河北省武邑中学2020届高三数学（文）下学期第二次质检试题（Word版附解析）
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抚州市2020年高中毕业班教学质量监测卷
理科数学
说明：
1.全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1＋i)z＝i(i为虚数单位)，在复平面内，复数z的共轭复数 对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.全集U＝R，集合A＝{x| ≤0}，集合B＝{x|log2(x－1)>2}，图中阴影部分所表示的集合为
A.(－∞，0]∪[4，5] B.(－∞，0)∪(4，5]
C.(－∞，0)∪[4，5] D.(－∞，4]∪(5，＋∞)
3.已知抛物线ax2＝y的焦点到准线的距离为 ，则实数a等于
A.±1 B.±2 C.± D.±
4.已知{an}是等比数列，a1>0，前n项和为Sn，则“2S8 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
并计算得到K2≈19.05，下列小波对地区A天气判断不正确的是
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
6.圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为
A.x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋16x＋y2＋39＝0 C.x2－16x＋y2－39＝0 D.x2＋y2－4x＝0
7. ，log26，3log32的大小关系是
A. C.3log32< 8.在三角形ABC中，AB＝8，AC＝4，∠BAC＝60°，双曲线以A、B为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为
A. B. C. ＋1 D. ＋1
9.已知函数f(x)＝ ，g(x)＝x3，则方程f(x)＝g(x－1)所有根的和等于
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图所示，直线l1//l2，点A是l1、l2之间的一定点，并且点A到l1、l2的距离分别为2、4，过点A且夹角为 的两条射线分别与l1、l2相交于B、C两点，则△ABC面积的最小值是
A.4 B.6 C.8 D.12
11.在三棱锥P－ABC中，底面ABC为正三角形，PC⊥AC，PA＝PB，且PC＋AC＝4。若三棱锥P－ABC的每个顶点都在球O的球面上，则球O的半径的最小值为
A. B. C. D.
12.设f(x)是在(0，＋∞)上的可导函数，且f'(x)≥＝f(x)，f(1)＝4，f(2)＝16，则下列一定不成立的是
A.f( )＝8 B.f(3)＝40 C.f(4)＝72 D.f(5)＝120
第II卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(2×2＋x－1)5的展开式中x的系数是 。
14.设向量a＝(2cosθ，sinθ)，向量b＝(1，－6)，且a·b＝0，则 等于 。
15.已知一个四棱柱的三视图如图(图中小正方形的边长为1)，则该四棱柱的全面积等于 。
16.已知数列{an}的通项公式是an＝2n，在a1和a2之间插入1个数x11，使a1，x11，a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差数列；…；在an和an＋1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，xn2，…，xnn，an＋1成等差数列。这样得到新数列{bn}：a1，x11，a2，x21，x22，a3，x31，x32，x33，a4，…。记数列{bn}的前n项和为Sn，有下列判断：
①xn1＋xn2＋…＋xnn＝3n·2n－1；②a10＝b66；③b72＝3072；④S55＝14337。
其中正确的判断序号是 。
三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分。
17.(本小题满分12分)已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝3，AC＝2 ，∠BAC＝ 。
(1)求外接圆O的面积。
(2)求 。
18.(本小题满分12分)如图所示，已知四边形ABCD是菱形，平面AEFC⊥平面ABCD，EF//AC，AE＝AB＝AC＝2EF＝2。
(1)求证：平面BED⊥平面AEFC。
(2)若EA⊥AC，求二面角B－FD－C的余弦值。
19.(本小题满分12分)2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中。当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉。已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发(将频率视为概率)。为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线。
(1)汽车A和汽车B应如何选择各自的路线。
(2)若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元。1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元(其他费用忽略不计)，以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分。根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下(已知两辆车到达时间相互独立，互不影响)：
生产商准备根据运输车得分情况给出现金捐款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，者汽车A、B用(1)中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y(万元)，求随机变量Y的期望值。(援助总额＝一次性费用＋生产成本＋现金捐款总额)
20.(本小题满分12分)已知离心率为 的椭圆C： 的左顶点为A，左焦点为F，及点P(－4，0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列。
(1)求椭圆C的方程
(2)斜率不为0的动直线l过点P且与椭圆C相交于M、N两点，记 ，线段MN上的点Q满足 ，试求△OPQ(O为坐标原点)面积的取值范围。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝axex＋b(其中e是自然对数的底数，a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程是2ex－y－e＝0。
(1)求函数f(x)的单调区间。
(2)设函数g(x)＝ －mx－lnx，若g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－ )－ ＝0。
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
(2)设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|3x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|3x＋1|。
(1)当g(x)≥10时，恒有f(x)≥9，求a的最小值。
(2)当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围。
2020年高三质量监测理科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】 ,所以复数 的共轭复数 对应的点是 ，在第四象限.
2.【答案】C
【解析】 集合 ，由Venn图可知阴影部分对应的集合为 ，其中 ，则
3.【答案】A
【解析】抛物线 即 中 ，则 .
4.【答案】B
【解析】因为 是等比数列， ，所以
或 ，
为递增数列 ，所以是必要不充分条件.
5.【答案】D
6.【答案】B
解析：设圆心为 ，由题意知圆心到直线 的距离为 ，解得 ，则圆C的方程为 ，即为 .
7．【答案】B
【解析】 ， ，
，
河北省武邑中学2020届高三数学（理）下学期第二次质检试题（Word版附解析）
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所以 .
8．【答案】Ｄ
【解析】在三角形 中， ，所以
， ，
所以离心率 .
9.【答案】C.
