宁夏中卫市2020届高三数学（理）下学期第二次模拟试题（Word版附解析）
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2020年中卫市高考第二次模拟考试
文科数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）
1.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据复数的乘法运算，求得 ，再求其共轭复数即可.
【详解】因为 ，
故可得 .
故选：A.
【点睛】本题考查集合的乘法运算，以及共轭复数的求解，属基础题.
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解不等式求出集合A、B，然后再根据集合的交运算即可求解.
【详解】由 ，
，
所以 .
故选：C
【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.
3.已知向量 ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量加减的坐标运算求出 ， ，再根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由 ， ，
两式联立，可得 ， ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积 坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.
4.已知命题 ：任意 ，都有 ；命题 ： ，则有 ．则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别判断命题 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.
【详解】 为真命题；命题 是假命题，比如当 ,
或 时，则 不成立.
则 ， ， 均为假.
故选:B
【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.
5.已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知函数是以 为周期的函数，从而可得 ，再根据函数为奇函数可得 ，将 代入表达式即可求解.
【详解】由 满足 ，
所以函数的周期 ，
又因为函数 为奇函数，且当 时， ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.
6.已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点， ，则 （ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
【答案】C
【解析】
点A到抛物线的准线： 的距离为： ，
利用抛物线的定义可得： ，
求解关于实数 的方程可得： .
本题选择C选项.
7.已知 , ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ,代入已知式子中,可求出 ,再结合 即可求解.
【详解】解: ,
即 .又
,
故选:D.
【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.
8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 10 B. 5 C. 20 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图画出几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，利用棱柱与棱柱的体积公式即可求解.
【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图：
三棱柱 截去一个三棱锥 ，如图：
该几何体的体积： .
故选：C
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
9.设F1、F2是双曲线 的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为 ，根据双曲线的几何定义可得， ，所以 ．在 中，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，则 ，故选B．
10.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的内切圆半径 （ ， 为直角边， 为斜边），求出圆的面积，再利用几何概型-面积比即可求解.
【详解】由题意两直角边为 ，斜边 ，
所以内切圆半径 ，
所以落在其内切圆内的概率：
，
故选：A
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.
11.函数 在区间 上是单调函数，且 的图像关于点 对称，则 （ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的单调区间，解得 的取值范围，结合对称中心，即可求得结果.
【详解】因为 在区间 上是单调函数，
则由 ，可得 ，
则 ，解得 .
又因为 的图像关于点 对称，
故可得 ，即 ，
解得 .
结合 的取值范围，即可得 或 .
故选：B.
【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中心，求参数范围的问题，属基础题.
12.函数 ，关于 的方程 恰有四个不同实数根，则正数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论 的根的情况，结合根的分布求解.
【详解】 ，令 ，得 或 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，且 ;
当 时， ，函数 在 上单调递减;
当 时， ，函数 在 上单调递增.
所以极大值 ，极小值 ，作出大致图象：
令 ，则方程 有两个不同的实数根，
且一个根在 内，另一个根在 内，
或者两个根都在 内.
因为两根之和 为正数，所以两个根不可能在 内.
令 ，因为 ，所以只需 ，即 ，得 ，即 的取值范围为 .
故选：D
【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数 图象特征，结合二次方程根 分布知识求解.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.
【答案】甲.
【解析】
【分析】
甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高
【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，
而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．
从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．
故答案为甲
【点睛】画茎叶图时的注意事项
（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；
（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．
（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．
（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．
14.已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
分析】
求出导函数 ，令 ，求出 ，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出 以及 ，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.
详解】由 ，则 ，
当 时， ，解得 ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，
即为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.
15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东 ，与观测站A距离 海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北 的C处，且 ，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．
【答案】
【解析】
由已知，
所以， ，
由余弦定理得，
,故 （海里），
该货船的船速为 海里/小时．
考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．
16.已知三棱锥 中， 三点在以 为球心的球面上，若 ， ，且三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用面积公式求出 的面积，再利用余弦定理求出 的长度，利用正弦定理求出 的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.
【详解】 的面积 ，
设球心 到平面 的距离为 ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理
，
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理
则 ，解得 ，
设球的半径为 ，则 ，
所以球 的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形，正弦定理解三角形的外接圆半径，属于中档题.
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式及前 项和为 ；
（Ⅱ）设 为数列 的前 项的和，求证： .
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.
（Ⅱ） ，根据裂项求和法计算得到 得到证明.
【详解】（Ⅰ）等差数列 的公差为 ，由 ， 得 ， ，
即 ， ，解得 ， .
∴ ，
宁夏银川一中2020届高三数学（文）第三次模拟试题（Word版附解析）
宁夏银川一中2020届高三数学（文）第三次模拟试题（Word版附解析）,高三数学第三次模拟试题,宁夏,银川一中,莲山课件.
