
,则这样的直线 的条数为
(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 4
12. 已知 是椭圆 上一动点, ,则 的最大值是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.
13.已知数列 的前 项和为 且 则
14. 已知实数 满足线性约束条件 ,则目标函数 的最大值是
15. 如图是一种圆内接六边形 ,其中 且 则在圆内随机取一点,则此点取自六边形 内的概率是
16. 若指数函数 且 与三次函数 的图象恰好有两个不同的交点,则实数 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在 中,内角 的对边分别为 已知
(1)求角 的大小；
(2)若 求 的面积.
18.(本小题满分12分)
成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在 评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在 评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在 评定为
“中”,奖励1面小红旗；得分在 评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：
(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；
(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级,再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为 ,求 的分布列与数学期望 .
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥 中,
(1)证明： 平面 ；
(2)若 且 , 为线段 上一点,且 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知函数
(1)证明：当 时, ；
(2)若存在 使得对任意的 都有 成立.
求 的值.(其中 是自然对数的底数).
21.(本小题满分12分)
已知点 是抛物线 上的一点,其焦点为点 且抛物线 在点 处的切线 交圆 于不同的两点 .
(1)若点 求 的值；
(2)设点 为弦 的中点,焦点 关于圆心 的对称点为 求 的取值范围.
请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数, ).在以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线 的极坐标方程是 .
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)若射线 与曲线 相交于 两点,求 的值.
23.(本小题满分10分)选修 ：不等式选讲
已知 且 函数 在 上的最小值为
(1)求 的值；
(2)若 恒成立,求实数 的最大值.
成都七中2020届高中毕业班三诊模拟
数 学(理科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.B； 2.A； 3.C； 4.D； 5.A； 6.A； 7.B； 8.C； 9.D； 10.B； 11.C； 12.A.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.8； 14.15； 15. ； 16.
三、解答题(共70分)
17. 解：(1)由正弦定理知 ,又 所以
于是 因为 所以 6分
(2)因为
由余弦定理得 即 又 所以
故 的面积为 12分
18.解：(1)得分 的频率为 ；得分 的频率为 ；
得分 的频率为 ；
所以得分 的频率为
设班级得分的中位数为 分,于是 ,解得
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为 分. 5分
(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为 又班级总数为 于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为 ．
分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为
由题意可得 的所有可能取值为
9分
所以 的分布列为
1 2 3 4 5 6
所以 的数学期望 12分
19.解：(1)因为 , ,所以 于是
又 且 平面 平面 ,
所以 平面 5分
(2)因为 ,所以 如图所示,在平面 内过点 作 轴垂直于 ,又由(1)知 平面 ,于是分别以 所在直线为 轴建
立空间直角坐标系
于是
因为 ,于是 所以
设平面 的法向量为 于是
即 取 得
设直线 与平面 所成角为 ,则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 12分
20.解：(1)令 则
于是 在 单调递增,所以
即 5分
(2)
令 当 时,由(1)知
则
(i)当 时,于是 ,从而
故 在 严格单调递增.其中 9分
(ii)当 时,
则
(用到了 在 单调递增与 )
于是 ,故 在 严格单调递减. 11分
综上所述, 在 严格单调递减,在 严格单调递增.
因为 所以 所以 12分
21.解：设点 ,其中
因为 所以切线 的斜率为 于是切线
(1)因为 于是切线 故圆心 到切线 的距离为
于是 5分
(2)联立 得
设 则
又 于是
于是
又 的焦点 于是
故 9分
令 则 于是
因为 在 单调递减,在 单调递增.
又当 时, ；当 时, ；
当 时,
所以 的取值范围为 12分
22.解：(1)消去参数 得 将 代入得
即
所以曲线 的极坐标方程为 5分
(2)法1：将 代入 得 ,
设 则 于是 10分
法2： 与曲线 相切于点
由切割线定理知 10分
23.解：(1) .
当 时,函数 单调递减；当 时,函数 单调递增.
所以 只能在 上取到.当 时,函数 单调递增.
所以 5分
(2)因为 恒成立,且 ,
所以 恒成立即 .
由(1)知 ,于是
当且仅当 时等号成立即
所以 ,故实数 的最大值为 10分
安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（理）一模试卷（Word版附答案）
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