【解析】通过图象可以知道函数 图象都关于点 对称，并且两个函数图象有三个交点，所以和为 .
10.【答案】C
【解析】设 与垂线的夹角为 ，则 ， ，
所以面积 ，
所以当 ，即当 时，面积最小，最小值是 .
11.【答案】D
【解析】因为三棱锥P－ABC中，底面ABC为正三角形，则AC＝BC，PA=PB，取边AB的中点D，连接PD，DC，则AB⊥PD，AB⊥DC，AB⊥面PCD，则AB⊥PC，且PC⊥AC，则PC⊥面ABC，不妨设 ，则 ，则 ，当 时， ，所以 .
12.【答案】A
【解析】设 ，则 ，则 为单调递增函数或常数函数，而 ， ，所以 在区间 上是常数函数，则 ，即
而 .
（填空题按照高考细则，答案不完整，不给分）
13.【答案】
【解析】 ,
所以 的系数为 .
14.【答案】
【解析】因为 ，则 ，即 ，
则 .
15.【答案】
【解析】该四棱柱的直观图如图，全面积等于
.
16.【答案】①③④
【解析】① ；
② 在数列 中是第 项，所以 ；
③ ；
④
.
17．【解析】（1）由余弦定理得： ……2分
所以 ，因此 ， ……………… 4分
所以外接圆的面积为 . ………………6分
（2）设 的中点为 ，则 ， ……………… 7分
所以 = . …………… 12分
18．【解析】（1）证明：菱形 中， ， ……………… 1分
又因为平面 平面 ，则 ，……………… 3分
，所以平面 平面 ； ……………… 5分
（2）设 与 交于点 ，连接 ，因为 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，而平面 平面 ，所以 .
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，……… 7分
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，所以
令x=2 … 9分
又平面 的法向量为 ，
，……………… 11分
由题可知，二面角 的余弦值为 . ……………… 12分
19．【解析】
（1）频率分布表如下：
所用的时间（单位：小时）
路线1的频率
路线2的频率
设 分别表示汽车 在约定交货时间前 小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达； 、 分别表示汽车 在约定交货前 小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达； ……………… 2分
， ， ……………… 3分
， ， ……………… 4分
所以汽车 选择路线1，汽车 选择路线2． ……………… 6分
（2）设 表示汽车 选择路线1时的得分， 表示汽车 选择路线2时的得分，
的分布列分别是：
……………… 8分
设 则 的分布列如下：
……………… 10分
， ……………… 11分
所以 （万元）
所以援助总额的期望值为 . ……………… 12分
20．【解析】（1）依题意： ，解得 ， ……… 4分
所以椭圆 的方程是 ； ……………… 5分
（2）解法一：
设 ，则 ，
相减得： ……(*) ………………7分
又由 ，知 ， ，
由 ，知 ， ， ……………… 9分
代入(*)式得： ，即 ， ……………… 10分
又因为点 在椭圆内，所以 ， ……………… 11分
所以△ 的面积 . ……………… 12分
解法二：设 ，则 ， ，
……………… 7分
设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得：
，由△ 得 ， . ……………… 8分
所以 ，消去 得到 ，
所以 , ………… 11分
因此 △ 的面积 . ………… 12分
解法三：设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得：
，由△ 得 ， . ……………… 6分
所以 ， ， ……………… 7分
，
原点 到直线 的距离 ……………… 9分
所以△ 的面积 ,
又因为 ，所以 .
……………… 12分
21．【解析】（1）对函数 求导得 ，……… 1分
由条件可知 解得 ，
所以 . ……………… 3分
.令 得 ，于是，当 ，函数 单调递减；当 ，函数 单调递增.
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . ……………… 5分
（2）由（1）知
解法1 要使 在 上恒成立，只需 即可.
因为 所以 在 上单调递增.因为当 时， ，当 时， ，所以， 上存在唯一的零点 ，满足 ，
所以 ……………… 7分
且 在（ ）上单调递减，在 上单调递增，
于是 ……………… 8分
由 ，此时必有 ，两边同时取自然对数，则有 即 .
构造函数 ，则 ，所以函数 上单调递增，又 ，所以 ，即 .……………… 11分
故 于是实数 的取值范围是
……………… 12分
解法2： 要使 在 上恒成立，等价于 上恒成立.令 ，则只需 即可. ……………… 6分
，则 ，所以 在 上单调递增，又 ，所以 有唯一的零点 ，且 ， 上单调递减，在 上单调递增.
……………… 8分
因为 ，两边同时取自然对数，则有
即 .
构造函数 ，则 ，所以函数 上单调递增，又 ，所以 ，即 .……………… 11分
所以 .
于是实数m的取值范围是 ……………… 12分
解法3：要使 在 上恒成立，
等价于 上恒成立.
先证明 ，令 ，于是，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 ，故 （当且仅当t=1时取等号） ……………… 8分
所以，当 时，有 ，即 ，当且仅当 时取等号，于是实数m的取值范围是
……………… 12分
22．【解析】（1）由 消去参数 ，得 ，
所以圆 的普通方程为 . .………………………2分
由 ，得 ， .………………………3分
所以直线 的直角坐标方程为 . .………………………5分
（2）设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为
， .………………8分
当 时， 取最小值， . .…………10分
23．【解析】（1） 或 ⇔ ，
……………… 1分
或 ， ……………… 3分
依题意有： ,即 .
故 的最小值为 . ……………… 5分
（2） ，
……………… 7分
当且仅当 时等号成立．
解不等式 ，得 的取值范围是 ． ……………… 10分
河北省2020届高三数学（文）下学期名优校联考试题（Word版附解析）
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