.
（Ⅱ） ，∴ ，
∴ ，即 .
【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
18.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组： ， ， ， ， ， .得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：
乙教师分数频数分布表
分数区间 频数
3
3
15
19
35
25
（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；
（2）从对乙教师的评分在 范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在 范围内的概率；
（3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）
【答案】(1) 人；（2） ；（3）乙可评为年度该校优秀教师
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为 可得70分以下的频率，由频率 即可求解.
（2）根据频数分布表 有3人， 有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在 范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
（3）利用平均数 小矩形的面积 小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为 ，
70分以下的频率为 ，
所以对甲教师的评分低于70分的人数： .
（2）由频数分布表 有3人， 有3人，
记 的3人为A、B、C， 的3人为 、 、 ，
随机选出2人： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
， ，共 种；
评分均在 的抽取方法： ， ， ，共3种；
所以2人评分均在 范围内的概率 .
（3）由频率分布直方图可得 的频率为：
甲教师的平均数为：
，
乙教师的平均数为：
，
由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.
【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式，考查了学生的数据分析处理能力，属于基础题.
19.如图1，在 中, 分别为 的中点，点 为线段 上的一点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.
（1）求证： ；
（2）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由.
【答案】（1）见解析（2）线段 上存在点 ，使 平面 .
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；
（2）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面 ，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．
试题解析：
（1）证明：由已知得 且 ，
，又 ，
平面 ，面 平面 ，
，
又 平面 ，
.
（2）线段 上存在点 ，使 平面 .
理由如下：如图，分别取 的中点 ，则 .
平面 即为平面 .
由（1）知 平面 ，
又 是等腰三角形 底边 的中点 ，
平面 ，从而 平面 ，
故线段 上存在点 ，使 平面 .
点睛：
证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
20.如图,椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，椭圆 上一点 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为 ，
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 交椭圆 于 两点,问在 轴上是否存在定点 ,使得 为定值？证明你的结论.
【答案】（1） （2）存在定点 ,使得 为定值.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据点 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为 ，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 ，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去 可得关于 的一元二次方程， 表示为 ，利用韦达定理化简可得 ，令 可得结果.
【详解】（Ⅰ）由题设得 ,又 ,解得 ,∴ .
故椭圆 的方程为 .
（Ⅱ） ,当直线 的斜率存在时,设此时直线 的方程为 ,
设 , ,把 代入椭圆 的方程 ,消去 并整理得,
,则 , ,
可得 .设点 ,
那么 ,
若 轴上存在定点 ,使得 为定值,则有 ,解得 ,
此时, ,
当直线 的斜率不存在时,此时直线 的方程为 ,把 代入椭圆方程 解得 ,
此时, , , ,
综上,在 轴上存在定点 ,使得 为定值.
【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
21.已知函数 ．
（1）若函数 在 ， 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 处的切线平行于 轴，是否存在整数 ，使不等式 在 时恒成立？若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）a ；（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 的取值范围；
（2）问题转化为即 在 时恒成立，令 ， 求导后分 和 求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．
【详解】解：（1） 函数 在 ， 上单调递增，
在 ， 上恒成立，
，
当 时， 有最小值 ，
；
（2） ，
（1） ，
函数 在 处的切线平行于 轴，
，
，
不等式 在 时恒成立，
在 时恒成立，
即 在 时恒成立，
令 ， ，
，
当 时， 在 上恒成立，即 在 上单调递增，
（1） ，则 ，矛盾，
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
在 单调递减，在 ， 单调递增，
，
令 ， ，
，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
，
不存在整数 使得 恒成立，
综上所述不存在满足条件的整数 ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数的几何意义，还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题，同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力，属难题．
选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）
22.已知直线 的参数方程为 （其中 为参数），以原点为极点，以 轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ 为常数，且 ），直线 与曲线 交于 两点.
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若点 的直角坐标为 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线C的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与圆的弦长公式求解.
（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有 求解.
【详解】（1）曲线 的极坐标方程可化为 ，
化为直角坐标系下的普通方程为： ，即 .
直线 的普通方程为： ，
而点 到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）显然点 在直线 上，把 代入
并整理可得 ，
设点 对应的参数分别为 .
则 ，解得 或 .
则 ，解得 或 .
而 ， 实数m的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
23.已知 ，且 .
（1）求 的取值范围；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
分析】
（1）由条件等式将 用 表示，再从 ，进一步求出 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；
（2）根据已知条件转化证明 ，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）依题意， ，故 .
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.
辽宁省抚顺市2020届高三数学（文）下学期二模试卷（Word版附答案）
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