福建省泉州市2020届高三数学（文）5月份质检（二模）试题（Word版附解析）
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准考证号________________ 姓名________________
（在此卷上答题无效）
保密启用前
泉州市2020届普通高中毕业班第二次质量检查
理 科 数 学
2020.5
本试卷共23题，满分150分，共5页．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2． 的展开式中 的系数为
A． B． C． D．
3．已知向量 , ，则 的面积为
A．5 B．10 C．25 D．50
4．平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 ，则
A． B． C． D．
5．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得
A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
6．函数 的图象不可能是
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
9．每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为I，II两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年I，II两类渔船的台风遭损率分别为 和 ．
2020年初，在修复遭损船只的基础上，对I类渔船中的 进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为 ，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是
A．2019年投保的渔船的台风遭损率为
B．2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过
C．预估2020年I类渔船的台风遭损率会小于II类渔船的台风遭损率的两倍
D．预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II类渔船因台风遭损的数量
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ．点 在 的渐近线上， ， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
11．若 ，函数 （ ）的值域为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
12．以 为顶点的多面体中， ， ， ， ， ，则该多面体的体积的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．在复平面中，复数 对应的点分别为 ．设 的共轭复数为 ，则 _______．
14．已知点 ， ，过 的直线与抛物线 相交于 两点．若 为 中点，
河北省2020届高三数学（理）下学期名优校联考试题（Word版附解析）
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则 _______．
15． 中，角 所对的边分别为 ， ， ．若点 在边 上，且 ，则 的最大值是_______．
16．若存在过点 的直线 与函数 ， 的图象都相切，则 _______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
记 为数列 的前 项和，且 ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
18．（12分）
如图，四棱锥 的底面为菱形， ， ．平面 平面 ， ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： //平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12分）
已知圆 ，直线 与圆 相切于点 ，直线 垂直 轴于点 ，且 ．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）直线 与 相交于 两点，若 的面积是 的面积的两倍，求直线 的方程．
20．（12分）
“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A,B两套测试方案，现各抽取 名员工参加A,B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分 分），得到如下频率分布表．
成绩频率
方案A
方案B
（1）从预测试成绩在 的员工中随机抽取 人，记参加方案A的人数为 ，求 的最有可能的取值；
（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩 与绩效等级优秀率 ，如下表所示：
根据数据绘制散点图，初步判断，选用 作为回归方程．令 ，经计算得 ， ， ．
（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为 ，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 的概率为多少？
参考公式与数据：（1） ， ， ．
（2）线性回归方程 中， ， ．
（3）若随机变量 ，则 ， ， ．
21．（12分）
已知函数 ．
（1）若 在 单调递增，求 的值；
（2）当 时，设函数 的最小值为 ，求函数 的值域．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
直角坐标系 中，圆 （ 为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到曲线 ．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设 与两坐标轴分别相交于 两点，点 在 上,求 的面积的最大值．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，证明： ．
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