2020九年级中考数学冲刺复习专题：反比例函数及答案
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2020中考数学复习专题：三角形
1．定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为，那么称这个三角形为“神奇三角形”．
（1）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
①当AC＝BC时，求证：△ABC是“神奇三角形”；
②当AC≠BC时，且△ABC是“神奇三角形”，求tanA的值；
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，若∠DCB＝45°，求证：△ABC是“神奇三角形”．
2．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明理由．
4．（1）发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．
填空：
①∠DCE的度数是 ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．
（2）探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）应用
如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．
5．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a＝，（）2＝5．
（1）求点D的坐标．
（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且△QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．
6．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
7．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、B（0，b）、且|a+2|+（b+2a）2＝0，点P为x轴上一动点，连接BP；
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图，在第一象限内作BC⊥AB且BC＝AB，连接CP，当CP⊥BC时，作CD⊥BP于点D，求线段CD的长度；
（3）在第一象限内作BQ⊥BP且BQ＝BP，连接PQ，设P（p，0），直接写出S△PCQ＝ （用含p的式子表示）．
8．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．
（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；
（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；
（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．
9．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
（3）用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
10．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2．
（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值．
（3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长．
11．已知：等边△ABC中．
（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；
（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．
（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．
12．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动
（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？
（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．
13．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ．
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）如图②，已知∠C＝90°，sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．
（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；
（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；
（3）如果AG＝8，求DE的长．
15．如图，点O为平面直角坐标系的原点，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝m．顶点A，C的坐标分别为（1，0），（n，0），且|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）动点P从点C出发沿射线CA方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒，连接PB，请用含t的式子表示三角形ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，当三角形ABP的面积为时，直线BP与y轴相交于点D，求点D的坐标．
16．已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．
（1）若D为AB上一动点时（如图1），
①求证：△ACD≌△BCE．
②试求线段AD，BD，DE间满足的数量关系．
（2）当点D在△ABC内部时（如图2），延长AD交BE于点F．
①求证：AF⊥BE．
②连结BD，当△BDE为等边三角形时，直接写出△DCE与△ABC的边长之比．
17．如图，直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴上，点B的坐标为（0，2），∠BAO＝30°．以AB为边在第一象限作等边△ABC，MN垂直平分OA，MA⊥AB．
