安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三数学（文）5月模拟试题（Word版附答案）
安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三数学（文）5月模拟试题（Word版附答案）,高三数学5月模拟试题,安徽,滁州市,定远县,莲山课件.
2020届高三下学期5月模拟考试
理科数学
全卷满分150分，考试用时120分钟。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.集合 ， ,则
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
A. B. C. 1 D. 2
3.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是
A. 乙班的理科综合成绩强于甲班 B. 甲班的文科综合成绩强于乙班
C. 两班的英语平均分分差最大 D. 两班的语文平均分分差最小
4.已知各项均不相等的等比数列 成等差数列，设 为数列 的前n项和，则 等于
A. B. C. 3 D. 1
5.执行如图所示的程序框图，令 ，若 ，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
6.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是
A. B. C. D.
7.设 、 、 、 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足 ， ， ，用 、 、 分别表示 、 、 的面积，则 的最大值是
A. B. 2 C. 4 D. 8
8.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，以 为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与 轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
9.已知函数 的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 的图象关于点 对称，则下列判断正确的是
A. 要得到函数 的图象只将 的图象向右平移 个单位
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 当 时，函数 的最小值为
D. 函数 在 上单调递增
10.已知函数 ，则 的大致图象为
A. B.
C. D.
11.已知定义在R上的偶函数 （函数f(x)的导函数为 ）满足 ，e3f(2018)＝1，若 ，则关于x的不等式 的解集为
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若函数 在区间 上恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.代数式 的展开式的常数项是________（用数字作答）
14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8 ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列 为“斐波那契”数列， 为数列 的前 项和，若 则 __________．(用M表示)
15.已知点 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线 的右支上，且满足 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围为__________．
16.若变量 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 __________．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本小题满分12分）
已知函数 ．
(I)求函数 的最小正周期和最小值；
(II)在 中，A，B，C的对边分别为 ，已知 ，求a，b的值．
18. （本小题满分12分）
我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 （吨），用水量不超过 的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；
（Ⅱ）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 和 之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设 为用水量吨数在 中的获奖的家庭数， 为用水量吨数在 中的获奖家庭数，记随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
19. （本小题满分12分）
如图 ，四边形 为等腰梯形 沿 折起，使得平面 平面 为 的中点，连接 （如图2）.
图1 图2
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知点 是拋物线 的焦点, 若点 在 上,且 ．
（1）求 的值；
（2）若直线 经过点 且与 交于 （异于 ）两点, 证明: 直线 与直线 的斜率之积为常数．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
21. （本小题满分12分）
已知 ，函数 ， ．
求证： ；
讨论函数 零点的个数．
22.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (其中 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 的极坐标方程为 .
（1）把曲线 的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线 ， 相交于 两点， 的中点为 ，过点 做曲线 的垂线交曲线 于 两点，求 .
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证： ．
参考答案
1.B
【解析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到 ，最后由交集的概念得到结果.
， = ，
，则 .故答案为：B.
2.C
【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： ，
则 .本题选择C选项.
3.D
【解析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.
由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：
乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项 正确，
甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项 正确，
两班的英语平均分分差最大，即选项 正确，
两班地理平均分分差最小，即选项 错误，故选D.
4.A
【解析】设等比数列{an}的公比为q，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得2×2a3=3a2+a4，4a2q=3 ,解得q．利用通项公式与求和公式即可得出．
设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，
∴2×2a3=3a2+a4，
∴4a2q=3 ，化为q2﹣4q+3=0，
解得q=1或3．
q=1时， ,
q=2时， .故选：A．
5.D
【解析】该程序的功能是计算并输出分段函数 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解.
综上， ，则实数a的取值范围是 .故选D.
6.C
【解析】详解： 根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高 ，
且侧面 底面
∴ ， 的外接圆的圆心为斜边 的中点 ，设该几何体的外接球的球心为 底面 ，
设 外接球的半径为
则
解得
，∴外接球的表面积 ．故选C．
7.B
【解析】设 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即
∵ 、 、 分别表示 、 、 的面积
∴ ，当且仅当 时取等号
∴ 的最大值是 。故选B
8.D
【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为 ，以 为直径的圆 的方程为 ．
由 ，解得 ，故点P的坐标为 ；
由 ，解得 ，故点Q的坐标为 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，故得 ，解得 ．选D．
9.A
【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的.
因为 的最大值为 ，故 ，又图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，故 即 ，所以 ，
令 ，则 即 ，
因 ，故 ， .
