2020山东省高考数学压轴卷（Word版含解析）
2020山东省高考数学压轴卷（Word版含解析）,高考数学压轴卷,山东省,莲山课件.
绝密启封前
2020上海市高考压轴卷
数 学
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．
1．若集合 ， ，则 =________.
2．函数 的定义域是______.
3．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 ________.
4．设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，都有 ，则 ___
5．从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.
6．已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为 ，则此双曲线方程为_________
7．已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是______.
8．计算： _________.
9．某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.
10．向量集合 ,对于任意 ,以及任意 ,都有 ,则称 为“ 类集”,现有四个命题:
①若 为“ 类集”,则集合 也是“ 类集”;
②若 , 都是“ 类集”,则集合 也是“ 类集”;
③若 都是“ 类集”,则 也是“ 类集”;
④若 都是“ 类集”,且交集非空,则 也是“ 类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)
11．已知 、 、 是平面内三个单位向量，若 ，则 的最小值是________
12．已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ，
设 ，若在数列 中， 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是_____;
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．在直三棱柱 中，己知 ， ， ，则异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 ，若函数 的所有零点依次记为 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
15．若实数x，y满足 ，则 的最大值是（ ）
A．9 B．12 C．3 D．6
16．对于全集 的子集 定义函数 为 的特征函数,设 为全集 的子集,下列结论中错误的是( )
A．若 则 B．
C． D．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．正四棱锥 的底面正方形边长是3， 是在底面上的射影， ， 是 上的一点，过 且与 、 都平行的截面为五边形 ．
（1）在图中作出截面 ，并写出作图过程；
（2）求该截面面积的最大值．
18．在 中，内角 所对的边长分别是 .
（1）若 ，且 的面积 ，求 的值；
（2）若 ，试判断 的形状.
19．如图所示，某街道居委会拟在 地段的居民楼正南方向的空白地段 上建一个活动中心，其中 米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形 ，上部分是以 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 .
（1）若设计 米， 米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 与 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中 取3）
20．已知椭圆C： 经过定点 ，其左右集点分别为 ， 且 ，过右焦 且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.
（1）求椭圆C的方程：
（2）若O为坐标原点，在线段 上是否存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，设 ， .
（Ⅰ）求证：数列 是等比数列；
（Ⅱ）若 ， ，求实数 的最小值；
（Ⅲ）当 时，给出一个新数列 ，其中 ，设这个新数列的前 项和为 ，若 可以写成 （ ， 且 ， ）的形式，则称 为“指数型和”.问 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
参考答案及解析
1．【答案】
【解析】
由 中 ，得到 ，
解得： ，即 ，
由 中不等式变形得： ，即 ，
则 ，
故答案为： ．
2．【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 或 .
故答案为：
3．【答案】1
【解析】
因为 ，所以 ，则 .
故答案为：1.
4．【答案】
【解析】
由 ，令 ，
得 ，解得 。
5．【答案】
【解析】
6个样本的平均数 ，所以方差
.
故答案为：
6．【答案】
【解析】
的焦点为：
双曲线的渐进线方程为 ，则设双曲线方程为： ，焦点为
故 ，双曲线方程为
故答案为：
7．【答案】
【解析】
对称轴方程为 ，
在区间 上是增函数，所以 .
故答案为: .
8．【答案】
【解析】
.
故答案为： .
9．【答案】
【解析】
某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，
则基本事件总数 ，
其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 ，
∴其中甲、乙都抢到红包的概率 ．
故答案为： .
10．【答案】①②④
【解析】
集合 ,对于任意 ,
且任意 ,都有
可以把这个“ 类集”理解成,任意两个 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在 上,因此可以理解它的图象成直线
对于①, ,向量 整体 倍,还是表示的是直线,故①正确;
对于②,因为 , 都是“ 类集”,故 还是表示的是直线,故②正确;
对于③,因为 都是“ 类集”,可得 是表示两条直线,故③错误;
对于④, 都是“ 类集”,且交集非空,可得 表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.
综上所述,正确的是①②④.
故答案为:①②④.
11．【答案】
【解析】
令 ，设 ， ， 对应的点 在单位圆上，
所以问题转化为求 的最小值.
因为 ，所以 ，
所以 ，
表示 点到点 和 的距离之和，
过点 和 的直线为 ，
原点到直线 的距离为 ，所以与单位圆相交，
所以 的最小值为：点 和 之间的距离，即 .
故答案为： .
12．【答案】 .
【解析】
连接 ， ，如图：
又 ，则 为异面直线 与 所成的角.
因为 且三棱柱为直三棱柱，∴ ∴ 面 ，
∴ ，
又 ， ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选C
14．【答案】D
【解析】
令 得 ，
即 的对称轴方程为 .
的最小正周期为 ，
在 上有5条对称轴，
第一条是 ，最后一条是： ；
关于 对称， 关于 对称… 关于 对称
，
将以上各式相加得：
.
