安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（理）一模试卷（Word版附答案）
安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（理）一模试卷（Word版附答案）,高三数学一模试卷,安徽,淮南市,寿县第二中学,莲山课件.
2020届高三下学期5月模拟考试
文科数学
全卷满分150分，考试用时120分钟。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.集合 ， ,若 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
2.已知命题 直线 与 相交但不垂直；命题 ， ，则下列命题是真命题的为
A. B. C. D.
4.某四棱锥的三视图如图所示，其中 ，且 .若四个侧面的面积中最小的为 ，则 的值为
A. B. C. D.
5.已知 光线从点 射出，经过线段 (含线段端点)反射，恰好与圆 相切，则
A. B. C. D.
A. 0 B. 4 C. D.
7.为比较甲，乙两地某月 时的气温，随机选取该月中的 天，将这 天中 时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月 时的平均气温低于乙地该月 时的平均气温；②甲地该月 时的平均气温高于乙地该月 时的平均气温；③甲地该月 时的气温的中位数小于乙地该月 时的气温的中位数；④甲地该月 时的气温的中位数大于乙地该月 时的气温的中位数．其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
8.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量．)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为
A. 2.2升 B. 2.3升 C. 2.4升 D. 2.5升
9.已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，以 为边作一个等边三角形 ，若点 在抛物线的准线上，则
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2
10.函数 的图象可能是
11.若函数 的图象向左平移 个单位长度后关于 轴对称，则函数 在区间 上的最小值为
A. B. C. 1 D.
12.已知函数 ， 若关于 的方程 恰有三个不相等的实数解,则 的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．
14.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为 ，则AB的长为____．
15.设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为______．
16.已知 是 上的偶函数，且当 时， ，则不等式 的解集为__ ．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本小题满分12分）
已知等差数列 是递增数列，且 ， ．
求数列 的通项公式；
若 ，求数列 的前 项和 ．
18. （本小题满分12分）
今年年初，习近平在 告台湾同胞书 发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥 要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量 单位：吨 ，以 ， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中 的值和年平均销售量的众数和中位数；
（2）在年平均销售量为 ， ， ， 的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在 ， ， 的农贸市场中应各抽取多少家？
（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在 组的概率．
19. （本小题满分12分）
如图所示，四棱锥 中， 菱形ABCD所在的平面， ，E是BC中点，M是PD的中点．
求证：平面 平面PAD；
若F是PC上的中点，且 ，求三棱锥 的体积．
20. （本小题满分12分）
已知抛物线 与椭圆 有一个相同的焦点，过点 且与 轴不垂直的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）试问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l： （m为常数）．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，当|AB|=4时，求实数m的值．
23. （本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，若 ，使得 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C B D D A D B A A C
1.B
【解析】由题意求出 ， ，要使 ，则 .
根据题意 ，可得 ， ，要使 ，则，故选B.
2.A
【解析】命题 ,即直线 和直线 互相垂直,故命题 错误; 命题 当 时不等式成立,故命题 正确;综上可知, 正确,故选A.
3.C
【解析】
∴
即 。故选：C．
4.B
【解析】该几何体如下图所示，因为 ，
所以，三角形APD的面积最小，即 ，
所以， ，解得：
故选：B
5.D
【解析】如图，
关于 对称点 ，要使反射光线与圆 相切，只需使得射线 与圆相切即可，而直线 的方程为： ，直线 为： .
由 ，得 ，结合图象可知： .故选D．
6.D
【解析】因为 与向量 共线，所以 ，解得 ， ，故选D.
7.A
【解析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、中位数可得答案.
由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：
甲：26，28，29，31，31，
乙：28，29，30，31，32，
可得：甲地该月14时的平均气温： （26+28+29+31+31）＝29，
乙地该月14时的平均气温： （28+29+30+31+32）＝30，
故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
甲地该月 时的气温的中位数29，
乙地该月14时的气温的中位数30，
所以甲地该月 时的气温的中位数小于乙地该月 时的气温的中位数．故选：A．
8.D
【解析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{an}是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积．
设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，
则{an}是等差数列，设公差为d，
由题意得 ，
解得a1＝1.6，d＝﹣0.1，
∴中间两节的容积为：a4+a5＝（1.6﹣0.1×3）+（1.6﹣0.1×4）＝2.5（升）．故选：D．
9.B
【解析】抛物线的焦点坐标 ，
由抛物线的定义可得 等于 到准线的距离，
因为 在准线上，所以 与准线垂直与 轴平行，
因为三角形 为正三角形，
所以
可得直线 ，
可得 ，
可得 ，则 ， ，
等于 到准线的距离 ，故选B.
10.A
【解析】由 可得f(x)为奇函数，再由 ， ＞0，可判断出函数图像，可得答案.