（1）求AB的长．
（2）求证：MB＝OC．
（3）如图2，连接MC交AB于点P．点P是否为MC的中点？请说明理由．
18．在△ABC中，AB＝BC，∠A＝40°，BD⊥AC垂足为D．
（1）填空：∠ABC＝ °；
（2）E是线段BD上的动点，连结EC，将线段EC绕点E按顺时针方向旋转80°，点C的对应点是点F，连接CF，得到△CEF．
①如图1，若点F在直线BD上，AB＝a，AC＝b，求EB+EC的值．
②连结AF，直线AF与直线BC是否平行，为什么？
19．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足2a2+2ab+b2﹣8a+16＝0，点P为AB上一个动点（不与A，B）重合），连接OP．
（1）直接写出a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，过点P作OP的垂线交过点A平行于x轴的直线于点C，若点，求点C的坐标；
（3）如图2，以OP为斜边在OP右侧作等腰Rt△OPD，PD＝OD．连接BD，当点P从B向A运动过程中，△BOD的面积是否发生变化，请判断并说明理由．
20．（1）如图①，小明同学作出△ABC两条角平分线AD，BE得到交点I，就指出若连接CI，则CI平分∠ACB，你觉得有道理吗？为什么？
（2）如图②，Rt△ABC中，AC＝5，AC＝12，AB＝13，△ABC的角平分线CD上有一点I，设点I到边AB的距离为d．（d为正实数）
小季、小何同学经过探究，有以下发现：
小季发现：d的最大值为．
小何发现：当d＝2时，连接AI，则AI平分∠BAC．
请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由．
参考答案
1．解：（1）①证明：如图，作AC边上的中线BM，
设CM＝AM＝a，则BC＝AC＝2a，
∵∠ACB＝90°，
∴BM＝＝＝a，
∴，
∴△ABC是“神奇三角形”；
②当AC边上的中线与AC边上的高的比为时，
设BM＝a，BC＝2a，
∵∠ACB＝90°，
∴CM＝＝a，
∴AC＝2a，
∴AC＝BC，不合题意，舍去；
同理，当BC边上的中线与BC边上的高的比为时，也不符合题意，舍去；
当AB边上的中线与AB边上的高的比为时，
当BC＞AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，
设CM＝a，CD＝2a，则DM＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴CM＝AB＝AM，
∴AD＝（﹣1）a，
∴tanA＝＝，
当BC＜AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，
同理可得，tanA＝．
综合可得tanA的值为或．
（2）证明：如图，作CH⊥AB于点H，AE⊥BC于点E，AE交CD于K，连接BK，
∵AB＝AC，
∴E是BC的中点，
∵CD是AB边上的中线，
∴点K是△ABC的重心，
∴KC＝2DK，
∵AE是BC的垂直平分线，
∴KC＝KB，
∴∠KBC＝∠KCB＝45°，
∴∠CKB＝90°，
即BK⊥CD，
∴＝tan∠CDH＝＝2，
∴，
∴△ABC是“神奇三角形”．
2．解：（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE为正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，
，
∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴＝，即＝，
整理得，BD＝，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
∴BD的最大值为4．
3．（1）解：∠ADE＝45°．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠ACM＝∠ABC，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ADE＝45°；
（2）（1）中的结论成立
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝45°．
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝90°．
即∠DAE＝90°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°．
（3）△CGH为等腰直角三角形．理由如下：
∵∠BCA＝∠ACE＝45°，
∴∠GCH＝90°，
又∵AH⊥BC，AG⊥CE，
∴AG＝AH，
∵∠ACG＝∠AGC＝45°，
∴AG＝CG，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠HCA＝∠HAC＝45°，
∴AH＝HC，
∴CH＝CG，
∴△CGH为等腰直角三角形．
4．（1）发现
解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故答案为：120°，
②∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴CA＝BC＝CE+CD；
故答案为：CA＝CE+CD．
（2）探究
∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．
理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．
在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，
∵CB＝CD+DB＝CD+CE，
∴CA＝CD+CE．
（3）应用
DA＝5或．
作DE⊥AB于E，连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵∠BDC＝90°，DB＝DC，
∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，
∴BE＝6﹣DE，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴DE2+（6﹣DE）2＝26，
∴DE＝1，DE＝5，
∴AD＝或AD＝5．
5．解：（1）∵a＝，（）2＝5，
∴a＝﹣5，b＝5，
∵A（a，0），B（b，0），
∴A（﹣5，0），B（5，0），
∴OA＝OB＝5．
如图1，连接OC，设OD＝x，
∵C（2，7），
∴S△AOC＝×5×7＝17.5，
∵S△AOC＝S△AOD+S△COD，