故选：D.
15. 【答案】A
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
由 得 ，
平移直线 ，
由图像可知当直线 经过点 时，
直线 的截距最小，
此时 最大，
由 ，解得 ，即 ，
.
故选：A
16．【答案】D
【解析】
对于A, ,
分类讨论：
①当 ,则 此时
②当 且 ,即 ,此时 ，
③当 且 ,
即 时, ,此时
综合所述,有 ,故A正确;
对于B , ,故(2)正确；
对于C ,
,故C正确;
对于D , ,故D错误.
故选:D.
17．【答案】（1）见解析；（2）9.
【解析】
（1）由题可知， 是 上的一点，过 且与 、 都平行的截面为五边形 ，
过 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
过 作 ，交 于点 ，
再过点 作 ，交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
2020江苏省高考数学压轴卷（Word版附解析）
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连接 ，
， ， ，
，
所以 共面， 平面 ，
， 平面 ，
平面 ，同理 平面 .
所以过 且与 、 都平行的截面 如下图：
（2）由题意可知， 截面 ， 截面 ，
， ，
而 是在底面上的射影， ，
平面 ， ，
，且 ，
所以 平面 ，则 ，
，
又 ， 为正四棱锥，
，故 ，
于是 ，
因此截面 是由两个全等的直角梯形组成，
因 ，则 为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
所以， ，
，同理得， ，
又因为 ，
设截面 面积为 ，
所以 ，
即： ，
当且仅当 时， 有最大值为9.
所以截面 的面积最大值为9.
18．【答案】（1） ；（2）直角三角形或等腰三角形.
【解析】
（1）因为 ，又余弦定理可得： ，
即 ①
又 的面积 ，
所以 ，因此 ②；
由①②解得： ；
（2）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 或 ，
因此 或 ，
所以 是直角三角形或等腰三角形.
19．【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ） 米且 米
【解析】
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB＝18米，AD＝6米，
所以半圆的圆心为H(9,6)，半径r＝9.
设太阳光线所在直线方程为y＝－ x＋b，
即3x＋4y－4b＝0，则由 ＝9，
解得b＝24或b＝ (舍)．
故太阳光线所在直线方程为y＝－ x＋24,
令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.
所以此时能保证上述采光要求．
（2）设AD＝h米，AB＝2r米，
则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.
方法一 设太阳光线所在直线方程为y＝－ x＋b，
即3x＋4y－4b＝0，
由 ＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－ (舍)．
故太阳光线所在直线方程为y＝－ x＋h＋2r，
令x＝30，得EG＝2r＋h－ ，
由EG≤ ，得h≤25－2r.
所以S＝2rh＋ πr2＝2rh＋ ×r2≤2r(25－2r)＋ ×r2
＝－ r2＋50r＝－ (r－10)2＋250≤250.
当且仅当r＝10时取等号．
所以当AB＝20米且AD＝5米时，
可使得活动中心的截面面积最大．
方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大，
则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，
设过点G的上述太阳光线为l1，
则l1所在直线方程为y－ ＝－ (x－30)，
即3x＋4y－100＝0.
由直线l1与半圆H相切，得r＝ .
而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，
即r＝－ ，从而h＝25－2r.
又S＝2rh＋ πr2＝2r(25－2r)＋ ×r2＝－ r2＋50r＝－ (r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．
所以当AB＝20米且AD＝5米时，
可使得活动中心的截面面积最大．
20．【答案】（1） （2）存在，m的取值范围为
【解析】
（1）∵点E在椭圆上，且 ，
∴ ， ，
又∵定点 在椭圆上，∴ ，
∴ ，
∴椭圆C的方程为： ；
（2）假设存在点 满足条件，设 ， ，直线l的方程为： ，
联立方程 ，消去y得： ，
∴ ， ， ，
又 ， ， ，
∴ ，
由题意知.
，
∵ ，∴ ，
即 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
故存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为 .
21．【答案】（I）详见解析；（II） ；（III） 为指数型和.
【解析】
（I） ， .由于 ，当 时， ，所以数列 是等比数列. ， .
（II）由（I）得 ， ，所以 .因为 ， .当 时，
， ，而 ，所以 ，即 ，化简得 ，由于当 时， 单调递减，最大值为 ，所以
，又 ，所以 的最小值为 .
（III）由（I）当 时， ，当 时， . 也符合上式，所以对正整数 都有 .由 ，（ 且 ）， 只能是不小于 的奇数.
①当 为偶数时， ，由于 和 都是大于 的正整数，所以存在正整数 ，使得 ， ，所以 ，且 ，相应的 ，即有 ， 为“指数型和”；
② 当 为奇数时， ，由于 是 个奇数之和，仍为奇数，又 为正偶数，所以 不成立，此时没“指数型和”.
综上所述， 中的项存在“指数型和”，为 .
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