甘肃省西北师大附中2020届高三数学（文）5月模拟试卷（Word版附答案）
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市一中2020年高三5月模拟试题
数 学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3． 是直线 上的一动点，过点 向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A． 钱 B． 钱 C． 钱 D． 钱
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知在 中， ， ，动点 自点 出发沿线段 运动，到达点 时停止运动，动点 自点 出发沿线段 运动，到达点 时停止运动，且动点 的速度是动点 的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则当 取最大值时， （ ）
A．2 B．1 C． D．
7．已知函数 在区间 上有且仅有2个最小值点，下列判断：① 在 上有2个最大值点；② 在 上最少3个零点，最多4个零点；③ ；④ 在 上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ）
A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③
8．已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知 、 是两个不同的平面， 、 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
10．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）
A．这五年，2015年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2019年进口增速最快
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现:“平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系 中， ， ，点 ．设点 的轨迹为 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的方程为
B．在 轴上存在异于 的两定点 ，使得
C．当 三点不共线时，射线 是 的平分线
D．在 上存在点 ，使得
12．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则下列命题正确的是（ ）
A．当 时，
B．函数 有3个零点
C． 的解集为
D． ，都有
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13． 展开式中的常数项为________．
14．在 中， ，则 面积的最大值是________．
15．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 且与 轴垂直的直线交椭圆于 、 两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，则椭圆的离心率为__________．
16．如图，矩形 中， ， ， 为 的中点，点 ， 分别在线段 ， 上运动（其中 不与 ， 重合， 不与 ， 重合），且 ，沿 将 折起，得到三棱锥 ，则三棱锥 体积的最大值为_______；当三棱锥 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
18．（12分）在 中，设 、 、 分别为角 、 、 的对边，记 的面积为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值．
19．（12分）如图，在斜三棱柱 中，已知 ， ，且 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
20．（12分）从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表：
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在 内的概率；
（2）求这50件产品尺寸的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均值 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ．利用该正态分布，求 （ ）．
附：（1）若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ；（2） ．
21．（12分）在直角坐标系 中， ，动点 满足：以 为直径的圆与 轴相切．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设点 的轨迹为曲线 ，直线 过点 且与 交于 两点，当 与 的面积之和取得最小值时，求直线 的方程．
22．（12分）已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 与曲线 的公切线的方程；
（2）设函数 的两个极值点为 ，求证：关于 的方程 有唯一解．
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数学答案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】易知 ，所以复数 的共轭复数 ，故选A．
2．【答案】A
【解析】当 时，由对应函数的单调性可知，
， 且 ， ，
排序得 ，故选A．
3．【答案】C
【解析】∵圆 ，∴圆心 ，半径 ，
由题意可知，点 到圆 的切线长最小时，
直线 ，
∵圆心到直线的距离 ，∴切线长的最小值为 ，
故选C．
4．【答案】B
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ， ， ， ， ，
则 ，解得 ，
又 ， ，
则 ，故选B．
5．【答案】C
【解析】由 ，可排除A，D；
又 ，
为奇函数，可排除B，故选C．
6．【答案】B
【解析】 ， ，依题意知 ， ，
，
当 时， 取得最大值，此时 ，
，故选B．
7．【答案】A
【解析】 是定义域为 ，
，
在 上有且仅有2个最小值点，
，解得 ，故③错误；
当 时，由 ，可得 ，
由图象可知此时有 个最大值，故①错误；
当 时，由 ，可得 ，
由图象可知此时有 零点，故②错误；
当 时，可得 ，
此时单调减函数，故④正确，
综上所述，正确④，故选A．
8．【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
【解析】由 ， ，得 ，又由 ，得 ，A正确；
由 ， ，得 ，又由 ，得 ，B正确；