∴5x•＝17.5，
∴x＝5，
∴点D的坐标为（0，5）；
（2）如图2，
∵A（﹣5，0），B（5，0），C（2，7），
∴S△ABC＝×（5+5）×7＝35，
∵点P在y轴上，
∴设点P的坐标为（0，y），
∵S△ACP＝S△ADP+S△CDP，D（0，5），
∴5×|5﹣y|×+2×|5﹣y|×＝35，
解得：y＝﹣5或15，
∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，15）；
（3）7m+3n是定值．
∵点Q在x轴的上方，
∴分两种情况考虑，
如图3，当点Q在直线BC的左侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，
∵S△QBC＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，
∴，
∴7m+3n＝﹣5．
如图4，当点Q在直线BC的右侧时，
过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，
∵S△QBC＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，
∴＝20，
∴7m+3n＝75，
综上所述，7m+3n的值为﹣5或75．
6．解：（1）∵．
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
∴x＝＝1，y＝＝2，
∴D（1，2）．
故答案为（0，4），（2，0），（1，2）．
（2）如图1中，
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴S△DOP＝OP•yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQ•xD＝×2t×1＝t，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴＝，
＝，
＝2．
7．解：（1）∵|a+2|+（b+2a）2＝0，
∴a+2＝0，b+2a＝0，
解得a＝﹣2，b＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4）；
（2）如图1所示，过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，
∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠EBC＝90°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ABO＝∠BCE，
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝2，
又∵OB＝4，
∴E为OB的中点，
∵EC∥OP，
∴EF为△BOP的中位线，则F为BP的中点，
在Rt△BCP中，CF为斜边上的中线，
∴CF＝PB＝BF，
∴∠BCE＝∠CBD＝∠ABO，
在△AOB和△CDB中
，
∴△AOB≌△CDB（AAS），
∴CD＝AO＝2；
（3）如图2所示，过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，
∵∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC+CBQ＝90°，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴∠BPO＝∠BQG，CQ＝AP＝2+p，
在△BOP和△BGQ中，
，
∴△BOP≌△BGQ（AAS），
∴∠OBP＝∠GBQ，BG＝BO＝4，
又∵∠GBQ+∠PBG＝90°，
∴∠OBP+∠PBG＝90°，即∠OBG＝90°，
在四边形OBGH中，∠OBG＝∠BOG＝∠BGH＝90°，
∴∠OHG＝90°，
∴PH是△PCQ中CQ边上的高，
PH＝OH﹣OP＝4﹣p，
∴S△PCQ＝•（2+p）（4﹣p）＝﹣+p+4．
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故答案为：．
8．（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．
∵∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
∴∠A＝∠ECB；
（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，
∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴，
∴，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴CE∥AB；
（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，
∴∠DCM＝45°，
∴∠MDC＝∠DCM＝45°，
∴DM＝MC，
设DM＝MC＝a，
∴a，
∵DN∥AB，
∴△DCN为等腰直角三角形，
∴DN＝DC＝2a，
∵tan∠DEC＝，
∴ME＝2DM，
∴CE＝a，
∴，
∵CE∥DN，
∴△CEF∽△DNF，
∴．
9．解：（1）连接PQ，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，
代入数据（7﹣2t）2+（5t）2＝（5）2；
解得t＝1或t＝﹣（不合题意舍去）；
（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
S△PCQ＝×PC×CQ＝×（7﹣2t）×5t＝15
解得t1＝2，t2＝1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2．
（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
S△PCQ＝×PC×CQ＝×（7﹣2t）×5t＝×（﹣2t2+7t）．
＝﹣5．
∴当t＝s时，△PCQ的面积最大，最大值为cm2．
10．解：（1）如图1，AO是BC边上的中线，
∵∠ACB＝90°，
∴AO2﹣OC2＝AC2，
∵AB∇AC＝81，
∴AO2﹣OC2＝81，
∴AC2＝81，
∴AC＝9；
（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝30°，
在Rt△AOB中，
∴＝＝6，
∴AB∇AC＝AO2﹣BO2＝36﹣108＝﹣72；
②如图3，取AC的中点D，连接BD，
∴AC＝6，
过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，
