河北省保定市2020届高三数学（理）第一次模拟试卷（Word版附答案）
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2020年高三第一次模拟考试
文科数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.在答题卡上与题号相对应的区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|－1≤x≤4}，则A∩B＝
A.{x|2 2.若复数z＝ ，则 ＝
A.－1＋i B.1－i C.－2＋i D.2－i
3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m//α，n⊥β，则
A.l//m B.m//n C.n⊥l D.m⊥n
4.已知 与 均为单位向量，若 ⊥(2 ＋ )，则 与 的夹角为
A.30° B.45° C.60° D.120°
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱?”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
6.在△ABC中，内角A.B.C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝
A. B.2 C. D.
7.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为
A. B. C. D.
8.如图所示的程序框图中，若输入的x∈(－1，6)，则输出的y∈
A.(0，7) B.(0， ) C.[0，7] D.[0， ]
9.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重。据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为
A.60% B.64% C.58% D.55%
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：① (λ≠0)；②A，B，O确定一个平面：③ ，则S100＝
A.29 B.40 C.45 D.50
11.设椭圆 的一个焦点为F1(0，1)，M(3，3)在椭圆外，点P为椭圆上的动点，若|PM|－|PF1|的最小值为2，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)＝ 在x＝x0处取得最大值，则下列选项正确的是
A.f(x0)＝x0< B.f(x0)＝x0> C.f(x0)＝x0＝ D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若2a＝10。b＝log510，则 。
14.已知2sinθ＋3cosθ＝0，则tan( ＋θ)＝ 。
15.Rt△ABC中，∠A＝ ，BC＝6，以BC的中点为圆心，以1为半径的圆，分别交BC于点P、Q，则|AB|2＋|AP|2＋|AQ|2＋|AC|2＝ 。
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且周期为3，f(2)＝0，则函数f(x)在区间(－2，3)上的零点个数最少为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝ 。
(1)若a，b，c成等比数列，求证：B≤60°；
(2)若cos2A＝－ (A为锐角)，sinC＝ ，求△ABC中AB边上的高h。
18.(12分)
如图，四边形ABCD为矩形，△ABE和△BCF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠BCF＝∠DAE＝90°，EA//FC。
(1)求证：ED//平面BCF；
(2)设 ＝λ，问是否存在λ，使得棱锥A－BDF的高恰好等于 BC?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
19.(12分)
习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来。”
其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代。
“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：
“seize the day and live it to the full。”
(1)求上述英语译文中，e，i，t，a四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小；(用“>”连接)
(2)在上面的句子中随机取一个单词，求其所含的字母个数为3的概率；
(3)在“and”前面的三个单词和后面的五个单词中，各随机任取一个单词，求二者字母个数之和为5的概率。
20.(12分)
如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且与其准线交于点D。
(1)若|AB|＝8，求直线l的方程；
(2)若点M在抛物线上且|MF|＝2。
求证：对任意的直线l，直线MA，MD，
广西桂林、崇左、贺州市2020届高三数学（文）下学期第二次联考试题（Word版附答案）
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MB的斜率依次成等差数列。
21.(12分)
已知函数F(x)＝ (m>0)的图象上的动点P到原点O的距离的平方的最小值为 ＋1。
(1)求m的值；
(2)设f(x)＝xF(x)＋aln(1＋x)－ ，若函数f(x)有两个极值点x1、x2，且x1 (二)选考题：共10分。请考生从第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡。上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1： ，(α为参数)，M是C1上的动点，点P满足 ，且其轨迹为C2。
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线OE与C1、C2的交点分别为A、B(均异于O)，求线段AB中点Q的轨迹的极坐标方程。
23.(10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|＋|x－c|。
(1)若a＝b＝c＝1，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(0)＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c＋c3a＋a3b>abc。
文科数学答案
一、选择题
C．B．C．D. D. C. A. C. B. D. A.A．
二、填空题
13．1； 14. ； 15. 56； 16. 6.
三、解答题
17.（12分）
解：(1) 证明：因为 成等比数列，所以 ……………………1分
而 （当且仅当 时取等号）
又因为B为三角形的内角，所以B ……………………4分
(2) 在 中，因为 ，所以 ．………………6分
又因为 ，
所以由正弦定理 ，解得 ……………………8分
法1：由 得 .
由余弦定理 ，得 .