若 ， ， ， 可能平行也可能是异面直线，C错误；
由面面垂直的性质定理知D正确，
故选ABD．
10．【答案】ABD
【解析】对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确；
对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，
但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额，
故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；
对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；
对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，
甘肃省西北师大附中2020届高三数学（理）5月模拟试卷（Word版附答案）
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故D正确，
故选ABD．
11．【答案】BC
【解析】设点 ，则 ，化简整理得 ，
即 ，故A错误；
当 ， 时， ，故B正确；
对于C选项， ， ，
要证PO为角平分线，只需证明 ，
即证 ，化简整理即证 ，
设 ，则 ，
，
则证 ，故C正确；
对于D选项，设 ，由 ，可得 ，
整理得 ，而点M在圆上，故满足 ，
联立解得 ， 无实数解，于是D错误，
故答案为BC．
12．【答案】BCD
【解析】（1）当 时， ，则由题意得 ，
∵函数 是奇函数，
∴ ，且 时， ，A错；
∴ ，
（2）当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
∴函数 有3个零点 ，B对；
（3）当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
∴ 的解集为 ，C对；
（4）当 时，由 ，得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴函数在 上有最小值 ，且 ，
又∵当 时， 时， ，函数在 上只有一个零点，
∴当 时，函数 的值域为 ，
由奇函数的图象关于原点对称得函数 在 的值域为 ，
∴ 对 ，都有 ，D对，
故选BCD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】 ，
由 ，得 ，
所以的常数项为 ．
14．【答案】
【解析】
，
当 时等号成立，此时 ，即 时，满足题意．
故答案为 ．
15．【答案】
【解析】 ， ，
设 ，过点 作 轴，垂直为 ，
， ，
，代入椭圆方程得 ，
解得 ，
故答案为 ．
16．【答案】 ，
【解析】（1）依题意设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
与平面 所成角为 ，
，
当 ， 时，三棱锥 体积取得最大值，
，
所以三棱锥 体积的最大值为 ，故答案为 ．
（2）由（1）知道三棱锥 体积取得最大值时，
与平面 所成角 ，即 平面 ，
折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：
所以 ， ， ， ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，
，
，解得 ，
所以 ，
外接球面积为 ，故答案为 ．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，
因为 ，所以当 时，
，
当 时， 满足上式，
故 ．
（2）由（1）得 ，
①，
②，
① ②，得 ③，
则 ④，
③ ④，得
，
故 ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，可得 ．
（2） 中， ，所以 ．
所以 ，
由正弦定理 ，得 ，解得 ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：连接 ，在平行四边形 中，
由 得平行四边形 为菱形，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以平面 平面 ．
（2）取 的中点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则面 的法向量为 ，
设面 的法向量为 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
由 ，令 ，则 ，
设所求二面角为 ，则 ，
故二面角 的余弦值为 ．
20．【答案】（1）0．16；（2）22．7；（3）0．1587．
【解析】（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在 内的概率为 ．
（2）样本平均数 ．
（3）依题意 ，而 ， ，则 ，
， ．
21．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设点 ，圆心 ，圆与 轴相切于点 ，
则 ，所以 ，
又点 为 的中点，所以 ，
所以 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 ．
（2）①当直线 的斜率不存在时，方程为 ，易得 ．
②当直线 的斜率存在时，设方程为 ， ， ，
由 ，消去 并整理，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
又 ，所以 ， 或 ， ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以当两个三角形的面积和最小时，
直线 的方程为 ．
22．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）曲线 在切点 处的切线方程为
，即 ，
曲线 在切点 处的切线方程为
，即 ，
由曲线 与曲线 存在公切线，
得 ，得 ，即 ．
令 ，则 ，
，解得 ，∴ 在 上单调递增；
，解得 ，∴ 在 上单调递减，
又 ，∴ ，则 ，
故公切线方程为 ．
（2）要证明关于 的方程 有唯一解，
只要证明 ，先证明 ，
∵ 有两个极值点，
∴ 有两个不同的零点，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，∴ 单调递增， 不可能有两个零点；
当 时， ，则 ，∴ 在 上单调递增，
，则 ，∴ 在 上单调递减，
又 时， ； 时， ，
∴ ，得 ，∴ ．
易知 ，
由 ，得 ， ，
∴ ，
下面再证明： ．
，
令 ，则只需证 ，
令 ，
则 ，
∴ ，得 ，
∴ 有唯一解．
安徽省合肥七中、合肥十中2020届高三数学（文）下学期联考试题（Word版附答案）
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