福建省泉州市2020届高三数学（理）5月份质检（二模）试题（Word版附解析）
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准考证号________________ 姓名________________
（在此卷上答题无效）
保密启用前
泉州市2020届普通高中毕业班第二次质量检查
文 科 数 学
本试卷共23题，满分150分，共5页．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ,则
A． B． C． D．
2．世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如下图），若在棋盘内随机取一点，则此点取自白色区域的概率为
A． B． C． D．
3．已知等比数列 各项均为正数， 为其前 项和. 若 ， ，则
A． B． C． D．
4．已知 为平面内不共线的三点， ，则
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
6．己知函数 ， .若 的最小值为 ，则 =
A． B．1 C．2 D．
7.已知椭圆 与抛物线 有公共焦点 ，给出 及 上任意一点 ，当 最小时， 到原点 的距离
A． B． C． D．
8．某便利店统计了今年第一季度各个品类的销售收入占比和净利润占比，并将部分品类的这两个数据制成如下统计图（注：销售收入占比= ，净利润占比= ，净利润=销售收入-成本-各类费用），现给出下列判断：
①该便利店第一季度至少有一种品类是亏损的；
②该便利店第一季度的销售收入中“生鲜类”贡献最大；
③该便利店第一季度“非生鲜食品类”的净利润一定高于“日用百货”的销售收入；
④该便利店第一季度“生鲜类”的销售收入比“非生鲜食品类”的销售收入多 .
则上述判断中正确的是
A.①② B．②③ C．①④ D．③④
9.如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，若该几何体的顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为
A． B． C． D．
10.已知函数 现给出下列四个函数及其对应的图象：
① 的图象 ② 的图象
③ 的图象 ④ 的图象
其中对应的图象正确的是
A．①② B．③④ C．①③④ D．①③
11.已知双曲线 的焦点 ，直线 过点 ，斜率为 .若 与 轴交于点 ，并与 的渐近线交于第一象限的点 ，且 ，则 的离心率是
A． B． C． D．
12．已知曲线 和 ，若直线 与 都相切，且与 相切于点 ，则 的横坐标为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．设复数 ，则 .
14．设 满足约束条件 ，则 的最大值为 .
15．等差数列 的公差为2，若 ，且 ，则 ，
河北省2020届高三数学（理）下学期名优校联考试题（Word版附解析）
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数列 的通项公式为 .（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
16．如图1，已知四面体 的所有棱长都为 ， 分别为线段 的中点，直线
垂直于水平地面，该四面体绕着直线 旋转一圈得到的几何体如图2所示，若图2所示的几何体的正视图恰为双曲线 的一部分，则 的方程为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在 中， ， ， .
（1）求 ；
（2）若点 在边 上，且 ，求 .
18．（12分）
如图，长方体中 中， ， ， ， 分别为棱
的中点.
（1）证明：平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
19．（12分）
FEV1（一秒用力呼气容积）是肺功能的一个重要指标。为了研究某地区10～15岁男孩群体的FEV1与身高的关系，现从该地区A、B、C三个社区10～15岁男孩中随机抽取600名进行FEV1与身高数据的相关分析.
（1）若A、B、C三个社区10～15岁男孩人数比例为1：3：2，按分层抽样进行抽取，请求出三个社区应抽取的男孩人数.
（2）经过数据处理后,得到该地区10～15岁男孩身高 (cm)与FEV1 (L)对应的10组数据 ，并作出如下散点图：
经计算得： ， ， ， ，
的相关系数 .
①请你利用所给公式与数据建立 关于 的线性回归方程,并估计身高160cm的男孩的FEV1的预报值 .
②已知，若①中回归模型误差的标准差为 ，则该地区身高160cm的男孩的FEV1的实际值落在 ， 内的概率为 .现已求得 ,若该地区有两个身高160cm的12岁男孩M和N，分别测得FEV1值为2.8L和2.3L，请结合概率统计知识对两个男孩的FEV1指标作出一个合理的推断与建议.
附：样本 的相关系数 ，
其回归方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， ， ．
20．（12分）
已知椭圆 的焦点在 轴上，左右顶点分别是 ，以 上的弦 （ 异于 ）为直径作圆 恰好过 , 设直线 的斜率为 .
（1）若 ，且 的面积为 ，求 的方程.
（2）若 ，求 的取值范围.
21．（12分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 时， ，求整数 的最大值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系 中，曲线 ，如图将 分别绕原点 逆时针旋转 ， ， 得到曲线 ， ， ．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）分别写出曲线 的极坐标方程；
（2）设 交 于 两点， 交 于 两点（其中 均不与原点重合），若四边形 的面积为 ，求 的值.
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数 .
(1)当 ，解不等式 1；
(2)求证：
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