解：由题意得： ，
故f(x)为奇函数，故B、C项不符合题意，又 ， ＞0，
故D项不符合题意，故选A.
11.A
【解析】函数 的图象向左平移 个单位长度后，
安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（文）一模试卷（Word版附答案）
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图象所对应解析式为： ，
由 关于 轴对称，则 ，
可得 ， ，又 ，所以 ，
即 ，
当 时，所以 ， ，故选A．
12.C
【解析】关于 的方程 恰有三个不相等的实数解，
即方程 恰有三个不相等的实数解，
即 与 有三个不同的交点.
令 ，
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
且当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
据此绘制函数 的图像如图所示，
结合函数图像可知，满足题意时 的取值范围是 .本题选择C选项.
13.6
【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.
故答案为：6．
14.
【解析】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．
∴S△ABC ，解得a ．
∴b＝4．
∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣2 cos120°＝28，解得c ,即AB= 。故答案为
15.18
【解析】由约束条件 作出可行域如图，
，
化目标函数 为 ，
由图可知，当直线 过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．
故答案为：18．
16.
【解析】对 分类，找到 的解集，再求 的解集
时， ，
①当 时， ，
解 ，即 得 或 ，
或
②当 时，
解 即 得
当 时， 解集为 或
是 上的偶函数，
由对称性可知 当 时， 解集为 或
解集为 或 或
时， 或 或
解得 或 或
17.（1） ；（2）
【解析】 设首项为 ，公差为d的等差数列 是递增数列，且 ， ．
则： ，解得： 或9， 或1，由于数列为递增数列，
则： ， ．故： ，则： ．
由于 ，则： ．
所以： ．
18.（1）0.0075，230，224；（2）3家，2家，1家；（3）
【解析】 由直方图的性质得： ，
解方程得 ， 直方图中 ．年平均销售量的众数是 ，
， 年平均销售量的中位数在 内，
设中位数为a，则： ，
解得 ， 年平均销售量的中位数为224．
年平均销售量为 的农贸市场有： ，
年平均销售量为 的农贸市场有： ，
年平均销售量为 的农贸市场有： ，
抽取比例为： ，
年平均销售量在 的农贸市场中应抽取 家，
年平均销售量在 的农贸市场中应抽取 家，
年平均销售量在 的农贸市场中应抽取 家，
故年平均销售量在 ， ， 的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．
由 知年平均销售量在 ， ， 的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．
设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，
基本事件总数 ，
恰有1家在 组包含的基本事件的个数 ，
恰有1家在 组的概率 ．
19.（1）证明：连接 ，
因为底面 为菱形， ，所以 是正三角形，
因为 是 中点，所以 ，又 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ，则 ，
所以
.
20.（1） ；（2）
【解析】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为 ，
所以 ，所以抛物线的方程为 ；
（2）【解法一】因为点 与点 关于 轴对称
所以设 ， ， ，
设直线 的方程为 ，
代入 得： ，所以 ，
设直线 的方程为 ，
代入 得： ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，必过定点 .
【解法二】
设 ， ， ，
因为点 与点 关于 轴对称，所以 ，
设直线 的方程为 ，
代入 得： ，所以 ，
设直线 的方程为 ，
代入 得： ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，必过定点 .
21.（1） 的定义域为
∵ ， ，
∴当 时， ； 时，
∴函数 在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）当 时，
由题意， 在 上恒成立
①若 ，当 时，显然有 恒成立；不符题意.
②若 ，记 ，则 ,
显然 在 单调递增，
（i）当 时，当 时，
∴ 时，
（ii）当 ， ，
∴存在 ，使 .
当 时， ， 时，
∴ 在 上单调递减；在 上单调递增
∴当 时， ，不符合题意
综上所述，所求 的取值范围是
22.（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y+1）2=16，
直线l： ，即ρsinθ+ρcosθ=4m，直角坐标方程为x+y﹣4m=0
（2）解：由题意，圆心到直线的距离d= =2 ，
∴ =2 ，∴m=±
23.（1）3（2）
【解析】（1）不等式f（x）≤4，即|x﹣a|≤4，即﹣4≤x﹣a≤4，求得 a﹣4≤x≤a+4．
再根据不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤7}，可得a﹣4=﹣1，且a+4=7，求得 a=3．
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）＜4m成立，即|x﹣3|+|x+2|＜4m成立，
故（|x﹣3|+|x+2|）min＜4m，
而|x﹣3|+|x+2|≥|（x﹣3）+（﹣x﹣2）|=5，
∴4m＞5，解得：m＞ ，
即m的范围为（ ，+∞）．
北京市大兴区2020届高三数学第一次模拟试题（Word版附解析）
北京市大兴区2020届高三数学第一次模拟试题（Word版附解析）,高三数学第一次模拟试题,北京市,大兴区,莲山课件.
