四川省成都外国语学校2019-2020高二数学（文）下学期期中试题（PDF版附答案）
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山河联盟2019学年第二学期期中考试高一数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)
1．已知等差数列 的首项为1，公差为2，则a9的值等于( )
A．15 B．16 C．17 D．18
2．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( )
A．300 B．600 C.1200 D．1500
3．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )
A.－3 B.1 C.－1 D.3
4.已知各项均为正数的等比数列{an}中，，,则a3＝( )
A.16 B.8 C.4 D.2
5.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )
A.1a2＞1a＞1ab B.1a2＞1ab＞1a
C.1a＞1a2＞1ab D.1a＞1ab＞1a2
6．在中，角，，的对边分别为，，，若（为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形
C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且a6a5＝911，则当Sn取最大值时，n的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.已知向量，，，则向量、的夹角为
A. B. C. D.
9.已知实数x,y满足,且,则的最小值为（ ）
A.21 B.24 C.25 D. 27
10.若不等式(|x－2a|－b)×cosπx－π3≤0在x∈－16，56上恒成立，则2a＋b的最小值为( )
A.1 B. 56 C.23 D. 2
二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分)
11.已知平面向量a＝(2，－3)，b＝(1，x)，若a∥b，则x＝________；若a⊥b，则x＝________.
12.若x，y满足x≤2，y≥－1，4x－3y＋1≥0，则2y－x的最小值为______.最大值为_______.
13.已知正数a，b满足a＋b＝1，则ba＋1b的最小值为________，此时a＝________.
14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B＝________，BC边上中线AM的长为________.
15.若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________.
16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.
17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）
第Ⅱ卷
三、解答题(本大题5小题，共74分)
18.（本小题满分14分）.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)求{an}的通项公式.
19. （本小题满分15分）已知函数．
求不等式的解集；
当时，求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值．
20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋2b|；
(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，
四川省成都外国语学校2019-2020高二数学（理）下学期期中试题（PDF版附答案）
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求△ABC的面积.
21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝2csinC，△ABC的面积S＝abc.
(1)求角C；
(2)求a＋b的取值范围.
22.（本小题满分15分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a2n＝4Sn－2an－1(n∈N*).数列满足，为数列的前n项和．
求数列的通项公式；
求数列的前n项和
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
山河联盟2019学年第二学期期中考试高一数学参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A D B A D B
二、填空题: 本大题共7个小题，共36分．
11. , 12. -4 4
13． 3, 12 14. 12 ,
15． n2＋n＋22
16．
17． 3λ－1λ2
三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．
18．(本小题满分14分)
（1）由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)由（1）可得bn＝2n－1，ann＝2n－1所以an＝n·2n－1.
19. 本小题满分15分)
解：由题意得，
因为方程有两个不等实根，，
又二次函数的图象开口向下，
所以不等式的解集为；
由题意知，，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
综上所述，当且仅当时，y取得最大值为．
20．(本小题满分15分)
解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2
＝42＋4×(－6)＋4×32＝28，
∴|a＋2b|＝2
(3)的夹角B
∴
|AB→|＝，|BC→|＝3，
∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sinB＝12××3×＝33.
21． （本小题满分15分）
解 (1)由S＝abc＝12absin C可知2c＝sin C，∴sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C.由正弦定理得a2＋b2＋ab＝c2.由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，
∴C∈(0，π)，∴C＝2π3.
(2) 法一：由(1)知2c＝sin C，c=34∴2a＝sinA，2b＝sin B.
△ABC的a＋b＝12(sinA＋sinB)
＝12sin A＋sinπ3－A
＝12sin A＋32cos A－12sin A
＝1212sin A＋32cos A
＝12sinA＋π3
∵A∈0，π3，∴A＋π3∈π3，2π3，∴sinA＋π3∈32，1，∴12sinA＋π3∈
∴a＋b的取值范围为.
法二：
∴a＋b
∵a＋b
∴a＋b的取值范围为.
22（本小题满分15分）
解：(1) 当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，因为an＞0，a2n＝4Sn－2an－1，
所以a2n－1＝4Sn－1－2an－1－1，
两式相减得a2n－a2n－1＝4an－2an＋2an－1＝2(an＋an－1)，
所以an－an－1＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.
由题意和得：，
所以数列前n项和
．
当n为偶数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
，等号在时取得．
此时需满足．
当n为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
是随n的增大而增大，
时，取得最小值．
此时需满足．
综合、可得的取值范围是．
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