北京市平谷区2020届高三数学下学期第二次模拟试题（Word版附解析）
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2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习
数学
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】在复平面内，复数 = =1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据交集运算，即可得答案；
【详解】 ， ，
，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
3.已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式可求得 的值，再代入前 项和公式，即可得答案；
【详解】
，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.
4.下列函数中，在区间 上单调递增且存在零点的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案；
【详解】对A， 方程 无解， 不存在零点，故A错误；
对B， 无解， 不存在零点，故B错误；
对D， 在 单调递减，在 单调递增， 在 不具有单调性，故D错误；
故选：C.
【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.
5.在 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 项的系数等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据展开式的第三项的二项式系数最大可得 ，再由二项式展开式的通项公式，即可得答案；
【详解】由题意得 ，
，
当 时， ，
含 项的系数等于 ，
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.
6.若抛物线 上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设点 ，根据焦半径公式可求得 的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；
【详解】设点 ， 为抛物线的焦点，
， ，
，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.
7.已知数列 是等比数列，它的前 项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 这一关系，即可得答案；
【详解】 ，
， ， “数列 为递增数列”，
若“数列 为递增数列”，则 ，
“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的充分必要条件，
故选：C.
【点睛】本题考查 与 的关系、充分必要条件的判断，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 ，那么该几何体的最长棱的棱长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥 ，再计算各条棱的长度，即可得答案；
【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥
， ， ， ， ， ，
该几何体的最长棱的棱长为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.
9.已知函数 ．若关于x的方程 在区间 上有且仅有两个不相等的实根，则 的最大整数值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法求出 的取值范围，再根据三角函数的图象得到 的不等式，即可得答案；
详解】令 ， ， ，
的图象如图所示，
关于x的方程 在区间 上有且仅有两个不相等的实根，
在 上有且仅有两个不相等的实根，
，
的最大整数值为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元 取值范围.
10.如图，假定两点 ， 以相同的初速度运动．点 沿直线 作匀速运动， ；点 沿线段 （长度为 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离( )．令 与 同时分别从 ， 出发，那么，定义 为 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是 ，其中e为自然对数的底．当点 从线段 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 运动点三等分点的时间为 ，此时 运动的距离为 ， 运动点中点的时间为 ，此时 运动的距离为 ，再利用 做匀速运动，利用路程除以速度可得时间.
【详解】设 运动点三等分点的时间为 ，此时 运动的距离为 ， 运动点中点的时间为 ，此时 运动的距离为 ，
两点 ， 以相同的初速度运动，设点 的运动速度为 ，
， ，
， ，
，
故选：D.
【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.已知向量 ， ， 若 ，则 _______；
【答案】
【解析】
分析】
根据向量平行，向量坐标交叉相乘相等，即可得答案；
【详解】 ， ，
故答案为： .
【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
12.若函数 在区间 上单调减区间，则m的一个值可以是_______；
【答案】 （答案不唯一，只要 ）
【解析】
【分析】
由题意可得 在区间 上恒成立，即可得答案；
【详解】 ， ，
在区间 上恒成立，
在区间 上恒成立，
取 ，显然 恒成立，
故答案为： .
【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解.
13.若对任意 ，关于x的不等式 恒成立，则实数 的范围是_______；
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数 的最小值，即可得到答案；
【详解】 ， ，等号成立当且仅当 ，
，
故答案为： .
【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.
14.已知 为函数 图象上两点，其中 ．已知直线AB的斜率等于2，且 ，则 _______； ______；
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据斜率公式和两点间的距离公式，即可求得答案；
【详解】 直线AB的斜率等于2，且 ，
且 ，
解得： ，
， ；
；
故答案为： ； .
【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力，求解时注意对数的运算法则的应用.
15.在直角坐标系 中，双曲线 （ ） 离心率 ，其渐近线与圆 交 轴上方于 两点，有下列三个结论：
① ；
② 存在最大值；
③ ．
则正确结论的序号为_______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案；
【详解】 ， ，
对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合 ，可得 成立，故①正确；
对②， ，由于 ， 没有最大值， 没有最大值，
故②错误；
对③，当 时， ，
，又 ， ，
，故③正确；
故答案为：①③.
【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.在 中， ， ，且 的面积为 ．
（1）求a的值；
（2）若D为BC上一点，且 ，求 的值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】（1） ；（2）选①， ；选②， ．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式得 ，再利用余弦定理，即可得答案；
（2）①当 时，由正弦定理 ，可求得 ，再由 ，可求得答案；②当 时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案；
【详解】（1） 由于 ， ， ，
所以 ，
由余弦定理 ，
解得 ．
（2）①当 时，
在 中，由正弦定理 ，
即 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，
即 ．
②当 时，
在 中，由余弦定理知，
．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
17.为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从 校抽取了 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，
福建省漳州市2020届高三数学（理）第二次高考适应性测试（Word版附答案）
福建省漳州市2020届高三数学（理）第二次高考适应性测试（Word版附答案）,高三数学第二次高考适应性测试,福建,漳州市,莲山课件.