解得 或 （舍）………………………………………10分
所以AB边上的高 .…………………12分
法2:由 得 ．……………………6分
又因为 ,所以 ……………………7分
所以 …9分
或 (舍)
【或：因为 ，且 ，所以C为锐角，…………………6分
又因为 所以 ……………………7分
…10分】
所以AB边上的高 .…………………12分
法3：等面积法也可。（酌情给分）
18.（12分）
解：（1）因为AD∥BC, 所以AD∥平面BCF
因为EA∥FC，所以EA∥平面BCF……………………2分
所以平面ADE∥平面BCF
故ED∥平面BCF………………………………………4分
（2）设AB=a,BC=b,则b= a
在矩形ABCD和△BCF中，易得 ………6分
所以在△BDF中，BF边上的高
又 ……………………9分
所以，由等体积法得
即
所以存在正实数 ，使得三棱锥A-BDF的高恰好等于 BC. ……………………12分
19.（12分）
解（1）e,i,t,a四个字母出现的频率分别为
其大小关系为：e出现的频率 t出现的频率 i出现的频率 a出现的频率…………4分
（2）一共有9个单词，其中所含字母个数为3的单词有4个，
故所求的概率为 …………………………………………7分
（3）满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：
从“and”前面的三个单词和后面的五个单词中，各随机任取一个单词，总共的情况有以下15种：（seize，live）， （seize，it）， （seize，to）， （seize，the）， （seize，full）
（the，live）， （the，it）， （the，to）， （the，the）， （the，full）
（day，live）， （day，it）， （day，to）， （day，the）， （day，full）…………10分
其中符合条件的情况有以下4种：（the，it），（the，to），（day，it），（day，to），
故所求概率为 …………………………………………12分
20.（12分）
（1）解：因为 ，所以抛物线焦点坐标为 ……………………1分
∵直线 的斜率不为 ，所以设 ，
由 得 ，……………………2分
所以
∴ =8， ∴ 1 ……………………4分
∴直线 的方程为 ．……………………5分
（2）证明：因为|MF|=2，所以由抛物线的定义可得，点M的横坐标为1
故M（1,2）或M（1,-2）， 由（1）知D（ ）…………………6分
① M（1,2）时，则 ， ，
…………………………………………7分
因为 =
由（1）知 ， ，代入上式得 =
显然 …………………………………………10分
②若M（1,-2）时，仿上（或由对称性）可得
综上可得，对任意的直线 ，直线 ， ， 的斜率始终依次成等差数列. ………………………………………………………………12分
21.（12分）
解:（1）设 在函数 的图象上，
则 …………3分
即 ，所以 ……………………4分
（2）证明：易得 ，（
所以 ……………………5分
令 ，因为其对称轴为直线
由题意知 是方程 的两个均大于 且不为0的不相等的实根，
所以由 ，得 ……………………8分
【法二：因为x1>-1,x2>-1，∴x1+1>0,x2+1>0 所以（x1+1）（x2+1）>0，
即x1x2+（x1+x2）+1>0，即a>0,又△>0,所以 】…………8分
因为
又x2为方程 的根，所以
…………………9分
则
因为 时， 在 上单调递增；
且
故 ……………………12分
22. (10分)
解:（1）法1：设P(x,y),则由条件知M( ).由于M点在C1上，
所以 ……………………2分
从而 的参数方程为 （ 为参数）
消去参数得到所求的直角坐标方程为 ……………………4分
法2：由 得，
即C1的直角坐标方程为： ……………………2分
设P(x,y),则由条件知M( ).由于M点在C1上，所以M的坐标适合上述方程
即 ，化简得所求的直角坐标方程为 …………4分
（2）因为 ，代入上式得 的直角坐标方程得，其极坐标方程为 ，……………………6分
同理可得曲线 的极坐标方程为 ……………………7分
设Q（ ），A（ ），B（ ），
则AB的中点Q的轨迹方程为
即AB的中点Q的轨迹极坐标方程为 ……………………10分
23．(10分）
解：（1）因为 ，
所以 ……………………1分
法1:由上可得:
……………………3分
所以，当x=-1时，函数 的最小值为2……………………4分
……………2分
当且仅当 ,即x=-1时取得最小值2…………………4分
（2）证明：因为 ， ，c为正数，所以要证
即证明 就行了……………………6分
法1:因为
…8分
又因为 即 且 ， ， 不全相等，
所以
即 ………………10分
法2:因为( )(
……………………8分
又因为 即 且 ， ， 不全相等，
所以
即 ………………10分
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