∴∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∵AB＝12，
∴AE＝6，
∴BE＝＝＝6．
∴DE＝AD+AE＝12，
∴＝＝6，
∴BA∇BC＝BD2﹣CD2＝＝216；
（3）作BD⊥CD，如图4，
∵S△ABC＝24，AC＝8，
∴＝6，
∵AB∇AC＝﹣64，AO是BC边上的中线，
∴AO2﹣OC2＝﹣64，
∴OC2﹣AO2＝64，
又∵AC2＝82＝64，
∴OC2﹣AO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴OA＝2×＝3，
∴＝＝．
∴，
在Rt△BCD中，＝＝16，
∴AD＝CD﹣AC＝16﹣8，
∴＝＝10．
11．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵点M是BC的中点，
∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BM＝2BN，AB＝2BM，
设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，
∴AN＝3x，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，
∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，
∴△AMG为等边三角形，
∴AM＝AG，
∴BM＝CG，
∵∠AGM＝∠ABC＝60°，
∴∠MGC＝∠NBM＝120°，
∵MG∥BC，
∴∠GMC＝∠MCB，
∵∠MNB＝∠MCB，
∴∠GMC＝∠MNB，
∴△MGC≌△NBM（AAS），
∴MG＝BN，
∵△AMG为等边三角形，
∴AM＝MG，
∴AM＝BN；
（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，
∴△AMP为等边三角形，
∴AP＝MP，∠AMP＝60°，
∵P为AC的中点，
∴AP＝PC，
∴MP＝PC，
∵∠ACB＝60°，
∴∠EMP＝∠PCF＝120°，
∵∠AEP＝∠PFC，
∴△PCF≌△PME（AAS），
∴CF＝ME，
∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，
又∵P为AC的中点，MP∥BC，
∴MB＝，
∴BF﹣BE＝BC+BC＝，
∴．
12．解：（1）设运动t秒，M、N两点重合，
根据题意得：2t﹣t＝15，
∴t＝15，
答：点M，N运动15秒后，M、N两点重合；
（2）如图1，设点M、N运动x秒后，△AMN为等边三角形，
∴AN＝AM，
由运动知，AN＝15﹣2x，AM＝x，
∴15﹣2x＝x，
解得：x＝5，
∴点M、N运动5秒后，△AMN是等边三角形；
（3）假设存在，
如图2，设M、N运动y秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN，
∴AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，
∴△ACN≌△ABM（AAS），
∴CN＝BM，
∴CM＝BN，
由运动知，CM＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，
∴y﹣15＝15×3﹣2y，
∴y＝20，
故点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为20秒．
13．解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故答案为：1．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为：0＜sadA＜2．
（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图．
∵在Rt△ADE中，＝sin A＝，
设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．
∴CE＝x．
∴在Rt△CDE中，CD＝＝x．
∴sad A＝＝＝．
14．解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴（3x）2+16＝（5x）2，
∴x＝1，
即AC＝3，
∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
∵∠AFE＝∠CFB，
∴∠DAC＝∠FBC，
∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；
（2）∵AG∥BD，
∴∠AGF＝∠CBF，
∴tan∠AGF＝tan∠CBF，
∴，
，
∴，
∴．
∴＝．
∵∠EAF＝∠CBF，
∴，
∴，
∴S△DAF＝＝；
（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，
∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，
∴，
∴AF＝2CF，
∵AC＝3，
∴AF＝2，CF＝1，
∴，
∴，
设AE＝x，GE＝4x，
∴x2+16x2＝82，
解得x＝，
即AE＝．
同理tan∠DAC＝tan∠CBF，
∴，
∴DC＝，
∴AD＝＝＝．
∴＝．
②当点D在BC的边上时，如图2，
∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，
∴．
∴AF＝6，
∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，
∴cos∠EAF＝cos∠ABC，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴．
∴DE＝AE﹣AD＝．
综合以上可得DE的长为或．
15．解：（1）∵|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．
∴|m﹣3|＝0，（n﹣5）2＝0．
∴m＝3，n＝5，
∴B（1，3），C（5，0），
∴AB＝3，AC＝4，
∴三角形ABC的面积＝；
（2）①如图1，当点P在线段AC上时，PC＝t，AP＝4﹣t，
三角形ABP的面积为＝＝6﹣．
②如图2，当点P在线段AC的延长线上时，PC＝t，AP＝t﹣4，
三角形ABP的面积为3＝．
（3）①当点P在线段AC上时，6﹣．
解得t＝﹣1（舍去）．
②如图3，当点P在线段AC的延长线上时，．
解得t＝9．
∴OP＝4，PA＝5，
∵∠BAC＝90°＝∠DOA，
∴OD∥AB，
∴．