[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．
（1）求 的值；
（2）现从 校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记 表示成绩不低于90分的人数，求 的分布列及数学期望；
（3）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．
【答案】（1） ；（2）分布列详见解析，数学期望为0.2；（3）用机构M测试的不达标率 估计A校不达标率较为合理，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图知， ，解方程可得 的值；
（2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为 ，由已知 的所有可能取值为 ，再根据二项分布，即可得答案；
（3）机构M抽测的不达标率为 ，机构N抽测的不达标率为 ，再从样本能否较好反映总体的分布情况说明理由．
【详解】（1）由频率分布直方图知， ，
解得 ．
（2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为 ，
由已知， 的所有可能取值为 ，
则 ，
，
．
所以 的分布列为
X 0 1 2
P 0.81 0.18 0.01
所以 ．
（3）机构M抽测的不达标率为 ，
机构N抽测的不达标率为 ．
（以下答案不唯一，只要写出理由即可）
①用机构M测试的不达标率 估计A校不达标率较为合理．
理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布．
②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．
理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．
【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系，考查数据处理能力，求解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.
18.如图，在三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点，E是棱 上一动点．
（1）若E是棱 的中点，证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）是否存在点E，使得 ，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）不存在，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）取 中点为 ，连结 ，证明 ，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；
（2）先证明 两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面 的法向量 ，平面ABC的法向量为 ，再利用向量的夹角公式，即可得答案；
（3）设 ，由 ，解得 与假设矛盾，从而得到结论.
【详解】（1）证明：取 中点为 ，连结 ，
在 中，因为 为 的中点，
所以 且 ．
又因为 是 的中点， ，
所以 且 ，
所以 为平行四边形
所以 ．
又因为 平面 ， ．
平面 ，
所以 平面 ．
（2）连结 ，
因为 是等边三角形， 是 的中点，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ．
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ，
所以 两两垂直．
如图，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
即 ，
令 ，则 ， ，
所以 ．
平面ABC的法向量为 ，
．
又因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3） ， ，
设 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 ，
假设 ，
则 ，解得 ，
这与已知 矛盾． 不存在点E.
【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
19.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，一条直线 与椭圆C交于 ， 两点，以 为直径的圆经过坐标原点 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证： 为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）因为椭圆经过点 ，所以 ，再根据离心率，即可求得椭圆的方程；
（2）①若直线 的斜率存在时， ， ， ，与椭圆方程联立，由 可得 ，从而得到 的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结论；②若直线 的斜率不存在，则有 ，可证结论也成立.
【详解】（1）因为椭圆经过点 ，所以 ，
又因为 ，则 ，由 ，得 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）①若直线 的斜率存在时，设 ，与椭圆方程联立得：
，有 ，
由题意， ，设 ， ，
所以 ， ．
因为以 为直径的圆过原点 ，
由 ，得 ，
即 ，整理得，
，
而
设h为 到 的距离，则
所以 ，
而 ，
所以 ．
②若直线 的斜率不存在，则有 ，
不妨设 ，设 ，有 ，
代入椭圆方程 得， ，
，
即 ，
综上 ．
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对斜率进行讨论.
20.已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证：函数 有且只有一个零点．
【答案】（1） ；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；
（2）函数的定义域为 ，要使函数 有且只有一个零点，只需方程 有且只有一个根，即只需关于x的方程 在 上有且只有一个解，利用导数可得函数 在 单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案；
【详解】（1）当 时，函数 ， ， ，
， ，
所以函数 在点 处的切线方程是 ．
（2）函数的定义域为 ，
要使函数 有且只有一个零点，只需方程 有且只有一个根，
即只需关于x的方程 在 上有且只有一个解．
设函数 ，
则 ，
令 ，
则 ，
由 ，得 ．
x
单调递减 极小值 单调递增
由于 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
①当 时， ，函数 在 有且只有一个零点，
②当 时，由于 ，所以存在唯一零点．
综上所述，对任意的 函数 有且只有一个零点．
【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进行二次求导的运用.
21.已知数列 满足：对任意的 ，若 ，则 ，且 ，设集合 ，集合 中元素最小值记为 ，集合 中元素最大值记为 ．
（1）对于数列： ，写出集合 及 ；
（2）求证： 不可能为18；
（3）求 的最大值以及 的最小值．
【答案】（1） ， ， ；（2）详见解析；（3） 的最大值为17， 的最小值为16．
【解析】
【分析】
（1）由题意易得 ， ， ．
（2）利用反证法，假设 ，可推出 ， 这一集合元素互异性的矛盾；
（3）首先求 ，由（2）知 ，而 是可能的；再证明： 的最小值为16．
【详解】（1）由题意易得 ， ， .
（2）证明：假设 ，
设 ，
则 = ，
即 ，因为 ，所以 ，
同理，设 ，可以推出 ，
中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，
不可能为18．
（3） 的最大值为17， 的最小值为16．
①首先求 ，由（2）知 ，而 是可能的．
当 时，
设
则 =
即 ，
又
得 ，即 ．
同理可得： ．
对于数列：
此时 ， ，满足题意．
所以 的最大值为17；
②现证明： 的最小值为16．
先证明 为不可能的，假设 ．
设 ，
可得 ，即 ，元素最大值为10，所以 ．
又 ，
同理可以推出 ，矛盾，假设不成立，所以 ．
数列为： 时，
， ， 中元素的最大值为16．
所以 的最小值为16．
【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用，考查反证法的证明，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于难题.
福建省漳州市2020届高三数学（理）第三次质量检测试题（Word版附答案）
福建省漳州市2020届高三数学（理）第三次质量检测试题（Word版附答案）,高三数学第三次质检试题,福建,漳州市,莲山课件.