，故向右平移 个单位后可以得到 ，故A正确；
，故函数图像的对称中心为 ，故B错；
当 时， ，故 ，故C错；
当 时，
安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（理）一模试卷（Word版附答案）
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， 在 为减函数，故D错.综上，选A.
10.A
【解析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项 ；利用 ，可排除选项 ，从而可得结果.
因为 ，
所以函数 是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项 ；
又因为 ，可排除选项 .故选A.
11.B
【解析】 是偶函数， ， ， ， ，即 ，设 ，则 ， 在 上递增，由 ，得 ，相减可得 ， 的周期为 ， ， ， ，结合 的周期为 可化为 ， ， 不等式解集为 ，故选B.
12.C
【解析】设 ，则 ，即 ，则 ，所以问题转化为 在区间 上恰有两个不同的零点，即 在区间 上恰有两个不同的零点，设 ，则 ，则问题转化为 在区间 上有两个不同的零点，结合二次函数图像可知，应满足 ，解得 ，故选择C.
13.3
【解析】 的通项公式为 .
令 ，得 ；令 ，得 .
∴常数项为 。故答案为 .
14.
【解析】详解：由“斐波那契”数列可知
。
所以 ，
所以
15.
【解析】由 ，可得 ，
故 为直角三角形，且 ，
∴ ．
由双曲线定义可得 ．
∵ ，
∴ ，可得 ．
又 ，
整理得 ．
∴ ．
∴ ，
又 ，
∴ ，即双曲线 的离心率的取值范围为 ．答案：
16.
【解析】目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，
∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，
则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，
作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形，
则目标函数经过点A 时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，
代入得到 故答案为：-2.
17.(Ⅰ) 的最小正周期 ,最小值为-4; (Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ)
，
所以 的最小正周期 ,最小值为 .
(Ⅱ)因为 所以 .
又 所以 ，得 .因为 ，由正弦定理得 ，由余弦定理得， ，
又c= a，所以 .
18.（Ⅰ）30万；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）由图，不低于3吨人数所占百分比为
所以假设全市的人数为 （万人），则有 ，解得
所以估计全市人数为30万.
（Ⅱ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率 ，
所以 ，得 ，
用水量在 之间的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在 之间应抽取的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户．
据题意可知随机变量 的取值为0,2,4．
，
，
，
其分布列为：
0 2 4
期望为： ．
19. （Ⅰ） , 则, ，又因为平面 平面 且平面 平面 ，所以 平面 ，从而 ．
（Ⅱ）取AC中点F，连接EF、EC. ，设E点到平面BCD的距离为 ， ， ,
DE与平面BCD所成角为 ，则 .
20. 解析：（1）由抛物线定义知 ,则 ,解得 ,又点 在 上, 代入 ,得 ,解得 ．
（2）由（1）得 ,当直线 经过点 且垂直于 轴时, 此时 ,
则直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,所以 ．当直线 不垂直于 轴时, 设 ,
则直线 的斜率 ,同理直线 的斜率 ,设直线 的斜率为 ,且经过 ,则 直线 的方程为 ．联立方程 ,消 得, ,
所以 ,故 ,
综上, 直线 与直线 的斜率之积为 ．
21.
证明： 设 ，则 ，
，且 ，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
， ，
，
．
解： ， ，
， ，
， 方程 有两个不相等的实根，分别为 ，
，且 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，
， ，
，即 ，
．
设 ，则 ， 是减函数，
当 ，即 时， ，
函数 只有一个零点，
当 ，即 时， ，
函数 没有零点，
当 ，即 时， ，且 ，
由 知 ， ，
若 ，则有 ，
，
函数 有且只有一个大于 的零点，
又 ，即函数 在区间 有且只有一个零点，
综上，当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 只有一个零点，
当 时，函数 没有零点．
22.（1） ， （2）16
解析：（1）曲线 的参数方程为 （其中 为参数），消去参数可得 .
曲线 的极坐标方程为 ，展开为 ，化为 ..
（2）设 ，且中点为 ，
联立 ，
解得 ，
∴ .
∴ .
线段 的中垂线的参数方程为
（ 为参数），
代入 ，可得 ，
∴ ，
∴ .
23.解析：（1）
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 不成立；
当 时，由 ，解得 .
所以原不等式的解集为 .
（2） 即 .
因为 , ,
所以 ,
所以 .故所证不等式成立.
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