解得OD＝．
∵点D在y轴上且在原点O的上方，
∴点D的坐标为（0，）．
16．（1）①证明：如图1，
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．
∴AC＝BC，CD＝CE，∠A＝∠ABC＝45°，∠ACB﹣∠DCB＝∠ECD﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
②解：∵△ACD≌△BCE．
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴BD2+BE2＝DE2，即BD2+AD2＝DE2，
（2）①证明：如图2，
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．
∴由（1）易知△ACD≌△BCE．
∴∠DAC＝∠CBE，
∴∠ABF+∠BAF＝∠ABC+∠CBE+∠BAF＝∠ABC+∠BAF+∠DAC＝∠ABC+∠BAC＝90°．
∴∠AFB＝90°，
即AF⊥BE．
②如图3，∵△BDE为等边三角形，DF⊥BE，
∴∠DEF＝60°，
设EF＝BF＝a，则DE＝2a，
∴a，
∵BD＝BE，DC＝CE，
∴BC是DE的垂直平分线，
∴NE＝a，BN＝a，
∴BC＝．
∴．
即△DCE与△ABC的边长之比为．
17．（1）解：∵B（0，2），
∴OB＝2，
在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝4；
（2）证明：，
∵AM⊥AB，
∴∠BAM＝90°，
∴∠MAN＝90°﹣∠BAO＝60°，
∵MN垂直平分OA，
∴∠ANM＝90°，
∴∠AMN＝30°，
∴MA＝2AN＝OA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°＝∠MAB，
∴△MAB≌△OAC（SAS），
∴MB＝OC；
（3）解：P是MC的中点．理由如下：
如图2，过点C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC＝90°＝∠HAM，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠BCH＝∠ACH＝30°＝∠BAO，
∴△BCH≌△BAO（AAS），
∴OA＝CH，
由（2）知，AM＝OA，
∴AM＝CH，
∵∠CPH＝∠MPA，
∴△CHP≌△MAP（AAS），
∴CP＝MP，
即点P为MC的中点．
18．解：（1）∵AB＝BC，
∴∠A＝∠BCA＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠BCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°
故答案为：100．
（2）①在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，∠ABF＝50°，
∵EC＝EF，∠CEF＝80°，点F在BD上，
∴∠DFC＝50°，
又∠ADB＝∠CDF＝90°，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
∴BD＝DF，
∴BE+EC＝BE+EF＝2BD＝2＝2
＝2．
②连结AE并延长交BC于M．
若点F在直线BD上，BF是AC的垂直平分线，
∵∠AFD＝∠DFC＝50°，又∠ABF＝50°，
∴AF∥BC，
若点F在直线BD的左侧，如图2，
∵EC＝EF＝AE，
∴∠MEF＝2∠EAF，
∵∠MEC＝2∠EAD，
∴2∠DAF＝∠CEF，
∴∠DAF＝40°，∠BCA＝40°．
∴AF∥BC．
若点F在直线BD的右侧，如图3．
∵EC＝EF＝AE，
∴∠MEF＝2∠EAF，
∵∠MEC＝2∠EAD，
∴2∠DAF＝∠CEF，
∴∠DAF＝40°，∠BCA＝40°．
∴AF∥BC．
19．解：（1）∵2a2+2ab+b2﹣8a+16＝0，
∴（a+b）2+（a﹣4）2＝0，
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
即a＝4，b＝﹣4，
故答案为：4，﹣4；
（2）过点P作PM⊥AP交y轴于点M，过P作PN⊥y轴于点N，
∵∠OPC＝∠MPA＝∠OAC＝90°，
∴∠OPM＝∠APC，∠POM＝∠C，
∵∠PAM＝45°，
∴PA＝PM，
∴△ACP≌△MOP（AAS），
∴AC＝MO，
又∵，
∴，
∴AC＝MO＝1，
∴C（1，4）；
（3）△BOD的面积不发生变化，理由，
∵点A（0，4），B（﹣4，0），
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
①当点P的横坐标大于等于﹣2而小于0时，设D（m，n）如图2，
过点D作DF⊥x轴于F，过点P作PE⊥DF，交FD的延长线于E，
∴∠PED＝∠DFO＝90°，OF＝m，DF＝n，
∴∠DPE+∠PDE＝90°，
∵∠ODP＝90°，
∴∠PDE+∠ODF＝90°，
∴∠DPE＝∠ODE，
∵DP＝OD，
∴△PDE≌△DOF（AAS），
∴DE＝OF＝m，PE＝DF＝n，
∴EF＝DE+DF＝m+n，PE﹣OF＝n﹣m，
∴P（m﹣n，m+n），
而点P在线段AB上，
∴m+n＝m﹣n+4，
∴n＝2，
∴点D的纵坐标为2，
②当点P的横坐标小于﹣2而大于﹣4时，如图3，
同①的方法得出点D的纵坐标为2，
即：点P从点B向点A运动的过程中，点D的纵坐标始终为2，
∴S△BOD＝OB•|yD|＝×4×2＝4，
即：点P从点B向点A运动的过程中，△BOD的面积始终不变，是4．
20．解：如图1，过I点分别作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于点M，N，K，连接IC，
∵AI平分∠BAC，IM⊥AB，IK⊥AC，
∴IM＝IK，同理IM＝IN，
∴IK＝IN，
又∵IK⊥AC，IN⊥BC，
∴CI平分∠BCA；
（2）如图2，过C点作CE⊥AB于点E，则d的最大值为CE长，
∵AC＝5，BC＝12，
∴＝，
又∵＝30，
∴CE＝，
∴d的最大值为．
∴小季正确；
假设此时AI平分∠BAC，如图3，连接BI，过I点作IG，IH，IF分别垂直于AC，BC，AB于点G，H，F，
∵AI平分∠BAC，CD平分∠ACB，
∴BI平分∠CBA，
∵IG⊥AC，IH⊥BC，ID⊥AB，
∴IG＝IH＝IF＝d，
∵S△ACB＝S△AIC+S△BIC+S△ABI，
∴，
∴＝，
∴d＝2，
∴假设成立，当d＝2时，连接AI，则AI平分∠BAC，
∴小何正确．
2020中考道德与法治重点词练习：高空抛物及答案
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